高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題

聚焦高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題——高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的特點和導(dǎo)向研究高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的意義和價值

高校要選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的人才，高考數(shù)學(xué)就必須重視對學(xué)生創(chuàng)新意識的考查，因此，設(shè)計創(chuàng)新題是選拔高素質(zhì)人才的必然要求.

認真研究創(chuàng)新題的特點，可以揣摩命題教師的設(shè)計意圖，深刻領(lǐng)會“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，準確把握《考試大綱》的要求，對搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考是十分有益的.特別是一些令人津津樂道的優(yōu)秀創(chuàng)新題，還可研究其獨特的教學(xué)功能，既可作為教學(xué)的例題、練習(xí)題、測試題，更可用作研究性教學(xué)的問題加以開發(fā).怎樣研究高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題？研究視角試題背景試題設(shè)問試題評價試題拓展試題立意試題解法研究宗旨——深刻領(lǐng)會能力立意的命題指導(dǎo)思想研究價值——對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有強力導(dǎo)向作用

考綱對考查創(chuàng)新意識是如何界定的？對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融合的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題是指從測量考生的開展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手，突出能力考查的新穎問題.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的命題指向何在？三是控制難度，表達“新題不難、難題不怪”的特點.一是加強創(chuàng)新意識的考查，有利于實現(xiàn)選拔功能.

二是深化課改，促進能力立意命題的實踐和開展.以數(shù)學(xué)內(nèi)容為基點，以根本的推理和思維要求為立足點，突出考查學(xué)生一般能力的表現(xiàn)，測量學(xué)生的學(xué)習(xí)能力——選材與立意；以多元化、多途徑、開放式的設(shè)問背景，比較客觀、全面地測量學(xué)生觀察、試驗、聯(lián)想、猜測、歸納、類比、推廣等思維活動的水平，激發(fā)學(xué)生探索精神和求異創(chuàng)新思維——背景與設(shè)問；以源于社會、源于生活的問題考查學(xué)生，有效地測量學(xué)生抽象、概括以及建立數(shù)學(xué)模型的能力，促使學(xué)生認識世界、把握問題的本質(zhì)、籌劃應(yīng)對的策略——實際與應(yīng)用.

其一是對能力的成分和要求進行了必要的調(diào)整.

其二是在命題實踐上進行了新的嘗試.

其三是研究開發(fā)新的試題模式和考查方式.

知識過程探索型解題方法實驗操作立意定義型信息型直觀型推理型背景分類往往交叉滲透高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題有哪些常見類型？條件開放開放型策略開放設(shè)問結(jié)論開放條結(jié)雙開放展現(xiàn)學(xué)習(xí)成果研究型彰顯課改理念情境體現(xiàn)數(shù)學(xué)交流凸現(xiàn)數(shù)學(xué)思想一是立意的鮮明性；二是背景的深刻性；三是情境的新穎性；四是設(shè)問的巧妙性.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題“新”在哪里？立意是試題的考查目的，即以能力立意為中心，選擇適當?shù)目疾閮?nèi)容，設(shè)計恰當?shù)脑O(shè)問方式，把具有開展能力價值、富有開展?jié)摿?、再生性強的知識、方法、能力作為切入點，從測量考生的開展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手突出能力考查.一般以根底知識、根本方法和數(shù)學(xué)思想為載體，其立意的角度很多，如考查根底知識的靈活性應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)思想方法，考查以數(shù)學(xué)思維能力為重點的各種能力，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探究意識，考查進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的潛能等.一、立意的鮮明性

立意的鮮明性—多考點想，少考點算

立意的鮮明性—多考點想，少考點算〔2001全國卷理科第12題〕如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞.那么單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為A.26B.24C.20D.19二、背景的深刻性一是高等數(shù)學(xué)背景.高等數(shù)學(xué)的根本思想和方法是考查學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的良好素材，很難在復(fù)習(xí)資料和模擬試題中找到，解答往往沒有現(xiàn)成的方法可套，會使一些考生感到難以入手，從而使其具有很好的區(qū)分度和甄別功能.二是新課程改革背景.新課標卷突出能力立意命題與時俱進的特點，圍繞對數(shù)學(xué)知識、理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新和數(shù)學(xué)人文價值等四個方面的考查設(shè)計試題，開發(fā)了一些融知識、方法、思想、能力與素質(zhì)于一體的背景新穎、內(nèi)涵深刻、富有新意的創(chuàng)新題，真正考查出考生的學(xué)習(xí)潛能和個性品質(zhì).三是實際生活背景.在堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原那么下，近幾年應(yīng)用題的編擬更加重視語言簡潔、準確，背景清新、近人，模型具體、簡明，方法熟悉、簡便，突出了對數(shù)學(xué)思想方法和實踐能力的考查.

背景的深刻性—高觀點型

背景的深刻性—高觀點型2008年高考數(shù)學(xué)湖北卷選擇題第10題考生選項比率分布科類答案選項分布（%）難度區(qū)分度ABCD空文科B6.4539.1316.4137.800.210.390.27理科B3.6955.746.1834.280.110.560.33從考生答卷的選項比率分布情況來看，此題非正確選項的選答率雖均屬正常，但其中文科選擇正確答案B的考生只占39.13％，而誤選答案D的考生高達37.80％，兩者十分接近；與文科相比，理科有超過半數(shù)以上的考生選擇了正確答案B〔占55.74％〕，但誤選答案D的考生仍占有34.28％.說明這局部考生對③式與④式的識別存在著模棱兩可的現(xiàn)象.假設(shè)將原題中③式與④式的不等號互換一下，這樣②④兩式正確，正確答案變成選D，會降低此題的難度.試題評價：統(tǒng)計數(shù)據(jù)說明為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運會，我國發(fā)射了“中星九號”播送電視直播衛(wèi)星，它離地球外表的距離約為36000km.地球半徑約為6400km，那么“中星九號”覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點的球面距離的最大值約為km.〔結(jié)果中保存反余弦的符號〕〔2009年湖北卷理科第13題〕如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播，電視信號能夠傳送到達的地面區(qū)域，稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域.衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域圖

背景的深刻性—實際應(yīng)用型【原材料】我國為了轉(zhuǎn)播2008北京奧運會,特地發(fā)射了電視衛(wèi)星“中星九號”,它是一個地球同步衛(wèi)星,定位在赤道上東經(jīng)92.2度處〔過東經(jīng)92.2度的子午線大約通過哈密上空〕.它的腳印〔footprint〕能夠覆蓋全國嗎?〔《遙望星空〔一〕、〔二〕》——齊民友著〕【題1】我國第一顆人造地球衛(wèi)星的遠地點距地面2384km，在這時約有多少千米上的人能看到這顆衛(wèi)星？〔《立體幾何》全一冊P96習(xí)題第10題〕【題2】要使電視衛(wèi)星的電波，能直射到點球外表的三分之一，衛(wèi)星要發(fā)射到多高？〔《立體幾何》全一冊P122總復(fù)習(xí)參考題第7題〕試題背景：相關(guān)素材試題評價：數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)據(jù)說明題號滿分最高分最低分平均分難度區(qū)分度135501.460.290.52三、情境的新穎性情境是立意的材料與介質(zhì)，情境與問題相伴，問題是情境的核心，情境因問題而存在.情境的新穎性是創(chuàng)新型試題的一個共同特點.情境新穎的試題，對廣闊考生而言是全新的、公平的，靠“解題套路”、“猜題押題”、“密卷寶典”和“題海戰(zhàn)術(shù)”是難以奏效的.考生應(yīng)對情境新穎的試題，一般需要具有自主學(xué)習(xí)的能力，即會搜集、提煉、加工信息，對閱讀內(nèi)容進行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，然后通過分析、演算、歸納、猜測、類比或論證等方法解決新的數(shù)學(xué)問題.

情境的新穎性—學(xué)習(xí)遷移型

情境的新穎性—定義、直觀、推理型四、設(shè)問的巧妙性設(shè)問是試題的呈現(xiàn)形式.高考創(chuàng)新題往往通過巧妙設(shè)問、精心設(shè)置問題，常常暗含著命題教師很深的設(shè)計意圖，通常是為考生從不同角度、運用不同思維方法求解問題預(yù)設(shè)了多種解題途徑，提供了充分展示能力的空間.創(chuàng)新型的解答題，往往采用分步設(shè)問〔如遞進式、并列式、類比式、開放式等〕，或問與問之間相互獨立，彼此并列，互不包含，互不影響，前一問做錯，不影響后一問的正確解答；或問與問之間相互銜接、遞進排列、拾級而上，使優(yōu)秀考生能夠脫穎而出.

設(shè)問的巧妙性—課改導(dǎo)向型

請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟.

【例5】（2009年海寧卷理科第17題）如圖，為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)，飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離.一縷陳年老窖深港飄香聞香和暢飲皆回味悠長立意的鮮明性：考查算法思想和實踐能力；背景的實際性：兩個不可到達點的距離測量問題；選材的文本性：源于課本，活于課本，高于課本；設(shè)問的開放性：開放有度，解決方案靈活多樣.試題評價：緊貼課改，彰顯理念問渠哪得清如許，唯有活水源頭來〔人教A版必修5，1.2應(yīng)用舉例〕例2如圖，A、B兩點都在河的對岸〔不可到達〕，請設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法.分析：可計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離，再測出∠BCA的大小，借助余弦定理可計算出A、B兩點間距離.問渠哪得清如許，唯有活水源頭來〔人教A版必修5，1.2應(yīng)用舉例復(fù)習(xí)參考題A組第5題〕如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為，，如果這時氣球的高度是h，求河流的寬度BC.分析：可計算出AC、AB和∠BAC的大小，借助余弦定理可計算出河流的寬度BC；設(shè)過點A的垂線與BC的延長線交于點D，那么可算出BD和CD后，直接求出河流的寬度BC.

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2d②【方案1】選擇三角形AMN.第一步：由正弦定理分別計算AM，AN；第二步：由余弦定理計算MN.【方案2】選擇三角形BMN.第一步：由正弦定理分別計算BM，BN；第二步：由余弦定理計算MN.

【方案3】等積法.第一步：利于三角形面積公式分別計算BM，BN；第二步：由余弦定理計算MN.一覽廬山真面目，方知身在此山中

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2xy【方案6】解析法.第一步：建系設(shè)點；第二步：求出點M、N的坐標；第三步：由距離公式求出MN.【方案4】構(gòu)造直角三角形.第一步：作輔助線添輔助量；第二步：由余弦定理計算MN.

設(shè)問的巧妙性—研究性學(xué)習(xí)型值得提到的是，試題語言表述上有所缺陷，與評價標準形成矛盾.一是所舉的兩個例子是并列關(guān)系，并沒有反映出“價值傾向”；二是“有意義”〔客觀存在的、有研究價值〕的涵義過于寬泛，指向性不夠明確，改為“有價值”〔涵蓋價值上下之意〕更有利于評價標準的制定，即根據(jù)問題提出的優(yōu)劣、解決問題的難易、研究價值思維層次的上下等進行評價.為此，可將原題修改如下：該題要求考生類比提出問題并解決問題，考核考生提出問題的思維水平和解決問題的策略方法，具有很好地甄別思維水平的功能，是上海對研究型問題考查的一種有益的嘗試〔五級評價標準〕.試題研究：評價標準與改進建議

設(shè)問的巧妙性—研究性學(xué)習(xí)型試題開發(fā)：再編制研究性學(xué)習(xí)問題【說明】由于兩小題都是完全開放性問題，且沒有給出具體評價的角度，因此，學(xué)生可從逆向問題的難度、價值大小以及與原問題的關(guān)聯(lián)程度等角度進行評價.一是立足根底、回歸課本—著力凸現(xiàn)新課改理念改變“重教輔、輕教材”的教學(xué)傾向，挖掘教材的創(chuàng)新功能，提高教材的使用效率，突出“一個核心”.二是優(yōu)化知識的學(xué)習(xí)過程—有效改進課堂教學(xué)改變“重方法和技巧、輕理解和體驗”的做好，關(guān)注“兩個過程”.三是強化數(shù)學(xué)的理解性學(xué)習(xí)—倡導(dǎo)為遷移而教改變“大容量、快節(jié)奏、高密度、超強度”的機械模仿訓(xùn)練，回歸數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本原意義的“三個理解”.四是全面培養(yǎng)思維能力—讓創(chuàng)新意識在課堂中流淌改變“重題型套路訓(xùn)練，輕創(chuàng)新意識培養(yǎng)”的老路，加大對“考綱”所要求的“五大數(shù)學(xué)能力”和“兩種數(shù)學(xué)意識”的培養(yǎng)和提升.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的導(dǎo)向功能高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的評價問題二是PISA〔ProgrammeforInternationalStudentAssessment〕，即學(xué)生能力國際評價，是經(jīng)濟合作與開展組織〔OECD〕開展并組織實施的教育成效評價研究工程.主要測試15歲學(xué)生在數(shù)學(xué)、閱讀和科學(xué)領(lǐng)域運用知識和技能解決現(xiàn)實問題的能力.其中，PISA對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的六級評價框架是值得我們評價學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)能力借鑒的.一是SOLO〔StructureoftheObservedLearningOutcom，即“可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)”〕分類評價理論，是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授比格斯〔〕倡導(dǎo)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評價方法.參見《數(shù)學(xué)教學(xué)》2008.9和《數(shù)學(xué)通報》2009.7

只要課堂教學(xué)“準、實、活”，高考創(chuàng)新就會“真、善、美”.