人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》拋物線的定義與性質(zhì)訓(xùn)練

拋物線的定義與性質(zhì)強(qiáng)化訓(xùn)練（同學(xué)版）

1、（2022?安徽蚌埠三模）設(shè)廠為拋物線y2=4χ的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線上三

點(diǎn),假設(shè)A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,2）,（汨，%）,S,”）,且兩+1兩+∣∕

|=10,那么龍ι+%2=（）

A.6B.5C.4D.3

2、（2022?亳州市檢測(cè)）過(guò)點(diǎn)A（3,0）且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為（）

A.圓B.橢圓

C.直線D.拋物線

3、（2022?哈爾濱期末）過(guò)拋物線f=4y的焦點(diǎn)F作直線/交拋物線于PGI,y）,

P2（x2,y2）兩點(diǎn)，假設(shè)yι+χ=6,那么∣P1P2∣=（）

A.5B.6

C.8D.10

4、（多項(xiàng)選擇）（2022?武漢模擬）設(shè)拋物線Cy2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為E準(zhǔn)線為/,

A為C上一點(diǎn)，以E為圓心，IaM為半徑的圓交/于B,OZVlBF的面積為9小，

那么（）

A.∣BF∣=3

B.Z?A3F是等邊三角形

產(chǎn)到準(zhǔn)線的距離為3

C的方程為V=6χ

5、（2022?濟(jì)南期末）直線y=x+力交拋物線y=*于A,3兩點(diǎn)，。為拋物線頂

點(diǎn)，OALOB,那么匕的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

2

6、（多項(xiàng)選擇）（2022?青島質(zhì)檢）設(shè)尸是拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)F

且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）

A.IAB∣≥4

B.∣0A∣+[0B∣>8

P（2,2）,那么|網(wǎng)+∣AF∣的最小值是3

D.∕?OAB面積的最小值是2

7、拋物線C：9=?的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,P為。上一點(diǎn)，尸。垂直于/且交/

于點(diǎn)。，M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn)，MN與X軸相交于點(diǎn)R,假設(shè)NNHP=

60°,那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A.ZFQP=60oB.?QM?=?C.∣FP∣=4D.尸H∣=2

8、以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于。,E兩點(diǎn).∣Λ目

=4√2,∣DE∣=2√5,那么C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4

C.6D.8

9、（2020?高考全國(guó)卷］∏）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2p%S>0）

交于D,E兩點(diǎn)，假設(shè)OOLOE,那么C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

AQ,O）B.&0）

C.（1,O）D.（2,0）

10>（2022?陜西省咸陽(yáng)市質(zhì)檢）點(diǎn)M（—3,2）是坐標(biāo)平面內(nèi)肯定點(diǎn)，假設(shè)拋物線y2

=2x的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，那么IMQl—IQH的最小值是（）

75

A，2B.3C.zD.2

11、（2022?鹽城市阜寧中學(xué)離二檢測(cè)）拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為E點(diǎn)P在拋物

線的準(zhǔn)線上，線段PF與拋物線交于點(diǎn)M,那么以下推斷正確的選項(xiàng)是（）

A.AOM尸可能是等邊三角形

B.AOMF可能是等腰直角三角形

?1÷?

IPn

D.∣MF∣IPFI=I

12、（2020.全國(guó)m卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2pxS>0）交于

D,E兩點(diǎn)，假設(shè)OO_LOE,那么C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.g,0）B.g0）C.（l,0）D.（2,0）

13、（多項(xiàng)選擇）（2021?煙臺(tái)調(diào)研）產(chǎn)是拋物線C：V=I6x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn),

FTW的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.假設(shè)M為RV的中點(diǎn)，那么（）

AC的準(zhǔn)線方程為x=-4

B/點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）

C.「NI=I2

ONF的面積為16啦（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

14、設(shè)R為拋物線V="的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，假設(shè)r為AABC

的重心，那么南|+|兩+1和I的值為（）

A.lB.2C.3

15、設(shè)廠為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)尸且傾斜角為30。的直線交C于A,B

兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么AOAB的面積為（）

A嫗B喳

—4u?8

l639

Cc-—32Du-4

16、（2021?新高考卷II）假設(shè)拋物線γ2=2pxS>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為

√2,那么p=（）

A.1B.2C.2√2D.4

17、。為坐標(biāo)原點(diǎn)，MQ,2）,P,Q是拋物線C：.y2=2px上兩點(diǎn)，尸為其焦點(diǎn)，

假設(shè)F到準(zhǔn)線的距離為2,那么以下說(shuō)法正確的有（）

A.AiPM/周長(zhǎng)的最小值為2小

B.假設(shè)命="魚(yú)，那么∣PQ∣最小值為2啦

C.假設(shè)直線尸。過(guò)點(diǎn)F那么直線OP,。。的斜率之積恒為一2

D.假設(shè)APO尸外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，那么該圓面積為學(xué)

18、（2021.吉林省吉林市調(diào)研）拋物線γ2=4光的焦點(diǎn)E點(diǎn)A（4,3）,P為拋物線上

一點(diǎn)，且尸不在直線AF上，那么△/?F周長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段PE的長(zhǎng)為（）

19、（2021.上海虹口區(qū)二模）直線/1：4χ-3y+6=0和直線'X=-1,拋物線y2

=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線/,和/2的距離之和的最小值為（）

37π

A--

1-65

B.

D.7

C2-

4

20、（2022.重慶沙坪壩區(qū)模擬）拋物線C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)（p,0）且垂

直于X軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,假設(shè)IAFl=1,那么拋物線

C的方程為（）

4

A.?2=尹B.yi=2x

C.y2=3xD.y2=4x

21、（2021.安徽蚌埠一中期中）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)

P（m,一3）到焦點(diǎn)的距離為5,那么拋物線方程為（）

A.Λ2=8yB.x1=4y

C.xi=~4yD.X2=-Sy

22、（2021.廣西四校聯(lián)考）拋物線y2=2pxS>0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)

的距離為9,那么該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.4B.9

C.10D.18

23、（2021?天津河西區(qū)質(zhì)檢）直線y=Z（x+2）（QO）與拋物線C：γ2=8x相交于A、

8兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，假設(shè)I陰|=2尸引，那么人=（）

A.IB.羋

C.ID?￥

24、（2021.湖北荊州模擬）從拋物線√=4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線

的垂線,垂足為M,且IPM=9,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,那么直線PF的斜率為（）

A逮1^2

Zx?7r???7

「逑n

LZ?7?7

25、（2022?蚌埠模擬）直線/過(guò)拋物線C：y2=2pχS>0）的焦點(diǎn)F（1,0）,且與C交

于A,B兩點(diǎn),那么P=，]?+τ?7=-

26、點(diǎn)P為拋物線y*2=4尤上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(2,l)為平面內(nèi)定點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，

那么：

(1)∣∕?∣+∣PH的最小值為；

(2)照|一IPFl的最小值為,最大值為.

27、在平面直角坐標(biāo)系Xay中，有肯定點(diǎn)A(2,1).假設(shè)線段。4的垂直平分線

過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，那么該拋物線的準(zhǔn)線方程是.

28、(2022?安徽省宿州市高三調(diào)研)拋物線C：y2=4χ的焦點(diǎn)為R過(guò)F的直線交

拋物線C于A,8兩點(diǎn)，以A/為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),那么直線AB的斜率為

29、(2022?湖南名校大聯(lián)考)P為拋物線C：y=x2上一動(dòng)點(diǎn)，直線/：y=2x-4與

X軸、y軸交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A(2,—4),且Q=Zu/+〃俞，那么2+〃的最

小值為.

30、(2021.新高考I卷)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為RP為

C上一點(diǎn)，尸產(chǎn)與X軸垂直，Q為X軸上一點(diǎn)，且「。1_。旦假設(shè)尸。|=6,那么C

的準(zhǔn)線方程為.

2

31、(2021?山西高校附中模擬)點(diǎn)Q(2√L0)及拋物線y=,上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y),那

么y+∣PQI的最小值是.

32、(2021.廣東茂名五校聯(lián)考)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Rl,0),過(guò)焦點(diǎn)的

直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)HFI=4∣BF∣,那么HBl=.

33>(2022?龍巖一模)拋物線V=4χ的焦點(diǎn)為巴準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為A,以A尸

為直徑的圓在第一象限交拋物線于點(diǎn)B,那么西?而的值等于.

34、(2022?廣州模擬)拋物線物=2Py(P>0)的焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P(4,川)在

拋物線上,K為/與y軸的交點(diǎn),且IPK=啦IPFl,那么加=,P=.

35、設(shè)尸是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，假設(shè)8(3,2),那

么∣PB∣+IPFl的最小值為.

36、(2022?沈陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè))正三角形AoB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的頂點(diǎn)A,B在拋物線/

=3x±.,那么AAOB的邊長(zhǎng)是.

37、(2022?北京昌平區(qū)模擬)拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(l,1),過(guò)點(diǎn)(0,作直線

/與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線分別與直線OP,ON

交于點(diǎn)A,B,其中。為原點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求證：A為線段的中點(diǎn).

拋物線的定義與性質(zhì)強(qiáng)化訓(xùn)練(解析版)

1、(2022?安徽蚌埠三模)設(shè)E為拋物線y2=4χ的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線上三

點(diǎn)，假設(shè)A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2),(xι,yi),(x2,y2),fi∣M∣+∣FB∣+∣FC

1=10,那么x1+x2=()

A.6B.5C.4D.3

解析：依據(jù)拋物線的定義，知I法∣FB∣,但石分別等于點(diǎn)A,B,C到準(zhǔn)線X

=-1的距離，所以由I麗1+1麗1+1危∣=10,可得2+尤1+1+及+1=10,即XI

+尤2=6.應(yīng)選A.

2、(2022?亳州市檢測(cè))過(guò)點(diǎn)A(3,0)且與〉軸相切的圓的圓心的軌跡為()

A.圓B.橢圓

C.直線D.拋物線

解析：選D.如圖，設(shè)P為滿意條件的一點(diǎn)，不難得出結(jié)論：力

點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離照|等于點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離IPB故點(diǎn)尸在以O(shè)

點(diǎn)A為焦點(diǎn)，y軸為準(zhǔn)線的拋物線上，故點(diǎn)P的軌跡為拋物線.1?~Jp)

0?A~~^yi

3、(2022?哈爾濱期末)過(guò)拋物線f=4y的焦點(diǎn)F作直線/交拋物線于Pa1,》)，

P2(x2,”)兩點(diǎn)，假設(shè)yι+"=6,那么∣P∣P2∣=()

A.5B.6

C.8D.10

解析：x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1,由于Pl(X1,y∣),P2(x2,”)兩點(diǎn)是過(guò)拋物線

焦點(diǎn)的直線/與拋物線的交點(diǎn)，所以PI(X1,Jl),P2(X2,>2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分

別是y∣+l,y2+l,所以∣P1P2I=)>1+y2+2=8.

4、(多項(xiàng)選擇)(2022?武漢模擬)設(shè)拋物線CV=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,

A為C上一點(diǎn)，以尸為圓心，IaM為半徑的圓交/于8,OAABE的面積為9√5,

那么()

A.∣BF∣=3

B?4A3尸是等邊三角形

E到準(zhǔn)線的距離為3

C的方程為f=6x

解析：由于IaII為半徑的圓交/于8,。兩點(diǎn)，所以∣∕?∣=∣FB∣;又出用=IFDl

=∣M∣,所以NABD=90。，?FA?=?AB?,可得aABF為等邊三角形，B正確；

過(guò)產(chǎn)作RCLAB交于C,那么C為AB的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為多B的橫坐

標(biāo)為一律所以A的橫坐標(biāo)為當(dāng)，代入拋物線可得M=3∕AM=W,

?ABF的面積為9√3,即晟?-XB)IyAI=g?稼十SΛ?=9√5,解得p=3,

所以拋物線的方程為V=6x,D正確;

焦點(diǎn)坐標(biāo)為G，0),所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為∣X2=3,C正確；

O93

此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為所以IBFl=IAfl=IABl=]+]=6,A不正確.

5、(2022?濟(jì)南期末)直線y=x+Z?交拋物線y=*于A,B兩點(diǎn),。為拋物線頂

點(diǎn)，OAlOB,那么人的值為()

A.-1B.0C.1D.2

解析：D設(shè)A(XI,yι),B(X2,”)，將y=x+b代入y=%,化簡(jiǎn)可得％2—

2x—2。=0,故XI+X2=2,用尤2=-2b,所以yim=xi九2+。(Xl+%2)+/=〃.又

OALOB,所以XlX2+y∣y2=O,即一2匕+扇=0,那么8=2或/?=0,經(jīng)檢驗(yàn)ZJ=O

時(shí)，不符合題意，故b=2.

2

6、(多項(xiàng)選擇)(2022?青島質(zhì)檢)設(shè)尸是拋物線C：γ=4x的焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)「

且與拋物線。交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()

A.∣AB∣≥4

B.∣OA∣+∣OB∣>8

PQ,2),那么IRM+1AFl的最小值是3

D.ΛOAB面積的最小值是2

解析：由題意知F(l,0),不妨設(shè)A在第一象限，

(1)假設(shè)直線/斜率不存在，

那么A(l,2),BQ,-2),

那么IABl=4,?OA?+?OB?=2?OA?=2yβ,SΔ0AB=^×4×1=2,明顯B錯(cuò)誤；

(2)假設(shè)直線/存在斜率，設(shè)直線/的斜率為左，

那么直線/的方程為y=A(x—1),明顯A≠0,

y=k(x—1),

聯(lián)立方程組?，

Iy=4x,

消元得必X2—(2?2+4)x+F=0,

設(shè)Aa1,y∣),5(X2,72),

場(chǎng),,23+4,4

用B√kXi+Xi-F=2+/，

4

"

..?AB?=x↑+%2÷2=4÷7K2>4,

原點(diǎn)。到直線/的距離d=?,

ΛSΔOAB=∣×∣AB∣×J

=2×(4+S×?

=2Vi+??2?

綜上，IABl24,SAoAB2,故A正確，D正確.

過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,

那么∣Z?∣+[AF∣=∣∕?∣+HM.

又P(2,2)在拋物線右側(cè)，故當(dāng)P,A,N三點(diǎn)共線時(shí),∣∕?∣+∣Λf］取得最小值

3,故C正確.應(yīng)選ACD.

7、拋物線C：V=4χ的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,P為C上一點(diǎn),PQ垂直于/且交/

于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn)MN與X軸相交于點(diǎn)R,假設(shè)NNRF=

60°,那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A.NbQP=60。B.IQM=I

C.?FP?=4D.?FR?=2

解析：選B.如圖，連接尸。，F(xiàn)M,由于M,N分別為v,

M

PQ,P尸的中點(diǎn)，所以MN〃尸。，又尸?！╔軸，NNRF=60°,所以NbQP=60°,

由拋物線的定義知，∣P0∣=∣PF∣,所以aFQP為等邊三角形，那么FMLPQ,?QM?

=2,等邊三角形/QP的邊長(zhǎng)為4,?FP?=?PQ?=4,?FN?=^?PF]=2,那么AFRN

為等邊三角形，所以尸R∣=2.應(yīng)選B.

8、以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).依引

=4√2,∣DE∣=2√5,那么C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：選B.如圖，不妨設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）,A（xι,斗

()歷［2A

2√2),那么Xl=-?—=-,由題意知IoAl=所以

ZPP

8=（§+5,解得p=4.

9、（2020?高考全國(guó)卷]∏）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2p%S>0）

交于D,E兩點(diǎn)，假設(shè)OOLOE,那么C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

AQ,0,B?60

C.(1,0)D.(2,0)

解析：選B.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得y=±2?h不妨設(shè)D（2,2g）,

E（2,一2g）,由OOJ_OE,可得用?無(wú)=4-4p=0,解得p=l,所以拋物線C

的方程為y2=2x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（；，0）.

10、（2022?陜西省咸陽(yáng)市質(zhì)檢）點(diǎn)M（—3,2）是坐標(biāo)平面內(nèi)肯定點(diǎn)，假設(shè)拋物線V

=2x的焦點(diǎn)為E點(diǎn)。是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),那么IMQ—IQE的最小值是（）

75

A，2B.3C，2D.2

1

解析：選C.如圖，拋物線的準(zhǔn)線方程為X=一不，過(guò)點(diǎn)Qιv

作。。垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)。'，附。|一∣0F∣=∣MQ-∣Q21,明顯當(dāng)°、

MQ//X軸時(shí)，∣M0L∣QQ取得最小值，此時(shí)IMQIFI=I2+x=~?

,15

3|—2÷2=2.

11、(2022?鹽城市阜寧中學(xué)高二檢測(cè))拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P在拋物

線的準(zhǔn)線上，線段尸尸與拋物線交于點(diǎn)M,那么以下推斷正確的選項(xiàng)是()

A.AOM/可能是等邊三角形

B.aOMF可能是等腰直角三角形

?1÷?

D?扁IPF一l儼「I=】

解析：4OMF是等邊三角形，那么邊長(zhǎng)為1,且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為g,縱坐標(biāo)

為力,此時(shí)IoM=、/"+2=∣≠1,所以AOM/7不行能是等邊三角形，故A不

正確；

假設(shè)AOM/是等腰直角三角形，那么只可能是NOMb

3

=90o,∣0M∣=∣FM∣=2，

所以IoMF+∣FM)2≠IOFI2,故B不正確；

過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)N,那么IW=IMN

\PF]_\PM\+\MF\_,\MF\_IMM_2

?PM?~?PM?一]+IPM一1十IPM一十IPH'故C正確，D不正確.

12、(2020.全國(guó)III卷)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線尤=2與拋物線C：γ2=2px(">0)交于

D,E兩點(diǎn)，假設(shè)。。，。七，那么C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

AG,0)B.g0)C.(l,O)D.(2,0)

解析:將x=2與拋物線方程V=2p左聯(lián)立，可得y=±2g,不妨設(shè)0(2,2g),

E(2,—2g),由。OJ_OE,可得用.無(wú)=4—4p=0,解得p=l,所以拋物線C

的方程為γ2=2x.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0).

13、(多項(xiàng)選擇)(2021?煙臺(tái)調(diào)研)產(chǎn)是拋物線C：V=I6x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，

FTW的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.假設(shè)M為RV的中點(diǎn)，那么()

AC的準(zhǔn)線方程為X=-4

B/點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)

CJ川=12

ONF的面積為16√2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

解析：不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線/與X軸交于點(diǎn)尸，作

MBLl于點(diǎn)、B,N4_U于點(diǎn)A.

由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為X=-4,/點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),A正確，

∣AΛ∏+IFFI

B錯(cuò)誤.故HM=4,尸尸1=8,在直角梯形ANFP中，中位線IBM=^~?^l=6,

由拋物線的定義有IMFI=IM陰=6,結(jié)合題意，有IMNl=IMH=6,

故-Nl=I五M+WM=6+6=12,C正確，而ICwl=?√I中二不=86，

SOWF=I×8√2×4=16√2,D正確.

14、設(shè)R為拋物線V="的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，假設(shè)尸為AABC

的重心，那么國(guó)|+|兩+1和I的值為()

A.lB.2C.3

解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(Xl,yι),B(X2,yι),C(X3,對(duì)，

又焦點(diǎn)年，0),所以尤I+X2+X3=3XT=∣,

那么I成|+|兩+1及I=(XI+J)+L+])+(X3+J)=(XI÷X2÷X3)+1=^+1=

3.

15、設(shè)P為拋物線C：V=3χ的焦點(diǎn)，過(guò)尸且傾斜角為30。的直線交C于A,B

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么AOAB的面積為()

63

「--

c-32

解析：由得焦點(diǎn)坐標(biāo)為需

,0,

因此直線AB的方程為)=3

即4x—44y—3=0.

方法一：聯(lián)立直線方程與拋物線方程化簡(jiǎn)得

4y2—12小y—9=0,

那么％+)出=3小，yAyn=-^^,

故W一刈|=N〔％+沖〕,-4班沖=6.

1]39

x6=

因此S^oAB=^\OF\\yA—>?l=2×44,

219

方法二：聯(lián)立直線方程與拋物線方程得x2-yA-+^=0,

ιz,,21

故XAIXB2.

213

依據(jù)拋物線的定義有HBl=XA+XB+P=5^+]=12,

3

同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為d=-1!!L

√42+〔一4小〕28,

9

因此SZXOAB=d=M

16、（2021?新高考卷∏）假設(shè)拋物線y2=2px⑦>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為

Λ∕2,那么/?=()

A.1B.2C.2√2D.4

2-0+l

解析:修

OL其到直線χ-y+l=O的距離d==y[2,解得P=

√1+1

2（p=-6舍去）.應(yīng)選B.

17、。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（2,2）,P,。是拋物線C：V=2pχ上兩點(diǎn)，尸為其焦點(diǎn),

假設(shè)F到準(zhǔn)線的距離為2,那么以下說(shuō)法正確的有（）

A.aPMF周長(zhǎng)的最小值為2小

B.假設(shè)際=/成，那么IPQI最小值為

C.假設(shè)直線產(chǎn)。過(guò)點(diǎn)F那么直線OP,。。的斜率之積恒為一2

9兀

D.假設(shè)戶外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，那么該圓面積為詈

解析：尸到準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,所以拋物線C

y2=4x,F（l,O）,∣MF∣=√f2-l]2+[2-0]2=√5,準(zhǔn)線

/:x=-l,

對(duì)于A,過(guò)P作PNJ垂足為N,那么IPH+∣PM=∣PN∣

+∣PMelMNI=2+1=3,

所以APM/周長(zhǎng)的最小值為3+小，故A不正確；

對(duì)于B,假設(shè)際=%和，那么弦PQ過(guò)尸，過(guò)尸作/的垂J[q/

線，垂足為產(chǎn)，過(guò)Q作/的垂線，垂足為2,設(shè)PQ的中點(diǎn)為c,H∕√

J

G,過(guò)G作GG'_U,垂足為G',那么IPQ=IPn+∣0Fl=IPPlp,∣4∕^

+∣ββ,∣=2∣GG,∣≥2×2=4,即∣PQ∣最小值為4,故B不正確；Z:x=-1|

對(duì)于C,假設(shè)直線P。過(guò)點(diǎn)E設(shè)直線P0:x=my+1,

x=my+l

92

聯(lián)立J9消去X得γ-4/xy—4=0,

l.r=4x,

設(shè)P(M,y∣),Q(X2,”)，那么yi+”=4〃z,yi》=-4,

Viv744]6

所以=,x=,=故不正確；

kop?koQζx?7Xti~yι>72^——47=-4,C

對(duì)于D,由于。b為外接圓的弦，所以圓心的橫坐標(biāo)為g,

13

由于APO戶外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓的半徑為I+]=,

所以該圓面積為π(∣)2=^π,故D正確.

18、(2021.吉林省吉林市調(diào)研)拋物線γ2=4x的焦點(diǎn)片點(diǎn)A(4,3),P為拋物線上

一點(diǎn)，且「不在直線A/上，那么△/?F周長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段Pb的長(zhǎng)為()

A.1B.苧

C.5D.?

解析：求47?F周長(zhǎng)的最小值，即求∣%∣+∣Pf]的最小值，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上

的射影為D,依據(jù)拋物線的定義，可知IPw=IPr因此，∣∕?∣+∣PF1的最小值，

即∣∕?∣+∣PD∣的最小值.依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)，可得當(dāng)D,P,A三點(diǎn)共線時(shí)∣∕?∣+∣PD∣

最小，此時(shí)唱，3),且IPFl=I+1=當(dāng)，應(yīng)選B.

19、（2021.上海虹口區(qū)二模）直線東4χ-3y+6=0和直線/2：X=-1,拋物線y2

=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線∕∣和/2的距離之和的最小值為（）

3711

?-16B-T

7

C.2D.4

解析:直線/2：x=—1是拋物線尸=4尤的準(zhǔn)線，拋物線V=4χ的焦點(diǎn)為f∏,0）,

那么點(diǎn)P到直線/2：%=-1的距離等于IPF1，過(guò)點(diǎn)尸作直線/i:4χ-3y+6=0的

垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,所以點(diǎn)P到直線∕κ4x—3y+6=0的距離和到

直線/2：%=-1的距離之和的最小值就是點(diǎn)尸（1,0）到直線∕∣:4χ-3y+6=0的距

離，所以最小值為個(gè)天￡=2,應(yīng)選C.

20、（2022.重慶沙坪壩區(qū)模擬）拋物線C：y2=2px（Λ>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)血0）且垂

直于X軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,假設(shè)IAFl=1,那么拋物線

C的方程為（）

A.JT=-JxB.y2=2x

C.y2=3xD.y2=4x

解析：由題意知XA=p,又HFI=無(wú)A+?=當(dāng)=1,.?.p=∣,二拋物線C的方

4

程為y2=]χ,應(yīng)選A.

21、（2021?安徽蚌埠一中期中）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)

P(m,一3)到焦點(diǎn)的距離為5,那么拋物線方程為()

A.x1=8yB.xi=4y

C.X2=-4JD.Λ2=-8J

解析：由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，故設(shè)其方程為√=-

2py(p>0),所以3+^=5,即p=4,所以所求拋物線方程為x2=—8y，應(yīng)選D?

22、(2021?廣西四校聯(lián)考)拋物線j2=2PX(P>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)

的距離為9,那么該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()

A.4B.9

C.10D.18

解析：拋物線f=2px的焦點(diǎn)為收，0),準(zhǔn)線方程為》=一§由題意可得4+

?=9,解得P=I0,所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10.應(yīng)選C.

23、(2021?天津河西區(qū)質(zhì)檢)直線y=A(x+2)(Q0)與拋物線C：f=8x相交于A、

3兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，假設(shè)IRM=2尸身，那么女=()

1√2

A.?B.?

22√2

C.?D.

解析：設(shè)拋物線Cγ2=8*的準(zhǔn)線為/：x=-2,直線y=A(九+2)(fc>0)恒過(guò)

定點(diǎn)P(-2,0),

如圖過(guò)A、3分別作AM，/于M,BNll于N,

^1?FA?=2?FB?,那么IAM=2∣BN∣,

點(diǎn)8為AP的中點(diǎn)、連接。B,

那么IQBl=；HH,

|0BI=IBFl,點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為1,

故點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,2啦），.?M=卷U=平.

24、（2021?湖北荊州模擬）從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線

的垂線,垂足為M,且IPM=9,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,那么直線PF的斜率為（）

A謹(jǐn)18√2

ZK?7B.7

羋2√2

cD.7

解析：設(shè)P（X0,川），由拋物線y2=4x,

可知其焦點(diǎn)口的坐標(biāo)為（1,0）,

故IPMl=XO+1=9,解得ΛO=8,

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（8,4啦），

所以M?=與乎=羋.應(yīng)選C.

1-o/

25、（2022?蚌埠模擬）直線/過(guò)拋物線C：y2=2pχ（p>0）的焦點(diǎn)尸（1,0）,且與C交

，舟矗

于A,B兩點(diǎn)，那么p—

解析：由題意知§=1,從而〃=2,

所以拋物線方程為y1=4x.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，將X=I代入拋物線方程,

解得HFl=IBH=2,從而蘇+j?=L

當(dāng)直線4?的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x-l）,

y=k〔》一1〕，

聯(lián)立1

J2=4X,

整理，得必χ2-Qd+4）χ+必=0,

設(shè)A(尤1,yι),B(X2,m),

',2公+4

…Xl+x2=-72-，

那么jIC

X?X2=?,

從而一L+-L=-^+'

從而IAn+IBFl一汨+1+尤2+1

%1+及+2XI+田+2

了1+x2+%1x2+lXi+及+2*

綜上，麗+兩=L

二3

為X=-2?

26、點(diǎn)P為拋物線γ2=4%上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(2,l)為平面內(nèi)定點(diǎn)，尸為拋物線焦點(diǎn)，

那么：

⑴I網(wǎng)+IPFl的最小值為；

⑵照|一|PQ的最小值為，最大值為.

解析：⑴如圖①,由拋物線定義可知，IPFl=IPHI,∣M∣+∣PF∣=∣Λ4∣+ra,

從而最小值為A到準(zhǔn)線的距離為3.

如圖②，當(dāng)P,A,尸三點(diǎn)共線，且尸在E4延長(zhǎng)線上時(shí)，|力|一IPn有最小值為

-∣A∕η=-√2.當(dāng)P,A,尸三點(diǎn)共線，且P在AF延長(zhǎng)線上時(shí)，∣∕?∣一∣PF∣有最

大值為IAFI=啦.故∣Z?∣一∣PF∣最小值為一啦，最大值為啦

27、在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，有肯定點(diǎn)A(2,1).假設(shè)線段。4的垂直平分線

過(guò)拋物線V=2pxS>0)的焦點(diǎn)，那么該拋物線的準(zhǔn)線方程是.

解析：線段OA的垂直平分線方程是y=-2x+∣,且交X軸于點(diǎn)修，0),該

點(diǎn)為拋物線γ2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，故該拋物線的準(zhǔn)線方程為A-=

28、(2022?安徽省宿州市高三調(diào)研)拋物線C：V=4χ的焦點(diǎn)為R過(guò)尸的直線交

拋物線C于A,B兩點(diǎn),以A/為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),那么直線AB的斜率為

解析：由拋物線C:γ2=4x可得焦點(diǎn)為Rl,0),設(shè)A(Xy),

由拋物線的定義可得∣Ab∣=汨+g=χ∣+1,

A-的中點(diǎn)為，n.l,

所以AZ7為直徑的圓的方程為(X—嚀學(xué))2=(，［),

由于以AF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),

所以,一旦S)+(2一雪=(蟲(chóng)?，可得)'ι=4,所以Xi=4,

所以點(diǎn)A(4,4),

4—04

所以直線AB的斜率為;;一r=τ.

29>(2022?湖南名校大聯(lián)考)P為拋物線C：y=x2上一動(dòng)點(diǎn)，直線/：y=2χ-4與

X軸、y軸交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A(2,-4),^AP=∕ΛM+μAN,那么2+〃的最

小值為.

解析：由題意得M(2,0),N(0,-4),設(shè)P(x,y),由A>=1W+〃病得(X

-2,y+4)="0,4)+//(-2,O).

n27

2X-

+-十

,y+4x—2X一--2--

所以x—2=〃，九因此FI=-—――一424

-2y+4=42+27

77

>不故2+〃的最小值為

30、(2021.新高考I卷)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線Cy2=2pχ0>O)的焦點(diǎn)為RP為

。上一點(diǎn)，P尸與X軸垂直，。為X軸上一點(diǎn)，且PQJ_OP.假設(shè)尸Q=6,那么C

的準(zhǔn)線方程為.

解析：由題意易得∣OF∣=g,IPFl=p,ZOPF=ZPQF,所以tanNOPf=

tan/PQF,所以隘=黑，即1條解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為X=V

法二由題意易得IoH=S∣P7∏=p,?PF?1=?OF?-?FQ?,即PI=V6,解得P

=3或P=O（舍去）,

3

所以C的準(zhǔn)線方程為X=一京

31、(2021.山西高校附中模擬)點(diǎn)。(2√Σ0)及拋物線>=看上一動(dòng)點(diǎn)P(X,y),那

么y+∣PQ∣的最小值是.

解析：拋物線y=Y即f=4y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為yQ的坐標(biāo)

為(2/，0),所以4Q=4(26)2+12。作準(zhǔn)線的垂線交X軸于點(diǎn)。，如下

圖.結(jié)合拋物線的定義，有γ+?PQ?=∣PD∣+?PQ?=?PH?+?PQ?~1=?PF?+?PQ?-

1產(chǎn)。1=3—1=2,即y+∣P0∣的最小值是2.

32、(2021?廣東茂名五校聯(lián)考)設(shè)拋物線γ2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0),過(guò)焦點(diǎn)的

直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),假設(shè)HFl=4∣3F∣,那么HBl=.

解析：解法一：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/,AC±ITC,BD工I于D,BM

_LAC于M,交X軸于N,/交X軸于“，那么尸”|=2,設(shè)∣3F∣=”,那么IABI=50,

由ABNFsABMA得

?FN?∣AM∣m2~a3

?BF?~?AB?,1a~5,

525

解得α=1,Λ?AB?=~^.

解法二:

?.?g=l,.?.p=2,

不妨設(shè)直線AB方程為x=my+l,

A(X1,yι),B(X2,券)，

?y2=4x

由1I,,得)1—4〃zy—4=0,

x=my+1

???6”=-4,又IAFl=4∣3F∣,?'?yι=-4y2,

1,從而X2=g,Λ∣BF∣=1+∣=∣,

∣AB∣=5∣BF∣=γ.

33、(2022?龍巖一模)拋物線y2=4χ的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為A,以AF

為直徑的圓在第一象限交拋物線于點(diǎn)B,那么或?元的值等于1

解析：設(shè)3（X0,泗）.由方程組

y2=4x(X20)

消去y并整理,

.x2+y2=l,

得f+4X—I=O(XN0),解得Xo=—2.

由題意,得Rl,0),A(-l,0),

ΛM=(-2,0),FB=(x0-l