基本不等式及其應用

基本不等式及其應用1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0；(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(1)設a≥0，b≥0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab).(2)基本不等式可敘述為兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)；也可以敘述為兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值eq\f(s2,4)；(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2eq\r(p).選擇題：設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為()A．80B．77C．81D．82解析∵x>0，y>0，∴eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤(eq\f(x＋y,2))2＝81，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(5,4)解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(當且僅當2x＝3y時等號成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值為2若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析2eq\r(2x＋y)≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2若實數(shù)x，y滿足xy>0，則eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)的最大值為()A．2－eq\r(2)B．2＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2)D．4－2eq\r(2)解析eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)＝eq\f(xx＋2y＋2yx＋y,x＋yx＋2y)＝eq\f(x2＋4xy＋2y2,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq\f(xy,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq\f(1,\f(x,y)＋3＋\f(2y,x))≤1＋eq\f(1,3＋2\r(2))＝4－2eq\r(2)，當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x2＝2y2時取等號若函數(shù)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．4解析當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，當且僅當x－2＝eq\f(1,x－2)(x>2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(eq\f(1,2))y，若eq\f(1,x)＋eq\f(m,y)(m>0)的最小值為3，則m等于()A．2B．2eq\r(2)C．3D．4解析由2x－3＝(eq\f(1,2))y得x＋y＝3，eq\f(1,x)＋eq\f(m,y)＝eq\f(1,3)(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(m,y))＝eq\f(1,3)(1＋m＋eq\f(y,x)＋eq\f(mx,y))≥eq\f(1,3)(1＋m＋2eq\r(m))，(當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(mx,y)時取等號)，∴eq\f(1,3)(1＋m＋2eq\r(m))＝3，解得m＝4已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是()A．9B．8C．4D．2解析圓x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，得x2＋(y－1)2＝6，∴圓心為C(0,1)∵直線ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，∴a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1解析1＝x＋4y≥2eq\r(4xy)＝4eq\r(xy)，∴xy≤(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,16)，當且僅當x＝4y＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝\f(1,8)))時，(xy)max＝eq\f(1,16)已知實數(shù)m，n滿足m·n>0，m＋n＝－1，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最大值為________解析∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝－(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≤－2－2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝－4，當且僅當m＝n＝－eq\f(1,2)時，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)取得最大值－4已知x<eq\f(5,4)，則＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________解析∵x<eq\f(5,4)，∴5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－(5－4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________解析y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2當且僅當(x－1)＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1時，等號成立函數(shù)y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值為________解析令t＝eq\r(x－1)≥0，則x＝t2＋1，∴y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4)當t＝0，即x＝1時，y＝0；當t>0，即x>1時，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，∵t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(當且僅當t＝2時取等號)，∴y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值為eq\f(1,5)(當t＝2，即x＝5時y取得最大值)．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________解析由x＋3y＝5xy可得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)＝5已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________解析由已知得x＝eq\f(9－3y,1＋y)，∵x>0，y>0，∴y<3，∴x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(3y2＋9,1＋y)＝eq\f(31＋y2－61＋y＋12,1＋y)＝eq\f(12,1＋y)＋(3y＋3)－6≥2eq\r(\f(12,1＋y)·3y＋3)－6＝6，當且僅當eq\f(12,1＋y)＝3y＋3，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6已知函數(shù)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若對于任意x∈N＋，≥3恒成立，則a的取值范圍是______解析對任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－(x＋eq\f(8,x))＋3設g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N＋，則g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3)∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3)，∴－(x＋eq\f(8,x))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范圍是[－eq\f(8,3)，＋∞)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，則x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(2,y))＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(2)(當且僅當y＝eq\r(2)x時取等號)，∴當x＝eq\r(2)＋1，y＝2＋eq\r(2)時，(x＋y)min＝3＋2eq\r(2)函數(shù)y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的最小值為________解析∵x<0，∴y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1＋(－2x)＋(－eq\f(3,x))≥1＋2eq\r(－2x·\f(3,－x))＝1＋2eq\r(6)，當且僅當x＝－eq\f(\r(6),2)時取等號，故y的最小值為1＋2eq\r(6)若關(guān)于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，則實數(shù)a的取值范圍是________解析分離變量得－(4＋a)＝3x＋eq\f(4,3x)≥4，得a≤－8設a＋b＝2，b>0，則eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取最小值時，a的值為________解析∵a＋b＝2，∴eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(2,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a,4|a|)＋eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)≥eq\f(a,4|a|)＋2eq\r(\f(b,4|a|)×\f(|a|,b))＝eq\f(a,4|a|)＋1，當且僅當eq\f(b,4|a|)＝eq\f(|a|,b)時等號成立又a＋b＝2，b>0，∴當b＝－2a，a＝－2時，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值若當x>－3時，不等式a≤x＋eq\f(2,x＋3)恒成立，則a的取值范圍是________解析設f(x)＝x＋eq\f(2,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(2,x＋3)－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2eq\r(x＋3×\f(2,x＋3))－3＝2eq\r(2)－3，當且僅當x＝eq\r(2)－3時等號成立，∴a的取值范圍是(－∞，2eq\r(2)－3]若對于任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________解析eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,3＋x＋\f(1,x))，∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2(當且僅當x＝1時取等號)，則eq\f(1,3＋x＋\f(1,x))≤eq\f(1,3＋2)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).解答題：已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．解(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2eq\r(10xy).∵2x＋5y＝20，∴2eq\r(10xy)≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立．因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝20，,2x＝5y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))此時xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1，∴當x＝5，y＝2時，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq\f(2x＋5y,20)＝eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))≥eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋2\r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))＝eq\f(7＋2\r(10),20)，當且僅當eq\f(5y,x)＝eq\f(2x,y)時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝20，,\f(5y,x)＝\f(2x,y)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10\r(10)－20,3)，,y＝\f(20－4\r(10),3).))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為eq\f(7＋2\r(10),20)專項能力提升設x，y均為正實數(shù)，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，則xy的最小值為()A．4B．4eq\r(3)C．9D．16解析由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1得xy＝8＋x＋y，∵x，y均為正實數(shù)，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，∴xy的最小值為16設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當eq\f(xy,z)取得最大值時，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．3解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)則eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤1，當且僅當x＝2y時取等號，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1已知m>0，a1>a2>0，則使得eq\f(m2＋1,m)≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立的x的取值范圍是()A．[0，eq\f(2,a1)]B．[0，eq\f(2,a2)]C．[0，eq\f(4,a1)]D．[0，eq\f(4,a2)]解析∵eq\f(m2＋1,m)＝m＋eq\f(1,m)≥2(當且僅當m＝1時等號成立)，∴要使不等式恒成立，則2≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立，即－2≤aix－2≤2，∴0≤aix≤4，∵a1>a2>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,a1)，,0≤x≤\f(4,a2)，))即0≤x≤eq\f(4,a1)，∴使不等式恒成立的x的取值范圍是[0，eq\f(4,a1)]已知x，y∈R且滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則z＝x2＋4y2的取值范圍為________解析∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤eq\f(x2＋4y2,2)，∴6－(x2＋4y2)≤eq\f(x2＋4y2,2)，∴x2＋4y2≥4(當且僅當x＝2y時取等號)．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－