廣西南寧市武鳴區(qū)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月三模 【含答案】

南寧市武鳴區(qū)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月三模

一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48.0分)

1.已知集合A={x∣-4<-x≤3},B={x∣(x—2)(x+5)<0},則AnB=()

A.(-5,4)B.(-3,2)C.(2,4)D.[-3,2)

2.復(fù)數(shù)Z=篙(i為虛數(shù)單位)的虛部為()

A.-1B.2C.5D.1

3.已知點(diǎn)(一4,3)是角α終邊上的一點(diǎn)，則Sin(Tτ-α)=()

A?∣3B,-∣3C,--4建

4.若a=log32,b=log23,C=Iog/,則下列結(jié)論正確的是()

A.a<c<eB.c<6<αC.10a<(∣)bD.Iga<(∣)b

5.已知各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列{a11},若3a2,3a?,成等差數(shù)列，設(shè)Sn為數(shù)列{a11}的前n項(xiàng)和，

則警于()

137

?,??B.：C.3D.1

99

6.已知1,m,n是三條不同的直線，α,β是不同的平面，則下列條件中能推出a，B的是()

A.1?a,muβ,且1_Lm

B.1?a,m?β,n?β,且1J.m,?1n

C.m?a,ncβ,m∕∕n,且IIm

D.1?a,l∕∕m,且mJLβ

7.袋中有形狀、大小都相同且編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)球，其中1個(gè)白球，2個(gè)紅球，2

個(gè)黃球.從中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色不同的概率為()

A.-B.-C.-D.-

54105

8.己知p：0≤2x-1≤1,q：(x-a)(x-a-1)≤0,若P是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.[θ,?]B.(0,1)

11

oooo

C.(-8,0]U[-l+)D.(—8,0)U(-z+)

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是()

俯視圖

A.16+4√2B.12+4√2C.8÷4√2D.4+4√2

10.如圖，F(xiàn)i，F(xiàn)2是分別是雙曲線)-，=1包＞0力＞0)的左、右

焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，圓M與△PFF2三邊所在的直

線都相切，切點(diǎn)為A,B,C,若IPBl=a,則雙曲線的離心率為()

A.√2

B.2

C.√3

D.3

11.已知函數(shù)f(x)=√3sinωx—cosωx(ω＞0),且對(duì)于任意的x∈R

有f(x+])=f(χ-]),設(shè)3的最小值為3(),記g(x)=^OS(3[)X+刑，則下列區(qū)間為函數(shù)g(x)

的一個(gè)遞減區(qū)間的是()

12.函數(shù)f(x)=3+xln2x的極小值點(diǎn)為()

A.x=lB.x=2C.X=eD.x=?

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20.0分)

13.已知向量3=(2,1),b=(l,2)K∣Ja-b=.

14.已知數(shù)列｛a∣ι｝的前n項(xiàng)和Stl=∏3,則+a?+=.

15.已知點(diǎn)A(2,0)拋物線C：χ2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于

點(diǎn)N,則IFMI：∣MN∣=.

16.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A】DE.若M為

線段AIC的中點(diǎn)，則在AADE翻折過(guò)程中，下列命題正確的是.(寫(xiě)出所有正確的命題的

編號(hào))

①線段BM的長(zhǎng)是定值；

②點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；

③存在某個(gè)位置，使DEJ.AR：

④存在某個(gè)位置，使MB〃平面ARE.

M

三、解答題(本大題共7小題，每小題6-15分，共82.O分)

17.(6分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=2,且2bcosB=acosC+ccosA.

(I)求角B的大小；

(II)求4ABC面積的最大值.

18.(8分)某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件40元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)X元與

日銷售量y件之間的關(guān)系如下表所示：

X(元)__________50_________60_________70________80_________90_________

y（件）__________10_________8__________9__________6__________1

(I)求回歸直線方程9=Gx+合

(2)假設(shè)今后銷售依然服從(1)中的關(guān)系，預(yù)測(cè)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，日利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=銷售

收入-成本).

參考公式及數(shù)據(jù)：6=專受萼，a≈y-bx,￡3Xiyi=2180,∑≡=25500.

Ni=IXi—nx*-11-1*

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四形，AB=2AD=2,NDAB=60o,PD=

BD,且PD_L底面ABCD.

(I)證明:BCI平面PBD；

(H)若Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐A-PBQ的體積.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=X2—alnx(a∈R).

(1)若曲線f(x)在(LfeL))處的切線與直線y=-x+5垂直，求實(shí)數(shù)a的值.

(2)3x0∈[l,e],使得駟*≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

xO

21.(14分)若曲線「上的點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(IQ)的距離與它到X=4的距離之比為今

(I)求出P點(diǎn)的軌跡方程

(2)過(guò)F(1,O)作直線1與曲線r交于A,B兩點(diǎn)，曲線「與X軸正半軸交于Q點(diǎn)，若△QAB的面積

為求直線1的方程.

22.(15分)在平面直角坐標(biāo)系xθy中，傾斜角為α的直線1的參數(shù)方程為C;：：[也(/其中t為參

數(shù)).在以。為極點(diǎn)、X軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同)中，曲線C：

p(l+cos2θ)=入sinθ的焦點(diǎn)F的極坐標(biāo)為(L]).

(I)求常數(shù)人的值；

(II)設(shè)1與C交于A、B兩點(diǎn),且IAFl=3∣FB∣,求α的大小.

23.(15分)已知函數(shù)f(x)=∣2x-l∣+∣2x+l∣,記不等式f(x)<4的解集為M.

CL)求M；

(2)設(shè)a,beM,證明：∣ab∣-∣a∣-∣b∣+1>0.

答案與解析

L答案：D

解析：解：A={x∣-3≤x<4},B={x∣-5<x<2};

?A∩B={x∣—3≤X<2}=[—3,2).

故選：D.

先求出集合A,B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其運(yùn)算.

2.答案：D

解析：

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及虛部的概念，是基礎(chǔ)題.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后，根據(jù)虛部的定義得答案.

4+3i=(4+3iX3+4i)=25i=

w+?3-4i(3-4i)(3+4i)25

其虛部為L(zhǎng)

故選:D.

3.答案：A

解析：解：?；點(diǎn)(一4,3)是角α終邊上的一點(diǎn)，

???X=-4,y=3,r=∣0P∣=5,

???sina=B=，則sin(π-a)=Sina=

故選：A.

由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得sin(π-a)的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案:D

解析：

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得c<0<a<l<h,即可得出.

解：?.?0<ɑ=log32<1,b=log23>1>C=Iog*<0,

.?.c<O<a<l<h,

.?.lga<O<(∣)b.

故選D.

5.答案：A

解析：解：設(shè)等比數(shù)列{arι}的公比為q,q≠l,

???3a2,2a3,a4,成等差數(shù)列，

**?2X2∏β—3∏2+，

2

4a2q=3a2+a2q,化為q2—4q+3=0,

解得q=1(舍去)或q=3.

aid-33)

q=3時(shí)，則包=，-3=生

≡3a?329

故選:A.

設(shè)等比數(shù)列｛a11｝的公比為q,q≠1.由3a2,2a3,成等差數(shù)列，可得2x2a?=3a2+a4，由等比

數(shù)列的通項(xiàng)公式解得q,利用通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式與和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

6.答案：D

解析：解：對(duì)于A,luα,muβ,且IIm,a,β可以平行、相交、垂直，故A不正確；

對(duì)于B,1ca,mu0,nuβ,且IIm,Iln,則1不一定與。垂直，故B不正確；

對(duì)于C,mua,nuβ,m∕∕n,且IIm,a,B可以平行、相交、垂直，故C不正確；

對(duì)于D,IUa,?//m,.Emlβ,可得Il0,根據(jù)面面垂直的判定，可知a>Lβ,故D正確.

故選：D.

利用面面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.

本題考查面面垂直的判定定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

7.答案：D

解析：

本題考查古典概型的計(jì)算，對(duì)立事件以及組合數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

由組合數(shù)的應(yīng)用，求得基本事件總數(shù)，由“這2個(gè)球顏色不同”的對(duì)立事件是“2個(gè)球顏色相同”，

由對(duì)立事件的概率求解.

解：依題意，基本事件的總數(shù)為C：=10,“這2個(gè)球顏色不同”的對(duì)立事件是“2個(gè)球顏色相同”，

所以這2個(gè)球顏色不同的概率為P=I-警=：.

e?5

故選D.

8.答案：A

解析：

本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式的等價(jià)條件轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵.屬于基礎(chǔ)題.

求出p,q的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件與集合關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解：由0≤2x-1≤1得T≤X≤1,

由(X-a)(x-a一l)≤0得a≤x≤a+l,

若P是q的充分不必要條件，

則6,1國(guó)a,a+l],

即卜≤T(等號(hào)不同時(shí)成立)得卜得O≤a≤[,

Ia+1≥1la≥O2

故選：?.

9.答案:B

解析：解：由三視圖可知：該幾何體應(yīng)是一個(gè)前后底面為一個(gè)腰為2的等腰直角三角形且高為2的

直三棱柱.√?

故該幾何體的表面積S=2×∣X22+2×22+2√2×2=12+4√2./：?k

故選：B.<!X

2

2

2

由三視圖可知：該幾何體應(yīng)是一個(gè)前后底面為一個(gè)腰為2的等腰直角三角形且高為2的直三棱柱.據(jù)

此即可計(jì)算出氣表面積.

正確理解三視圖和恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵.

10.答案：B

解析：解：連接AC,AD,AF1,\，/

由直線和圓相切的性質(zhì)，可得PC=PB=a,設(shè)BF2=DF2=x,?

由雙曲線的定義可得，PFI-PF2=2a,?Rλ

則PFι=3a+x,F1C=4a+x,F1D=F1F2+F2D=2c+x,)

由圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)相等，JZ'-

即有4a+x=2c+x,即c=2a,Fl°F2DX

e="2./?q

故選B.

連接AC,AD,AF1,由直線和圓相切的性質(zhì)，可得PC=PB=a,設(shè)BF2=DF2=x,運(yùn)用雙曲線的

定義，求得PF】，再由

圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)相等，結(jié)合離心率公式即可得到所求值.

本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查直線和圓相切的性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

IL答案：A

解析：

本題主要考查=ASin(3x+φ)的圖像與性質(zhì)，考查了兩角和與差公式，屬于中檔題.將原函數(shù)化簡(jiǎn)

為f(x)=2sin(3x-§,根據(jù)已知條件得到π為f(x)的一個(gè)周期，故El≤π,得3≥2,所以30=2,

所以g(x)=∣cos(2x+^∣,然后根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即可得出函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間.

解：f(x)=V3sinωx—cosωx—2sin(3χ—J

由f(x+方)=f(x-,得f(x+π)=f(x),

???π為f(x)的一個(gè)周期，

?*?∣~∣≤n,得∣oo∣≥2,

?：co>0,?*?co≥2>??COo=2,

g(×)=∣cos(2x+^)∣,其圖象是將函數(shù)g(x)=cos(2x+￡)的圖象在X軸下方的部分作關(guān)于X軸對(duì)

稱得到，

令kτr<2xH—<∕cτr+—,kGZ,

62

?kπn//knIπ

x+∈

-T^n<<T?,kZ,

令k=0,得-?^<X<

IZ0

只有A選項(xiàng)滿足要求.

故選A.

12.答案：D

解析：f,(x)=ln2x÷X??=ln2x+1,令F(X)<O得OVXV!.令f,(x)>0,得x>B所以函數(shù)f(x)

在X=；處取得極小值.

Ze

13.答案：4

解析：解：向量江=(2,1),U=(L2)則Vb=2×l+l×2=4.

故答案為：4.

直接利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力.

14.答案：387

解析:

本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列部分項(xiàng)的和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用a6+a7+as=Sg-S5求得結(jié)果.

解：由S11=n3,得

a?+aγ+a?=Sg-S5=83-53=387.

故答案為：387.

15.答案：1：√5

解析：解：：拋物線C：X2=4y的焦點(diǎn)為F(0,l),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),

.?.拋物線的準(zhǔn)線方程為1：y=-1,直線AF的斜率為k=g=-；,

Z-OL

過(guò)M作MP工1于P,根據(jù)拋物線物定義得IFMl=∣PM∣,

VRt△MPN中，tanzMNP=—k=?,

?'?^}=P可得IPNl=2∣PM∣,

得IMNl=λ∕∣PN∣2+IPMl2=√5∣PM∣

因此可得IFM|：IMNI=IPM|：∣MN∣=1：√5?

故答案為：1：V5?

求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=-最過(guò)M作MPlI于P,根據(jù)拋物線物定義

得IFMl=∣PM∣.RtΔMPN中，根據(jù)tanzMNP=點(diǎn)從而得到IPNl=2∣PM∣,進(jìn)而算出IMNl=√5∣PM∣,

由此即可得到IFM|：IMNl的值.

本題給出拋物線方程和射線FA,求線段的比值.著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程

和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

16.答案：①②④

解析：解：①取CD中點(diǎn)F,連接MF,BF,則MF〃DArBF//DE,

AEB

，平面MBF〃平面AiDE,

：?MB〃平面A】DE,故D正確

由NAlDE=4MFB,MF=TAID=定值，F(xiàn)B=DE=定值，

由余弦定理可得MB?=MF?+FB2-2MF?FBcosZ.MFB,所以MB是定值，故①正確.

②???B是定點(diǎn)，

.??M是在以B為球心，MB為半徑的球上，故②正確，

③VAiC在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直，

.?.存在某個(gè)位置，使DEIAIC不正確，故③錯(cuò)誤.

④取CD中點(diǎn)F,連接MF,BF,則平面MBF〃平面AiDE,可得④正確；

故正確的命題有：①②④，

故答案為：①②④.

取CD中點(diǎn)F,連接MF,BF,則平面MBF〃平面AiDE,可得④正確；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-

2MF?FBCOSNMFB,所以MB是定值,M是在以B為球心，MB為半徑的球上，可得①②正確.AiC在

平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直，可得③不正確.

掌握線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理及線面角、二面角的定義及求法是解題的關(guān)鍵.

17.答案:(本小題滿分12分)

解：(I)2bcosB=acosC+ccosA,

可得：2sinBcosB=SinAcosC+SinCcosA=sinB,

sinB≠0,

1_τr

?CosB=由B∈(0,π),可得：B=

L?

(Il)b=2,B=p

二由余弦定理可得ac=a2+C2-4,

???由基本不等式可得ac=a2+c2-4≥2ac-4,可得：ac≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，"=”成立,

從而S?ABC=TaCSinB≤∣×4×y=√3?

故4ABC面積的最大值為e.

解析：(I)由正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得2sinBcosB=sinB,結(jié)合sinB≠0,

可求CoSB的值，進(jìn)而可求B的值.

(U)由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4,進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解AABC面積的最大值.

本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三

角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

50+60+70+80+90??-10+8+9+6+1,C

18.答案：解:(I)X=---------;---------=70,y=--------------=6.8,

C∑.L1xiyi-5xy2180-5×70×6.8CC

-XJIXi2_5$一25500-5x4900-,，

a=：y-bx=6.8-(-0.2)×70=20.8,

所求回歸直線方程9=bx+a=-0.2x+20.8.

(2)設(shè)日利潤(rùn)為Z元，銷售單價(jià)為X元時(shí)，

z=(X-40)(-0.2x+20.8)=-0.2x2+28.8x-832

當(dāng)X=-卓萬(wàn)=72時(shí)，Z取最大值

所以銷售單價(jià)為72元時(shí)，日利潤(rùn)最大.

解析：本題考查回歸直線方程的求法和應(yīng)用，考查最大利潤(rùn)的求法，屬于中檔題.

(1)求出回歸系數(shù)，即可得y關(guān)于X的回歸直線方程；

(2)銷售價(jià)為X時(shí)的利潤(rùn)為z=(X-40)(-0.2x+20.8)=-0.2x2+28.8x-832,即可得出結(jié)論.

19.答案：(I)證明：在AABD中，由余弦定理得：P

222

BD=BA+AD-2BAADcos60°=3，/!?X0

???AD2+BD2=AB2,???AD1BD,/J

?.?AD∕∕BC,???BClBD./??v

又???PD1底面ABCD,BCU平面ABc1),

.?.PD1BC.-----------

AIJ

VPD∩BD=D,.?.BC1平面PBD；

(H)解：TQ為PC的中點(diǎn)，.?.三棱錐A-PBQ的體積與三棱錐A-QBC的體積相等，

而VA-QBC=VQ-ABC=IVp-ABC=T^P-ABCD=；XTXlXv5XV5=).

...三棱錐A-PBQ的體積VA-PBQ=?.

解析：(I)在AABD中，由余弦定理得求得Bl),可得AD2+BD2=AB?,則ADJ.BD,再由已知得

到PD1BC.由線面垂直的判定可得BC1平面PBD；

(H)由Q為PC的中點(diǎn)，得三棱錐A-PBQ的體積與三棱錐A-QBC的體積相等，然后利用等積法求

解.

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體

積，是中檔題.

20.答案：解：⑴函數(shù)f(x)=χ2-alnx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-：，

即有曲線f(x)在(l,f(l))處的切線斜率為2-a,

由切線與直線y=-x+5垂直，可得2-a=l,

解得a=1；

(2)3X0∈[l,e],使得幽產(chǎn)Wo成立，

xO

即有mXoL使得f(xo)+l+a≤O成立，

由Inx0∈[0,1],則1一InXo∈[0,1],

即有mxo∈[l,e],-a≥；?L的最小值，

I-Inx0

由y=畢的導(dǎo)數(shù)為，=XO(3-2*)F,

2

ITnXo丫—(I-Inx0)

由于3-2InXOe[1,3],則導(dǎo)數(shù)大于0,

即有函數(shù)y在口,e]遞增，

則函數(shù)的最小值為2,

即有一a≥2,解得a4-2.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2]?

解析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,即可得到所

求a的值；

(2)由題意可得mx°e[l,e],使得f(x0)+l+a≤O成立，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷

單調(diào)性即可得到最小值，進(jìn)而得到a的范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意存

在性問(wèn)題的解法，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)由題意知：臀=；，即次亙回=工，

''∣4-x∣2∣4-x∣2

整理得：-+^=1.

43

.?.P點(diǎn)的軌跡方程為k+^=1：

43

(2)設(shè)直線的方程為X=ty+】A(XLy1),B(x2,y2),

rX=ty+1

聯(lián)立[回+^=(化簡(jiǎn)得：(3t2+4)y2+6ty-9=0.

y1+y2=3?'yu2=忌'

2

SΔQAB=TIQFIIyl-y2∣=∣√(yι+y2)-4yιY2-

.6√t2+l12

??—=—，

3t2+413

解得：t=÷v?.

工直線的方程為X+χ∕3y—1=0或X