2020年中考數(shù)學第三輪沖刺專題復習：三角形 壓軸題練習(含答案)

四川省渠縣崇德實驗學校2020年中考數(shù)學第三輪沖刺專題復習：三角形壓軸題練習1、如圖，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AC邊上一點，∠CBD＝30°，點E是BD邊上一點，且CE＝1AB．2（1）如圖①，若AB＝22，求SCBE（2）如圖②，過點E作EQ⊥BD交BC于點Q，求證：AC＝1BD+2EQ．22、如圖，等邊三角形ABC中，E是線段AC上一點，F(xiàn)是BC延長線上一點．連接BE，AF．點G是線段BE的中點，BN∥AC，BN與AG延長線交于點N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求證：2AG＝AF．3、已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，連接CD．點E為邊AC上一點，過點E作EF∥AB，交CD于點F，連接EB，取EB的中點G，連接DG、FG．（1）求證：EF＝CF；（2）求證：FG⊥DG．4、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，連接DH，求證：（1）EH＝FH；（2）∠CAB＝2∠CDH．5、如圖，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，點G是BF的中點，連接EG．（1）求證：EG∥BC；（2）若△ACD∽△AEC，且AE?AD＝16，AB＝4，求EG的長．6、如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2＝AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求AC的值．AF7、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，M是CD中點，且∠AMD＝∠BMD，AP∥CD交BC延長線于P點，延長BM交PA于N點，且PN＝AN．（1）求證：MN＝MA；（2）求證：∠CDA＝2∠ACD．8、如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，點D在邊AB上，點E在邊AC的左側，連接AE．（1）求證：AE＝BD；（2）試探究線段AD、BD與CD之間的數(shù)量關系；（3）過點C作CF⊥DE交AB于點F，若BD：AF＝1：22，CD＝3+6，求線段AB的長．9、如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD＝DE．（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD＝CE．（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數(shù)量關系，并證明你的結論：（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F．）（3）若點D在線段AC的延長線上，（2）中的結論是否仍成立？如果成立，給予證明；如果不成立，請說明理由．10、在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，E為邊AC上一點，連接BE．（1）如圖1，若∠ABE＝15°，O為BE中點，連接AO，且AO＝1，求BC的長；（2）如圖2，D為AB上一點，且滿足AE＝AD，過點A作AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M，求證：BG＝AF+FG．11、如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，點D，E分別為AB，BC上一點，BD＝BE，連接DE，DC，AC＝CD．（1）如圖1，若AC＝310，DE＝23，求EC的長；（2）如圖2，連接AE交DC于點F，點M為EC上一點，連接AM交DC于點N，若AE＝AM，求證：2DE＝MC；（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝45°，直接寫出線段AD，MC，AC的等量關系．12、把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時AP?CQ的值為．將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，則AP?CQ的值是否會改變？答：．（填“會”或“不會”）此時AP?CQ的值為．（不必說明理由）（2）在（1）的條件下，設CQ＝x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關系式．（圖2、圖3供解題用）（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說明理由．14、已知：△ABC與△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出問題：如圖1，當∠ADB＝∠ACB＝90°時，求證：AD＝BC；類比探究：如圖2，當∠ADB≠∠ACB時，AD＝BC是否還成立？并說明理由．綜合運用：如圖3，當β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC時，求AC的長．15、已知△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，在△ADE中，AD＝AE，連接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求證：BD＝CD；（2）如圖2，在△ADE中，AD＝AE，連接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于點F，AE＝4，AC=7，求BE的長；（3）如圖3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，連接AD，若∠CAB＝45°，求的值．ADAB16、已知等邊△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如圖1，點D在BC上，點E在AB上，P是BE的中點，連接AD，PD，則線段AD與PD之間的數(shù)量關系為；（2）如圖2，點D在△ABC內部，點E在△ABC外部，P是BE的中點，連接AD，PD，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點D在△ABC內部，點E和點B重合，點P在BC下方，且PB+PC為定值，當PD最大時，∠BPC的度數(shù)為．參考答案1、【解答】（1）解：如圖①中，作CH⊥BD于H．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝22，∴AC＝BC＝2，在Rt△BCH中，∵∠CBH＝30°，∴CH＝1BC＝1，BH＝3，21AB＝2，2∵CE＝∴HE＝EC-CH＝1，∴BE＝3﹣1，∴SCBE＝3-111?BE?CH＝?（3﹣1）?1＝．222（2）證明：如圖②中，連接DQ、作CH⊥BD于H．∵CECH1=＝，∠CHE＝∠ACB＝90°，ABBC2∴△CHE∽△ACB，∴∠CEH＝∠ABC＝45°，∵∠DCQ＝∠DEQ＝90°，∴∠DCQ+∠DEQ＝180°，C、D、E、Q四點共圓，∴∠CQD＝∠CED＝45°，∴△CDQ是等腰直角三角形，∴CD＝CQ，AD＝BQ，∵AC＝CD+AD，CQ＝CQ＝1BD，BQ＝2EQ，2∴AC＝1BD+2EQ．22、【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵點G是線段BE的中點，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，∵AG＝NG＝12AN，∴AF＝2AG．120°﹣15°＝45°；3、【解答】證明：（1）如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，∴CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD＝又EF∥AB，1AB．2∴EFCF=，ADCDEFAD=＝1，CFCD∴∴EF＝CF；（2）如圖，延長DG交BC于點M，連接GM∴DM為△BAC的中位線，GM為△BEC的中位線，DG為△BAE的中位線；∴DG＝AEEC，GM＝，22∴DMAE+ECEC==1+，DGAEAE又EF∥AB，易證得ECFC，=AEDF∴DMECFCDF+FCDF=1+=1+==，DGAEDFDFFC在△DGF與△DMC中，有∠FDG=∠CDM，DMDC；=DGDF故△DGF∽△DMC；所以∠FGD＝∠CMD；又∠CMD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠FGD＝90°，∴FG⊥DG．4、【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CAE+∠AEC＝∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠AEC，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∵CH⊥EF，∴HE＝HF；（2）∵∠ADF＝∠CHF＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴△ADF∽△CFH，∴CFHF，=AFDF∵∠AFC＝∠DFH，∴△AFC∽△DFH，∴∠CAF＝∠CDH，∵∠CAD＝2∠CAF，∴∠CAB＝2∠CDH．5、【解答】證明：（1）∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠FAE．∵CE⊥AD，∴∠CEA＝∠FEA＝90°．在△ACE和△AFE中，∠CAE=∠FAE，AE=AE，∠CEA=∠FEA=90°，∴△ACE≌△AFE．∴CE＝FE．又∵G是BF的中點，∴EG∥BC．（2）∵△ACD∽△AEC，CE⊥AD，ACAE=∴∠ACD＝∠AEC＝90°，且．ADAC∴AC2＝AE?AD＝16．∴AC＝4．在Rt△ABC中，AB＝45，AC＝4，由勾股定理得：BC＝∵EG是△FBC的中位線，AB+AC＝80-16＝8．∴EG＝11BC=×8=4．226、【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE＝1AB＝AE，2∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝1AB，2∴CE＝1×6＝3，2∵AD＝4，∴4AF，=3CF∴7AC．=4AF7、【解答】證明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD＝∠MAN，∠BMD＝∠MNA，∵∠AMD＝∠BMD，∴∠MAN＝∠MNA，∴MN＝MA．（2）如圖，連接NC，∵AP∥CD，且PN＝AN．∴＝＝，∴MC＝MD，∴CN為直角△ACP斜邊AP的中線，∴CN＝NA，∠NCA＝∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC＝∠ACD，∴∠NCM＝2∠ACD，∵∠CMN＝∠DMB，∠DMA＝∠BMD，∴∠CMD＝∠DMA，在△CMN和△DMA中，CM=MD，∠CMN=∠DMA，MN=MA，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM＝∠NCM＝2∠ACD．即：∠CDA＝2∠ACD．8、【解答】（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝2CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：連接EF，設BD＝x，∵BD：AF＝1：22，則AF＝22x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝2AF+AE＝（22）+x2＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2（3+6），∴x+（22x+3x）=2解得x＝1，∴AB＝22+4．9、【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D為AC中點，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如圖2，過D作DF∥BC，交AB于F，則∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠BFD=∠DCE，BD=DE，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）（2）中的結論仍成立，如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，∵△ABC是等邊三角形，∴△APD也是等邊三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，∠FDB=∠DEC，∠P=∠DCE=60°，DB=DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．10、【解答】（1）解：如圖1中，在AB上取一點M，使得BM＝ME，連接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，設AE＝x，則ME＝BM＝2x，AM＝3x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x3+x）2+x2＝22，∴x＝6-2（負根已經(jīng)舍棄），26-22∴AB＝AC＝（2+3）?∴BC＝2AB＝3+1．（2）作CQ⊥AC，交AF的延長線于Q，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，F(xiàn)G⊥CD，∴∠AEB＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，∵∠ABE＝∠CAQ，AB＝AC，∠BAE＝∠ACQ＝90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE＝AQ，∠AEB＝∠Q，∴∠CMF＝∠Q，∵∠MCF＝∠QCF＝45°，CF＝CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM＝FQ，∴BE＝AQ＝AF+FQ＝AF＝FM，∵EG＝MG，∴BG＝BE+EG＝AF+FM+MG＝AF+FG．11、解：（1）如圖1，過點C作CG⊥AB于G，∴∠AGC＝∠AGB＝90°，∵AC＝CD，∴AG＝DG，設DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD＝DE＝23，∴BG＝BD+DG＝23+a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°﹣∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝3BG＝6+3a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝310，根據(jù)勾股定理得，CG2+DG2＝CD2，∴（6+3a）2+a2＝90，∴a＝-33+9-33-9或a＝（舍），22∴BC＝EC+BE＝EC+BD，∴EC+BD＝2（BD+DG），∴EC＝BD+2DG＝2+2a＝2+2×＝9﹣；（2）如圖2，在MC上取一點P，使MP＝DE，連接AP，∵△BDE是等邊三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，過點M作AC的平行線交AP的延長線于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP+CP＝2DE；（3）如備用圖，在MC上取一點P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等邊三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，過點A作AH⊥BC于H，設BH＝m，在Rt△ABH中，AH＝3BH＝3m，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH＝3m，AC＝2AH＝6m，∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m+3m＝（1+3）m，∴MC+AD＝6+32AC．612、【解答】解：（1）8，不會，8；∵∠A＝∠C＝45°，∠APD＝∠QDC＝90°，∴△APD∽△CDQ．∴AP：CD＝AD：CQ．∴即AP×CQ＝AD×CD，∵AB＝BC＝4，∴斜邊中點為O，∴AP＝PD＝2，∴AP×CQ＝2×4＝8；將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．∵在△APD與△CDQ中，∠A＝∠C＝45°，∠APD＝180°﹣45°﹣（45°+a）＝90°﹣a，∠CDQ＝90°﹣a，∴∠APD＝∠CDQ．∴△APD∽△CDQ．∴APCD=，ADCQ∴AP?CQ＝AD?CD＝AD2＝（1AC）2＝8．2（2）當0°＜α≤45°時，如圖2，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，∵O是斜邊的中點，∴DM＝DN＝2，∵CQ＝x，則AP＝8，x∴SAPD＝1881??2＝，SDQC＝x×2＝x，2xx2∴y＝8﹣8﹣x（2≤x＜4），x當45°＜α＜90°時，如圖3，過點D作DG⊥BC于G，DG＝2∵CQ＝x，∴AP＝8，x8﹣4x∴BP＝∵BPBM=，DGMG82x2-MG即x=，MG＝4-x2MG2xx-4x+8∴MQ＝+（2﹣x）＝4-x4-xx-4x+8∴y＝（0＜x＜2）；4-x（3）在圖（2）的情況下，∵PQ∥AC時，BP＝BQ，∴AP＝QC∴x＝8，解得x＝22，x822﹣22＝8﹣42．∴當x＝22時，y＝8﹣14、【解答】提出問題：解：在△DBA和△CAB中，∠ADB=∠ACB，∠CAB=∠DBA，AB=BA∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；類比探究：結論仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．綜合運用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．由（2）得，AD＝BC＝BE＝1．在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°．由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，∴EF＝BE＝1．在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CFB．∴CBCF=，令CE＝x，CECB∴1＝x（x+1）．5-1解得，x＝，25+1．2∴CF＝由∠FBC＝∠C，∴BF＝CF．又AF＝BF，∴AC＝2CF＝5+1．15、【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如圖2中，連接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝1∠DEA＝30°2∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC＝7，∠EFA＝∠AFC＝90°，