北京郵電大學工程圖學03

相對位置包括平行、相交和垂直。直線與平面平行

平面與平面平行一、直線與平面平行定理：

若一直線平行于屬于定平面的一直線，則直線與該平面平行。平行問題3.1平行關系n

●●a

c

b

m

abcmn有無數(shù)解有多少解？例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

例2：過M點作直線MN平行于V面和平面

ABC。

①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdef二、兩平面平行f

h

abcdefha

b

c

d

e

直線與平面相交平面與平面相交一、直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點?！衽袆e兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。3.2相交關系

討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。

km(n)b●m

n

c

b

a

ac空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法⑵直線為特殊位置

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：1.求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點（兩點法）。⑵確定一個共有點及交線的方向（一點一方向法）。2.判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：判別可見性。二、一般位置平面與特殊位置平面相交

可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？⑴例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。

b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不位于ΔDEF這個圖形內。所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交⑶

三、直線與一般位置平面相交

由于一般位置平面的投影沒有積聚性，所以當直線與一般位置平面相交時，不能在投影圖上直接定出交點來，而必須采用輔助平面，經過一定的作圖過程，才能求得。

直線與一般位置平面相交，可按以下三個步驟來求出交點及判斷可見性：1.過已知直線作一輔助平面，一般作投影面垂直面；2.求出輔助平面與已知平面的交線；3.所得交線與已知直線的交點，即為所求交點；4.利用重影點判斷直線段的可見性。例：求直線DE與平面ABC的交點K并判斷

可見性。eabcda'b'c'd'e'm'mn'n●k●k'空間投影分析及作圖：從直線和平面的投影可判斷出直線和平面均為一般位置直線和一般位置平面。故利用輔助平面法：作一包含直線DE和平面S，求出S與已知平面的交線MN，直線DE與交線MN的交點即為所求交點。并利用重影點判斷可見性。Sv四、兩個一般位置平面相交1.用直線與平面求交點的方法求兩平面的共有點：

求兩個一般位置平面的交線，可先求出兩個平面上任意兩條邊線對另一個平面的兩個交點來連成。這兩條邊線可屬于兩個平面中的任何一個平面，也可分屬于兩個平面。例：求平面ABC與平面DEF的交線并判斷可見性。eabcdfa'b'c'd'e'f'SvRvl●k●k'●l'●空間及投影分析

分別求出邊DE及DF與ΔABC的兩個交點，連接這兩交點即得兩平面的交線。作圖①求交線(要作輔助面S和R）；②判別可見性。2.用三面共點法求兩平面的共有點求兩個一般位置平面的交線，也可取兩個特殊位置平面為輔助平面，分別求出它們與兩個已知平面的輔助交線，每個輔助平面上兩條輔助交線的交點，是所求交線上的一點。這樣，兩個輔助平面共求得兩點，于是，這兩點的連線，既為所求交線。ABCDEFGIJMNRSKLPQa)空間狀況示意圖abdefgijmnrsklf'cm'a'g'b'n'k'l'e'i'c'r'j'd's'b)投影圖3.3垂直關系直線與平面垂直

平面與平面垂直垂直問題一、直線與平面垂直垂直于平面的直線，稱為該平面的垂線或法線。定理：若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。定理（逆）：若一直線的水平投影垂直于屬于定平面的水平投影，直線的正面投影垂直于屬于該平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。由上述兩定理說明：若要在正投影圖上確定平面法線的方向，必須要確定屬于該平面的投影面平行線的方向。例：平面由ΔABC給定，試過定點S做平面的法線。abca'b'c'ss'●●e'ded'.f●f'.●空間及投影分析：只要能知道平面的法線兩投影的方向就可以了。作圖（1）作正平線（2）作水平線（3）過S點的投影作相應的垂線。輔助線與法線的交點并不是垂足的投影，如果求垂足必須按直線與平面求交點的作圖過程才能求得。若平面為特殊位置平面則可使法線的作圖過程簡化：PvQHTH●●ss'.l'l●●ss'.mm'●●ss'.kk'與正垂面垂直的法線必為正平線與鉛垂面垂直的法線必為水平線與正垂面垂直的法線必為正垂線

平面法線的作圖和平面的最大斜度線的作圖都依賴屬于該平面的投影面平行線的方向。但要分清：法線在平面之外，而最大斜度線在平面之內；作法線需依賴兩個投影面的平行線，而確定最大斜度線只要一個投影面的平行線。平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。αθHPABLlDCOE●●證明：已知LO為平面P的法線，CD為平面P上對H面的最大斜度線，CD與H面的夾角為α，LO與H面交于E，與H面的夾角為θ，因為

在ΔCOE中，LO⊥CD，∠COE=90o，故∠α+∠θ=90o例：試過點N作一平面，使該平面與V面夾角

為60°，與H面的夾角為45°。30°45°MNn'nkk'.l'l.m'm●●求平面的法線MN，則MN與V面夾角為30°，與H面的夾角為45°，利用直角三角形法可確定出MN的兩個投影。空間及投影分析MN的長度任取作圖：（1）求出MN的兩投影，并在投影圖上畫出MN的兩投影；（2）再根據(jù)直線與平面的垂直定理，可畫出平面NKL，既為所求。二、平面與平面垂直

若一直線垂直于一定平面，則包含這直線的所有平面都垂直于該平面。反之，如兩平面互相垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面所作的垂線一定屬于第一平面。例1：過定點S作平面垂直于由ΔABC所確定的已知平面。abca'b'c'ss'●●ee'dd'.f'.fn'n（1）過點S作ΔABC的垂線SF，包含垂線SF的一切平面均垂直于ΔABC（2）作任意直線SN與SF相交，則SF與SN確定的平面便是其中之一。本題有幾解？有無數(shù)解。例2：試判別ΔKMN與相交兩直線AB和CD所

給定的平面是否相垂直。abcdnmka'b'c'd'n'k'（1）任取屬于面KMN上的一點M作第二個平面的法線;CD為正平線作水平線EF直線MS不在面KMN上，所以兩平面不平行e'f'efm's'.s.作圖步驟：（2）檢查垂線是否屬于平面KMN。例3：試過定點A作直線與已知直線EF正交。

efe'f'（1）過點A作垂直于直線EF的輔助平面；a'c'bSvak

k'

b'.c.（2）求輔助面與直線EF的交點；（3）連接AK。AK即為所求3.4點、線、面綜合應用

解決距離和角度的度量問題的主要基礎是根據(jù)直角投影定理作平面的法線或直線的法面，并求其實長或實形。一、距離的度量常見的距離問題有：點到點之間的距離、點到直線（包括兩平行直線）之間的距離、兩交叉直線之間的距離、點到面（包括直線平行平面和兩平行平面）之間的距離。（一）點到點之間的距離●A●B將點A及點B相連的線段AB求出線段AB的實長，即為所求點A到點B之間的距離。（二）點到直線之間的距離

E

FDCP過點E作平面P垂直于直線CD；求出CD與平面P的垂足F；連線段EF并求出其實長，即為所求點到直線之間的距離。

E

FDCPAB.關于兩平行直線之間的距離，實質仍是點到直線間的距離。在直線AB上任取一點E后，點E到直線CD之間的距離即為兩平行直線之間的距離。（三）兩交叉直線之間的距離

N

MABCDGP1.包含直線CD作平面P平行于直線AB；2.在直線AB上任取一點M，過點M作平面P的法線MN，并求垂足N；3.再求出直線段MN的實長，即為所求兩交叉直線之間的距離。（四）點到平面（包括直線平行平面和兩平行平

面之間）距離

B

AQ過點A作平面Q的法線AB；取出垂足B后，再求出直線段AB的實長，即為所求點到平面之間的距離。DC.A●B●Q.B●QA

P關于平行于平面的直線到平面之間的距離以及兩平行平面之間的距離，實質仍是點到平面間的距離。在直線CD上任取一點A，以及在平面P上任取一點A后，問題就轉化為點到平面之間的距離。二、角度的度量常見的角度度量問題有兩相交直線間的夾角、直線與平面間的夾角及兩平面間的夾角。（一）兩相交直線間的夾角θABCEF1.任作與兩相交直線AB、AC相交的直線EF，構成ΔAEF；2.分別求出ΔAEF三邊的實長，再作出ΔAEF的實形；3.

ΔAEF中的EAF便是所求兩相交直線間的夾角θ。（二）直線與平面間的夾角直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與平面間的夾角。H..θφθPOG1.任取屬于直線HG的一點H，由點H作平面P的法線HO；2.求出直線HO和HG的夾角φ；3.φ的余角便是直線與平面間的夾角θ。（三）兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面形成的兩面角的平面角。PQ..φφθLMNS1.在空間任取一點L，由L分別作平面P和Q的法線LM和LN，兩相交直線LM和LN所確定的平面S是P、Q兩平面的公垂面；2.求出兩相交直線LM和LN的夾角θ；3.θ的補角便是兩平面的夾角φ。例1：求兩平行直線AB和CD之間的距離（1）任取屬于直線AB的一點E（e,e‘)。過點E做直線AB的垂面P，垂面P以水平線EM和正平線EN確定；bab'a'dc