切線長定理(時)

242直線和圓的位置關系第3課時切線長定理導入新課情境引入講授新課切線長定理及應用一互動探究問題1上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線如左圖所示，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PABP1切線長的定義：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．2切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識要點問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上與點A重合的點為B．（利用圖形軸對稱性解釋）PA、PB有何關系？∠APO和∠BPO有何關系？O.PABO.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點求證：PA=PB，∠APO=∠BPO證明：∵PA切☉O于點A，∴OA⊥PA同理可得OB⊥PB∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO推理驗證ABBPOA切線長定理:過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法注意知識要點想一想：若連結兩切點A、B，AB交O你又能得出什么新的結論并給出證明OP垂直平分AB證明：∵為頂角的平分線∴OP垂直平分ABO.PABM。PBAO（3）連結兩切點（等腰三角形三線合一）（2）連結圓心和圓外一點（角平分線）（1）分別連結圓心和切點（直角）雙切圖中常用的輔助線1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題當堂練習20°4BPOA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點，OA=3（1）若AP=4,則OP=;（2）若∠BPA=60°,則OP=56如圖：⊙O表示皮帶轉動裝置的一個輪子，傳動皮帶MA、NB分別為⊙O的切線，A、B為切點，延長MA、NB相交于點，求:1⊙O的半徑（2）兩切點間的距離AB的長

OPABMN例1M

OPABN例2：如圖所示，，則ΔPDE的周長為_______________

ABDEOCP典例精析例3已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H求證：ABCD=ADBC·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH∴AEBECGDG=AHBFCFDH∴ABCD=ADBC小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法二互動探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？問題2如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？1如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？2在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心I呢？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢？已知：△ABC求作：和△ABC的各邊都相切的圓MND作法：1作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O⊥為圓心，OD為半徑作圓O☉O就是所求的圓做一做1與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓2三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心BACI知識要點三角形的內心的性質三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內切圓，那么線段IA，IB,IC有什么特點？互動探究線段IA，IB,IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線問題2如圖，分別過點作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關系？IE=IF=IGEFG知識要點三角形內心的性質三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點三角形的內心到三角形的三邊的距離相等BACIEFGIA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠BIC的度數(shù)解：連接IB，ICABCI∵點I是△ABC的內心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，在△IBC中，（3）若∠BIC=100°，則∠A=度（2）若∠A=80°，則∠BIC=度130203如圖，在△ABC中，點I是內心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關系？120°例5△ABC的內切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？BACEDFOABCODEr3如圖，已知☉O是Rt△ABC∠C=90°的內切圓，切點分別為D,E,F1求證：四邊形ODCE是正方形2設BC=a,AC=b,AB=c,求☉O的半徑rFABCODEFABCDEFO2設△ABC的面積為S，周長為C，△ABC內切圓的半徑為r，則S，C與r之間存在怎樣的數(shù)量關系？比一比名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點=OB=OC2外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1到三邊的距離相等；、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3內心在三角形內部．ABOABCO切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點；連接兩切點；連接圓心和圓外一點三角形內切圓運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程有關概念內心概念及性質應用課堂小結4如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點D求證：DE∥OC證明：