廣東省深圳市南山區(qū)哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

哈工大（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第二學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)測(cè)試試卷說(shuō)明：1、本試卷滿分100分，考試時(shí)間為90分鐘；2、本試卷共22道大題，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)審題，認(rèn)真答題，祝你成功！一、選擇題（共10題，每題3分）1.如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的，它的主視圖是()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何體的主視圖的含義可直接進(jìn)行判斷．【詳解】解：由題意可得：該幾何體的主視圖為；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖的畫(huà)法是解題的關(guān)鍵．2.用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟記配方法解一元二次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，配方可得，故選：A．3.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，得到，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，，的坐標(biāo)為或，即的坐標(biāo)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．4.如圖，將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形．若，，則四邊形面積為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半即可得到答案．【詳解】解：∵將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像如圖所示、則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察圖像得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再觀察一次函數(shù)函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方的區(qū)段，從而可得答案．【詳解】解：由圖像可得：兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是：所以：當(dāng)時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像解不等式，掌握數(shù)型結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，下列命題是真命題的是（）A.若，則平行四邊形是菱形B.若，則平行四邊形是矩形C.若，則平行四邊形是矩形D.若且，則平行四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可判定A；根據(jù)，又由平行線性質(zhì)年，從而得出，所以，則，所以平行四邊形是矩形，可判定B；根據(jù)，可得出，則平行四邊形是菱形，可判定C；根據(jù)且，則平行四邊形是菱形，可判定D．【詳解】解：A、∵平行四邊形，，，，∴平行四邊形是矩形；所以若，則平行四邊形是菱形上假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四邊形是矩形，∴若，則平行四邊形是矩形是真命題；故此選項(xiàng)符合題意；C、∵平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴平行四邊形是菱形，∴若，則平行四邊形是矩形是假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若且，則平行四邊形是菱形，所以若且，則平行四邊形是正方形是假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形、菱形、正方形的判定，命題真假的判定．熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7.用長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)一邊靠墻的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，使該場(chǎng)地的面積為，并且在垂直于墻的一邊開(kāi)一個(gè)長(zhǎng)的小門（用其它材料），若設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為，那么可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為．根據(jù)矩形的面積公式建立方程即可．【詳解】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為，由題意得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，正確尋找題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】連接，，根據(jù)勾股定理可以得到，則是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【詳解】如圖，連接，，設(shè)正方形的網(wǎng)格邊長(zhǎng)是，則根據(jù)勾股定理可以得到：，，在中，由等腰三角形三線合一得：，則，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．9.下列函數(shù)中，y一定是x的二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般式．熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的一般式進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：A中，當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，故不符合要求；B中，是二次函數(shù)，故符合要求；C中，是一次函數(shù)，故不符合要求；D中，整理得，，一次函數(shù)，故不符合要求；故選：B．10.如圖，在正方形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)H，以為邊作等邊三角形，連接交于點(diǎn)M，下列四個(gè)命題或結(jié)論：①；②；③；④若，則四邊形MEDG的面積是．其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于N，證明四邊形是正方形，得到，則，證明得到，即可判斷①；證明，推出，由三線合一定理即可判斷②；設(shè)交于T，證明四邊形是矩形，再證明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判斷③；如圖所示，以B為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，先求出直線的解析式為；再求出，，則，進(jìn)一步求出，再根據(jù)求解即可判斷④．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于N，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；設(shè)交于T，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，又∵，∴，故③正確；如圖所示，以B為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，∵，四邊形是正方形，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；∵是等邊三角形，，∴，，∴，∵，即，∴，∴，∴，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴，∴，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（15分，每題3分）11.若，則_______________________．【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得的值．【詳解】解：∵∴=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記比例變形．12.為為了緩解中考備考?jí)毫Γ黾訉W(xué)習(xí)興趣，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們玩轉(zhuǎn)盤游戲．如圖為兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤一被四等分，分別寫(xiě)有漢字“中”“考”“必”“勝”；轉(zhuǎn)盤二被三等分，分別寫(xiě)有漢字“我”“必”“勝”．將兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)動(dòng)一次（當(dāng)指針指向區(qū)域分界線時(shí)，不記，重轉(zhuǎn)），若得到“必”“勝”兩字，則獲得游戲一等獎(jiǎng)，請(qǐng)求出獲得游戲一等獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中獲得游戲一等獎(jiǎng)的有2種，則獲得游戲一等獎(jiǎng)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13.如圖，中，，，以邊上的中線為折痕將折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)交于G，先由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，則，由三角形外角的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，則．【詳解】解：如圖，設(shè)交于G，∵是斜邊上的中線，∴，∴，∴∵將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確求出是解題的關(guān)鍵．14.雙曲線和如圖所示，是雙曲線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交雙曲線于點(diǎn)，連接，若的面積為2，則______．【答案】5【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)k值的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義及其基本模型計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)位于第一象限，∴，∴故答案為：5．15.如圖，中，，是邊上的一點(diǎn)，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，取得中點(diǎn)F，連接，證明，列比例式計(jì)算即可．本題考查了特殊角的三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，∵，，，∴，，；過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，取得中點(diǎn)F，連接，∴，∵，∴，，，∴，∴是等邊三角形，∴，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，整理，得,解得，（舍去），∴，故答案為：．二、解答題（55分，其中16題4分，17題6分，18題9分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）16.計(jì)算：【答案】-3【解析】【分析】先將各項(xiàng)分別化簡(jiǎn)，再作加減法.【詳解】解：==－3【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.17.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可．【小問(wèn)1詳解】解：，∴，∴或，∴，；【小問(wèn)2詳解】，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．18.2022年3月23日．“天宮課堂”第二課開(kāi)講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站為廣大青少年又一次帶來(lái)了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)直方圖中，所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在組；（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)直方圖：（3）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？（4）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國(guó)旗下的演講，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）400名，D（2）見(jiàn)解析（3）1680人（4）見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）用C組的人數(shù)除以C組所占的百分比可得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以B組所占的百分比，可求出m，從而得到第200位和201位數(shù)落在D組，即可求解；（2）求出E租的人數(shù)，即可求解；（3）用學(xué)?？?cè)藬?shù)乘以成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生所占的百分比，即可求解；（4）根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖，可得共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：名，所以本次調(diào)查一天隨機(jī)抽取400名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)直方圖中，∴第200位和201位數(shù)落在D組，即所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在D組；故答案為：400，D【小問(wèn)2詳解】解：E組的人數(shù)為名，補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)直方圖如下圖：【小問(wèn)3詳解】解：該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有（人）；【小問(wèn)4詳解】解：根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖，共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，恰好抽中一名男生和一名女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，利用樹(shù)狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn).（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將直線向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為，求直線的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=x中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)直線的平移規(guī)律設(shè)直線BC的解析式為y=x+b，由同底等高的兩三角形面積相等可得△ACO與△ABO面積相等，根據(jù)△ABO的面積為，列出方程O(píng)C?2=，解方程求出OC=，即b=，進(jìn)而得出直線BC的解析式．【詳解】（1）（1）∵直線y=x過(guò)點(diǎn)A（m，1），∴m=1，解得m=2，∴A（2，1）．∵反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1），∴k=2×1=2，∴反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）連接AC，由平行線間的距離處處相等可得△ACO與△ABO面積相等，且△ABO的面積為，∴△ACO的面積=，∴∴直線的解析式【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積求法，以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．20.2020年是脫貧攻堅(jiān)的收官司之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．銷售單價(jià)x（元）304045銷售數(shù)量y（件）1008070（1）求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元？（3）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）y＝－2x＋160（2）銷售單價(jià)定為40元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元（3）銷售單價(jià)定為50元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1200元【解析】【分析】（1）設(shè)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)每件的利潤(rùn)乘以銷售量等于利潤(rùn)800元，列出方程并求解，再結(jié)合單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，可得符合題意的答案；

（3）根據(jù)每件的利潤(rùn)乘以銷售量等于利潤(rùn)得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)y＝kx＋b把（30，100），（40，80）代入得解得：k＝－2b＝160∴y＝－2x＋160當(dāng)x＝45，y＝70時(shí)也適合.所以y與x的一次函數(shù)關(guān)系式是y＝－2x＋160；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，得800＝（x－30）（－2x＋160）整理，得解得∵30≤x≤50＝70（不合題意，舍去）∴銷售單價(jià)定為40元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元；【小問(wèn)3詳解】解：由題意，得w＝（x－30）（－2x＋160）＝－2＝＋1250∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，當(dāng)＜55時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)x＝50時(shí)，有最大值，此時(shí)，w＝－2（50－55）＋1250＝1200答：銷售單價(jià)定為50元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1200元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程在銷售問(wèn)題中的應(yīng)用，明確成本利潤(rùn)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，①求證：；②若，，求的長(zhǎng)；（2）已知，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②（2）【解析】【分析】（1）①根據(jù)相似三角形判定方法對(duì)應(yīng)角相等證明即可；②利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊呈比例求解即可；（2）據(jù)相似三角形判定方法對(duì)應(yīng)邊呈比例證明，由，，即可求解．【小問(wèn)1詳解】①證明：∵，，∴；②解：∵，∴，即，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴.∵，∴，∴.，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．