平面向量題型匯總,基礎(chǔ)及平面向量題型歸納

《平面向量》題型匯總類型（一）：向量的夾角問題1.平面向量，滿足且滿足，則的夾角為.2.已知非零向量滿足，則的夾角為.3.已知向量滿足，則的夾角為.4.設(shè)非零向量、、滿足，則.類型（二）：向量共線問題1.已知向量若平行，則實(shí)數(shù)的值是.2.已知，且∥，則x=.3．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4共線，則k=.4.已知不共線，，如果∥，那么k=,與的方向關(guān)系是.5.已知向量∥，則.類型（三）:向量的垂直問題1．已知向量.2.已知當(dāng)=時(shí)，垂直？3.已知與垂直的單位向量的坐標(biāo)為.4.已知向量5..6.∥，類型（四）投影問題已知，的夾角，則向量在向量上的投影為在△中，3．關(guān)于且，下列幾種說法正確的是①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥類型（四）求向量的模的問題已知零向量.已知向量滿足.已知向量，.4．已知向量的最大值為.5.設(shè)向量，滿足.類型（五）平面向量基本定理的應(yīng)用問題1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），則等于（）(A)(B)(C)(D)2.如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，＝a，＝b，＝c，則＝.3.已知類型（六）平面向量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，，設(shè)函數(shù)⑴求函數(shù)的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．2.已知，A、B、C在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、.(1)若，求角的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.關(guān)注宮老師數(shù)學(xué)微信訂閱號(hào)sharebus每天給你最精彩的數(shù)學(xué)講解3.已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量（1）如果求a的值；（2）若請(qǐng)判斷的形狀.4.已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對(duì)的邊分別是，，求的取值范圍。平面向量題型歸納一．向量有關(guān)概念：【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，記作：或。注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。例：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是2.向量的模：向量的大?。ɑ蜷L度），記作：或。3．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；4．單位向量：單位向量：長度為1的向量。若是單位向量，則。(與共線的單位向量是)；5．相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；6．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；BDCA如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（BDCAA.B.C.D.7．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－、。例：下列命題：（1）若，則。（2）若，則。（6）若，則。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。其中正確的是_______題型1、基本概念1：給出下列命題：=1\*GB3①若||＝||，則=；=2\*GB3②向量可以比較大??；=3\*GB3③方向不相同的兩個(gè)向量一定不平行；④若=，=，則=；⑤若//，//，則//；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；其中正確的序號(hào)是。2、基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是。（5）若，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。（6）因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量。（7）若與共線，與共線，則與共線。（8）若，則。（9）若，則。（10）若與不共線，則與都不是零向量。（11）若，則。（12）若，則。二、向量加減運(yùn)算8.三角形法則：；；（指向被減數(shù)）9.平行四邊形法則：以為臨邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為，。題型2.向量的加減運(yùn)算1、化簡。2、已知,,則的最大值和最小值分別為、。3、在平行四邊形中，若，則必有()A.B.C.是矩形D.是正方形題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1、計(jì)算：（1）（2）題型4.作圖法求向量的和1、已知向量，如下圖，請(qǐng)做出向量和。題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量已知在中，是的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量表示。在平行四邊形中，已知，求。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、已知，則。練習(xí)：若物體受三個(gè)力,,,則合力的坐標(biāo)為。2、已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是。3、.已知，，求，，。已知,向量與相等，求的值。5、已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，求的坐標(biāo)。平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2?；祝喝我獠还簿€的兩個(gè)向量稱為一組基底。題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底1、已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：B.C.D.練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是（）(A)(B)(C)(D)2、.已知，能與構(gòu)成基底的是（）A.B.C.D.3、知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x－y的值等于4、設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.5、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x,y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x,y所滿足的關(guān)系式為（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0四．平面向量的數(shù)量積：1．兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。例1、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____例2、已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。3．向量的運(yùn)算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。題型8：有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1：判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（3）；（4）對(duì)任意向量都成立；（5）若，則；（6）對(duì)任意向量，有。(7)m（）=m+m其中正確的序號(hào)是。2、下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______題型9、求單位向量【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是。2.與平行的單位向量是題型10、數(shù)量積與夾角公式：；向量的模：若，則，，1、△ABC中，，，，則_________2、已知，與的夾角為，則等于____3、已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）。4、已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為____5、已知，求與的夾角。6、已知，，，求。7、已知非零向量滿足，則的夾角為8：已知中,,則與的夾角為9：已知向量與向量的夾角為120°，若向量=+，且⊥，則的值為10：已知||＝1||＝2，|＋|＝2，則與2-的夾角余弦值為．11：已知向量｜｜=，｜｜=2，和的夾角為，當(dāng)向量+與+的夾角為銳角時(shí)，求的取值范圍。題型11、求向量的模的問題如向量的模：若，則，，1、已知零向量2、已知向量滿足3、已知向量，4、已知向量的最大值為5、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，(A)8(B)4(C)2(D)16、設(shè)向量，滿足及，求的值練習(xí)：已知向量滿足求7、設(shè)向量，滿足8、已知向量、滿足，，則|－|的最大值是最小值是。題型12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求的坐標(biāo)。2.已知是原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，，求的坐標(biāo)。五、平行與垂直知識(shí)點(diǎn)：；題型13：向量共線問題1、已知平面向量，平面向量若∥，則實(shí)數(shù)2、設(shè)向量若向量與向量共線，則3、已知向量若平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．2練習(xí)：設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線5、已知不共線，，如果∥，那么k=,與的方向關(guān)系是練習(xí)：已知，，，且，則x＝______6、已知向量∥，則題型14、向量的垂直問題1、已知向量，則實(shí)數(shù)的值為2、已知向量練習(xí)：已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4垂直，求實(shí)數(shù)k的值3、已知單位向量4、練習(xí)：∥，5、以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________題型15、在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。1、已知，，且，則向量在向量上的投影為______2、已知，是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時(shí)，在方向上的投影為。練習(xí)：已知，的夾角，則向量在向量上的投影為題型16、三點(diǎn)共線問題1.已知，，，求證：三點(diǎn)共線。2.設(shè)，求證：三點(diǎn)共線。練習(xí)：已知，則一定共線的三點(diǎn)是。3.已知，，若點(diǎn)在直線上，求的值。4.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，是否存在常數(shù)，使成立？5：是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則=6：★設(shè)O是直線外一定點(diǎn)，A、B、C在直線上，且,則=7：設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若與起點(diǎn)相同，t∈R，t=時(shí)，，t，(＋)三向量的終點(diǎn)在一條直線上。8：如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為__________________．9:在△OAB的邊OA，OB上分別取點(diǎn)M，N，使|eq\o(OM,\s\up6(→))|∶|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1∶3，|eq\o(ON,\s\up6(→))|∶|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→)).練習(xí)：如圖，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)已知在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.六、線段的定比分點(diǎn)：1．定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；2．的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長線上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長線上時(shí)；例1、若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_______3．線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)＝1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式。題型17、定比分點(diǎn)2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______3、已知，直線與線段交于，且，則等于七、平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，題型18、平移1、按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)______2、函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________八、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，①若，則其重心的坐標(biāo)為。如1、若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；⑤的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如2、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_______題型19、判斷多邊形的形狀1.若，，且,則四邊形的形狀是。2.已知，，，，證明四邊形是梯形。3.已知，，，求證：是直角三角形。4、在△ABC中，若，則△的形狀為 （）A．等腰三角形B．等邊三角形 C．等腰直角三角形D．直角三角形5、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，,求證：是等腰直角三角形。6、平面四邊形中，，，，，且，判斷四邊形的形狀．題型20：三角形四心1、已知的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P，若則點(diǎn)P是ABC的（）重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心2.已知點(diǎn)是三角形所在平面上一點(diǎn)，若,則是三角形的（）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心3、已知點(diǎn)是三角形所在平面上一點(diǎn)，若，則是三角形的（）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心練習(xí)、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心內(nèi)心（C）外心重心垂心（D）外心重心內(nèi)心★在平面內(nèi)有ABC和點(diǎn)O，若，則點(diǎn)O是ABC的重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心