高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-2空間圖形的基本關(guān)系與公理

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)

1.下列說法正確的是 ()A.三點(diǎn)可以確定一個平面B.一條直線和一個點(diǎn)可以確定一個平面C.四邊形是平面圖形D.兩條相交直線可以確定一個平面2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直線,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,則 ()A.P∈c B.P?cC.c∩a=? D.c∩β=?3.在三棱錐ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF∩HG=P,則點(diǎn)P ()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上4.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個點(diǎn)共面的圖形是 ()A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③【解析】1.選D.A錯誤,不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面.B錯誤,一條直線和直線外一個點(diǎn)可以確定一個平面.C錯誤,四邊形不一定是平面圖形.D正確,兩條相交直線可以確定一個平面.2.選A.如圖,因?yàn)閍∩b=P,所以P∈a,P∈b,因?yàn)棣痢搔?a,β∩γ=b,所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,所以P∈c.3.選B.如圖所示,因?yàn)镋F平面ABC,HG平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.4.選D.在圖①中分別連接PS,QR,易證PS∥QR,所以P,Q,R,S四點(diǎn)共面;在圖中③分別連接PQ,RS,易證PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面.在②圖中過點(diǎn)P,Q,R,S可作一正六邊形,故四點(diǎn)共面;在圖④中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法:①先確定一個平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi);②證兩平面重合.(2)證明共線的方法:①先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).【秒殺絕招】排除法解T4,在圖④中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面,可排除A,B,C,直接選D.考點(diǎn)二異面直線所成的角

【典例】1.(2018·全國卷II)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 導(dǎo)學(xué)號A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1畫出圖形,由AB∥CD,聯(lián)想到AE與CD所成角為∠EAB,解直角三角形.2畫出圖形,圖中沒有與AB1,BC1平行的直線,聯(lián)想到作輔助線.【解析】1.選C.因?yàn)镃D∥AB,所以∠EAB即為異面直線AE與CD所成角,連接BE,在直角三角形ABE中,設(shè)AB=a,則BE=QUOTEa,所以tan∠EAB=QUOTE=QUOTE.2.選C.如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.由題意可知BC1=QUOTE,AB1=QUOTE,則MN=QUOTEAB1=QUOTE,NP=QUOTEBC1=QUOTE.取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,QM,則可知△PQM為直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC22AB·BC·cos∠ABC=4+12×2×1×QUOTE=7,即AC=QUOTE.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=QUOTEAC=QUOTE.在△MQP中,可知MP=QUOTE=QUOTE.在△PMN中,cos∠PNM=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又異面直線所成角的范圍為QUOTE,故所求角的余弦值為QUOTE.【一題多解】選C.把三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCDA1B1C1D1,連接C1D,BD,則AB1與BC1所成的角為∠BC1D(或其補(bǔ)角).由題意可知BC1=QUOTE,BD=QUOTE=QUOTE,C1D=AB1=QUOTE.可知BQUOTE+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=QUOTE=QUOTE.求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.1.直三棱柱ABCA1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.如圖,可補(bǔ)成一個正方體,所以AC1∥BD1.所以BA1與AC1所成的角為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形,所以∠A1BD1=60°.即BA1與AC1成60°的角.2.如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D垂直于圓柱下底面,所以C1D⊥AD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形所以C1D=QUOTEAD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為QUOTE,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為QUOTE.答案:QUOTE考點(diǎn)三空間兩條直線的位置關(guān)系

命題精解讀1.考什么:(1)考查異面直線的判斷,直線平行、垂直的判斷等問題.(2)考查直觀想象的核心素養(yǎng).2.怎么考:以柱、錐、臺、球及組合體為載體,考查直線位置關(guān)系的判斷.3.新趨勢:以異面直線、平行直線為載體考查點(diǎn)的不共面與共面問題.學(xué)霸好方法1.直線位置關(guān)系的判斷方法:異面直線可采用直接法或反證法;平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;垂直關(guān)系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.2.交匯問題:與線面、面面平行與垂直相結(jié)合命題.兩條異面直線的判定【典例】在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號) 導(dǎo)學(xué)號

【解析】圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H?面GMN,因此GH與MN異面,所以圖②④中GH與MN異面.答案:②④兩直線平行或相交的判定【典例】已知空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊BC,CD的中點(diǎn).求證:EG與FH相交. 導(dǎo)學(xué)號【證明】如圖,連接AC,BD,則EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG;同理EH∥FG,則EFGH為平行四邊形.又EG,FH是?EFGH的對角線,所以EG與HF相交.1.若兩條直線是異面直線,則稱為一對異面直線,則從正方體的12條棱中任取兩條,共有對異面直線 ()

A.48 B.36 C.24 D.12【解析】選C.每一條棱所在的直線與其余的棱所在的直線成異面直線的有4對,所以共有4×12=48對,但是這48對中每一種都重復(fù)了一對,所以所求的異面直線共有24對.2.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為.(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯;取DD1中點(diǎn)E,連接AE,則BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯;因?yàn)辄c(diǎn)B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),點(diǎn)M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確答案:③④1.若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列說法正確的是 ()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交【解析】選D.由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.2.如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),A.CC1與B1E是異面直