基本不等式知識(shí)點(diǎn)歸納

基本不等式知識(shí)點(diǎn)歸納1．基本不等式(1)基本不等式成立的條件：(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．[探究]1.如何理解基本不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義？提示：①當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即②僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即2．幾個(gè)重要的不等式3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)則的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知?jiǎng)t(1)如果積是定值那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值是(簡記：積定和最小)．(2)如果和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值是(簡記：和定積最大)．[探究]2.當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值時(shí)，等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？提示：當(dāng)?shù)忍?hào)取不到時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來求解．例如，在時(shí)的最小值，利用單調(diào)性，易知時(shí)[自測·牛刀小試]1．已知且則的最小值為()A．18 B．36C．81 D．243解析：選A因?yàn)閙>0，n>0，所以m＋n≥2eq\r(mn)＝2eq\r(81)＝18.2．若函數(shù)在處取最小值，則()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3 D．43．已知?jiǎng)t的()A．最小值為8B．最大值為8C．最小值為eq\f(1,8) D．最大值為eq\f(1,8)4．函數(shù)的值域?yàn)開___________________．5．在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，則線段長的最小值是________．利用基本不等式證明不等式[例1]已知求證：保持例題條件不變，證明：eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2.———————————————————利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)、并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．(1)正確求出、、、四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)正確理解的幾何意義，并能正確用、、、的坐標(biāo)表示；(3)能用拼湊法將化成利用基本不等式求最值的形式．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])1．已知成等差數(shù)列成等比數(shù)列，則的最小值是()A．0B．1C．2 D．42．若直線被圓截得的弦長為4，則的最小值為()A.eq\f(1,4)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)＋eq\r(2) D.eq\f(3,2)＋2eq\r(2)3．若且恒成立，則的最小值是________．練習(xí)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()A．B．C．D.2．(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為和（），其全程的平均時(shí)速為則()A． B．C. D．3．若且則的最小值是()A.eq\f(1,4)B．1C．4 D．84．(2013·淮北模擬)函數(shù)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．25．設(shè)且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值等于()A．0B．4C．－4 D．－26．(2013·溫州模擬)已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且·＝2eq\r(3)，若和的面積分別為則的最小值是()A．20B．18C．16 D．19二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________公里處．8．若則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))．①②③④⑤9．(2013·泰州模擬)已知?jiǎng)t的最小值是________．三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知求證：11．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤≤200時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤≤200時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))1．已知?jiǎng)t的最小值為________．2．設(shè)均為正實(shí)數(shù)，求證：3．已知求的最大值．4．某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)．(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比eq\f(|A1B1|,|B1C1|)＝求公園ABCD所占面積S關(guān)于的函數(shù)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計(jì)？[歸納·知識(shí)整合]1．合情推理(1)歸納推理：①定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．②特點(diǎn)：是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．(2)類比推理①定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理．②特點(diǎn)：類比推理是由特殊到特殊的推理．[探究]1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：不一定，結(jié)論是否真實(shí)，還需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)．2．演繹推理(1)模式：三段論①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理．[探究]2.演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結(jié)論才一定是真實(shí)的，錯(cuò)誤的前提則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．[自測·牛刀小試]1．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分；④三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④2．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52013的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．81253．(教材習(xí)題改編)有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤歸納推理[例1](1)(2012·江西高考)觀察下列各式：則()A．28B．76C．123 D．199(2)設(shè)先分別求然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．利用本例(2)的結(jié)論計(jì)算的值．歸納推理的分類常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．1．觀察下列等式：eq\a\vs4\al(1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10,1＋2＋3＋4＋5＝15,…)eq\a\vs4\al(13＝1,13＋23＝9,13＋23＋33＝36,13＋23＋33＋43＝100,13＋23＋33＋43＋53＝225,…)可以推測：13＋23＋33＋…＋＝________(∈N*，用含n的代數(shù)式表示)．類比推理[例2](2013·廣州模擬)已知數(shù)列為等差數(shù)列，若則類比等差數(shù)列的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列若則可以得到________.———————————————————類比推理的分類類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移．2．在中，于,求證：演繹推理[例3]已知函數(shù)(1)證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)求的值．———————————————————演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的．三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況．這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論．(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時(shí)，一般可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．3．已知函數(shù)其中試確定的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的增減性．2個(gè)步驟——?dú)w納推理與類比推理的步驟(1)歸納推理的一般步驟：①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)；③檢驗(yàn)猜想．eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測一般性結(jié)論)(2)類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)；③檢驗(yàn)猜想．eq\x(觀察、比較)→eq\x(聯(lián)想、類推)→eq\x(猜想新結(jié)論)1個(gè)區(qū)別——合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納是由特殊到一般的推理；(2)類比是由特殊到特殊的推理；(3)演繹推理是由一般到特殊的推理；(4)從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確.創(chuàng)新交匯——合情推理與證明的交匯創(chuàng)新1．歸納推理主要有數(shù)與式的歸納推理、圖形中的歸納推理、數(shù)列中的歸納推理；類比推理主要有運(yùn)算的類比、性質(zhì)的類比、平面與空間的類比．題型多為客觀題，而2012年福建高考三角恒等式的推理與證明相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，是高考命題的一個(gè)創(chuàng)新．2．解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；然后把這種相似性推廣到一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)；最后對(duì)所得的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)．一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2013·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確2．(2013·銀川模擬)當(dāng)∈(0，＋∞)時(shí)可得到不等式由此可以推廣為取值等于()A．B．C． D．3．(2012·江西高考)觀察下列事實(shí)：||＋||＝1的不同整數(shù)解()的個(gè)數(shù)為4，||＋||＝2的不同整數(shù)解()的個(gè)數(shù)為8，||＋||＝3的不同整數(shù)解()的個(gè)數(shù)為12，…，則||＋||＝20的不同整數(shù)解()的個(gè)數(shù)為()A．76B．80C．86 D．925．設(shè)的三邊長分別為、、，的面積為，內(nèi)切圓半徑為r，則類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為、、、，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則＝()A. B.C. D.6．已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A．(7,5)B．(5,7)