2024全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題(全國(guó)卷1)及答案

PAGE2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(必修+選修)

解析版本試卷分第I卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩局部。第I卷1至2頁(yè)。第二卷3

至4頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷本卷須知：1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2．每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。

3．第I卷共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。

參考公式：如果事件互斥，那么

球的外表積公式

如果事件相互獨(dú)立，那么

其中R表示球的半徑

球的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率

其中R表示球的半徑

一、選擇題(1)(A)

(B)-

(C)

(D)(2)設(shè)全集，集合，，那么A.

B.

C.

D.

(3)假設(shè)變量滿足約束條件那么的最大值為(A)4

(B)3

(C)2

(D)1〔4〕各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，那么=(A)

(B)7

(C)6

(D)

(5)的展開(kāi)式

的系數(shù)是(A)-6

(B)-3

(C)0

(D)3(6)直三棱柱中，假設(shè)，，那么異面直線與所成的角等于(A)30°

(B)45°(C)60°(D)90°(7)函數(shù).假設(shè)且，，那么的取值范圍是(A)

(B)(C)

(D)

〔8〕、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠=，那么(A)2

(B)4

(C)6

(D)8〔9〕正方體-中，與平面所成角的余弦值為〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕〔10〕設(shè)那么〔A〕〔B〕

(C)

(D)

〔11〕圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為(A)

(B)

(C)

(D)〔12〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)AB=CD=2,那么四面體ABCD的體積的最大值為(A)

(B)

(C)

(D)

第二卷本卷須知：

1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。

2．第二卷共2頁(yè)，請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。

3.第二卷共10小題，共90分。

二．填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．

(注意：在試題卷上作答無(wú)效)(13)不等式的解集是

.(14)為第二象限的角，,那么

.(15)某學(xué)校開(kāi)設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，假設(shè)要求兩類課程中各至少選一門，那么不同的選法共有

種.(用數(shù)字作答)(16)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，那么的離心率為

.

三．解答題：本大題共6小題，共70分．解容許寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．〔17〕〔本小題總分值10分〕(注意：在試題卷上作答無(wú)效)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求.(18)(本小題總分值12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角．

(19)(本小題總分值12分)〔注意：在試題卷上作答無(wú)效)

投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審．假設(shè)能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，那么予以錄用；假設(shè)兩位初審專家都未予通過(guò)，那么不予錄用；假設(shè)恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審，那么再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，假設(shè)能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，那么予以錄用，否那么不予錄用．設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為0.3．各專家獨(dú)立評(píng)審．

(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(II)求投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率．

〔20〕〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無(wú)效〕如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC.〔Ⅰ〕證明：SE=2EB；〔Ⅱ〕求二面角A-DE-C的大小.

〔21〕(本小題總分值12分)〔注意：在試題卷上作答無(wú)效〕函數(shù)〔I〕當(dāng)時(shí)，求的極值;〔II〕假設(shè)在上是增函數(shù)，求的取值范圍

(22)(本小題總分值12分)〔注意：在試題卷上作答無(wú)效〕拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.〔Ⅰ〕證明：點(diǎn)在直線上；〔Ⅱ〕設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程.

答案1.C【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)【解析】2.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識(shí)【解析】，，那么=3.B【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力.【解析】畫出可行域〔如右圖〕，，由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-1)時(shí)，z最大，且最大值為.

4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以5.A.【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的靈巧應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些根本運(yùn)算能力.【解析】的系數(shù)是

-12+6=-66.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法.【解析】延長(zhǎng)CA到D，使得，那么為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，7.C【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易無(wú)視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b=,從而錯(cuò)選D,這也是命題者的用苦良心之處.【解析1】因?yàn)閒(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“對(duì)勾〞函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在(0,1)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范圍是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求的取值范圍問(wèn)題，，過(guò)點(diǎn)時(shí)z最小為2,∴(C)8.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)此題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析1】.由余弦定理得cos∠P=4【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：49.D【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出D到平面AC的距離是解決此題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體表達(dá).【解析1】因?yàn)锽B1//DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO⊥平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a,那么,.所以,記DD1與平面AC所成角為,那么,所以.【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角，10.C【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法那么的應(yīng)用.【解析1】a=2=,b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,綜上c<a<b.【解析2】a=2=,b=ln2=,

，；c=，∴c<a<b11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法——判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.【解析1】如以下列圖：設(shè)PA=PB=,∠APO=,那么∠APB=，PO=，，===，令，那么，即，由是實(shí)數(shù)，所以，，解得或.故.此時(shí).【解析2】設(shè)，換元：，

【解析3】建系：園的方程為，設(shè)，

12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過(guò)球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過(guò)CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為,那么有,當(dāng)直徑通過(guò)AB與CD的中點(diǎn)時(shí),,故.13.【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法【解析】:，數(shù)軸標(biāo)根得：14.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的正切公式,同時(shí)考查了根本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能.【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?又,所以，,所15.A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析1】:可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.【解析2】:16.【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,此題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)〞，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑.【解析1】如圖，,作軸于點(diǎn)D1,那么由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn)分BD所成的比為2，，代入，三，解答題：接容許寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

(17)解：

〔1〕由am=a1+〔n-1〕d及a1=5，aw=9得

a1+2d=5

a1+9d=-9

解得

a1=9

d=-2

數(shù)列{am}的通項(xiàng)公式為an=11-2n。

因?yàn)镾m=(n-5)2+25.

所以n=5時(shí),Sm取得最大值?！?8〕解：

〔1〕因?yàn)镻H是四棱錐P-ABCD的高。

所以AC⊥PH又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD內(nèi),且PH∩BD=H.

所以AC⊥平面PBD

故平面PAC平面PBD

(2)由〔1〕知Sm=na1+d=10n-n2

(2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.

所以HA=HB=.因?yàn)锳PB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.

可得PH=.

等腰梯形ABCD的面積為S=ACxBD=2+.

……..9分

所以四棱錐的體積為V=x〔2+〕x=

……..12分〔19〕解：〔1〕調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為.

……4分(2)由于所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).

……8分〔3〕由于〔2〕的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單反隨即抽樣方法更好.

……12分〔20〕解：〔1〕由橢圓定義知又

L的方程式為y=x+c,其中c=

……(2)

設(shè)A,(x1,y1),B(x1,y1)那么A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

y=x+c

x2+=1

化簡(jiǎn)得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0

那么x1+x2=.x1x2=

〔2〕

即

.那么解得

.〔21〕解：〔Ⅰ〕時(shí)，，。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。故在，單調(diào)增加，在〔-1，0〕單調(diào)減少?！并颉?。令，那么。假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0，即≥0.假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)＜0，即＜0.

綜合得的取值范圍為(22)解:(1)因?yàn)锳C=BD所以∠BCD=∠ABC又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C,故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD(II)因?yàn)椤螮CB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,

……5分所以□BDC□□ECB,故=即

BC2=BE×CD

……10分

〔23〕解：〔I〕當(dāng)時(shí)，C1的普通方程為，C2的普通方程為.聯(lián)立方