2023年甘肅省平?jīng)鍪谐煽紝Ｉ靖叩葦?shù)學(xué)二自考真題(含答案帶解析)

2023年甘肅省平?jīng)鍪谐煽紝Ｉ靖叩葦?shù)學(xué)

二自考真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

設(shè)Rj■)是小r)的一個(gè)原函數(shù),則＞'∕S')dr等于()

A.Hex)+CB.-F?e^r)+CC.Ftrτ)+CD.-F(√)+C

sin(Zx2-ax),

設(shè)2Iaim---------------=1則a=

2.7X

A.A.-1B.-2C.1D.2

當(dāng)jf?O時(shí)是?τ-^ln(1+1)的

A.較高階的無窮小量

B.等價(jià)無窮小量

C.同階但不等價(jià)的無窮小量

3D.較低階的無窮小量

?

曲線y=a-(x-bY

A.上凹，沒有拐點(diǎn)B.下凹，沒有拐點(diǎn)

C.有拐點(diǎn)(α,b)有拐點(diǎn)S，

4.D.a)

Syβ?xi+SirLr+ln2，則y

A.2x+WsWin?AxA∕

B?2x+co^

C.2'+co”??

D.2×

/(?)=3}_3,則r(i)=

衣JCyjjc

[]

A.-l∕6B.5/6C.-5∕6D.l/6

7.

e

若X=T和x=2都是函數(shù)/(x)=(α+x)e*的極值點(diǎn)，則α,b分別為

A.A.2,-1B.2,lC.-2,-lD.-2,l

8.

設(shè)函數(shù)/(x)=k∑ll(x≠D,則Hm∕(x)=

X-IIl

A.0B.-1C.ID.不存在

9設(shè)/(χ)在[-1,1]上連續(xù)，則J)(-x)dx=

A.A.0

2f'∕(x)dx

B.J°

C-C/(x)dx

D.JK"

cosrf(^in√)ιlz

10.設(shè)F(X)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)

A.F(cosx)+CB.F(sinx)+CC.-F(cosx)+CD.-F(sinx)+C

11.

設(shè)/(H)=4^H3—N,則X=I是/(R)在[-2,2]上的

A.極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)

B.極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

C.極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn)

D.極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

設(shè)z=ln(方+石),則崎+崎等干()

_1_

n

B.2/n

C.1

12.D.2

設(shè)函數(shù)z=∕[x,^x,y)],其中f、G都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則"=

dx

A.衿紅

DR.—??,—??

?xdφ?x?φ

C."+紅3D."-皿

133xZφ?x?φ?x

14.已知f(x)=xe2x,,則F(X)=()o

A.(x+2)e2x

B.(x+2)ex

C.(l+2x)e2x

D.2e2x

若母］則八八工）業(yè)為

A

a?12

Rl-h2

C.2

15.d?ln2

A.arcsinx+CB.-arcsinx+CC.tanx+CD.arctanx+C

17.

設(shè)函數(shù)z由?rcosy+ycosz+NCOSX=1所確定，則全微分dz=

當(dāng)XTo時(shí)，若si∕χ與f是等價(jià)無窮小量，KlJjt=

A.-B.1C.2D.3

19.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=xθ處左右極限都存在并且相等，是它在該點(diǎn)有極

限的()

A.A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.無關(guān)條件

2θXJ/'*1'<?=:ΛI(xiàn)n?I.i∣fI

A.xlnx+C

B.-xlnx+C

+c

C.?

-Inι?(.,

FLA1.I

設(shè)函數(shù)Z=*',則M=()

21.Hy

A.xyB.xylnyC.xylnxD.yxy-1

??設(shè)函數(shù)＞=/(，)在點(diǎn)(XJ(X))處的切線斜率為4,則過點(diǎn)(1,0)的切線方程為().

ZZ?X

A.y=x+1

B.y=x-1

1--,

Cy-----+1

V.X

DZ=^?+2

23.下列命題正確的是

A.A.無窮小量的倒數(shù)是無窮大量

B.無窮小量是絕對(duì)值很小很小的數(shù)

C.無窮小量是以零為極限的變量

D.無界變量一定是無窮大量

已知KX+1)=xej*',則/'(X)=

A.XeXB.(x-l)e4tC.(x+l)ejtD.(x+l)ex+l

24.

J(Sin：+l)dX=

OO

πC

-cos—÷x÷C

A.4

B.π4

xsin-+1+C

C.4

?兀.

xsιn—+x+C

D.4

26.

下列等式不成立的是

A.Iim(I+%”=eB.lim(l-?)"=e^l

n

→*nΛ→-n

C.lim(l+?=eD.Iim(I-??=1

"→-n

定積分?^?n?dj=.

27.Jl

28.若隨機(jī)事件A與B互不相容，且P(A)=O.4,P(B)=0.3,則P(A+B)=

OO

A.0.82B.0.7C.0.58D.0.52

29.

∫'j2+xln(l+x2)]dx=

A.4B.2C.OD.-2

設(shè)函數(shù)j?=sin(j√),則戈等于()

A?Xjvcos(X)

B.-?^eos(a?)

C.eos(??r?)

30Γλyeos(?,")

二、填空題(30題)

Iim-U*+3=__________.

3I.L√Γ?-3

32.

極限Iim(H產(chǎn)的值是

分?-JT—T1

A.cB.?C.e,D.0

e

曲線y=In(I+x)的鉛直漸近線是.

34.

t??—1.c

c----------,X≠0?

設(shè)函數(shù)八工)=4?-------------------在I==O處連續(xù)?則

α÷??jrβ0

A.0B.?C.2D.3

35.曲線:y=χ3-3χ2+2x+l的拐點(diǎn)是_________

36.設(shè)f(x)=x3-2x2+5x+l,貝IJr(O)=,

37.

如果b>0,且J,nxdx=l,貝∣J6=.

38.

設(shè)f(x)=χ2,g(x)=e*,則;(g(∕"(x)))=_____________.

Ck

,c將二次積分1力17(?r,y)d?改變積分次序?yàn)?/p>

39.J】J。

40.設(shè)/⑴=LirI,dt?wχ,(f)=-------------

41.曲線y=x3-3x2+5x-4的拐點(diǎn)坐標(biāo)為.

42.

43.

44.

設(shè)函數(shù)N=e”+，,則全微分dz=.

45.函數(shù)y=lnx∕x,貝∣Jy"

46.出心-

設(shè)/(X)=arctanx2.則Iim=

47.I2

r3r3

設(shè)∫∕(x)dr=—lnx--+C?則/(X)=

設(shè)/(X)=/，g(x)=e*,則3(g(f(x)))=

j

50..設(shè)/（工）的一個(gè)瓶函數(shù)是r-.JB∫i

52.

下列極限結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.Iim5?=0BJm2”.瞎=1

LO(e-1)

kDJim(Y?>=1

C.Iim[丫｝=

,1+?rL>JC-1

〈1設(shè)/(N)=,+~L,則/(Z)=

3，Xx=ι

54.

已知/(X-%Xy)=X2+J_χy,則次；。+才(：？)=____________

σx?y

55.

設(shè)函數(shù)y=∕<-2J).R1∣√=

A.∕(-2J)B.-f(-2x)C.2∕(-2J)D.-2∕(-2x)

57.

已知∫fα)dz=F(x)+c,則∫普立dz=,

已知函數(shù)/Cr)=，工^^D('>°”在I=0點(diǎn)極限存在,則α______.

58.…(工<8

59.

當(dāng)JIfQ時(shí)，f(zo+3∕0一“工。一/0+2人是人的高階無窮小量，則/(xo)=

設(shè)Z=InJI+/+)",求dz(l,I).

60.

三、計(jì)算題(30題)

ju

61.設(shè)函數(shù)y=Iy(N)由方程>=(lnj-)?<r*確定.求/.

計(jì)算定積分「√l-eb<lx.

62.」

求械限∣F(}

63.

64.設(shè)函數(shù)LeI卡愕+…力其中,為可導(dǎo)函數(shù)磅

65求!y"'d?rdy?其中區(qū)域D由y=J.>=23=1及J?L2所圉成.

66.求∫6u+"?

67.求解做分方程?rhu?dy+(y-ln?r)<k-()滿足條件Me)=1的特解.

求極限Iime(H--------\

”??>\sin?ar)

68.

69.求函βty=JrarctafLr-In+，的導(dǎo)數(shù)V?

7θ計(jì)算定根分J>∕<Lr.

71求函數(shù)z=arctan(√jr)的全微分.

計(jì)算二重積分J(?r'+y)dxdy.其中D為曲級(jí)y-工，與工二/所圍成的區(qū)域.

已知y'T'=zlru■,求y

73.

74.求做分方程y"-2.v'-3、，-一L.i的通解.

求函數(shù)Z=I的全部二階偏導(dǎo)致?

求極限Iim——「--,tAt.

76.…ZStrUJ0√Γ+37

F求微分方程孚+*=J的通解.

77.d-r工

78.

已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)待解分別為M=3in2j?."=cos2j?.求相應(yīng)

的微分方程.

?計(jì)算flf/J

79LM√J,÷d?.

8。㈣各

求不定積分卜SinXdr.

O??

QC設(shè)之=>/(?)+"?(*)?其中/(M)?K(V)分別為可微函數(shù)?求享，導(dǎo).

82.y?

83求微分方程(、、inrsm?-?)d，dv-0的通解.

求定積分1:L嗯dr.

84.j*v?

設(shè)C=e"ttt"3J,求夫

85.?.

86.求函數(shù)f(x,y)=χ2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

87.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖所示)，其周長(zhǎng)為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬I應(yīng)為多少?

計(jì)算二重積分Urydσ.其中。是由It物線」，r及直線Jr=X2用成.

88.J

89議函數(shù)/可循?襟窗黑.

求不定積分］

--~~TdX.

90.(l+x,)÷

四、綜合題(10題)

求函數(shù)/U)-=?-??++?的單調(diào)區(qū)間和極優(yōu)

91.

92.

設(shè)函數(shù)Fix)=二(了>0),其中/(工)在區(qū)間［α.+8)上連續(xù)./*(外在

(α.+∞)內(nèi)存在且大于零.求證,F")在(α.+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.

Ce證明：當(dāng)1>0時(shí),ln(l+?r)>E-.

93.?+?r

lf/(?)在［a.6］上連續(xù).存在E.M兩個(gè)常數(shù).且稠足“≤A≤'證明，恒有

94.wi(?J,>A/(r?-∕<J?∣>≤M(xl-jr?>.

If網(wǎng)t當(dāng)了■，時(shí).有i!——、InI.

95.

96.證明方程41=2,在［0.1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

求函求V=「(，-DC-2尸山的單洞區(qū)間及極值.

97.

Qq求函數(shù)V=海Tur的削調(diào)區(qū)間和極值.

yO?

99.

設(shè)/Cr)在區(qū)間［α.瓦I上可導(dǎo)，且八公=∕S)=0?證明：至少存在一點(diǎn)￡￡Q,6)?使得

Z(e)+3f,∕<e>=0.

▲i八、、aretan?

ιnn證明，當(dāng)工》。時(shí)Jn(I十公2-G"?

?UU?

五、解答題(10題)

曲線y=∕(x)過原點(diǎn)，且在點(diǎn)X處的斜率為4x,求Iim絆.

Ji→Oχi

101.

102.求由方程Siny+xe>'=O確定的曲線在點(diǎn)(0,冗)處的切線方程。

103.

設(shè)N=InCr2一》2),其中y=求生.

d?

104.

(D求由直線x=0,x=2,y=0與拋物線y=1-HZ所圍成的平面圖形(如圖所

示的陰影部分)的面積S

(2)求上述平面圖形繞?軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.

105.

求極限Iimtan二SinX

AOX

106.(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)?(X)=X-Inx,求?(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

107.

設(shè)函數(shù)Z=Jty+4(2)，其中〃“)是二階可微的?

X

證明，患+y等=斗/電

108.設(shè)函數(shù)y=A∕*+√X,求y

1091''題滿分K分：；IHI.in!.tn?dr

110；欲做一個(gè)表面積等于2a的長(zhǎng)方體盒子,問怎樣做才能使其容積量大?

六、單選題(0題)

I

..X-I

Iime=

JrTl

A.0B.1

U]C.+∞D(zhuǎn).不存在且不是+<?

參考答案

1.B

2.A

等價(jià)代換.

l.sin(2x?-or)l2x?-OX=S

*I→im?-------X-------≡≡=I*im→?-----X-----=-α=l所以。-I

3.C

［解析］函數(shù)的定義域?yàn)椋?-O,+8)?

1-i

y,=--(χ-b)3

2--

yβ=-(χ-b)3

當(dāng)x=b時(shí)，,，”不存在.因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在x=b點(diǎn)處連續(xù)，且

當(dāng)x<b時(shí)，y”<0,曲線y下凹：當(dāng)x>b時(shí)，y”>0,曲線y上凹.

所以x=b是曲線y的拐點(diǎn)橫坐標(biāo).y(b)=α?

4.D故曲線的拐點(diǎn)為：仍，α)?

5.B

6.B

S/(x)=-4=1=HT-HT,所以/'(1)=--∣-χ4+JrT,故∕,(1)=--∣?÷4-=4^?

GHG32326

7.B

—~b~~~bx~Cib

因?yàn)镺=d+(…吐(-與二母"：竺

XX

由于X=-LX=2是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)。

.fl+b-ab=O

所以《

4-2b-ab=Q

解得a=2?b=1

8.D解析

先去函數(shù)的絕對(duì)值，使之成為分段函數(shù)；然后，運(yùn)用函數(shù)在一點(diǎn)處極

限存在的充分必要條件進(jìn)行判定.

由?/.(.χ).=jIX-I-Tl=1?-?,χ<ι.

x-l[1x>l

因?yàn)镮imy(X)=Hm(T)=-I

XTl-x→Γ

Iim/(x)=Iim1=1

x→]*xτl+

Iim/(x)≠Iim/(x)

XTl-x→l*

所以Iimf(x)不存在.

9.D

因?yàn)?(x)在卜L1]上連續(xù)，其奇偶性不知道，排除A與B,乂

yxll

∫'/(-x)dx-~∫∕(r)(-dr)=∫ι∕(x)dχ.故選D.

10.B

“=SinXC

eos?/(sin?)d?=If(Sin?)doin?∣J/(u)du=F(u)+C=F(sinx)+C.

11.B

12.A

ez?f?f?v?f?f?φ

[解析)??-=??-+??—r-=—+------[v≈φ(xty)]

?x?x?v?xσx?φ?x

13.C

14.C

,2x2x2x2x

f(x)=(xe)'=e+2xe=(l+2x)e0

15.D

16.D

[解析](-—dr-are?an.r+C.

jl+x

—：-------------Γ(cosy--zs?n?)d?+(COSZ-?sinv)dv-

17."in/一coax

]

[(cosy-Zrinjr)di+(cos之一Zjliny)dy一

>sιnt-eos?

［解析］當(dāng)修2時(shí)，有IimM二=Hm（組與=1,選C.

Jl→0UJl→OX

18.C所以當(dāng)?=2時(shí)，有sin2χ~χ2.

19.C

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充要性定理可知選C.

20.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不定積分的概念和換元積分的方法.

時(shí)于不定枳分的枳分公式如?cm?<i?=wn"C.考生應(yīng)嫉更深一序次地理解為族結(jié)構(gòu)式是

J<?a□d□=?in口y式中的方塊“口”既可以是變量■.也可以是?的函數(shù)式.例如???0d3≡

?in[x*]*C,[cmln-itl<iIn<=?inIn?!>C.只要符介上述結(jié)構(gòu)式的RfitS(或交ht.均?ft上面的枳分

公式或LK他的M分公式也“完全美烈的結(jié)構(gòu)大.如果將上述式f口內(nèi)的函數(shù)的總分寫出來，

則有:J<o?(x3)d(*j)≡2∣*co?(/)dx及/ro?(In*)d(InX)=?--cα?(InH)<IM.如果在慎圖中將

等式右邊部分拿出來，這就需要用湊微分法(或換元積分法)將被積表達(dá)

式寫成能利用公式的不定積分的結(jié)構(gòu)式，從而得到所需的結(jié)果或答

案.考生如能這樣深層次理解基本積分公式，則無論是解題能力還是計(jì)

算能力與水平都會(huì)有一個(gè)較大層次的提高.

基于上面對(duì)積分結(jié)構(gòu)式的理解，本題亦為：

e?∫∕t□x□?□?^*c.wI∣√<ta?)d?wτ().

Afj?f(ini)d?s?∏Inf)d(h<).ftβ(□≡∣a>.∣KU?-?-/(Int)dι≡lβ

!■a??**：?€?1IN(*C.*ft4lC±?.

Λ

21.C此題暫無解析

22.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)(x,?(x))處導(dǎo)數(shù)的幾何意義

是表示該函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線過點(diǎn)(X,?(X)))的切線的斜率.由

八/(X)=孑得F(I)=L可知，切線過點(diǎn)(1,0),則切線方程為y=χ-l,所

以選B.

23.C

根據(jù)無窮小量的定義可知選項(xiàng)C正確.

I解析J用換元法求出/(X)后再求導(dǎo)

用XT換式中的X得〃X)=(X-I)ejt,

—a所以/'(x)=ejt+(x-l)e*=urex

24.A

25.D

注意到被積函數(shù)f(x)=sin三+1是常數(shù).由不定枳分的性質(zhì)，有

4

?(sin+1)C1J:=(Sin—+l)?d?=(Sin—+1)Λ+C

26.C解析

利用第二個(gè)重要極限易判定：

A.Iim(I+1嚴(yán)=Hm(1+與(l+??=e

n->0//“T8nn

B.lim(l--)n=[∏m(l÷-)~n]~l=e^1

ββ

∏→nΛ→O°—n

11π21

nw0

C.limo(l+-τ)=nm[(l÷-τ)]=e=l

n→°九'Λ→O°∏L

11_?2J_

D.Iim(I-f=lim[(l+-??)=e°=1

n→°onn→oβ-n

故選C.

2e'+12e'+1

99

27.

28.B

29.A解析

因?yàn)閄ln（I+，）是奇函數(shù)

所以J：［2+xln(l+x2)］dx=2j：2dx=4

30.D

?im.二醇廣3=Iim-(H=IimW=0.

x3y(工一用(工+商

???UM^χ√Γχ+√3

32.C

X=-I

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是：χ>-l.

而IimIn(I+x)=y>

E所以工-1是曲線的鉛直漸近線.

JJ?

34.B

35.(1,l)y,=3x2-6x+2,y,=6x-6,令y'=0,得X=L則當(dāng)：x>l時(shí)，y,>

0;當(dāng)x<1時(shí)，yY0.又因x=l時(shí)y=l,故點(diǎn)(1,1)是拐點(diǎn)(因y=x3-

3χ2+2x+l在(-8,+8)上處處有二階導(dǎo)數(shù)，故沒有其他形式的拐點(diǎn)).

36.5

由?(?)=?3—2J-2+5工+1,則f,(x,)=3x2—4z+5,故/'(O)=5.

37.e

因?yàn)??Inxdx=(xInx-x)∣?=力Inh—8+1=1

得h?r?b-b

所以lnZ>=1,h=e

38.

2xe”

因?yàn)間(∕(X))=e'

d2

所以τ-(g(∕ω))=2xejc

αx

39.

JCbL/G,y)dy

40.

z1f)=/,(x)I..√8inx

41.

令

境(1,一∣)?因?yàn)閥"=6x-6-0,得X=L此時(shí)y(I)=-1,所以拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).

42.

43.

44.

2e"+>dx+e"+，dy

2lnx-32lnx-3

45.Px'

46.

47.x=-1

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是χ>T,

而Iimln(l+X)=To,

≡→-r

所以K=T是曲線的鉛直漸近線.

48.x2lnx

2xex

[解析)因?yàn)間(∕(x))=eχ2

所以[?(g(∕(X)))=2xJ

49.dx

50-(*coβjr+lk-i+C-(?cx?x÷l)r^wj÷C

51.

arcsinx-√l-x2÷C

52.C

53應(yīng)填2.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)

因?yàn)?(*)=?+上,則

X

12

re%)=ι--?4,r(χ)=X4.

西從而廣(彳)I=2,故填2.

異.I>>ι

54.2x+12x+l解析

因?yàn)閒(x-y?x,v)=x2+y''-xy=(x-y)2+Xy

所以〃X,y)=∕+y則也7+*2=2X+1

?xdy

55.D

56.

√3

18

√3

18

57.F(lnx)+C

58.1

59.-1/2

解z=^ln(l+x2+y2)——--2x''*''=―x

2?+x2+y2l+x2+y2

,=L------——=---------Zz'(l,1)=τ-r=-

z222

，2l+χ+√l+x+√7l+x+/1；：*3

1

z；(l,D=y=-

22"IQ

l+x+yE?

所以d2(l,l)=z*(l,l)dx+z；(l,l)?=^(dx+dy)

60.3

y=[(ln?)>?*"2+(ln?),?(”)'

=[e33了?一+D.?《e”

u，>

=e>-κ∣n∕?ln(ln?)+??????j?“a+(ln?)??e?2lrtr??

≡(lru,)j?pn(ln?)+A一卜?1**+2(lru,)z41?χ,*β^1.

y=[(ln?>'1'?j?bu+(ln?)*?(Xd)/

=[L*a,T?*~+(ln?)^.《陽(yáng)少

=6de口n(l∏j)+工?j?;?J}NZ+(ln?)??eb，1?2lar??

4r1lar,

=(ln?)?∏n(lru?)+?pWra+2(l∏j?)*?χ^.

62.

令e^,=sin∕?則X=-lnsin/,d?=—^^d∕?且當(dāng)I==O時(shí)，=?i當(dāng)”=ln2

sιn∕Z

時(shí)」=缶?于是

O

f√1—ei/(Lr=f^co?∕(~√osz)d∕=—Pcθ?-/J/

JoJfsιn∕Jfsιn∕

=-P0-+Psin∕d∕

JfsmrJf

=—∏n(csc∕—?t/)]?-卑

N—ln(2—√3)一歹.

令「一"則”=一百小必工一筮市.且當(dāng)工=°時(shí)"工會(huì)當(dāng)”=仄2

-ln(2-W)—

Ct

,11,"I,-9??<-t>

J?(rπ)=)?(1+rπ)=e

63.

鼻cc"j?3τ)y(?r'+'1)-2∕ian(jy)

(√+∕)z

3e***"*÷,y3+y')?ec"jy)-2xtan5》.∣'γ

Ixi√p?τ+<^÷y>,,v,n2?e八rf

令Wl=C,S1=；**：?…=y∕(3'—y)

?.?孕一,(-3).^??-?1口-∣.

dz；=sec"*jy+jy')-21Ian(Jy)

a7-(√+y)?*

—y?3rln3?/(3'>).

OT

??z^?l,?Z??J

??a7-a7+a7+aΓ

3e"T

+襄1+戶4：5期*+y.3dn2?/(3*-y)

(?÷y)

65.

畫出枳分區(qū)域圖Q.如圖所示,

考慮到被積函數(shù)的情況.先對(duì)工積分較宜.

f?ve^d?d,v=?d>J>eod?+?dyj[e"CLr

=?(e*?wcj)d,y+?,(ex,-e)d>

*I?

畫出枳分區(qū)域圖D.如圖所示t

考慮到被枳函數(shù)的情況.先對(duì)?枳分較宜.

f?ve^d?dj=jdyj""<Lr+「dyJ∣ye"<Lr

=?(e2?w-cf)dy+

=*T.

66.

令/7=，，則I=r.da=2∕d∕?故

2

?√7(i÷j)=?=JTT?2arctan/+C=2arctan√Cr+C.

令/F=，，則l=「'?d?=2tdt.故

CLr市

dz2=2arctan/+C=2arctan√T+C.

√7(i+?)∕7?！?5=,Γ+7

將微分方程改寫碑+τh=j

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=e~J±*b[?比drcLτ+C

=i?(13"+c)

s?lnj+?,

將y(e)=1代入.解得C=十.所以特解為

y?T(In]+土卜

67.

將微分方程改寫為累+j?y=+

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=eJ±“d?r+C

C

2小,

將y(e)=1代人,解得C=所以特解為

y'=?(lrtr+ι?)?

COJU,XSinJ

limeot??I-T------\Iim

I?sιι‰r?/■7sin?Iqin?

.1—sin?

lIim—∏—

????smjr

.X-sin?

Ilim------≡----

LQX

68.??

limeot??I-T--------—?=Iimcosj?*.sinx

,一。ISlmr?/…sιnx?sin?

■r-SlnJ

?sin*j-

1

6?

y=(j?)zarctarvr÷x?(aretan?),—(In√T-+-7r)z

=aretan?+,1?---=.?(√1+x,),

ι+/√f+7r

1

=arcta∏j+—~~?——…，.

1+/2√Γ+7r√T÷xr

■TJC

=aretan?+=aretan?.

69.?+√?+.ri

,,

y=(τ)arctan.r÷JC?(aretan?)/一(InMl+

=aretan?+/?-----_?(√1+?*)*

1+/√τ+^r

?111

=arcta∏-r+——7――:,?―.、?Zx

rr

1+彳2√Γ+7√Γ+7

X?

=aretan?+l——r———≡?=aretan?.

1+XI+?

β?[?r?e,,L^∫ztk]

=抄?貝_獷甘

TeT&T[?(e*+1).

70.

71.

72.

積分區(qū)域D如圖所示.

考察被積函數(shù)與積分區(qū)域D的圖形可以得知,本題可以任意

選定積分次序.

為了確定積分限,先求解方程組

y

yt

解得兩組解,對(duì)應(yīng)著兩個(gè)交點(diǎn)分別是(0,0)?(1,D?

如果先對(duì)y積分，后對(duì)上積分?作平行于y軸的直線與區(qū)域D

相交，沿y輛的正方向看?入口曲線為y=＞，出口曲線為y

=√7,因而有∕≤y≤G.而區(qū)域D中0≤?r≤I.于是

t

原式=Jd??t(,x÷y)dy

=Jm+#”;公

^L+ix~χi~?χ4)dj=??

積分區(qū)域D如圖所示.

考察被積函數(shù)與積分區(qū)域D的圖形可以得知,本題可以任意

選定積分次序.

為了確定積分限,先求解方程組

解得兩組解,對(duì)應(yīng)答兩個(gè)交點(diǎn)分別是(0,0)，1).

如果先對(duì)y積分，后對(duì)，積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域Q

相交，沿y柄的正方向看,入口曲線為y=?,出口曲線為y

=√7,因而有/≤y≤G.而區(qū)域D中0≤?r≤I.于是

1

原式=Jd??l(τ+y)dy

=∫m+ι■力⑶

=J：(>+?rTT'也=焉

yl*°=[,""]'=(zln?)'=l∏-r+j???=1÷Irtr,

,<*=[y""了=(1+lnx)z=?

73.

_卬"2'丁=(J!∏J?)Z=ln?+???=1+ln?,

y"'=HL"=(1+InJr)，=-?-.

74.

微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y-2y>—3>≡0?

其特征方程為一-2r-3=0,特征根為r,=3,rt=-1.故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

yNCle^÷C,e?(ɑ,,e,為任意常數(shù)

β

由于自由項(xiàng)/(?)=(3j+l)e?*.λ=0不是特征根，故可設(shè)特制為

y?=A+Rr?

將V代入原方程?得

-2B-3A—3Hr=r3JΓ+1?

有一3H≡≈3.-2B-3A≡1?

故A=?<B=-I,從而>'=?-X.

OJ

所以原方程的通解為

y=α∕+Ge'+g-NG.G為任意常數(shù)).

微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

,

y-2y—3iy≡0?

其特征方程為一-2/-3二0?特征根為八=3,%=—1?故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

y=GW+CtEGC為任意常數(shù)).

a

由于自由項(xiàng)/(“)=(3j÷l)e?*,λ=0不是特征根?故可設(shè)特解為

y?=A+Hr?

將力代入原方程?得

-2B-3A—3Hr=3x+l?

有-38=3?-2B-3A≡1.

故A=J,B=—1,從而j√=-?—x?

SJ

所以原方程的通解為

y=C,en+C,e*÷∣-x(C∣,C,為任意常數(shù)).

因?yàn)?/p>

1,y22

za=4xy+2xy.C,=2∕y+3τy■

所以

22i

ZΛΛ=?2xy+2y.

J:

Z9=2J+6xy9

之”=8*?+6?ry'

z=8*'y+

75.9t

因?yàn)?/p>

1223

zl=4xiy+2τy.z,=2∕y+??y?

所以

1

ZΛΛ≡121、,+2y?

Y=2Λ?*+6√>.

zn=8*'y+6?ryi.

XM=8*'y+6?ry'.

-■j/

,√m?

?-sin?

√T+37(1-coλr)V^l÷??(1—Cos?)

?2Xt

√T÷^3J??…√Γ+37.?

=Iim廠2=2.Iim2=2.

76.…√1+??…√T+37

由眄意.知P<J)=j.Q(J)=e，：.

w,4ta,ta,l

.?.eI=e4÷*-e^≡e'=?.

=e??1**=etau≡x?

∣Q.Jw*<Lr=?e*??d?=??e*'<b?t=-∣-e,?

Λ該微分方程的通解N=+吁.

77.

由題意.知P(?r)=y.Q(x)=F?

ΛeW'=ef÷rt,=C-a=*'=X?.

=**=euu=X.

[Q?JwrdX=(e*??d?=?[c1：dr?=?e".

Λ該微分方程的通解V≡?[?e-+<*j.

78.

由于V=Sin2?r.%=cos2?r為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解?可知α=

0,6=2,即原方程有一對(duì)共旋復(fù)根r,=2i,r,=2i,因此對(duì)應(yīng)的特征方程關(guān)

(r-2i)(r+2i)=0,

即r*+4=0,

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y"+4?=0.

由于X=Sin2才.“=cos2ι為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解，可知α=

0.6=2.即原方程有一對(duì)共恢復(fù)根r,=2i.r,=