2021-2022學年湖北省武漢市江岸區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

2021-2022學年湖北省武漢市江岸區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中。只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）己知”,?∈R,α+3i=（t>+i）i（i為虛數(shù)單位）,則（）

A.a=?,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3

2.（5分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物有所增加，為調(diào)查該地

區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，計劃從這些地塊中抽取20個

作為樣區(qū)，根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為了讓樣本具有代

表性，以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量準確的估計，在下面的抽樣方法中，最合理的抽

樣方法是（）

A.系統(tǒng)抽樣B.分層抽樣

C.簡單隨機抽樣D.非以上三種抽樣方法

則SEe（I+sin26＞）=（）

3.（5分）已知sinθ+2cosθ=0,

、sinθ+cosθ

3412

A.-B.-C.一D.一

5555

4.（5分）已知工Z是平面內(nèi)兩個不共線向量，AB=∕nα+2b,BC=3a-b,A,B,C三點

共線，則M=（）

22

A.-5B.-C.-6D.6

33

5.（5分）已知三條不重合的直線a,n,I,三個不重合的平面α,β,γ,則下列命題不正

確的個數(shù)是（）

①若〃?〃"，"ua,則膽〃a；

②若/_La,/"U0,ILm,則a〃0；

③若aJ_y,β±γ,a∩β=/,則/J_y；

④∕nua,“ua,rn//β.n∕∕β,則a〃β.

A.4B.3C.2D.1

6.（5分）在AABC中，已知（a-ccosB）COSA=acosBCOSC,那么44BC一定是（）

A.等腰或直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

7.（5分）已知A,B,C是半徑為3的球。的球面上的三個點，且/ACB=120°,AB=汽,

AC+BC=I,則三棱錐

O-ABC的體積為（）

VδVeVeL

A.—B.—C.—D.V6

1263

8.（5分）已知正方體ABCD-AIBlClD1,的棱長為2,點M為線段CCI（含端點）上的動

點，AM_L平面α.下列說法正確的是（）

CMI-

A.若點N為。。I中點，當4M+MN最小時，——=2-√2

CC?

B.當點M與Cl重合時.若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其截面周長就

越大

C.直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為[字，孝]

9

D.若點例為CC的中點，平面a過點B,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得（）分.

（多選）9.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若z（2+i）=招，則（）

A.復數(shù)Z的虛部為-1

13

B.5=一打?

C.復數(shù)Z對應的點在第二象限

D.IZ-Il=I

（多選）10.（5分）若數(shù)據(jù)Xi,X2,…，刻的平均數(shù)為a方差為SS數(shù)據(jù)yι,yn

的平均數(shù)為區(qū)方差為反，下列說法中一定正確的有（）

A.這"?+〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為絲三也

m+n

B.若這m+〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,則這〃?+〃個數(shù)據(jù)的方差為：S2=

m[s^+（x-ω）2]+n[s∣+（y-ω）2]

m+n

C.若加=〃，yι=axi+b（i=l,2,…〃），則歹=Q±+b

D.若加=myi=ax∣+b（z=1,2,…〃），則y=Ms2+匕

（多選）11.（5分）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。1。2,在

軸截面A8CO中，AB=AD=BC=Icm,且CO=2A8,下列說法正確的有（）

B.該圓臺軸截面ABCZ）面積為3√5C7∏2

7y∕3ττQ

C.該圓臺的體積為一十cn?

D.沿著該圓臺表面，從點C到AO中點的最短距離為5cm

（多選）12.（5分）己知函數(shù)/（x）=SinW-∣cosx∣,下列關于此函數(shù)的論述正確的是（）

A.π是F（X）的一個周期

B.函數(shù)/G）的值域為［-√L1］

C.函數(shù)f（x）在［竽，竽］上單調(diào)遞減

D.函數(shù)F（X）在［-2ιτ,2n］內(nèi)有4個零點

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）某籃球隊有8名運動員，身高（單位：Cm）如下：186,194,216,198,192,

201,211,208,則身高從低到高的第40百分位數(shù)是cm.

14.（5分）已知面=2,值I=3,Z與否夾角為135°,則之在，方向上的投影向量

為.（用b表示）

15.（5分）一個封閉的正三棱柱容器的高為24,內(nèi)裝水若干（如圖（1）,底面處于水平狀

態(tài)）.將容器放倒（如圖（2）,一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），若此時水面與各棱的交點E,F,

Fι,Ei,分別為所在棱的中點.則圖（1）中水面的高度為.

圖1圖2

16.（5分）已知4ABC,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,c=?,NC的角平分線

交AB于點。.若SinA+sin8=2SinNAcB,則a+b=,CD的取值范圍

是.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知平面直角坐標系中，點。為原點、A（2,-1）,B（-1,2）.

（1）若向=1,且a與??的夾角為45。，求（2之一6）《秘+幾）的值；

（2）設"為單位向量，且"1OAf求工的坐標.

18.（12分）在aABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足CSinA=acosC.

（1）求角C大?。?/p>

⑵求√5sinA-cos（5+左）的最大值，并求取得最大值時角A,8的大小.

19.（12分）《九章算術》記錄形似鍥體的所謂“羨除”，就是三個側(cè)面都是梯形或平行四邊

形（其中最多只有一個平行四邊形）、兩個不平行對面是三角形的五面體，如圖，羨除

ABCDEF的底面ABC。是邊長為1的正方形，且aE4ZλZ?FBC均為正三角形，棱EF

平行于底面ABC。，EF=2.

（1）求證：AEVCF-,

（2）求三棱錐A-8CE的體積.

20.（12分）為建設一支聽黨指揮，能打勝仗，作風優(yōu)良的人民軍隊.某部隊加強了新兵的

訓練，今隨機對其中的IoOo名新兵的初訓成績（滿分：100分）作統(tǒng)計，將抽取的成績

整理后分成五組，從左到右依次記為[50,60）,[60,70）[70,80）,[80,90）,[90,100],

并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這1000名新兵成績的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均值時同一

組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;

（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，若分數(shù)在區(qū)間[70,90）的新

兵實際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和打，第三組新兵實際成績的平均數(shù)與方差分

21.(12分)如圖菱形48C。和平面四邊形ABM的面積相等，且菱形ABCD和平面四邊形

ABE尸所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，AB=AE,/EAF=30°.NBAD

=120°.

(1)設P是線段CO上一點，且CB=3Jk在直線AE上是否存在一點例，使得PM〃

平面5CE?若存在，指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.

(2)求二面角尸-BD-A的正切值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=dsin??+*)siττx+(cosx+sMx)(cosx-sinx)—1.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)常數(shù)3>0,若函數(shù)y=f(3x)在區(qū)間［一5,竽］上是增函數(shù)，求3的取值范圍；

Tr

(3)將函數(shù)/(x)的圖像向左平移孑個單位，然后保持圖像上點的縱坐標不變，橫坐標

11

變?yōu)樵瓉淼摹福俦３謭D像上點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?；，得到函?shù)g(x)

2m2

的圖像，若存在非零常數(shù)入，對任意XeR,

有g(x+λ)=Xg(X)成立，求實數(shù)"7的取值范圍.

2021-2022學年湖北省武漢市江岸區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中。只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）已知α,?∈R,α+3i=（?+z）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=?,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,h=-3D.a=l,b=3

【解答】解：?."+3i=（b+i）i=-l+bi,a,?∈R,

.'.a--1,b=3,

故選：B.

2.（5分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物有所增加，為調(diào)查該地

區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，計劃從這些地塊中抽取20個

作為樣區(qū)，根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為了讓樣本具有代

表性，以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量準確的估計，在下面的抽樣方法中，最合理的抽

樣方法是（）

A.系統(tǒng)抽樣B.分層抽樣

C.簡單隨機抽樣D.非以上三種抽樣方法

【解答】解：因為所研究的總體中差異很大，為了讓樣本具有代表性，最合理的抽樣方

法是分層抽樣.

故選:B.

八、L,sinθ（l+sin2θ'）

3.（5分）已知sinθ+2cosθ=0,n則----1-------1=（）

sιnθ+cosθ

3412

A.-B.-C.-D.-

5555

【解答】解：因為sin0+2cos0=0,

所以tanθ=-2>

∏.,sinθ（l+sin20）sinθ{sinθ+cosθ）2.八，.C八、sin2θ+sinθcosθ

貝t------------=--------------=sιnθ（sιnθ÷cosθ）=~--------=

sιnθ+cosθsιnθ+cosθSIΠΔΘ+COSΔΘ

t-∏2e+tα7le_4—2_2

tαn20+l4+15,

故選：D.

4.（5分）已知工》是平面內(nèi)兩個不共線向量，AB=ma+2h,BC=3α-h,A,B,C三點

共線，則加=（)

22

A.—?B.—C.-6D?6

33

【解答】解：.N,B,C三點共線，

與成■共線，

，存在入，使n=/!立，

.,.ma+2b=3λa—λb,且α,b不共線，

???｛：/￡,解得m=-6.

故選：C

5.（5分）已知三條不重合的直線機，〃，I,三個不重合的平面α,0,丫，則下列命題不正

確的個數(shù)是（）

①若m〃九，∕ιcα,則m〃a；

②若LLCGmcβ,I.Lmf則a〃β；

③若a_Ly,β±γ,a∩β=/,貝

④mua,〃ua,加〃β,n∕∕βf則Cι“β.

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：對于①，相〃〃Ua時，m〃a或加ua,所以①錯誤；

對于②，已知/_La,加uβ,ll_m,此時平面B可以是繞直線”旋轉(zhuǎn)的任一平面，所以a

〃3或仁B相交，所以②錯誤；

對于③，ifia∩y=∕π,β∩γ=n,在平面Y任取一點A（不在直線/上），過點A作A8J_

m=B,AC_L/i=C,

因為a?lγ,βlγ,所以A8La,AC±β,所以ABJJ,ACl/,即/_1_丫，所以③正確；

對于④，當小〃〃時，平面a與平面?？梢云叫?，可以相交，所以④錯誤；

則不正確的有3個，所以8正確；

故選：B.

a

COSA=々cosJBCoSC,那么aABC一定是（）

B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【解答】解：:-CCOS8)COSA=QCOSBCOSC,

(SirL4-SinCcosB)CoSA=SinACOSBcosC

ΛSinAcosA-SinCCoSBcosA=SinAcosBcosC,

ΛSinAcosA=(sinCcosA+sinΛcosC)cosB,

ΛsiπAcosA=sin(A+C)cosB,ΛsinΛcosA=sinBcosB,

Λsin2A=sin2B,VA,BE(0,π),

.?2A=2β或2A+28=π,

或A+5=?,

???AABC一定是等腰或直角三角形，

故選：A.

7.(5分)已知A,B,C是半徑為3的球O的球面上的三個點，且NAC5=120°,AB=√3,

AC+BC=2,則三棱錐

O-ABC的體積為()

√6√6√6

A.—B.—C.—D.√6

1263

【解答】解：因為AB=百，?ACB=120°,

所以aABC的外接圓半徑為r=2(J‰=2d20。=1，

ZStTlZ.?!CDZStHlZU

所以三棱錐0-ABC的高為力=√32-r2=2√2,

在BC中，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcosiZACB,

BP3=AC2+BC2+ACBC=(AC+BC)2-ACBC,

解得ACBC=I,

AC

所以SΔ%BC=?-BCS譏120°=孚，

所以'Zo-ABC=扣AABC?八=qX乎X2√2=2.

故選：B.

8.（5分）已知正方體ABen-481Clo1,的棱長為2,點M為線段CG（含端點）上的動

點，AM_L平面α.下列說法正確的是（）

A.若點N為。Dl中點，當AM+MN最小時，—=2-√2

ce?

B.當點M與Cl重合時.若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其截面周長就

越大

C.直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為［宇，與

9

D.若點例為CeI的中點，平面a過點B,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為一

2

【解答】解：對于4,將矩形ACCIAl與正方形CCiDiD展開到一個平面內(nèi)，如圖，

若AM+MN最小，則A、M、N三點共線,

MCAC2√2L

''CCi//DD?>/-=—=-F—=2—72,

DNAD2√2+2

.,.MC=(2-√2)DN=^y^-CCl-

.MC子=1一芋，故A錯誤;

''CC1

對于8,當點M與點。重合時，連接Al。、BD、AI8、AC、ACi,如圖,

在正方體ABCD-AiBIClz)I中，CCI_L平面A8CZ),

BDCΞF≡ABCD,：.BDLCCi,

,：BDVAC,且ACnCCl=C,平面4CC1,

「ACiu平面ACe1,ΛBD±ACi,

同理可證AIDLACI,

"：A\DQBD=D,，/!。，平面人出力，

由題意知AAiBD是邊長為2魚的等邊三角形，

其面積為SAABD=^x(2√2)2=2√3,周長為2√Σ×3=6√2,

設E,F,Q,N,G,H分別是Aιθι,AiBi,BBι,BC,CD,Dol的中點，

由題意知六邊形EPONG”是邊長為√Σ的正六邊形，且平面EFQNGH〃平面AiSD,

正六邊形EFQNGH的周長為6√2,面積為6×^×(√2)2=3√3,

則AAiBO的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，故8錯誤；

對于C,直線AB與平面α所成角的余弦值，

即為直線AB與平面a的垂線AM所成角的正弦值，即SinZBAM,

如圖，連接BM,

在正方體中，A8_L平面3CCι,BMU平面BCCl,.?.AB_L8M,

AD

在RtΔABΛ∕中，CoSNBaM=箭

點M為線段CcI(含端點)上的動點，故ACWAMWAC1,即2√Σ≤AM≤2百,

AB足近√2√6

,COSZBAM=^yesinZBAMe[~,—1，

√2Vβ

從而直線AB與平面α所成角的余弦值的取值范圍為[],y],故C錯誤；

對于￡>,取">1中點N,連接MMAN,則MN〃C￡),

設平面a與側(cè)面ADDiAi的交線為DE,E為平面a與囪Al的交點，

：C￡>1.平面AOOIAI,：.CDA.DE,LMNLDE,

平面a,DEU平面a,J.AMA.DE,

:MNCAN=N,.?.QE,平面AMM：.DE±AN,

又在正方形AoQIAl中N為。Di的中點，.?.E為AIz)I的中點，

設平面a與側(cè)面ABB?A↑的交線為DF,尸為平面a與BIAI的交點,

同理得尸為BIAI的中點，連接EF,得到截面為BDEF,

22

BD=√4T4=2√2,EF=√1T1=√2,DE=BF=JBB1+B1F=√4∏=√5,

.?.截面8。EF為等腰梯形，

底邊上的高為h=JD底—(￡2孚%2=Js一哈2=挈，

，截面BDEF的面積為S=?×(√2+2√2)X挈=會故。正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)已知i是虛數(shù)單位，若z(2+i)=招，則()

A.復數(shù)Z的虛部為一!

-l??.

Bβ-z=^5+5l

C.復數(shù)Z對應的點在第二象限

D.∣z-1∣=I

【解答】解：由題意可得，Z=簫=??=g?(鼠，，∣i,

復數(shù)Z的虛部為-1,故A正確，

z=∣+∣i,故3錯誤，

13

復數(shù)Z對應的點(g,--)在第四象限，故C錯誤，

i?-n=ι-∣-∣i∣=J(-?2+(-∣)2=ι-故。正確.

故選：AD.

(多選)10.(5分)若數(shù)據(jù)Xi,X2,???,X”,的平均數(shù)為元，方差為竭，數(shù)據(jù)yι,yι,???,y∏

的平均數(shù)為歹，方差為反，下列說法中一定正確的有()

A.這“+〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7n"+n'

m+n

B.若這m+〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,則這〃計〃個數(shù)據(jù)的方差為：S?=

m[s?+(x-ω)2]+n[s^+(y-ω)2]

m÷n

C.若加=〃，yi=axi+b(z=l,2,…〃)，則歹=QM+b

D.若加="，yi=axi+b(z=l,2,…”)，則SJ=Ms2+匕

【解答】解：對于A,若數(shù)據(jù)Xi,X2,?,,,初?的平均數(shù)為a數(shù)據(jù)yι,”，…，y〃的平均

數(shù)為小

.?.這m+n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為絲葉殛，故A正確；

τn+n

rn

對于叢?.?這丁+〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為'+"y,

m+n

數(shù)據(jù)Xi,Λ2,…，如的方差為SS數(shù)據(jù)yι,y2,…，y〃的方差為年，

???這根+〃個數(shù)據(jù)的方差為：

22

，=焉(曲(xz-ω)+∑JL1(yz-ω))

x22ωx2222

(∑胃1t-∑i^ιi+mω+∑]L1yi-2ω∑JL1yi+πω),

,-X=xi`?,?∑ilιXi=府，

22222

.?.V=?Σ?1(Xi-X)=?(∑^ιxi-2x∑^L1xi+mx)=i∑^1(xi-τnx),

222

?,?Σ曙1Xj=mSx+τnx,

222

同理，∑∏=ι%=ny,求1yi=nSy+τiy9

222222222

S=+mx-2ωnix+mω+nSy+riy÷∕nω+nSy+riy-2ωny+77ω),

.?.這〃?+〃個數(shù)據(jù)的方差為：§=?回+(元-3%；窗+(A/,故B正確；

11

j

對于C,若m=n,yi=axifbAi=1,2,?〃)，則歹=-∑?Lnyi=-∑?t1(QXj+Hb)=αx+e,

故C正確；

對于。，若機=〃，yi=axi+b,Ci=I,2,?〃)，

222

則Sy2=1%ιOi-y)=?∑IL1[αxi+6-(αx+h)J=?∑jlι(.axi-ax)=

222

^?∑il1(Xi-x)=aSx,故D錯誤.

故選：ABC.

(多選)IL(5分)某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺Olo2,在

軸截面ABCQ中，AB=AD=BC=Icm,且CL>=2AB,下列說法正確的有()

A.ZADC=30o

B.該圓臺軸截面ABCQ面積為3√^cm2

7∣3τι

C.該圓臺的體積為七?一門√Q

D.沿著該圓臺表面，從點C到AO中點的最短距離為5cm

【解答】解：對于4,由己知及題圖知，cos440C=粗0<NAOC書，

.?.NAOC=60°,故A錯誤；

對于8,由A知I,圓臺高為∕z=2Xsin60°=√3,

圓臺軸截面ABCD面積為S=WX(2+4)X√5=3√^C7∏2,故8正確；

對于C,圓臺的體積V=號X(12+√I^方+22)x√5τr=空0/,故C正確;

對于。，將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中ABCZX且E為Ar)中點，

而圓臺對應的圓錐體側(cè)面展開為扇形COD,且0C=4,

VZCOD=?=p在Rt△?)￡：中，CE=√42+32=Scm,

即C到AO中點的最短距離為5cm,故O正確.

故選：BCD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(x)=SinlΛ?∣-∣cosx∣,下列關于此函數(shù)的論述正確的是()

A.π是/(x)的一個周期

B.函數(shù)/(x)的值域為［一企，1］

C,函數(shù)F(X)在［當，等］上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/(x)在［-2π,2n］內(nèi)有4個零點

■…z0一"、TT5π5π√2√2L

【解答】解：/(―)=0，/(―+π)=Sin—COS—1=—■?-----?-=—√2,

4444//

TrTr

則(一+n)≠∕(-),即不是/(x)的一個周期，故A錯誤，

44π

函數(shù)/(x)定義域為R,并且/(-x)=∕(x),所以函數(shù)為偶函數(shù)；

因為工∈[0,÷o°),/(x)=SirLrTCoSX則/(x)=f(x+2π),為周期函數(shù)，

故僅需研究函數(shù)FG)在區(qū)間[O,2π]上的值域及零點個數(shù)即可，

因為x∈[0,—]U[―,2π]時，f(x)=SirEl-CoSX=&sin(x-彳)；

Tt3ττ,,—π

當lx∈[,三]時'?f(X)=si∏Λ÷cosx=V2sin(工+,)；

τc37Γ,.7τr,77■兀57Γ7JT

當lx6[0,~]U[―,2n]時，令f=x-q,則%[一干-]U[―,—],

則y=√∑sinf,r∈[-1—]U[―,—],可得y∈[-√Σ,1]有且僅一個零點，

—444

lπ3π,π,3π7π

當x∈[??,—]f?-令r=χ+4,則怎[^τ^,—].

22444

3yr7τr

y=√2sinΛte[一,一],可得y∈[-V^,1]有且僅有一個零點,

44

所以函數(shù)f(x)的值域為L√Σ,1]且在[-2π,2π]上有4個零點.故選項8正確，選項

。正確.

選項C函數(shù)/(x)在[苧，竽]上，有/(x)=sinx÷cosx=V∑sin(X+今)；

19ττ

此時x+*e[π,?],此時/(x)在該區(qū)間上不是單調(diào)減函數(shù).故C錯誤，

故選：BD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題S分，共20分.

13.(5分)某籃球隊有8名運動員，身高(單位：cm)如下：186,194,216,198,192,

201,211,208,則身高從低到高的第40百分位數(shù)是198cm.

【解答】解：8名運動員從小到大排列為186,192,194,198,201,208,211,216,

8*0.4=3.2,身高從低到高的第40百分位數(shù)是198.

故答案為：198.

14.(5分)已知同=2,區(qū)I=3,；與了夾角為135°,則:在7方向上的投影向量為一寫).

(用Z表示)

【解答】解：：向=2,山=3,2與君夾角為135°,

.?.Z在b方向上的投影向量為向COSVZe>?-?-=2×cosl35°×ih

?b?

=2×（-?）×∣h=-?e.

故答案為：—等b.

15.（5分）一個封閉的正三棱柱容器的高為2小內(nèi)裝水若干（如圖（1）,底面處于水平狀

態(tài)）.將容器放倒（如圖（2）,一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），若此時水面與各棱的交點E,F,

3

Fl,E?,分別為所在棱的中點.則圖（1）中水面的高度為二α

-2

圖I圖2

【解答】解：設正三棱柱的底面積為S,圖（1）中水面的高度為〃，則水的體積η=S∕7,

因為E,F,Fι,El分別為所在棱的中點，所以SMEF=*S,SBCFE=，

所以圖（2）中水的體積七=AS）X（2α）=∣Sα,

Q

又W=V2,所以力=2。.

3

故答案為：-a.

16.（5分）已知aABC內(nèi)角A、B、。所對的邊分別是〃、b、c,c=l,NC的角平分線

3√3

交AB于點。.若SinA+sin8=2SinNAC8,則α+b=2,CD的取值范圍是（一，—I.

4~z-

【解答】解：因為c=l,

所以由正弦定理可得總b1

—=-----------=2R,

SinBsιn?ACB

又sinA+sinB=2sinZACB,

一,ab1

所以石+石=2x詼,

貝IJa+b=2,

又因為CD為NACB的角平分線，可得面積關系為SΔABC=SΛCAD+S^CBD,

?[81θ

記NACB=θ,貝IJ有萬出?Sine=2b9CD9Sin-+-t7?CD?sin-,

乙日"Cabsinθ.‘

—可r得CD=------------≡=abcos-

(α÷b)sin∣29

由余弦定理l=c2=α2+?2-由余osθ=(α+?)2-2ab(l+cosθ)=4-2ab(1+cosθ),

加33cos?3

,

得ab=-----n?即CD=O-工----??-------n?>

2(l+cos6)2(l+cos6)4cos^

α+h?

又出?≤(——)2=即---------≤1

22(l+cos6)

yJ3θ√Q

所以cosθ≥21’0<θ≤守π此時三≤cos-<l,即Z3<CD<當,

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知平面直角坐標系中，點0為原點、A(2,-1),B(-1,2).

(1)若向=1,且Q與易的夾角為45。，求(2i-∕?)?G+Λ?)的值;

(2)設)為單位向量，且"1。4,求己的坐標.

【解答】解：(1)AB=(-3,3),故∣∕?=3√∑,

故26=向∣√?cos450=3,

所以(2之一/)?(2+&)=2a2+a-AB-AB2

=2+3—(3√Σ)2=-13；

(2)設"=O,v),由已知得仔+『==，，

Z11

(X=IX=

1J而!

故

或<√25

一)2)

5,Iy=y=

k一I

√5,√5

2√一5

55

18.(12分)在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,且滿足CSinA=αcosC.

(1)求角C大小；

(2)求WSinA-COS(B÷?)的最大值，并求取得最大值時角A,B的大小.

zT

【解答】解：(1)由正弦定理得SinCsinA=sinΛcosC,

因為OVAVπ,所以SinA>0.從而SinC=CoSC,

又COSCW0,所以tanC=l,C=

(2)有(1)知，B=竽一A,于是

√3si∏A-cos(3+/)=V3sinΛ+cosA

=2sin(A÷5).

6

因為0<AV孚，所以g<4+a<??,

46blz

從而當A+看=*,即A=守時

2sin(A÷^)取得最大值2.

o

綜上所述百SinA-CoS(8+的最大值為2,此時A=冬B=?

4,?1-6

19.(12分)《九章算術》記錄形似鍥體的所謂“羨除”，就是三個側(cè)面都是梯形或平行四邊

形(其中最多只有一個平行四邊形)、兩個不平行對面是三角形的五面體，如圖，羨除

ABCOEF的底面ABC。是邊長為1的正方形，且Z?EBC均為正三角形，棱EF

平行于底面ABC。，EF=2.

(1)求證：AEVCF-,

(2)求三棱錐A-8CE的體積.

【解答】證明：(1)延長A8到M點，使BM=A8,連接CM,FM,則CM=√Σ

〃平面ABCQ,平面AMFrl平面ABCQ=AM,￡7七平面AWF,

.?EF∕∕AM,

?.?AM=2=EF,，四邊形AMFE是平行四邊形，，AE〃M凡

在AFCM中，F(xiàn)C=FM=I,

.?FC2+FM2=CM2,.../CFM=90°,BRMFlCF,

ΛAE±CF；

解：（2）在（1）的幾何體中連接AC,AF,EC,EB,則

VA-BCE—VE-ABC,

E?EF//AB,EF?5P≡ABCD,ABu平面ABCZ）,故EF〃平面4BCZλ?VA.BCE=VE

-ABC=VFABC>

而AB=BM,故VA-BCE=VF-CBM,

在三棱錐F-BCM中，由（1）可得是以aFCM是以/CFM為直角的等腰直角三角形，

而CB=BM=1,ZCBΛ∕=90o,故ACBM也為等腰直角三角形，

取CM的中點為S,連接尸5,BS,則尸S=85=TCM=孝，

且FSLCM,BSLCM,因FSCBS=S,故CM_L平面FCB,

而FB=1,故/解=尸S2+BS2,所以AFBS也為等腰直角三角形，

故SAFSB=l×（?）2=

20.（12分）為建設一支聽黨指揮，能打勝仗，作風優(yōu)良的人民軍隊.某部隊加強了新兵的

訓練，今隨機對其中的IOOo名新兵的初訓成績（滿分：100分）作統(tǒng)計，將抽取的成績

整理后分成五組,從左到右依次記為[50,60）,[60,70）[70,80）,[80,90）,[90,100],

并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這IOOO名新兵成績的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均值時同一

組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;

（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，若分數(shù)在區(qū)間[70,90）的新

兵實際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和打，第三組新兵實際成績的平均數(shù)與方差分

別為74分和2.求第四組新兵實際成績的平均數(shù)與方差.

f頻率

組距

0.040-------------

0.030---1-----H

0.020

0.015--------------------------

0.010--------------------------------

0.005--------------------------------------,

0—--------------?

5060708090100成績/分

【解答】解：（I）這IOOO名學生成績的中位數(shù)為65

平均數(shù)元=55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67（分），

（2）由分層抽樣可知，第三組和第四組分別抽取3人和2人，

設分數(shù)在區(qū)間［70,90）的學生實際成績分別為“i（i=l,2,3,4,5）,其平均數(shù)與方差

分別為五,s,

則五=78,S=挈.

設第三組學生實際成績分別為XMi=1,2,3）,其平均數(shù)與方差分別為迅s,,則亍=74,

SX=2.

設第四組學生實際成績分別為玖（i=l,2）,其平均數(shù)與方差分別為歹，Sy.

由——-——=78可得歹=84,

2

v∑f=ιuf-5u_128.∑?1*+∑f=ιW-_128

5—5..55

...電13x=2.CX?=6+3×742=16434

2

.?.2?=1W=128+5X78-16434=14114.

22

_∑f=1y？-2y_14114-2×84_

λSy=2=2=1

第四組學生實際成績的平均數(shù)為84,方差為I.

21.（12分）如圖菱形ABCZ）和平面四邊形ABEF的面積相等，且菱形ABe。和平面四邊形

ABE尸所在平面互相垂直，AABE是等腰直角三角形，AB=AE,ZEAF=30o.ZBAD

=120o.

(1)設P是線段C。上一點，且6?=3ck在直線AE上是否存在一點M,使得PM〃

平面8CE?若存在，指出點M的位置