高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019必修二）專題9.5統(tǒng)計圖的相關計算大題專項訓練（30道）

專題9.5統(tǒng)計圖的相關運算大題專項訓練（30道）【人教A版必修第二冊】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預測）某校高三共有500名學生，為了了解學生的體能情況，采用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生進行體能測試，整理他們的成績得到如下頻率分布直方圖：(1)估算：若進行高三學生全員測試，測試成績低于50的人數(shù)；(2)已知從樣本中的男同學中隨機抽取1人，該同學成績不低于70的概率為12；從樣本中成績不低于70的學生中隨機抽取1人，該學生為男生的概率也為1【解題思路】（1）從頻率分布直方圖中可求成績不低于50的頻率0.9，進而可求成績低于50的頻率0.1，再用500×0.1=50即可求解；（2）先求樣本中成績不低于70的人數(shù)，再求樣本中成績不低于70的男同學人數(shù)，進而可求樣本中男同學人數(shù)，易得女同學的人數(shù)，即可得出比例.【解答過程】（1）依題意，樣本中成績不低于50的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9所以成績低于50的頻率為0.1，所以估計總體中成績低于50的人數(shù)為500×0.1=50（人）．（2）樣本中成績不低于70的頻率為0.04+0.02×10=0.6所以樣本中成績不低于70的人數(shù)為0.6×100=60（人）．因為從樣本中成績不低于70的學生中隨機抽取1人，該學生為男生的概率為12所以樣本中成績不低于70的男同學有30人，又因為從樣本中的男同學中隨機抽取1人，該同學成績不低于70的概率為12所以樣本中有男同學60人，進而有女同學40人，所以估計總體中男同學和女同學人數(shù)的比例為3:2．2．（2023秋·四川遂寧·高二期末）某次人才招聘活動中，某公司計劃招收600名新員工.由于報名者共2000人，遠超計劃，故該公司采用筆試的方法進行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如圖:已知圖中左邊四個小長方形的高度自左向右依次構成公比為2的等比數(shù)列.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問題:(1)求m；(2)估計此次筆試的平均成績.【解題思路】（1）根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式計算得到答案.【解答過程】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各小長方形面積之和為1，18+1（2）由頻率分布直方圖，得樣本數(shù)據(jù)的平均值可估計為35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1，此次筆試的平均成績可估計為67.1分.3．（2023·高一課時練習）重慶因夏長酷熱多伏旱而得名“火爐”，八月是重慶最熱、用電量最高的月份．下圖是沙坪壩區(qū)居民八月份用電量（單位：度）的頻率分布直方圖，其分組區(qū)間依次為：[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]．(1)求直方圖中的x；(2)在用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則用電量在[240,260)的用戶應抽取多少戶？【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1求得x.（2）根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.【解答過程】（1）依題意，0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025×20=1解得x=0.0075.（2）用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四組用戶頻率的比為：0.0125:0.0075:0.005:0.0025=5:3:2:1，所以，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則用電量在[240,260)的用戶應抽取11×54．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）為了豐富大學生的課外生活，某高校團委組織了有獎猜謎知識競賽，共有500名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為60，70，70，80，80(1)估計所有參賽學生的平均成績(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；(2)若團委決定對所有參賽學生中成績排在前50名的學生進行表彰，估計獲得表彰的學生的最低分數(shù)線.【解題思路】(1)利用頻率分布直方圖頻率和為1計算m=0.02，(2)獲得表彰的學生人數(shù)的頻率為50500=0.1，進而可得最低分數(shù)線在【解答過程】（1）由10×0.01+0.03+m+2m=1這100名參賽學生的平均成績約為0.01×10×65+0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10×95=82分，故估計所有參賽學生的平均成績?yōu)?2分.（2）獲得表彰的學生人數(shù)的頻率為50500設獲得表彰的學生的最低分數(shù)線為x，由分數(shù)在區(qū)間90，100的頻率為10×0.02=0.2，可知由100?x×0.02=0.1，得x=95故估計獲得表彰的學生的最低分數(shù)線為95分.5．（2023秋·江西上饒·高一期末）從某中學隨機抽樣1000名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.(1)求該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)估計該校學生每周課外閱讀時間超過8小時的概率.【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法求解即可；（2）結合（1）中結論，求得8,10，10,12，12,14頻率之和即可得解n.【解答過程】（1）依題意，結合頻率分布直方圖，該周課外閱讀時間在8,10的頻率為：1?2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.2，所以該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2×(0.025×1+0.050×3+0.075×5+0.150×7+0.075×11+0.025×13)+0.2×9=7.3.（2）閱讀時間超過8小時的概率為0.2+2×(0.075+0.025)=0.4，所以估計該校學生每周課外閱讀時間超過8小時的概率為0.4.6．（2022秋·廣西·高二學業(yè)考試）某中學組織學生到某電池廠開展研學實踐活動，該廠主要生產(chǎn)型號為2號的干電池．為了解2號干電池的使用壽命，在廠技術員的指導下，學生從某批次2號干電池中隨機抽取50節(jié)進行測試，得到每一節(jié)電池的使用壽命（單位：h）數(shù)據(jù)，繪制成如下的統(tǒng)計表．請根據(jù)表中提供的信息解答下列問題．使用壽命分組/h頻數(shù)頻率5,10a0.0810,15140.2815,20200.4020,25bc25,3040.08(1)求表中a，b，c的值，并將如下頻率分布直方圖補充完整；(2)試估計該批次2號干電池的平均使用壽命．【解題思路】（1）根據(jù)：樣本容量×頻率=頻數(shù)，結合頻率和為1計算得到a，b，c的值，并根據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖；（2）由每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和，即可求出平均壽命．【解答過程】（1）a=50×0.08=4，c=1?(0.08+0.28+0.4+0.08)=0.16，b=50×0.16=8，所以區(qū)間20,25對應的頻率/組距為0.165頻率分布直方圖如圖所示：.（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均壽命為：7.5×0.016×5+12.5×0.056×5+17.5×0.08×5+22.5×0.032×5+27.5×0.016×5=16.9，所以該批次2號干電池的平均使用壽命為16.9h7．（2022秋·湖南永州·高二期中）心絞痛是冠狀動脈供血不足，心肌急劇地暫時缺血與缺氧所引起的以發(fā)作性胸痛或胸部不適為主要表現(xiàn)的臨床綜合征．在某地隨機調(diào)查10位心絞痛患者第一次出現(xiàn)癥狀的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可得出a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，列出式子，計算即可得出答案.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可知，0.005×10+0.015×10+0.020×10+a×10+0.015×10+0.010×10+0.005×10=1，所以a=0.030.（2）由頻率分布直方圖可知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25×0.05+35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05=53.5.8．（2022秋·云南楚雄·高二階段練習）鎮(zhèn)海中學為了學生的身心建康，加強食堂用餐質(zhì)量（簡稱“美食”）的過程中，后勤部門需了解學生對“美食”工作的認可程度，若學生認可系數(shù)（認可系數(shù)=認可程度平均分(1)求直方圖中x的值和中位數(shù)（保留2位小數(shù)）；(2)為了解部分學生給“美食”工作評分較低的原因，該部門從評分低于80分的學生中用分層抽樣的方法隨機選取30人進行座談，求應選取評分在[60，70）的學生人數(shù)；(3)根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，結合認可系數(shù)，判斷“美食”工作是否需要進一步整改，并說明理由.【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得x，在頻率分布直方圖中頻率0.5對應的數(shù)為中位數(shù)；（2）由低于80分的學生中三組學生的人數(shù)比例進行計算；（3）由頻率分布直方圖求出平均值后與認可系數(shù)比較可得．【解答過程】（1）由圖可知：x+0.015+0.02+0.03+0.025=1中位數(shù)：80+0.5?0.1+0.15+0.20.3（2）低于80分的學生中三組學生的人數(shù)比例為0.1:0.15:0.2=2:3:4，則應選取評分在60,70的學生人數(shù)為：30×3（3）由圖可知，認可程度平均分為：55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，∴“美食"工作需要進一步整改.9．（2023秋·四川涼山·高二期末）西昌邛海濕地馬拉松比賽是四川省內(nèi)最專業(yè)的國際馬拉松賽事，42.195公里，每一步都來之不易，每一個向前奔跑的腳步，匯聚成永不停歇的力量，點亮這座城市的精彩．為積極參與馬拉松比賽，某校決定從3000名學生隨機抽取100名學生進行體能檢測，這100名學生進行了15公里的馬拉松比賽，比賽成績（分鐘）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分布區(qū)間是50,60、60,70、70,80、80,90、90,100．(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生比賽成績的中位數(shù)（結果精確到0.01）；(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，估計該校3000名學生中約有多少名學生能在80分鐘內(nèi)完成15公里馬拉松比賽？【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可求得實數(shù)a的值；（2）設中位數(shù)為m，根據(jù)中位數(shù)的定義可得出關于m的等式，解之即可；（3）樣本中80分鐘之頻率，乘以3000可得結果.【解答過程】（1）解：由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可得2a×10+0.04+0.03+0.02×10=1，解得（2）解：前兩個矩形的面積之和為0.005+0.04×10=0.45<0.5前三個矩形的面積之和為0.005+0.04+0.03×10=0.75>0.5所以，中位數(shù)m∈70,80，所以，0.45+x?70×0.03=0.5（3）解：樣本中80分鐘之前頻率為0.005+0.04+0.03×10=0.75因此，估計該校3000名學生中能在80分鐘內(nèi)完成15公里馬拉松比賽的學生人數(shù)為3000×0.75=2250.10．（2023·福建泉州·高三階段練習）隨著老年人消費需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變．消費層次不斷提升，“銀發(fā)經(jīng)濟”成為社會熱門話題之一，被各企業(yè)持續(xù)關注.某企業(yè)為了解該地老年人消費能力情況，對該地年齡在60,80的老年人的年收入按年齡60,70，70,80分成兩組進行分層抽樣調(diào)查，已知抽取了年齡在60,70的老年人500人．年齡在70,80的老年人300人．現(xiàn)作出年齡在60,70的老年人年收入的頻率分布直方圖（如下圖所示）．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地年齡在60,70的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；(2)已知年齡在60,70的老年人年收入的方差為3，年齡在70,80的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4，試估計年齡在60,80的老年人年收入的方差．【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)和頻率平均數(shù)法的公式：x=i=1n（2）設年齡在[60,70)的老年人樣本的平均數(shù)記為x，方差記為sx2；年齡在[70,80)的老年人樣本的平均數(shù)記為y，方差記為sy2；年齡在[60,80)的老年人樣本的平均數(shù)記為z，方差記為【解答過程】（1）頻率分布直方圖中，該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)約為：0.04×2+0.08×3+0.18×4+0.26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35，由頻率分布直方圖，年收入在8.5萬元以下的老年人所占比例為1?0.04×1=0.96，年收入在7.5萬元以下的老年人所占比例為1?(0.05×1+0.04×1)=0.91，因此，第95百分位數(shù)一定位于[7.5,8.5)內(nèi)，由7.5+1×0.95?0.91可以估計該地年齡在[60,70)的老年人年收入的第95百分位數(shù)為8.3.（2）設年齡在[60,70)的老年人樣本的平均數(shù)記為x，方差記為sx年齡在[70,80)的老年人樣本的平均數(shù)記為y，方差記為sy年齡在[60,80)的老年人樣本的平均數(shù)記為z，方差記為s2由（1）得x=5.35，由題意得，sx2=3，則z=由s2可得s2即估計該地年齡在[60,80)的老年人的年收入方差為3.11．（2022秋·云南玉溪·高二期末）2022年，某市教育體育局為了解九年級語文學科教育教學質(zhì)量，隨機抽取100名學生參加某項測試，得到如圖所示的測試得分（單位：分）頻率分布直方圖.(1)根據(jù)測試得分頻率分布直方圖，求a的值；(2)根據(jù)測試得分頻率分布直方圖估計九年級語文平均分；(3)猜測平均數(shù)和中位數(shù)（不必計算）的大小存在什么關系？簡要說明理由.【解題思路】（1）由頻率之和等于1，得出a的值；（2）由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解；（3）觀察頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的分布，得出平均數(shù)和中位數(shù)的大小關系.【解答過程】（1）解：0.003+0.005+a+0.015+0.02解得a=0.007（2）語文平均分的近似值為0.003×30+0.005×50+0.015×70+0.02×90+0.007×110×20=79.2所以，語文平均分的近似值為79.2.（3）中位數(shù)大于平均數(shù).因為和中位數(shù)相比，平均數(shù)總在“長尾巴”那邊.12．（2022秋·湖北宜昌·高二階段練習）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(2)產(chǎn)品質(zhì)量指標值在185與215之間的每個盈利200元，在175與185或215與225之間的每個虧損50元，其余的每個虧損300元.該企業(yè)共生產(chǎn)這種產(chǎn)品10000個，估計這批產(chǎn)品可獲利或虧損多少元？【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結合平均數(shù)和方差公式，即可求解；（2）根據(jù)頻率，可計算獲利或虧損.【解答過程】（1）樣本平均數(shù)xs+200?2002（2）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標值在185,215的頻率為0.022+0.033+0.024×10=0.79質(zhì)量指標值在175,185和215,225的頻率為0.009+0.008×10=0.17質(zhì)量指標值在165,175和225,235的頻率為0.002×2×10=0.04，所以10000件產(chǎn)品的獲利情況是200×0.79?50×0.17?300×0.04×10000=137500013．（2022秋·貴州遵義·高一期末）某景點某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，該景點為了提升服務質(zhì)量，采用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪．將統(tǒng)計結果按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖：(1)求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù)；(2)求頻率分布直方圖中a的值；(3)估計當天游客滿意度分值的75%分位數(shù)．【解題思路】（1）求出老年、中青年、少年的人數(shù)比例，從而求抽取樣本中老年、中青年、少年的人數(shù)；（2）利用頻率之和為1列出方程，求出a的值；（3）利用百分位數(shù)的定義進行求解.【解答過程】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人數(shù)比例為625:500:125=5:4:1，故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為100×55+4+1=50人，中青年人數(shù)為100×（2）0.010+0.025+0.035+a+0.010×10=1解得：a=0.020；（3）設當天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為x，因為0.010+0.025+0.035×10=0.7<0.75，0.010+0.025+0.035+0.020所以x位于區(qū)間80,90內(nèi)，則x?80×0.020=0.75?0.7，解得：x=82.5所以估計當天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為82.5.14．（2023·全國·高一專題練習）某知識競賽組委會隨機抽取200名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下圖所示.組號分組頻數(shù)頻率第1組160,165100.050第2組165,17070a第3組170,175bc第4組175,180400.200第5組180,185d0.100合計2001.00(1)求出實數(shù)a，b，c，d的值，再畫出這200名學生的筆試成績的頻率分布直方圖；(2)為了解閱讀時間對得分的影響程度，組委會決定在筆試成績高的第3?4?5組中用分層抽樣的方法抽取12名學生進行調(diào)查，求第3?4?5組每組各抽取多少名學生.【解題思路】（1）根據(jù)頻數(shù)和為200，頻率和為1計算得到答案，再畫圖即可.（2）直接利用分層抽樣的比例關系計算得到答案.【解答過程】（1）a=70200=0.350，d=200×0.100=20，b=200?10?70?40?20=60頻率分布直方圖如圖所示：（2）第3組抽取12×6060+40+20=6；第4組抽取12×所以第3?4?5組每組各抽取6名，4名，2名學生.15．（2023·全國·高一專題練習）某公司為了解所開發(fā)APP使用情況，隨機調(diào)查了100名用戶.根據(jù)這100名用戶的評分，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），...，[90，100].(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)若采用比例分配的分層隨機抽樣方法從評分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，則評分在[40，60）內(nèi)的顧客應抽取多少人？(3)用每組數(shù)據(jù)的中點值代替該組數(shù)據(jù)，試估計用戶對該APP評分的平均分.【解題思路】（1）根據(jù)題意，由頻率值和等于1，可求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖可知評分在40,60,（3）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的求法公式即可求出結果.【解答過程】（1）由0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018×10=1，解得（2）由頻率分布直方圖可知，評分在40,60,0.004+0.006:所以評分在40,60內(nèi)的顧客應抽取20×1（3）用戶對該APP評分的平均分為：x=76.2.16．（2023·全國·高二專題練習）為了讓學生更多地了解冬奧知識，石家莊某中學舉行了一次“冬奧知識競賽”，共有900名考生參加了這次競賽，為了解本次競賽成績的情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題：分組頻數(shù)頻率50,6040.0860,700.1670,801080,90160.3290,100合計50(1)填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內(nèi)）.(2)補全頻率分布直方圖.(3)若成績在70,90內(nèi)的學生獲得二等獎，請估計該校獲得二等獎的學生為多少人？【解題思路】（1）在頻率分布表中，各組的頻數(shù)=頻率×樣本容量，再根據(jù)頻率的和等于1建立等式解之即可；（2）根據(jù)頻率分布表補全頻數(shù)分布直方圖；（3）首先求出樣本中成績在70,90內(nèi)的頻率，結合共有900名學生參加了這次競賽可得答案.【解答過程】（1）解：由已知樣本容量為50，故第二組的頻數(shù)為0.16×50=8，第三組的頻率為1050第四組的頻數(shù)為：50?(4+8+10+16)=12，頻率為：1250故頻率分布表為：分組頻數(shù)頻率50,6040.0860,7080.1670,80100.2080,90160.3290,100120.24合計501（2）解：頻率分布直方圖如下所示：（3）解：樣本中成績在70,90的頻率為0.2+0.32=0.52，所以估計該校獲得二等獎的學生為900×0.52=468人.17．（2022秋·廣東湛江·高二期中）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：20,25，第二組：25,30，第三組：30,35，第四組：35,40，第五組：40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和52【解題思路】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)和百分位數(shù)；（2）利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取4人和2人，進而設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x4，x5，方差分別為s42，s5【解答過程】(1)設這20人的平均年齡為x，則x=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25設第80百分位數(shù)為a，由5×0.02+(40?a)×0.04=0.2，解得a=37.5.(2)由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為1:7:6:4:2，故各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取4人和2人，設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x4，x5，方差分別為s4則x4=37，x5=43，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s2則z=4x因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這m人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.18．（2023秋·四川南充·高二期末）我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了促使居民節(jié)約用水，決定在該市實行階梯水價，為合理確定出階梯水價的用水量標準，從該市隨機調(diào)查了100戶居民，獲取了他們?nèi)ツ甑脑氯司盟浚▎挝唬簢崳⒘谐隽嗽氯司盟康念l數(shù)分布表（家庭人均用水量=月人均用水量0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.52.5,33,3.53.5,44,4.5頻數(shù)461418a16873(1)求出a的值，并補全頻率分布直方圖；(2)市政府舉行聽證會后，決定實施階梯水價：家庭人均月用水量不超過b噸的部分，水價為3元/噸；超過b噸但不超過3.5噸的部分，水價為5元/噸；超過3.5噸的部分，水價為8元/噸．結合聽證會上市政府的決定，為確保超過60%但不超過70%的居民只用3元/噸的水費，求b的標準值（b取0.5的整數(shù)倍）．(3)按照（2）中的方案，請你寫出常住人口為n的家庭月用水量為x噸時，應繳水費fx,n【解題思路】（1）根據(jù)樣本容量及頻數(shù)分布表可得a=24，根據(jù)頻率分布直方圖的畫法結合頻數(shù)分布表即得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結合條件可列出關于b的不等式組，進而即得；（3）根據(jù)階梯水價按家庭人均月用水量分類討論結合條件即可得分段函數(shù)fx,n【解答過程】（1）由題意可知a=100?4+6+14+18+16+8+7+3用水量在1.5,2的頻率為0.18；用水量在2,2.5的頻率為0.24；用水量在2.5,3的頻率為0.16．故補全頻率分布直方圖如下：（2）由頻數(shù)分布表易知：前4組頻率之和為0.04+0.06+0.14+0.18=0.42<0.6；前5組頻率之和為0.04+0.06+0.14+0.18+0.24=0.66；前6組頻率之和為0.04+0.06+0.14+0.18+0.24+0.16=0.82>0.7；所以為確保超過60%但不超過70%的居民只用3元/噸的水，需0.48b?2>0.6?0.420.32b?2.5≤0.7?0.66又∵b為0.5的整數(shù)倍，∴b=2.5；（3）常住人口為n的家庭月用水量為x噸時，其家庭人均月用水量為xn所以當xn≤2.5時，當2.5<xn≤3.5當xn>3.5時，總數(shù)所述：fx,n19．（2023·全國·高一專題練習）某果園新采摘了一批蘋果，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），將重量按照120,140,(1)估計這批蘋果的重量的平均數(shù)；(2)該果園準備把這批蘋果銷售給一家超市，據(jù)市場行情，有兩種銷售方案；方案一：所有蘋果混在一起，價格為2.5元/千克；方案二：將不同重量的蘋果分開，重量不小于160克的蘋果的價格為3元/千克，重量小于160克的蘋果的價格為2元/千克，但果園需支付每1000個蘋果5元的分揀費.分別估計并比較兩種方案下果園銷售10000個蘋果的收入.【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出a=0.01，進而求出平均數(shù)；（2）計算出兩種方案的銷售收入，比較后得到結論.【解答過程】（1）由題意，得0.016+0.015+a+0.009×20=1，解得a=0.0150個蘋果重量的平均數(shù)為x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=159.6故估計這批蘋果的重量的平均數(shù)約為159.6克；（2）若采用方案一，估計銷售收入約為159.6×10000×2.5若采用方案二，重量小于160克的蘋果的總重量約為10000×0.2×130+10000×0.3×150×重量不小于160克的蘋果的總重量約為10000×0.32×170+10000×0.18×190×估計銷售收入約為710×2+886×3?50=4028（元）,因為3990<4028，因此，方案二的銷售收入更高.20．（2022·高一課時練習）某服裝公司計劃今年夏天在其下屬實體店銷售一男款襯衫，上市之前擬在該公司的線上旗艦店進行連續(xù)20天的試銷，定價為260元/件.試銷結束后統(tǒng)計得到該線上專營店這20天的日銷售量(單位：件)的數(shù)據(jù)如圖.（1）若該線上專營店試銷期間每件襯衫的進價為200元，求試銷期間該襯衫日銷售總利潤高于9500元的頻率.（2）試銷結束后，這款襯衫正式在實體店銷售，每件襯衫定價為360元，但公司對實體店經(jīng)銷商不零售，只提供襯衫的整箱批發(fā)，大箱每箱有70件，批發(fā)價為160元/件；小箱每箱有60件，批發(fā)價為165元/件.某實體店決定每天批發(fā)大小相同的2箱襯衫，根據(jù)公司規(guī)定，當天沒銷售出的襯衫按批發(fā)價的8折轉(zhuǎn)給另一家實體店.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，該實體店的銷售量為線上專營店銷售量的80%，以線上專營店這20天的試銷量估計該實體店連續(xù)20天的銷售量.以該實體店連續(xù)20天銷售該款襯衫的總利潤作為決策，試問該實體店每天應該批發(fā)2大箱襯衫還是2小箱襯衫？【解題思路】（1）先利用不等式性質(zhì)求得要使得日銷售總利潤高于9500元時日銷售襯衫的件數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)頻數(shù)分布圖計算對應的天數(shù)，從而求得響應頻率；.（2）由題可知，該實體店20天的日銷售量情況為3天日銷售量為48件，6天日銷售量為80件，7天日銷售量為128件，4天日銷售量為160件.分別就選擇批發(fā)2小箱時和2大箱時各種情況下的日利潤列舉計算，并求得相應的總利潤，進行比較大小即可做出判斷.【解答過程】解：（1）因為試銷期間每件襯衫的利潤為260?200=60元，所以要使得日銷售總利潤高于9500元，則日銷售襯衫的件數(shù)大于950060故所求頻率為7+420（2）由題可知，該實體店20天的日銷售量情況為3天日銷售量為48件，6天日銷售量為80件，7天日銷售量為128件，4天日銷售量為160件.若選擇批發(fā)2小箱，則批發(fā)成本為60×2×165=19800元，當日銷售量為48件時，當日利潤為48×360+0.8×120?48當日銷售量為80件時，當日利潤為48×360+0.8×120?80當日銷量為128件或160件時，當日利潤為120×360?19800=23400元.所以這20天銷售這款襯衫的總利潤為6984×3+14280×6+23400×11=364032元.若選擇批發(fā)2大箱，則批發(fā)成本為70×2×160=22400元，當日銷售量為48件時，當日利潤為48×360+0.8×140?48當日銷售量為80件時，當日利潤為80×360+0.8×140?80當日銷量為128件時，當日利潤為128×360+0.8×140?128當日銷售量為160件時，當日利潤為140×360?22400=28000元.所以這20天銷售這款襯衫的總利潤為6656×3+14080×6+25216×7+28000×4=392960元.因為392960>364032，所以該實體店應該每天批發(fā)2大箱襯衫.21．（2023秋·海南儋州·高二期末）某車站在春運期間為了了解旅客購票情況，隨機抽樣調(diào)查了200名旅客從開始在售票窗口排隊到購到車票所用的時間t(以下簡稱為購票用時，單位為min)，下面是這次調(diào)查統(tǒng)計分析得到的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)，解答下列問題：分組頻數(shù)頻率一組5≤t<15200.10二組15≤t<25ba三組25≤t<35c0.50四組35≤t≤45600.30合計2001.00(1)（直接填空）這次抽樣的樣本容量是？(2)分別求出表中缺失的數(shù)據(jù)a，b，c；并將頻率分布直方圖補充完整；(3)用每一組的兩個端點的平均值來代替這一組的數(shù)據(jù)，求這個車站每位旅客購票平均所用的時間.【解題思路】（1）根據(jù)已知條件求得樣本容量；（2）根據(jù)頻率、頻數(shù)求得a,b,c，根據(jù)頻率分布直方圖的知識補全頻率分布直方圖；（3）根據(jù)由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求得平均數(shù).【解答過程】（1）依題意可知樣本容量是200.（2）a=1?0.3?0.5?0.1=0.1，b=200×0.1=20,c=200×0.5=100，第一組和第二組的頻率相同，由此補全頻率分布直方圖如下圖所示：（3）每位旅客購票平均所用的時間為10×0.1+20×0.1+30×0.5+40×0.3=30分鐘.22．（2022春·湖北十堰·高一階段練習）某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中x的值；(2)估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；(3)估計全校學生的平均成績.【解題思路】（1）由頻率之和為1，即可求得x；（2）由百分位數(shù)的定義即可求得樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（3）由頻率分布直方圖即可求得平均數(shù)；【解答過程】（1）由0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1，得x=0.03（2）低于90分的頻率為1?0.4=0.6，設樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為n則n?90100?90=0.2（3）平均成績?yōu)?5×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84.23．（2022春·山東聊城·高一階段練習）共享單車入駐某城區(qū)5年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)保”的理念而備受人們的喜愛，值此5周年之際，某機構為了了解共享單車使用者的年齡段、使用頻率、滿意度等三個方面的信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放10000份調(diào)查問卷，回收到有效問卷6300份，現(xiàn)從中隨機抽取160份，分別對使用者的年齡段、26～35歲使用者的使用頻率、26～35歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個表格：表（一）使用者年齡段25歲以下26歲～35歲36歲～45歲45歲以上人數(shù)40802020表（二）使用頻率0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人數(shù)10204010表（三）滿意度非常滿意（10）滿意（9）一般（8）不滿意（7）人數(shù)30202010(1)依據(jù)上述表格完成下列三個統(tǒng)計圖形：(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口80萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在26歲～35歲之間，每月使用共享單車在7～14次的人數(shù).【解題思路】（1）依據(jù)表格完成三個統(tǒng)計圖形即可；（2）由表（一）年齡在26歲～35歲之間的人數(shù)占總抽取人數(shù)的比估算80萬人口中年齡在26歲～35歲之間的人數(shù)即可；由表（二）年齡在26歲～35歲之間每月使用共享單車在7～14次之間的人數(shù)占總抽取人數(shù)的比來估算年齡在26歲～35歲之間的40萬人中每月使用共享單車在7～14次之間的人數(shù)可得答案.【解答過程】（1）（2）由表（一）可知年齡在26歲～35歲之間的有80人，占總抽取人數(shù)的12，所以80萬人口中年齡在26歲～35歲之間的約有80×由表（二）可知，年齡在26歲～35歲之間每月使用共享單車在7～14次之間的有20人，占總抽取人數(shù)的12，所以年齡在26歲～35歲之間的40萬人中，每月使用共享單車在7～14次之間的約有40×124．（2022秋·浙江杭州·高二期中）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度）以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如下圖：(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組居民中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則在月平均用電量為[220,240)的居民中應抽取多少戶？【解題思路】對于（1），由各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1可得答案；對于（2），在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積相等，據(jù)此可得答案;對于（3），利用頻率估計月平均用電量為[220,240)的居民在四組中所占比例，即可得答案.【解答過程】（1）因直方圖中，各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1，則0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125×20=1得x=0.0075.（2）因前3個矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011×20=0.45<0.5前4個矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011+0.0125×20=0.7>0.5則中位數(shù)在220,240內(nèi)，設為y，則y?220×0.0125=0.5?0.45得y=224.即中位數(shù)為224.（3）月平均用電量為[220,240)的居民對應的頻率為：0.0125×20=0.25.又由（2）分析可知，月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組居民對應頻率之和為：1?0.45=0.55.則應抽取居民的戶數(shù)為：11×0.2525．（2022秋·北京·高一階段練習）研究表明，在中學階段閱讀的書籍往往能夠?qū)W生產(chǎn)生更深刻的影響.因此，提高中學生的課外閱讀能力也成為我們在中學教學中極為重要的活動.某校學生共2000人，為了解該校學生的課外閱讀情況，隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)10,2622,4834,61646,82358,1025610,1212712,146814,162916,182合計100(1)求頻率分布直方圖中的a，b的值：(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本的眾數(shù)和中位數(shù)：(3)為鼓勵學生們開展課外閱讀，學校決定根據(jù)一周課外閱讀時間的長短設一、二、三等獎，并為每位同學購買書籍作為獎勵，如下表：閱讀時間（單位：小時）[0，6）[6，12）[12，18）獎項三等獎二等獎一等獎獎品（單位：本）123用樣本估計總體，學校需購置多少本書籍？【解題思路】（1）直接計算即可.（2）前3組的頻率和為0.3，前4組的頻率和為0.53，根據(jù)公式計算得到答案.（3）分別計算各個級別的概率，再計算得到答案.【解答過程】（1）a=16100÷2=0.08（2）樣本的眾數(shù)為：8+102前3組的頻率和為：0.06+0.08+0.16=0.3，前4組的頻率和為：0.06+0.08+0.16+0.23=0.53樣本的中位數(shù)為：0.5?0.30.23（3）三等獎的概率為：6+8+16100二等獎的概率為：23+25+12100一等獎的概率為：6+2+2100故需要準備的書共：2000×0.3×1+2000×0.6×2+2000×0.1×3=3600.26．（2022秋·陜西榆林·高三階段練習）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了100戶居民去年一年的月均用電量，發(fā)現(xiàn)他們的月均用電量都在50kW?h(1)求圖中a的值；(2)為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯式遞增電價（第一檔電量滿足居民基本用電需求，電價最低；第二檔電量反應正常合理用電需求，電價較高；第三檔電量體現(xiàn)較高生活質(zhì)量用電需求，電價最高）定價，希望使不少于85%的居民繳費在第一檔，求第一檔月均用電量的最低標準值（單位：kW?【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1可求出a；（2）從最低頻率開始找出一個最接近85%的直方圖右端點，然后對下一個直方圖中找出大致的85%所對應的數(shù)值即可.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1，解得a=0.006.（2）∵前四組的頻率之和為(0.0024+0.0036+0.006+0.0044)×50=0.82<0.85，前五組的頻率之和為(0.0024+0.0036+0.006+0.0044+0.0024)×50=0.94>0.85，∴頻率為0.85時對應的數(shù)據(jù)在第五組，∴第一檔月均用電量的最低標準值為250+0.85?0.8227．（2022·云南玉溪·模擬預測）全民健身，強國有我，某企業(yè)為增強廣大職工的身體素質(zhì)和健康水平，組織全體職工開啟了“學習強國”平臺的強國運動項目，為了解他們的具體運動情況，企業(yè)工會從該企業(yè)全體職工中隨機抽取了100名，統(tǒng)計他們的日均運動步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：(1)求直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)職工日均運動步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(3)若該企業(yè)恰好有15【解題思路】（1）由頻率和為1列式求解，（2）（3）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，【解答過程】（1）由頻率分布直方圖得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1，解得a=0.04．（2）設平均數(shù)為x，則x=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×