2011年-2018年重慶市歷年高考理科數(shù)學試卷真題及答案（共6套）

2011年重慶市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2011?重慶）復數(shù)=（） A． B． C． D．2．（2011?重慶）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2011?重慶）已知，則a=（） A．1 B．2 C．3 D．64．（2011?重慶）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n=（） A．6 B．7 C．8 D．95．（2011?重慶）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=|lg（2﹣x）|，在其上為增函數(shù)的是（） A．（﹣∞，1] B． C． D．（1，2）6．（2011?重慶）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，則ab的值為（） A． B． C．1 D．7．（2011?重慶）已知a＞0，b＞0，a+b=2，則的最小值是（） A． B．4 C． D．58．（2011?重慶）在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（） A． B． C． D．9．（2011?重慶）高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（） A． B． C．1 D．10．（2011?重慶）設m，k為整數(shù)，方程mx2﹣kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為（） A．﹣8 B．8 C．12 D．13二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2011?重慶）在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，則a2+a4+a6+a8=_________．12．（2011?重慶）已知單位向量，的夾角為60°，則|2﹣|=_________．13．（2011?重慶）將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_________．14．（2011?重慶）已知，且，則的值為_________．15．（2011?重慶）動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過點_________．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（2011?重慶）設α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）滿足，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值．17．（2011?重慶）某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)，設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：（Ⅰ）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；（Ⅱ）申請的房源在片區(qū)的個數(shù)的ξ分布列與期望．18．（2011?重慶）設f（x）=x3+ax2+bx+1的導數(shù)f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常數(shù)a，b∈R．（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（II）設g（x）=f′（x）e﹣x．求函數(shù)g（x）的極值．19．（2011?重慶）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．20．（2011?重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程為x=2．（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．（Ⅱ）設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為﹣．問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值．若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由．21．（2011?重慶）設實數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比數(shù)列，求S2和a3．（Ⅱ）求證：對k≥3有0≤ak≤．

2011年重慶市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2011?重慶）復數(shù)=（） A． B． C． D．考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算。專題：計算題。分析：利用i的冪的運算法則，化簡分子，然后復數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：復數(shù)====故選C點評：題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力，是基礎題．2．（2011?重慶）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷。專題：計算題。分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要條件．解答：解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要條件．故選A．點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的應用，解題時要注意基本不等式的合理運用．3．（2011?重慶）已知，則a=（） A．1 B．2 C．3 D．6考點：極限及其運算。專題：計算題。分析：先將極限式通分化簡，得到，分子分母同時除以x2，再取極限即可．解答：解：原式==（分子分母同時除以x2）===2∴a=6故答案選D．點評：關(guān)于高中極限式的運算，一般要先化簡再代值取極限，本題中運用到的分子分母同時除以某個數(shù)或某個式子，是極限運算中常用的計算技巧．4．（2011?重慶）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n=（） A．6 B．7 C．8 D．9考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)。專題：計算題。分析：利用二項展開式的通項公式求出二項展開式的通項，求出展開式中x5與x6的系數(shù)，列出方程求出n．解答：解：二項式展開式的通項為Tr+1=3rCnrxr∴展開式中x5與x6的系數(shù)分別是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故選B點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．5．（2011?重慶）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=|lg（2﹣x）|，在其上為增函數(shù)的是（） A．（﹣∞，1] B． C． D．（1，2）考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。分析：根據(jù)零點分段法，我們易將函數(shù)f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則我們易求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而得到結(jié)論．解答：解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性我們易得在區(qū)間（﹣∞，1]上單調(diào)遞減在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增故選D點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，其中根據(jù)“同增異減”的原則確定每一段函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．6．（2011?重慶）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，則ab的值為（） A． B． C．1 D．考點：余弦定理的應用。專題：計算題。分析：將已知的等式展開；利用余弦定理表示出a2+b2﹣c2求出ab的值．解答：解：∵（a+b）2﹣c2=4，即a2+b2﹣c2+2ab=4，由余弦定理得2abcosC+2ab=4，∵C=60°，∴，故選A．點評：本題考查三角形中余弦定理的應用．7．（2011?重慶）已知a＞0，b＞0，a+b=2，則的最小值是（） A． B．4 C． D．5考點：基本不等式。專題：計算題。分析：利用題設中的等式，把y的表達式轉(zhuǎn)化成（）（）展開后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（當且僅當b=2a時等號成立）故選C點評：本題主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．8．（2011?重慶）在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（） A． B． C． D．考點：圓的標準方程；兩點間的距離公式。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過點E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦BD，根據(jù)兩點間的距離公式求出ME的長度，根據(jù)垂徑定理得到E為BD的中點，在直角三角形BME中，根據(jù)勾股定理求出BE，則BD=2BE，然后利用AC與BD的乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，則圓心坐標為（1，3），半徑為，根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：由圖象可知：過點E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四邊形ABCD的面積S=AC?BD=×2×2=10．故選B點評：此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時注意對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．9．（2011?重慶）高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（） A． B． C．1 D．考點：點、線、面間的距離計算；球內(nèi)接多面體。專題：計算題。分析：由題意可知ABCD所在的圓是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，而球心到小圓圓心的距離為，則推出頂點S在球心距的垂直分的平面上，而頂點S到球心的距離為1，即可求出底面ABCD的中心與頂點S之間的距離．解答：解：由題意可知ABCD所在的圓是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球心到小圓圓心的距離為，頂點S在球心距的垂直分的平面上，而頂點S到球心的距離為1，所以底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為1故選C點評：本題是基礎題，考查球的內(nèi)接多面體的知識，考查邏輯推理能力，計算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想．10．（2011?重慶）設m，k為整數(shù)，方程mx2﹣kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為（） A．﹣8 B．8 C．12 D．13考點：二次函數(shù)的性質(zhì)。專題：計算題。分析：將一元二次方程的根的分布轉(zhuǎn)化為確定相應的二次函數(shù)的圖象來處理，根據(jù)圖象可得到關(guān)于m和k的不等式組，此時不妨考慮利用不等式所表示的平面區(qū)域來解決，但須注意這不是線性規(guī)劃問題，同時注意取整點．解答：解：設f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的圖象恒過定點（0，2），因此要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個不同的交點即由題意可以得到：必有，即，在直角坐標系mok中作出滿足不等式平面區(qū)域，如圖所示，設z=m+k，則直線m+k﹣z=0經(jīng)過圖中的陰影中的整點（6，7）時，z=m+k取得最小值，即zmin=13．故選D．點評：此題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的聯(lián)系，解答要注意幾個關(guān)鍵點：（1）將一元二次方程根的分布轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點來處理；（2）將根據(jù)不等式組求兩個變量的最值問題處理為規(guī)劃問題；（3）作出不等式表示的平面區(qū)域時注意各個不等式表示的公共區(qū)域；（4）不可忽視求得最優(yōu)解是整點．二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2011?重慶）在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，則a2+a4+a6+a8=74．考點：等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：計算題。分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)所有下標之和相同的兩項之和相等，看出第三項與第七項的和等于第四項與第六項的和等于第二項與第八項的和，得到結(jié)果．解答：解：等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案為：74點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，這是經(jīng)常用到的一個性質(zhì)的應用，注意解題要靈活，不要出現(xiàn)數(shù)字運算的錯誤是一個送分題目．12．（2011?重慶）已知單位向量，的夾角為60°，則|2﹣|=．考點：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角。專題：計算題。分析：利用向量模的平方等于向量的平方，將已知等式平方，利用向量的數(shù)量積公式及將已知條件代入，求出模．解答：解：===5﹣4cos60°=3∴故答案為點評：本題考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的數(shù)量積公式．13．（2011?重慶）將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為．考點：n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率。專題：計算題。分析：本題是一個n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多包括三種情況，正面出現(xiàn)4次，反面出現(xiàn)2次；正面出現(xiàn)5次，反面出現(xiàn)1次；正面出現(xiàn)6次，共有三種情況，這三種情況是互斥的，寫出概率，得到結(jié)果．解答：解：由題意知本題是一個n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多包括正面出現(xiàn)4次，反面出現(xiàn)2次；正面出現(xiàn)5次，反面出現(xiàn)1次；正面出現(xiàn)6次，共有三種情況，這三種情況是互斥的，∴正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率是++==故答案為：點評：本題考查n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一個基礎題，解題的關(guān)鍵是看清題目所給的條件符合什么規(guī)律，在按照規(guī)律解題．14．（2011?重慶）已知，且，則的值為．考點：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值。專題：計算題。分析：利用題設等式，兩邊平方后即可求得sin2α，進而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos2α，利用正弦的兩角和公式把原式的分母展開，把cos2α和sinα﹣cosα的值代入即可．解答：解：∵∴sinα﹣cosα=，兩邊平方后求得1﹣2sinαcosα=∴sin2α=∵sinα﹣cosα=＞0∴∴2α∈（，π）∴cos2α=﹣=﹣∴===﹣故答案為：﹣點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及化簡求值．主要是利用了同角三角函數(shù)中平方關(guān)系解題．15．（2011?重慶）動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過點（2，0）．考點：圓與圓錐曲線的綜合。專題：計算題。分析：先由拋物線的標準方程寫出其焦點坐標，準線方程，再結(jié)合拋物線的定義得出焦點必在動圓上，從而解決問題．解答：解：拋物線y2=8x的焦點F（2，0），準線方程為x+2=0，故圓心到直線x+2=0的距離即半徑等于圓心到焦點F的距離，所以F在圓上．故答案為：（2，0）．點評：主要考查知識點：拋物線，本小題主要考查圓與拋物線的綜合、拋物線的定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎題．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（2011?重慶）設α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）滿足，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值．考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的最值。專題：計算題。分析：利用二倍角公式化簡函數(shù)f（x），然后，求出a的值，進一步化簡為f（x）=2sin（2x﹣），然后根據(jù)x的范圍求出2x﹣，的范圍，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]時2x﹣，f（x）是增函數(shù)，所以x∈[]時2x﹣，f（x）是減函數(shù)，函數(shù)f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函數(shù)f（x）在上的最小值為：f（）=；點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡，二倍角公式的應用，三角函數(shù)的求值，函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查計算能力，?？碱}型．17．（2011?重慶）某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)，設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：（Ⅰ）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；（Ⅱ）申請的房源在片區(qū)的個數(shù)的ξ分布列與期望．考點：離散型隨機變量的期望與方差；等可能事件的概率。專題：計算題。分析：（I）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是4個人中，每一個人有3種選擇，共有34種結(jié)果，滿足條件的事件是恰有2人申請A片區(qū)房源，共有C4222，得到概率．（II）由題意知變量ξ的可能取值是1，2，3，結(jié)合變量對應的事件和第一問的做法寫出變量對應的概率，寫出分布列，做出變量的期望值．解答：解：（I）由題意知本題是一個等可能事件的概率試驗發(fā)生包含的事件是4個人中，每一個人有3種選擇，共有34種結(jié)果，滿足條件的事件是恰有2人申請A片區(qū)房源，共有C4222∴根據(jù)等可能事件的概率公式得到P==（II）由題意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是∴Eξ=點評：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．18．（2011?重慶）設f（x）=x3+ax2+bx+1的導數(shù)f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常數(shù)a，b∈R．（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（II）設g（x）=f′（x）e﹣x．求函數(shù)g（x）的極值．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程。專題：計算題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（I）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導函數(shù)的公式，易求出導數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（II）根據(jù)g（x）=f′（x）e﹣1求出函數(shù)g（x）的解析式，然后求出g（x）的導數(shù)g'（x）的解析式，求出導函數(shù)零點后，利用零點分段法，分類討論后，即可得到函數(shù)g（x）的極值．解答：解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣\frac{3}{2}x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲線在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x從而有g(shù)'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，則x=0或x=3∵當x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0，當x∈（0，3）時，g'（x）＞0，當x∈（3，+∞）時，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0時取極小值g（0）=﹣3，在x=3時取極大值g（3）=15e﹣3點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及方程組的求解等有關(guān)問題，屬于中檔題．19．（2011?重慶）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．考點：異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積。專題：計算題；綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：（I）要求四面體ABCD的體積，必須確定它的高和底面，由已知，△ABC作為底面，高易作，根據(jù)線段的長度，即可求得四面體ABCD的體積；（Ⅱ）利用三垂線定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根據(jù)該角為60°，找到各邊之間的關(guān)系，利用平移的方法找出異面直線AD與BC所成角，解三角形，即可求得異面直線AD與BC所成角的余弦值．解答：解：（I）設F為AC的中點，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面體ABCD的體積V==．（II）設G，H分別為邊CD，BD的中點，則FG∥AD，GH∥BC，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成角或其補角．設E為邊AB的中點，則EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB，所以∠DEF為二面角C﹣AB﹣D的平面角，由題設知∠DEF=60°．設AD=a，則DF=AD?SsinCAD=，在Rt△DEF中，EF=DF?cotDEF==，從而GH=BC=EF=，因Rt△ADE≌Rt△BDE，故在Rt△BDF中，F(xiàn)H=．又FG=AD=，從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得cosFGH==．點評：此題是個中檔題．考查棱錐的體積公式和異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角時注意三垂線定理及其逆定理的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想．20．（2011?重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程為x=2．（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．（Ⅱ）設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為﹣．問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值．若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由．考點：橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的定義。專題：計算題。分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和準線方程求得a和c，則b可得，則橢圓的方程可得．（Ⅱ）設出P，M，N的坐標，根據(jù)題設等式建立等式，把M，N代入橢圓方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），設出直線OM，ON的斜率，利用題意可求得x1x2+2y1y2=0，進而求得x2+2y2的值，利用橢圓的定義可推斷出|PF1|+|PF2|為定值求得c，則兩焦點坐標可得．解答：解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴橢圓的方程為：（Ⅱ）設P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵點M，N在橢圓上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）設k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在橢圓設該橢圓的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，由橢圓的定義可推斷出|PF1|+|PF2|為定值，因為c=，則這兩個焦點坐標是（﹣，0）（，0）點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學生分析問題和解決問題的能力．21．（2011?重慶）設實數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比數(shù)列，求S2和a3．（Ⅱ）求證：對k≥3有0≤ak≤．考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式。專題：綜合題。分析：（Ⅰ）由題意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中項知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由題設條件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能夠證明對k≥3有0≤an﹣1≤．解答：解：（Ⅰ）由題意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中項知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）證明：因為Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，由題設條件知Sn+an+1=an+1Sn，∴Sn≠1，an+1≠1，且，又從而對k≥3，有0≤ak≤．點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．

參與本試卷答題和審題的老師有：394782；qiss；漲停；yhx01248；wdnah；Mrwang；zhwsd；zlzhan；minqi5；sllwyn；邢新麗；rxl。（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2012年6月8日

2012年高考重慶理科數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的（1）在等差數(shù)列中，，則的前5項和（A）7（B）15（C）20（D）25（2）不等式的解集為（A）（B）（C）（D）（3）對任意的實數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是（A）相離（B）相切（C）相交但直線不過圓心（D）相交且直線過圓心（4）的展開式中常數(shù)項為（A）（B）（C）（D）105（5）設是方程的兩根，則的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3（6）設向量，且，則（A）（B）（C）（D）10（7）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為[0,1]上的增函數(shù)”是“為[3，4]上的減函數(shù)”的（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件（C）必要而不充分的條件（D）充要條件（8）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值（9）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（A）（B）（C）（D）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題卡相應位置上（11）若，其中為虛數(shù)單位，則.（12）.（13）設的內(nèi)角的對邊分別為，且則.（14）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則=.（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）.三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分）設函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望.18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問8分，（Ⅱ）小問5分）設其中（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求的最大值19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）已知直三棱柱中，，，為的中點。（Ⅰ）求點C到平面的距離;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）已知橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段的中點分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過作直線交橢圓于，，求直線的方程21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）已知的前項和滿足，其中（Ⅰ）求證：首項為1的等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號成立的充要條件。

試卷解析試卷總評2012年高考重慶卷數(shù)學文理科的特點是"穩(wěn)中有降、梯度合理、試題親切、背景公平"。穩(wěn)中有降：1、整份試題繼承了去年試題的框架結(jié)構(gòu)，全面考查了《考試大綱》各部分的內(nèi)容，函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等仍是穩(wěn)定的主干考點；2、客觀題（選擇、填空）的壓軸題都較往年降低了難度，連接解答題的難度也略低于往年，試題面向全體考生，體現(xiàn)了向新課改主干知識平穩(wěn)過渡。梯度合理：整份試題層次分明，問題設置科學、合理，對數(shù)學基礎、數(shù)學水平、數(shù)學能力不同的學生有著較好的區(qū)分度，部分試題設計巧妙，能考察學生綜合分析以及繼續(xù)學習的潛能，不僅有利于優(yōu)秀學生的發(fā)揮，也有利于數(shù)學中等生取得滿意的成績。試題親切：全卷試題表述清晰、富有數(shù)學美感，考生審題無文字障礙；淡化特殊技巧，回歸常態(tài)，運算量適中；試題緊扣教材，對高中主干知識考察的明晰且突出，經(jīng)典數(shù)學問題的重構(gòu)與改編所考察的數(shù)學思想與方法體現(xiàn)出了命題者的匠心獨用。背景公平：全卷無偏、難、怪、繁的試題，體現(xiàn)數(shù)學應用意識的一些題目選材自然、具有生活體驗，如學生輪流投籃勝負的探討、學校課表安排等題目，這些題目對城鄉(xiāng)學生的審題、分析以至于解題過程均體現(xiàn)出公平的認知背景，同時也較好地體現(xiàn)了新課改中數(shù)學文化的滲透。值得一提的是，命題者注重文理科差異，命題具有針對性。(21道試題中有9道是同源題目，其他均采用了不同的試題，考察體現(xiàn)了文理科學生的數(shù)學學習能力差異)總之，整份試題應該說是一份對如何考查雙基內(nèi)容作出了完美的詮釋的試題，不僅是一份有利于高校選拔人才的試卷，更對高中數(shù)學課堂教學改革起到了風向標的引領(lǐng)作用。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的（1）在等差數(shù)列中，，則的前5項和（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：，【考點定位】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，解題時要認真審題，仔細解答．（2）不等式的解集為（A）（B）（C）（D）（3）對任意的實數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是（A）相離（B）相切（C）相交但直線不過圓心（D）相交且直線過圓心（4）的展開式中常數(shù)項為（A）（B）（C）（D）105【答案】B【解析】：令解得展開式中常數(shù)項為【考點定位】本題考查利用二項展開式的通項公式求展開式的常數(shù)項（5）設是方程的兩根，則的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：，則【考點定位】本此題考查學生靈活運用韋達定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值．（6）設向量，且，則（A）（B）（C）（D）10（7）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為[0,1]上的增函數(shù)”是“為[3，4]上的減函數(shù)”的（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件（C）必要而不充分的條件（D）充要條件【答案】：D【解析】：由是定義在R上的偶函數(shù)及[0,1]上的增函數(shù)可知在[-1,0]減函數(shù)，又2為周期，所以[3，4]上的減函數(shù)【考點定位】本題主要通過常用邏輯用語來考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，進而來考查函數(shù)的周期性．根據(jù)圖象分析出函數(shù)的性質(zhì)及其經(jīng)過的特殊點是解答本題的關(guān)鍵．（8）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值（9）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】：A【解析】：，，，【考點定位】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，極限思想的應用，是中檔題．（10）設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（A）（B）（C）（D）【答案】：D【解析】：由對稱性：圍成的面積與圍成的面積相等得：所表示的平面圖形的面積為圍成的面積即【考點定位】本題考查極限的求法和應用，因都沒有極限，可先分母有理化再求極限；（13）設的內(nèi)角的對邊分別為，且則【答案】：【解析】：由得由正弦定理得由余弦定理得則【考點定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值本題的突破點，然后利用正弦定理建立已知和未知之間的關(guān)系．同時要求學生牢記特殊角的三角函數(shù)值．（14）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則=。（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）.【答案】：【解析】：語文、數(shù)學、外語三門文化課間隔1節(jié)藝術(shù)課排列有種排法，語文、數(shù)學、外語三門文化課相鄰有種排法，語文、數(shù)學、外語三門文化課兩門相鄰有種排法，故所有的排法種數(shù)有+，在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為【考點定位】本題在計數(shù)時根據(jù)具體情況選用了插空法，做題時要注意體會這些方法的原理及其實際意義．三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分）設函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：設分別表示甲、乙在第k次投籃中，則（Ⅰ）記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知（Ⅱ）的所有可能值為1，2，3。由獨立性知綜上知，有分布列123P從而，（次）【考點定位】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望即相互獨立事件的概率，考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式．18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問8分，（Ⅱ）小問5分）設其中（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求的最大值【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：：（Ⅰ）因，所以函數(shù)的值域為（Ⅱ）因在每個閉區(qū)間（）上為增函數(shù)，故（）在每個閉區(qū)間（）上為增函數(shù)19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）已知直三棱柱中，，，為的中點。（Ⅰ）求點C到平面的距離;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值?！敬鸢浮浚海á瘢á颍窘馕觥浚海á瘢┮颍珼為AB的中點，得。又故面所以到平面的距離為（Ⅱ）：如答（19）圖1，取為的中點，連接，則又由（Ⅰ）知面故，故為所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以≌，因此，得從而所以在中，（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）已知橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段的中點分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過作直線交橢圓于，，求直線的方程【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）和【解析】：：（Ⅰ）如答（20）圖，設所求橢圓的標準方程為+=1（），右焦點為因是直角三角形且，故為直角，從而，即，結(jié)合得。故，所以離心率，在中，故由題設條件得，從而因此所求橢圓的的標準方程為：+=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設直線21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）已知的前項和滿足，其中（Ⅰ）求證：首項為1的等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號成立的充要條件?！敬鸢浮浚海á瘢á颍┊斍覂H當或時等號成立【解析】：（Ⅰ）由，即，因，故，得又由題設條件知，兩式相減得，即由，知，因此綜上對所有成立，從而是首項為1，公比為的等比數(shù)列。（Ⅱ）當時，顯然，等號成立設且，由（Ⅰ）知，所以要證的不等式化為即證：，當時，上面不等式的等號成立當時，與同為負；當時與同為正，因此當且時，總有，即上面不等式對從1到求各得由此得綜上，當且時，有，當且僅當或時等號成立。

2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(重慶卷)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2013重慶，理1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則U(A∪B)＝()．A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}2．(2013重慶，理2)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為()．A．對任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．(2013重慶，理3)(－6≤a≤3)的最大值為()．A．9B．C．3D．4．(2013重慶，理4)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()．A．2,5B．5,5C．5,8D．8,85．(2013重慶，理5)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A．B．C．200D．2406．(2013重慶，理6)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()．A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)7．(2013重慶，理7)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為()．A．B．C．D．8．(2013重慶，理8)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出s＝3，那么判斷框內(nèi)應填入的條件是()．A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．(2013重慶，理9)4cos50°－tan40°＝()．A．B．C．D．10．(2013重慶，理10)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，則||的取值范圍是()．A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分．把答案填寫在答題卡相應位置上．11．(2013重慶，理11)已知復數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝__________.12．(2013重慶，理12)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝__________.13．(2013重慶，理13)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是__________(用數(shù)字作答)．14．(2013重慶，理14)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為__________．15．(2013重慶，理15)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為ρcosθ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝__________.16．(2013重慶，理16)若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a無解，則實數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(2013重慶，理17)(本小題滿分13分，(1)小問6分，(2)小問7分．)設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．18．(2013重慶，理18)(本小題滿分13分，(1)小問5分，(2)小問8分．)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球．根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級．(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列與期望E(X)．

19．(2013重慶，理19)(本小題滿分13分，(1)小問5分，(2)小問8分．)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB．(1)求PA的長；(2)求二面角B－AF－D的正弦值．20．(2013重慶，理20)(本小題滿分12分，(1)小問4分，(2)小問8分．)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)設cosAcosB＝，，求tanα的值．

21．(2013重慶，理21)(本小題滿分12分，(1)小問4分，(2)小問8分．)如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|＝4.(1)求該橢圓的標準方程；(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P′Q，求圓Q的標準方程．

22．(2013重慶，理22)(本小題滿分12分，(1)小問4分，(2)小問8分．)對正整數(shù)n，記In＝{1,2，…，n}，.(1)求集合P7中元素的個數(shù)；(2)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并．

2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(重慶卷)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的．1．答案：D解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，故U(A∪B)＝{4}，故選D．2．答案：D解析：全稱命題的否定是一個特稱命題(存在性命題)，故選D．3．答案：B解析：方法一：＝，因為－6≤a≤3，所以當時取得最大值.方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥，即，∴，當且僅當3－a＝a＋6，即時取等號．4．答案：C解析：由甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)為15，可得x＝5；而乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可解得y＝8.故選C．5．答案：C解析：由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個橫放的直棱柱，棱柱底面為梯形，梯形兩底長分別為2和8，高為4，棱柱的高為10，故該幾何體體積V＝×(2＋8)×4×10＝200，故選C．6．答案：A解析：由題意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.顯然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以該函數(shù)在(a，b)和(b，c)上均有零點，故選A．7．答案：A解析：圓C1，C2的圓心分別為C1，C2，由題意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值為|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1關(guān)于x軸對稱的點為C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值為|C3C2|－4＝，故選A．8．答案：B解析：由程序框圖可知，輸出的結(jié)果為s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k＋1)＝3，解得k＝7.又∵不滿足判斷框內(nèi)的條件時才能輸出s，∴條件應為k≤7.9．答案：C解析：4cos50°－tan40°＝＝＝＝.10．答案：D解析：因為⊥，所以可以A為原點，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．設B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范圍是，故選D．二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分．把答案填寫在答題卡相應位置上．11．答案：解析：，∴.12．答案：64解析：由a1＝1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋d＝64.13．答案：590解析：方法一：從12名醫(yī)生中任選5名，不同選法有種．不滿足條件的有：只去骨科和腦外科兩科醫(yī)生的選法有種，只去骨科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有種，只去腦外科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有種，只去內(nèi)科一科醫(yī)生的選法有種，故符合條件的選法有：792－21－55－125－1＝590種．方法二：設選骨科醫(yī)生x名，腦外科醫(yī)生y名，則需選內(nèi)科醫(yī)生(5－x－y)人．(1)當x＝y(tǒng)＝1時，有種不同選法；(2)當x＝1，y＝2時，有種不同選法；(3)當x＝1，y＝3時，有種不同選法；(4)當x＝2，y＝1時，有種不同選法；(5)當x＝2，y＝2時，有種不同選法；(6)當x＝3，y＝1時，有種不同選法．所以不同的選法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590種．考生注意：(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分．14．答案：5解析：在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝.由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.又由切割線定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.15．答案：16解析：由極坐標方程ρcosθ＝4，化為直角坐標方程可得x＝4，而由曲線參數(shù)方程消參得x3＝y(tǒng)2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.16．答案：(－∞，8]解析：方法一：設f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域為[8，＋∞)，因為原不等式無解，只需a≤8，故a的取值范圍是(－∞，8]．方法二：由絕對值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a無解時，a的取值范圍為(－∞，8]．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當0＜x＜2或x＞3時，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當2＜x＜3時，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)．由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln3.18．解：設Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j個藍球，則Ai(i＝0,1,2,3)與Bj(j＝0,1)獨立．(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1)＝.(2)X的所有可能值為0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝，P(X＝0)＝.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．19．解：(1)如圖，連接BD交AC于O，因為BC＝CD，即△BCD為等腰三角形．又AC平分∠BCD，故AC⊥BD．以O為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O－xyz，則OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)．因PA⊥底面ABCD，可設P(0，－3，z)，由F為PC邊中點，F(xiàn).又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，(舍去)，所以||＝.(2)由(1)知＝(，3,0)，＝(，3,0)，＝(0,2，)，設平面FAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n1＝(3，，－2)．由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(3，，2)．從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值為.20．解：(1)因為a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝，故.(2)由題意得＝.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因為，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，因為cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.21．解：(1)由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則.從而e2＋＝1.由得，從而.故該橢圓的標準方程為.(2)由橢圓的對稱性，可設Q(x0,0)．又設M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．設P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點，因此，上式當x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當x＝2x0時取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.因為PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y12＝0.由橢圓方程及x1＝2x0得，解得，.從而|QP|2＝8－x02＝.故這樣的圓有兩個，其標準方程分別為，.22．解：(1)當k＝4時，中有3個數(shù)與I7中的3個數(shù)重復，因此P7中元素的個數(shù)為7×7－3＝46.(2)先證：當n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并．若不然，設A，B為不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn，不妨設1∈A，則因1＋3＝22，故3A，即3∈B．同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，這與A為稀疏集矛盾．再證P14符合要求，當k＝1時，可分成兩個稀疏集之并，事實上，只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，則A1，B1為稀疏集，且A1∪B1＝I14.當k＝4時，集中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：，.當k＝9時，集中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：，.最后，集中的數(shù)的分母均為無理數(shù)，它與P14中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.綜上，所求n的最大值為14.注：對P14的分拆方法不是唯一的．

2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限(2)對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是（）成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列(3)已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由觀測的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為（）A.B.C.D.(4)已知向量，且，則實數(shù)=（）D.(5)執(zhí)行如題（5）圖所示的程序框圖，若輸出的值為6，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）A.B.C.D.(6)已知命題對任意，總有；是的充分不必要條件則下列命題為真命題的是（）(7)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.54B.60C.66D.72(8)設分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.3(9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）A.72B.120C.144D.3(10)已知的內(nèi)角，面積滿足所對的邊，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.二、填空題本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上.(11)設全集，則______.(12)函數(shù)的最小值為_________.(13)已知直線與圓心為的圓相交于兩點，且為等邊三角形，則實數(shù)_________.考生注意：14、15、16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.(14)過圓外一點作圓的切線（為切點），再作割線，分別交圓于，，若，AC=8，BC=9，則AB=________.(15)已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，正半軸為極軸線與曲線的公共點的極經(jīng)________.(16)若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算過程.(17)（本小題13分，（=1\*ROMANI）小問5分，（=2\*ROMANII）小問8分）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.(18)（本小題滿分13分，（=1\*ROMANI）小問5分，（=2\*ROMANII）小問8分））一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片.（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;（2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列（注：若三個數(shù)滿足，則稱為這三個數(shù)的中位數(shù)）.(19)（本小題滿分12分，（1）小問6分，（=2\*ROMAN2）小問7分））如圖（19），四棱錐，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點，且.（1）求的長；（2）求二面角的正弦值.(20)（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問3分，（3）問5分）已知函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點處的切線的斜率為.(1)確定的值；(2)若，判斷的單調(diào)性；(3)若有極值，求的取值范圍.(21)（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）如題（21）圖，設橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.(1)求該橢圓的標準方程；(2)是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑..(22)（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問8分）設（1）若，求及數(shù)列的通項公式；（2）若，問：是否存在實數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論.2014年高考重慶卷理科數(shù)學參考答案一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)【答案】A【解析】(2)【答案】D(3)【答案】A【解析】(4)【答案】C(5)【答案】C【解析】(6)【答案】D【解析】(7)【答案】B【解析】原三棱柱：底面三角形兩直角邊為3和4，高為4；截掉高為3的上部棱錐后余下的幾何體的表面積（8）【答案】B【解析】設，，且，則，，(9)【答案】B【解析】先排歌舞，再排其它：（1）歌舞中間有一個，插空法：(10)【答案】A【解析】二、填空題本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上。(11)【答案】【解析】(12)【答案】【解析】(13)【答案】【解析】考生注意：14、15、16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.(14)【答案】4【解析】(15)【答案】【解析】

若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________.(16)【答案】【解析】三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算過程.17.（本小題13分，（I）小問5分，（II）小問8分）【解析】（I）（II）18.（本小題滿分13分）【解析】（I）（II）X的分布列如下：x123p19.（本小題滿分12分）【解析】（I）（II）（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問3分，（3）問5分）【解析】（1）（2）（3）21.【解析】（I）（II）（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問8分）【解析】（I）（II）

2015年高考重慶市理科數(shù)學真題一選擇題1．已知集合A=,B=，則（）A． B．AB= C．AB D．BA2．在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=（）A．-1 B．0 C．1 D．63．重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．“x>1”是“（x+2）<0”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．若非零向量a，b滿足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），則a與b的夾角為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入K的值為8，則判斷框圖可填入的條件是（）A．s B．s C．s D．s8．已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A．2 B． C．6 D．9．若tan=2tan，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．設雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A．（-1,0）（0,1） B．（-，-1）（1，+）C．（-，0）（0，） D．（-，-）（，+）二、填空題11．設復數(shù)a+bi（a，bR）的模為，則（a+bi）（a-bi）=________.12．的展開式中的系數(shù)是________(用數(shù)字作答).13．在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______.14．如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，則BE=_______.15．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為，則直線l與曲線C的交點的極坐標為_______.16．若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，則實數(shù)a=_______.17．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個。（Ⅰ）求三種粽子各取到1個的概率；（Ⅱ）設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望18．已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性.19．如圖，三棱錐中，平面分別為線段上的點，且（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值。20．設函數(shù)（Ⅰ）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍。21．如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且（Ⅰ）若求橢圓的標準方程（Ⅱ）若求橢圓的離心率22．在數(shù)列中，（I）若求數(shù)列的通項公式；（II）若證明：2015年高考重慶市理科數(shù)學真題詳細答案一選擇題1．答案：D解析過程：由于，故A、B、C均錯，D是正確的，選D.2．答案：B解析過程：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B.3．答案：B解析過程：從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B.4．答案：B解析過程：,因此選B.5．答案：A解析過程：這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，，故選A.6．答案：A解析過程：由題意，即，所以，，，選A.7．答案：C解析過程：由程序框圖，的值依次為0，2，4，6，8，因此（此時）還必須計算一次，因此可填，選C.8．答案：C解析過程：圓標準方程為，圓心為，半徑為，因此，，即，.選C.9．答案：C解析過程：＝，選C.10．答案：A解析過程：由題意，由雙曲線的對稱性知在軸上，設，由得，解得，所以，所以，因此漸近線的斜率取值范圍是，選A.二、填空題11．答案：3解析過程：由得，即，所以.12．答案：解析過程：二項展開式通項為，令，解得，因此的系數(shù)為.13．答案：解析過程：由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，.14．答案：2解析過程：首先由切割線定理得，因此，，又，因此，再相交弦定理有，所以.15．答案：解析過程：直線的普通方程為，由得，直角坐標方程為，把代入雙曲線方程解得，因此交點.為，其極坐標為.16．答案：-6或4解析過程：由絕對值的性質(zhì)知的最小值在或時取得，若，或，經(jīng)檢驗均不合；若，則，或，經(jīng)檢驗合題意，因此或.17．答案：見解析解析過程：（Ⅰ）令A表示事件“三種粽子各取1個”，則由古典概型的概率計算公式有(Ⅱ)X的所有可能值為0，1，2，且綜上知，X的分布列為X012P故(個).18．答案