高等教育數(shù)學各章知識結(jié)構(gòu)

./高等數(shù)學各章知識結(jié)構(gòu)一．總結(jié)構(gòu)可積性可微性連續(xù)性函數(shù)〔高等數(shù)學研究的主要對象可積性可微性連續(xù)性函數(shù)〔高等數(shù)學研究的主要對象導數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)導數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)重積分,曲線積分全微分偏導數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)重積分,曲線積分全微分偏導數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)無窮級數(shù)數(shù)列無窮級數(shù)數(shù)列常微分方程方程常微分方程方程數(shù)學中研究導數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學,研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學.微分學與積分學統(tǒng)稱為微積分學.微積分學是高等數(shù)學最基本、最重要的組成部分,是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的基礎(chǔ),是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學模型之一.恩格斯〔1820-1895曾指出："在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了".微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕,撼人心靈,是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材〔本部分內(nèi)容詳見光盤.微積分是近代數(shù)學中最偉大的成就,對它的重要性無論做怎樣的估計都不會過分.馮.諾伊曼注：馮.諾依曼〔JohnvonNeumann,1903-1957,匈牙利人,20世紀最杰出的數(shù)學家之一,在純粹數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學、計算數(shù)學等許多分支,從集合論、數(shù)學基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面,他都作出了重要貢獻.他與經(jīng)濟學家合著的《博弈論與經(jīng)濟行為》奠定了對策論的基礎(chǔ),他發(fā)明的"流程圖"溝通了數(shù)學語言與計算機語言,制造了第一臺計算機,被人稱為"計算機之父".微積分中重要的思想和方法：1．"極限"方法,它是貫穿整個《微積分》始終。導數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限；定積分是一種特殊和式的極限；級數(shù)歸結(jié)為數(shù)列的極限；廣義積分定義為常義積分的極限；各種重積分、曲線積分、曲面積分都分別是某種和式的極限。所以,極限理論是整個《微積分》的基礎(chǔ)。盡管上述各種概念都是某種形式的極限,但是它們都有各自獨特和十分豐富深刻的內(nèi)容,這是《微積分》最有魅力的地方之一。2．"逼近"思想,它在《微積分》處處體現(xiàn)。在近似計算中,用容易求的割線代替切線,用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長代替所求曲線的長；用多項式代替連續(xù)函數(shù)等。這種逼近思想在理論和實際中大量運用。3．"求極限、求導數(shù)和求積分"是最基本的方法。熟練掌握求極限、求導數(shù)和求積分的方法,學習《微積分》就不會遇到太多困難,甚至能做到得心應(yīng)手。4．"特色定理"是《微積分》的支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等是《微積分》中最深刻、最基本、最能體現(xiàn)《微積分》特色的定理,支撐起《微積分》的大廈。5．"綜合運用能力"是《微積分》學習的出發(fā)點和歸宿。充分注重綜合運用極限概念與方法的能力、綜合運用導數(shù)與積分相結(jié)合的各種方法的能力、綜合運用定積分思想方法解決問題的能力、綜合運用一元和多元相結(jié)合方法的能力、綜合運用各種方法解決實際問題的能力。函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念之一,是高等數(shù)學的主要研究對象.極限概念是微積分的理論基礎(chǔ),極限方法是微積分的基本分析方法,因此,掌握、運用好極限方法是學好微積分的關(guān)鍵.連續(xù)是函數(shù)的一個重要性態(tài).研究函數(shù)的變化趨勢研究函數(shù)的變化趨勢極限極限數(shù)列極限函數(shù)極限數(shù)列極限函數(shù)極限左、右極限左、右極限極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)極限存在準則無窮小無窮大極限存在準則無窮小無窮大兩個重要極限無窮小的性質(zhì)兩個重要極限無窮小的性質(zhì)無窮小的比較無窮小的比較極限的運算法則和求極限的常用方法:極限的運算法則和求極限的常用方法:直接代入法；恒等變形法；準則判別法；等價變換法；洛比達法則。極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的.例如,我國古代數(shù)學家劉徽〔公元3世紀利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)〔參看光盤演示,就是極限思想在幾何學上的應(yīng)用.又如,春秋戰(zhàn)國時期的哲學家莊子〔公元4世紀在《莊子.天下篇》一書中對"截丈問題"〔參看光盤演示有一段名言："一尺之棰,日截其半,萬世不竭",其中也隱含了深刻的極限思想.極限是研究變量的變化趨勢的基本工具,高等數(shù)學中許多基本概念,例如連續(xù)、導數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上.極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.連續(xù)性連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性概念初等函數(shù)的連續(xù)性概念區(qū)間連續(xù)點連續(xù)〔3個等價定義間斷點區(qū)間連續(xù)點連續(xù)〔3個等價定義間斷點第一類間斷點第二類間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍間斷點可去間斷點跳躍間斷點可去間斷點客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的,而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的,比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等,這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學模型.16、17世紀微積分的醞釀和產(chǎn)生,直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究.例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續(xù)變化的量.但直到19世紀以前,數(shù)學家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上,即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù).19世紀中葉,在柯西等數(shù)學家建立起嚴格的極限理論之后,才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴格的數(shù)學表述.連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象,而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等,往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性.我們將以極限為基礎(chǔ),介紹連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的運算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).微分學三．微分學微分學微分導數(shù)微分導數(shù)運算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運算性質(zhì)應(yīng)用運算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運算性質(zhì)應(yīng)用幾何意義定義微分形式不變性近似計算1.羅爾定理；2.拉格朗日中值定理；3.泰勒中值定理；4.洛比達法則。按定義求導法；幾何意義定義微分形式不變性近似計算1.羅爾定理；2.拉格朗日中值定理；3.泰勒中值定理；4.洛比達法則。按定義求導法；直接求導法；反函數(shù)求導法；復合函數(shù)求導法；對數(shù)求導法；隱函數(shù)求導法；高階導數(shù)求導法。幾何意義定義1.求切線、法線方程；1.求切線、法線方程；2.函數(shù)的一般性態(tài)研究；3.證明不等式。連續(xù)性連續(xù)性可微性可導性可微性可導性函數(shù)的一般性態(tài)函數(shù)的一般性態(tài)點性態(tài)區(qū)間性態(tài)點性態(tài)區(qū)間性態(tài)極〔最值增減性極〔最值增減性拐點凹凸性漸近線拐點凹凸性漸近線描繪函數(shù)圖象描繪函數(shù)圖象從15世紀初文藝復興時期起,歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商貿(mào)得到大規(guī)模的發(fā)展,形成了一個新的經(jīng)濟時代。而16世紀的的歐洲,正處在資本主義的萌芽時期,生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展,生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學提出了新的課題,迫切要求力學、天文學等基礎(chǔ)科學的發(fā)展,而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的,因而也推動了數(shù)學的發(fā)展。在各類學科對數(shù)學提出的種種要求下,下列三類問題導致了微分學的產(chǎn)生：求變速運動的*時速度；求曲線上一點處的切線；求最大值和最小值。這三類實際問題的現(xiàn)實原型在數(shù)學上都可歸納為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度,即所謂函數(shù)的變化率問題。牛頓從第一個問題出發(fā),萊布尼茲從第二個問題出發(fā),分別給出了導數(shù)的概念。在理論研究和實際應(yīng)用中,常常又會遇到這樣的問題：當自變量有微小變化時,求函數(shù)的微小改變量.這個問題初看起來似乎只要做減法運算就可以了,然而,對于較復雜的函數(shù),差值卻是一個更復雜的表達式,不易求出其值。一個想法是：我們設(shè)法將表示成的線性函數(shù),即線性化,從而把復雜問題化為簡單問題。微分就是實現(xiàn)這種線性化的一種數(shù)學模型。積分學四．積分學積分學定積分不定積分電路定積分不定積分電路運算查積分表幾種特殊函數(shù)的積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法運算查積分表幾種特殊函數(shù)的積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形的面積為體積被積函數(shù)有無窮型間斷點積分區(qū)間為無限直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形的面積為體積被積函數(shù)有無窮型間斷點積分區(qū)間為無限第一換元法第二換元法第一換元法第二換元法牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù),運動進入了數(shù)學；有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生,并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的,但不是由他們發(fā)明的.恩格斯數(shù)學發(fā)展的動力主要來源于社會發(fā)展的環(huán)境力量.17世紀,微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當時數(shù)學面臨的四類核心問題中的第四類問題,即求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等.此類問題的研究具有久遠的歷史,例如,古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積,我國南北朝時期的祖沖之、祖恒也曾推導出某些圖形的面積和體積,而在歐洲,對此類問題的研究興起于17世紀,先是窮竭法被逐漸修改,后來由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導數(shù)和微分,構(gòu)成了微積分學的微分學部分；同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題,產(chǎn)生了不定積分和定積分,構(gòu)成了微積分學的積分學部分.微分方程微分方程及其概念微分方程及其概念高階<常>微分方程〔二階為主一階<常>微分方程高階<常>微分方程〔二階為主一階<常>微分方程可降階的高階微分方程〔三種二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量的微分方程可降階的高階微分方程〔三種二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量的微分方程非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次六．向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何平面及其方程空間直線及其方程向量的運算向量的表示向量的概念平面及其方程空間直線及其方程向量的運算向量的表示向量的概念旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面空間曲線及其方程空間曲線及其方程七．多元微分學多元微分學多元微分學極限與連續(xù)全微分偏導數(shù)極限與連續(xù)全微分偏導數(shù)高階偏導數(shù)直接求導法復合函數(shù)偏導法隱函數(shù)偏導法高階偏導數(shù)直