等腰三角形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握等腰三角形的判定方法靈活運(yùn)用等腰三角形的判定方法進(jìn)行證明和計(jì)算ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠B=∠C如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？情景引入已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對(duì)的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型：CABAB=AC你能驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？知識(shí)精講在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC過A作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D證明：CAB21D（（知識(shí)精講∴AC=AB即△ABC為等腰三角形∵∠B=∠C，等腰三角形的判定方法如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）已知等角對(duì)等邊在△ABC中，幾何語(yǔ)言：BCA知識(shí)精講ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對(duì)等邊）∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對(duì)等邊）錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中辨一辨：如圖,下列推理正確嗎知識(shí)精講例1求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．ABCE（（12D典例解析例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC求證：AB=ADBADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD【點(diǎn)睛】角平分線遇平行線必出現(xiàn)等腰三角形典例解析例3如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠∥BC交AB于E，交AC于F探究EF、BE、FC之間的關(guān)系OABEF解：EF=BECF理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EOFO＝BECFABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？【點(diǎn)睛】判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過全等或利用“等角對(duì)等邊”，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，解決問題典例解析1在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A∠A＝50°，∠B＝70°B∠A＝70°，∠B＝40°C∠A＝30°，∠B＝90°D∠A＝80°，∠B＝60°B2如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______3cm針對(duì)練習(xí)3如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙沿著對(duì)角線折疊，重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？BCADE是由折疊可知，∠EBD=∠CBD∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形針對(duì)練習(xí)例4已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高的長(zhǎng)為h，求作這個(gè)等腰三角形ah作法：=a，交AB于點(diǎn)D，使DC=h，BC，則△ABC即為所求ABCMND典例解析例4如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個(gè)三角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．典例解析課堂練習(xí)3、求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．已知：CD是△ABC的中線，CD=AB．求證：△ABC是直角三角形ADCB12與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法ACBDE開啟智慧下例各說法對(duì)嗎？為什么？等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩腰上的中線相等等腰三角形兩腰上的高相等ACBNMACBHG3、已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE=BD，連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EFHABCDEF1如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)2一個(gè)三角形的一個(gè)外角為130°，且它恰好等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍這個(gè)三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA達(dá)標(biāo)檢測(cè)13如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，這樣的B點(diǎn)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)OabDA達(dá)標(biāo)檢測(cè)4如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD5如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長(zhǎng)為_____9第4題圖第5題圖達(dá)標(biāo)檢測(cè)6如圖,上午10時(shí)，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時(shí)的速度向正北航行，中午12時(shí)到達(dá)B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得∠NAC=40°，∠NBC=80°求從B處到燈塔C的距離解：∵∠NBC=∠A∠C，∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC（等角對(duì)等邊）∵AB=20×（12-10）=40海里,∴BC=40海里答：B處距離燈塔C40海里80°40°NBAC北達(dá)標(biāo)檢測(cè)7已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D求證：BC＝CD證明：連接BD∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD達(dá)標(biāo)檢測(cè)8在△ABC中，AB=AC，