板殼的穩(wěn)定性

07三月20241薄板穩(wěn)定性07三月20242§7.1穩(wěn)定基本概念

本章主要研究薄板穩(wěn)定問題的有關(guān)理論和計(jì)算方法。07三月20243

在剛體力學(xué)中，一個(gè)處于平衡狀態(tài)的剛體，可以有三種性質(zhì)不同的平衡狀態(tài)：穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡07三月20244小球的平衡——平衡的穩(wěn)定性的概念紅球:穩(wěn)定平衡藍(lán)球：不穩(wěn)定平衡07三月20245(a)剛球受到側(cè)向干擾力而稍離其平衡位置后，它仍能回復(fù)到原來的平衡位置，這種平衡是穩(wěn)定的。

(b)剛球如果有一微小側(cè)向干擾力使其偏離平衡位置，則剛球?qū)⒗^續(xù)沿著凸面滾動(dòng)，不能恢復(fù)到原來的平衡位置，這種平衡是不穩(wěn)定的。07三月20246(c)剛球偏離原來的平衡位置，則它既不回到原來的位置，又不繼續(xù)離開，而是能在任何一個(gè)新的位置處于平衡，這種平衡叫隨遇平衡或中立平衡。07三月20247構(gòu)件在外力作用下，保持其原有平衡狀態(tài)(configuration)的能力。穩(wěn)定性：①桿、柱、梁、軸、環(huán)、拱；②薄板、薄殼；③開口截面薄壁梁.存在穩(wěn)定問題的構(gòu)件：07三月20248顯然，上述剛球的平衡穩(wěn)定性是決定于它所處位置的幾何形狀。彈性系統(tǒng)也有三種平衡狀態(tài)。現(xiàn)以受軸向壓力作用的直桿為例，如圖所示PABl07三月20249PABl壓桿的臨界力：傾覆力偶：恢復(fù)力偶：平衡狀態(tài)：M=m①穩(wěn)

定

平

衡——②不穩(wěn)定平衡——③臨

界

狀

態(tài)——xyPABPPABPQPByQPM彈性桿的平衡07三月202410(1)軸向壓力P小于某一臨界值Pcr時(shí)，桿軸是挺直的，倘若有一微小的橫向干擾力使桿軸產(chǎn)生微小的彎曲，而當(dāng)橫向力除去后，桿軸仍能恢復(fù)到直線形狀。在這種情況下，桿在直線形式的平衡是穩(wěn)定的。07三月202411(2)軸向壓力P大于臨界值Pcr時(shí)，只要有任一微小的橫向力使桿產(chǎn)生微小彎曲，那么，即使在橫向力消除后，桿軸仍將繼續(xù)彎曲而平衡于某一彎曲位置。在這種情況下，桿軸原來直線形式的平衡是不穩(wěn)定的。07三月202412(3)軸向壓力P等于臨界值Pcr時(shí)，桿軸由于微小橫向力引起微小彎曲，不管橫向力是否消除，桿軸仍能保持任一微小彎曲狀態(tài)，這種平衡稱為隨遇平衡。07三月202413

由上述可知，當(dāng)軸向壓力P超過某一臨界值時(shí)，桿件將由原來的穩(wěn)定平衡狀態(tài)突然轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。而這載荷的臨界值就稱為臨界載荷。在飛機(jī)結(jié)構(gòu)中，由于要滿足最小重量的要求，采用了大量的薄壁元件(薄壁桿、板、殼等)。當(dāng)它們受到壓力或剪力時(shí)，也有一個(gè)穩(wěn)定問題。07三月202414

求臨界載荷的方法很多，其中主要的是靜力法和能量法。(1)靜力法是根據(jù)結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)時(shí)的靜力特征而提出的方法。(2)能量法是根據(jù)臨界狀態(tài)時(shí)結(jié)構(gòu)的能量特征而提出的方法。07三月202415研究薄板穩(wěn)定問題的目的

就是要找出薄板失穩(wěn)的臨界載荷，分析薄板失穩(wěn)的有關(guān)因素，以指導(dǎo)薄板設(shè)計(jì)和強(qiáng)度計(jì)算。07三月202416

本章主要討論靜力法。而且在研究的問題中，均假設(shè)系統(tǒng)的失穩(wěn)是在小變形的彈性范圍內(nèi)發(fā)生，屬于線性穩(wěn)定問題。07三月202417§7.2薄板壓曲的基本微分方程

在前面討論中，假定薄板只受橫向載荷，而且假定薄板的撓度很小，可以不計(jì)中面內(nèi)各點(diǎn)平行于中面的位移。這時(shí)，薄板的彈性曲面是中性面，不發(fā)生正應(yīng)變和剪應(yīng)變。這是薄板在橫向載荷作用下的小撓度彎曲問題。

當(dāng)薄板在邊界上受有縱向載荷時(shí)，由于板很薄，可以假定只發(fā)生平行于中面的應(yīng)力，而這些應(yīng)力不沿薄板厚度而變化。07三月202418這是薄板在縱向載荷作用下的平面應(yīng)力問題。這時(shí)，薄板每單位寬度上的平面應(yīng)力將合成如下的所謂中面內(nèi)力其中t是薄板厚度，Nx和Ny是單位寬度上的拉壓力，Nxy和Nyx是單位寬度上的縱向剪力。07三月202419

當(dāng)薄板同時(shí)受到橫向載荷及上述縱向載荷時(shí)，如果縱向載荷很小，因而中面內(nèi)力也很小，它對(duì)于薄板彎曲的影響可以忽略不計(jì)。那么，就可以分別計(jì)算兩種載荷引起的應(yīng)力，然后疊加。但是，如果中面內(nèi)力并非很小，那就必須考慮中面內(nèi)力對(duì)彎曲的影響。下面來導(dǎo)出薄板在這種情況下的彈性曲面微分方程。07三月202420

試考慮薄板任一微分體的平衡，如圖所示。將橫向載荷及薄板橫截面上的內(nèi)力用力矢和矩矢表示在中面上。首先，以通過微分體中心而平行于z軸的直線為矩軸，寫出力矩的平衡方程，得出

Nxy＝Nyx07三月20242107三月20242207三月202423簡(jiǎn)化為07三月202424

當(dāng)薄板受有已知橫向載荷q，并在邊界上受有已知縱向載荷時(shí)（1）首先按照平面應(yīng)力問題由已知縱向載荷求出平面應(yīng)力σx，σy，τxy由求解過程：07三月202425求出中面內(nèi)力Nx，Ny和Nxy

（2）根據(jù)已知橫向載荷q和薄板彎曲問題的邊界條件，由微分方程式求解撓度w（3）求出薄板的彎曲內(nèi)力，即彎矩、扭矩和橫向剪力。07三月202426這種問題的求解是比較繁難的。本節(jié)導(dǎo)出的微分方程，主要的目的是將它應(yīng)用于求解薄板的穩(wěn)定問題。07三月202427說明薄板在邊界上作用有縱向載荷時(shí)，板內(nèi)將產(chǎn)生一定的中面內(nèi)力。（1）當(dāng)縱向載荷很小時(shí)，那么，不論中面內(nèi)力是拉力還是壓力，薄板的平面平衡狀態(tài)都是穩(wěn)定的。07三月202428（2）如果縱向載荷所引起的中面內(nèi)力在某處是壓力，則當(dāng)這一縱向載荷達(dá)到臨界載荷時(shí)，薄板的平面平衡狀態(tài)將是不穩(wěn)定的。此時(shí)，薄板一受到干擾力，就會(huì)發(fā)生彎曲，而且，即使這干擾力被除去，薄板也不再恢復(fù)到原來的平面平衡狀態(tài)，而將處于某一彎曲平衡狀態(tài)，薄板在縱向載荷作用下而處于彎曲平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)或壓曲。07三月202429注意在分析薄板的壓曲問題或求臨界載荷時(shí)，我們總是假定縱向載荷的分布規(guī)律是指定的，而它的大小是未知的。然后我們來考察為使薄板可能發(fā)生壓曲，上述縱向載荷的最小數(shù)值是多大，而這個(gè)最小值就是臨界載荷的數(shù)值。07三月202430利用前面導(dǎo)出的微分方程，令q=0，得出如下的薄板壓曲微分方程這是撓度w的齊次微分方程07三月202431

其中系數(shù)Nx，Ny和Nxy是用已知分布而未知大小的縱向載荷表示的。而所謂“薄板可能發(fā)生壓曲”，是以這一微分方程具有“滿足邊界條件的非零解”表示的。07三月202432求臨界載荷的問題：為使壓曲微分方程具有滿足邊界條件的非零解，縱向載荷的最小值是多大。07三月202433§7.3四邊簡(jiǎn)支軸壓穩(wěn)定性

07三月202434無橫向載荷q，微分方程為只有x向載荷時(shí)，上式為07三月202435式中m、n分布為薄板壓曲以后沿x軸和y軸方向的正弦半波數(shù)07三月202436

Nx具有最小值時(shí)就是臨界載荷如,n=1,則Nxmin，表示壓曲后沿y向只有一個(gè)正弦半波07三月202437三階屈曲模態(tài)二階屈曲模態(tài)一階屈曲模態(tài)07三月202438

令m=1,2,…，算出a/b取不同值時(shí)的kσ

，得到如圖所示一條曲線07三月202439縱向均勻受壓簡(jiǎn)支矩形板的穩(wěn)定系數(shù)k07三月202440每根曲線起決定作用的部分用實(shí)線表示，這部分所給的kσ值小于其它曲線所給出的kσ值

鄰近兩條曲線間的交點(diǎn)極易求出，m=1和m=207三月202441最小臨界載荷總是相應(yīng)于m=107三月202442工程中07三月202443臨界載荷（m=1時(shí)）07三月202444有了臨界載荷，可以求臨界應(yīng)力其中t為板厚度，b為受壓邊寬度07三月202445臨界應(yīng)力（對(duì)于金屬，ν=0.3）07三月202446

上面討論的是四邊簡(jiǎn)支、單向受壓矩形板的臨界載荷，對(duì)于其它情況，形式與上式一樣，只是系數(shù)k值不同說明：系數(shù)k值決定于下列條件：（1）載荷形式，例如受壓或受剪；（2）四邊支持情況；（3）板的邊長(zhǎng)比。07三月20244707三月202448SS表示簡(jiǎn)支邊C表示夾持邊F表示自由邊07三月202449系數(shù)ε表示不同彈性程度ε＝0時(shí)，夾持邊蛻化為簡(jiǎn)支邊ε＝∝時(shí)，夾持邊與固支邊相當(dāng)07三月202450Nxy單獨(dú)作用下

ks是剪切應(yīng)力系數(shù)，與邊界條件、長(zhǎng)寬比a/b以及失穩(wěn)皺損時(shí)長(zhǎng)邊半波數(shù)有關(guān)。見下圖07三月20245107三月202452§7.4薄壁桿的局部失穩(wěn)和總體失穩(wěn)

飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的桁條、梁緣條廣泛采用薄壁桿件。其截面形狀有各種不同的形式：擠壓型材，如圖(a)所示板彎制成的型材，如圖(b)所示。07三月202453

擠壓型材各壁板的連接處比板彎型材剛硬，因此，在同樣條件下，擠壓型材的臨界應(yīng)力比板彎型材高。

07三月202454薄板桿總體失穩(wěn)

若薄板桿較長(zhǎng)，受軸壓作用可能發(fā)生整個(gè)軸線彎曲失穩(wěn)，通常稱總體失穩(wěn)總體失穩(wěn)只能發(fā)生在與板中線平行的軸上07三月202455其臨界應(yīng)力可用壓桿的歐拉公式確定：其中：E彈性系數(shù)，L為桿長(zhǎng)，i為桿截面的慣性半徑，C為支持系數(shù)，兩端鉸支時(shí)C=1，兩端固支時(shí)C=407三月20245607三月202457薄板桿局部失穩(wěn)

若桿較短，受軸壓作用可能其壁失去穩(wěn)定而壓曲，而桿軸仍為直線，通常稱局部失穩(wěn)07三月202458薄壁桿局部失穩(wěn)與薄板失穩(wěn)類似，其局部失穩(wěn)臨界應(yīng)力可用薄板相應(yīng)公式確定。薄壁桿局部失穩(wěn)應(yīng)力一般指截面的平均應(yīng)力。對(duì)于由n個(gè)薄板組成的板彎型材薄壁桿，其臨界應(yīng)力為07三月202459fi為第i個(gè)壁板的截面面積為第i個(gè)壁板的失穩(wěn)臨界應(yīng)力07三月202460§7.5加勁板受壓失穩(wěn)后的工作情況——有效寬度概念飛機(jī)結(jié)構(gòu)中所采用的薄壁結(jié)構(gòu)，一般都是由縱向和橫向骨架加強(qiáng)的加勁板。如圖表示的是加勁板件的典型結(jié)構(gòu)。07三月202461加筋板

在薄板上固定一系列筋條(或長(zhǎng)桁)。筋條的軸線方向與壓載荷的方向一致，把有筋條加固的薄板叫做加筋板。目的提高薄板受壓時(shí)的承載能力。07三月202462屈曲從薄板中央開始

當(dāng)壓載荷達(dá)到臨界值時(shí)，發(fā)生屈曲，首先發(fā)生屈曲的是板的中央部分，隨著載荷增加，屈曲區(qū)域隨之增大07三月202463

07三月202464對(duì)于縱向受壓的平板，如果兩側(cè)邊是自由邊界，當(dāng)板失去穩(wěn)定后，該板就不能承受繼續(xù)增加的外載荷，認(rèn)為該板已達(dá)到破壞。但是，如果板四邊支持在骨架上，板被桁條加強(qiáng)，而桁條的臨界應(yīng)力遠(yuǎn)高于板的臨界應(yīng)力。所以，當(dāng)板件受壓的平均應(yīng)力小于板的臨界應(yīng)力時(shí)，板件的應(yīng)力是均勻分布的。07三月202465

壓應(yīng)力隨外載荷的增加而增大，直到平均應(yīng)力等于板的臨界應(yīng)力，板開始出現(xiàn)壓曲現(xiàn)象。因?yàn)榘逯С衷阼鞐l上，所以靠近桁條附近的板并不失穩(wěn)，而可以承受增加的外載荷，這時(shí)板中間部分的應(yīng)力不再增加，增加的外載荷由靠近桁條處的部分承受，橫截面上的壓應(yīng)力呈不均勻分布，其分布規(guī)律如圖所示。07三月20246607三月202467在桁條支持處的應(yīng)力最大，隨外載荷的增加而增加。直到桁條應(yīng)力達(dá)到失穩(wěn)臨界應(yīng)力，才認(rèn)為整個(gè)板件失去了承載能力。板所受的總載荷為式中t為板厚，b為板寬。07三月202468

實(shí)際應(yīng)力的分布是較復(fù)雜的，它與桁條對(duì)板所提供的支持程度以及板的幾何參數(shù)有關(guān)。為計(jì)算方便，引入“有效寬度”概念。即假設(shè)板截面上的應(yīng)力是均勻分布的，其大小等于σmax，07三月202469應(yīng)力不是分布在整個(gè)寬度b上，而只分布在靠近桁條的一段寬度上，用2c(2c<b)表示，其余部分應(yīng)力為零，如圖(b)所示。這個(gè)寬度2c被稱為板的“有效寬度”。07三月20247007三月20247107三月202472也就是說，假想失去穩(wěn)定后的板仍象未失穩(wěn)的平板那樣承受載荷，其應(yīng)力為σmax

但不再用全部剖面面積F=bt，而是其中的一部分面積Fc=2ct承受應(yīng)力，這部分面積稱為減縮面積。07三月202473減縮面積與全部面積之比稱為板的減縮系數(shù)中，即07三月202474

有時(shí)也采用平均應(yīng)力概念，用表示板的平均應(yīng)力；減縮前后板的總載荷保持不變，故有顯然07三月202475

有效寬度2c可由下式確定。如果取板的寬度等于2c，其臨界應(yīng)力就等于σmax

，由下式確定07三月202476所以

在計(jì)算機(jī)翼或機(jī)身的強(qiáng)度時(shí)，經(jīng)常粗略地取蒙皮的有效寬度

2c=40t這是因?yàn)橐话汨鞐l的臨界應(yīng)力取16000N／cm2

，硬鋁的E=7×106N／cm2；蒙皮看成四邊簡(jiǎn)支，k=4，代入上式可求得。07三月202477板的臨界應(yīng)力為σcr0

，可得因此由07三月202478如果桁條與板的材料相同，板與桁條的連接處應(yīng)變相同，其應(yīng)力也必然相同。此時(shí)板的σmax應(yīng)等于桁條的應(yīng)力，用σst表示，則07三月202479

當(dāng)減縮系數(shù)φ已知時(shí)，可求得板的有效寬度2c=φb，即可求得板件能承受的總載荷式中f為桁條的面積，σst為桁條的應(yīng)力，

為所有桁條的面積與板的有效面積之和07三月202480例題1

試計(jì)算圖所示加勁板件的最大受壓載荷。已知板的幾何尺寸如圖所示,桁條為等邊角材30×30×2，板與桁條材料相同，材料彈性系數(shù)為E=7×106N／cm2

07三月20248107三月202482【解】板的臨界應(yīng)力為桁條截面積07三月202483等邊角材，兩緣板均可看成三邊筒支一邊自由的受壓板，其k值由表得07三月202484桁條局部失穩(wěn)臨界應(yīng)力為蒙皮的減縮系數(shù)為07三月202485加勁板件可承受的最大載荷為07三月202486

上式是根據(jù)桁條局部失穩(wěn)臨界應(yīng)力求得的加勁板件最大承載力。下面，再根據(jù)桁條若發(fā)生總體失穩(wěn)時(shí)計(jì)算板件的最大承載力。07三月202487借用已算出的板的減縮系數(shù)φ=0.763計(jì)算板件橫截面的有效面積、形心位置以及截面對(duì)平行于板中心線的形心軸的慣性矩07三月202488C為支持系數(shù)，兩端鉸支時(shí)C=1，兩端固支時(shí)C=4L為桿長(zhǎng)，i為桿截面的慣性半徑壓力桿的臨界應(yīng)力公式為07三月202489式中：F為桁條截面積與板的有效面積之和；Jxx為組合面積