2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 6-2 等差數列 學案

第二節(jié)等差數列

【課標標準】1.理解等差數列的概念和通項公式的意義2掌握等差數列的前“項和公

式，理解等差數列的通項公式與前"項和公式的關系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現數列

的等差關系，并解決相應的問題4體會等差數列與一元一次函數的關系.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.等差數列的有關概念

(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的都等于

,那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d

表示.數學表達式為.

(2)等差中項

若三個數dA,%成等差數列，則A叫做。與b的等差中項，且有A=.

2.等差數列的通項公式與前n項和公式

(1)通項公式：an-.

(2)前〃項和公式：Sn-_.

3,等差數列的性質

⑴通項公式的推廣公式：。,產斯,+。?一根)或"，meN*)=d=笠詈("W,").

(2)若｛斯｝為等差數列，且&+/=,"+"("I,m,"GN"),則.

(3)等差數列｛atl｝的前〃項和為S”數列③,S2ltl-Sm,S3M-%1,??5GN*)也是等差數

列.

(4)S2"-ι=(2"-1)斯.

(5)〃為奇數時，Sn=nci'p>Sns=a中，Ss=a巾，S?—SIS=?

(6)"為偶數時，5ffl-5?=γ.

(7)｛1｝為等差數列.

［常用結論］

1.己知數列｛a11｝的通項公式是斯=P"+虱其中p,q為常數)，則數列｛a11｝一定是等差數

列，且公差為p.

2.在等差數列｛a11｝中，m>0,d<0,則S,存在最大值；若0<O,d>0,則S”存在最小值.

3.等差數列｛atl｝的單調性：當心O時，｛atl｝是遞增數列；當d<0時，｛aj是遞減數列；

當d=0時，｛a11｝是常數列.

4.數列｛aj是等差數列=S,=A"2+8"(A,B為常數)，這里公差d=2A?

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數

列.()

(2)數列｛〃“｝為等差數列的充要條件是對任意“GN*,都有2α,,+∣=斯+α,+2?()

(3)數列｛”“｝為等差數列的充要條件是其通項公式為〃的一次函數.()

(4)等差數列的前〃項和公式是常數項為O的二次函數.()

2.(教材改編)記S,為等差數列｛aj的前〃項和，已知S5=5,?=10,則例=()

A.15B.16C.19D.20

3.(教材改編)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一.書中有一道這樣的

題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大

的三份之和的;是較小的兩份之和，則最小的一份為.

4.(易錯)一個等差數列的首項為麥，從第10項起開始比1大，則這個等差數列的公差

d的取值范圍是()

?-d嚎b?d磷

c??ζ?d??c"W費

5.(易錯)己知在等差數列｛atl｝中，∣a3∣=∣a9∣,公差d<0,則使數列｛arJ的前n項和Sn

取最大值的正整數〃的值是.

關鍵能力?題型突破

題型一等差數列基本量的運算

例1(l)［2023?山東威海模擬］等差數列｛atl｝的前〃項和為S”若死=4,S9=18,則公差

4=()

A.1B.-1

C.2D.-2

(2)已知等差數列｛aιq｝的前〃項和為S,,若M=10，S8=92,則02023=.

(3)［2023?江西南昌模擬］已知等差數列｛a11｝的前“項和為S.,且S=N,的=-1，則%

［聽課記錄］

題后師說

等差數列基本運算的求解策略

等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及

五個量"∣,",d,an,St,,知道其中三個就能

求■出另外兩個

求出兩個最基本的量，即首項4和公差d,

有時為簡化運算可不直接求而是求出等

差數列中與已知條件有關的某一項即可

鞏固訓練1

(l)［2023?廣東佛山模擬］在等差數列｛a11｝中，?=7,S5=Ja2,則/=()

A.11B.13C.14D.16

(2)［2023?安徽安慶一中模擬］已知｛a。是公差為2的等差數列，其前n項和為S,,,且S7

+S2=8S,則岳=()

A.36B.40C.48D.52

(3)［2023?河南開封模擬］已知公差為1的等差數列｛arι｝中，a∣=?d6>若a,l=0,則n=

題型二等差數列的判定與證明

s

例2［2023?廣東廣州模擬］已知正項數列｛a11｝,其前〃項和S,滿足αn(2S,,-α,,)≈l(n∈N).

(1)求證：數列｛S∕｝是等差數列，并求出S“的表達式；

(2)數列｛a11｝中是否存在連續(xù)三項以，濃+ι,公+2,使得工，一L，二一構成等差數列？請

a∣c'k+l'k+2

說明理由.

［聽課記錄］

題后師說

a:「a.=d(d為看玉)

常用來

等定義法

一C｛&｝是等差數列

差證明

敷久.產%+g.2("wN*)｛%｝是

列中項法一｛4｝是等是數列等美數列

的

判a^pn+q(〃,</為常數)

可用于選

斷

公式法Cmia是等差敦列

方擇、填空題

利用前

法中的簡單

〃看和S.=4p+8”(A,8為常敷)

利斯

公式c｛αj是等基數列

鞏固訓練2

2

已知數列｛arι｝滿足<2ι=l,且nan+］-(n+?)a,,=2n+2n.

(1)求他，俏；

(2)證明：數歹ij｛￡｝是等差數列，并求｛a。的通項公式.

題型三等差數列的性質

角度一等差數列項的性質

例3(l)［2023?江西鷹潭模擬］已知數列｛a∏｝滿足2an=afl-↑+an^↑(n≥2),0+s+α5=6,

。2+。4+。6=18,則α3+w=()

A.6B.7

C.8D.9

(2)［2023?河南焦作模擬］已知數列｛a11｝是等差數列是方程/一3工一21=0的兩根,

則數列｛aQ的前20項和為()

A.-30B.-15

C.15D.30

(3)［2023?遼寧鞍山模擬］設等差數列｛a｝,｛b｝的前〃項和分別是S”T,若冷裊,

tl11111n3n+7

則翁=()

D3

A.1B.?

11

［聽課三已錄］........................................................................

題后師說

⑴運用等差數列項的性質可以提升解題效率，具體性質詳見【知識梳理】3.

(2)應用等差數列項的性質解題時，注意性質成立的前提條件.

鞏固訓練3

(l)［2023?湖南張家界期末］｛arι｝是等差數列,且0+a4+α7=i5,42+05+^8=21,則6

+恁+。9=()

A.24B.27

C.30D.33

(2)［2023?河南杞縣模擬］已知項數為n的等差數列｛a"的前6項和為10,最后6項和為

110,所有項和為360,則〃=()

A.48B.36

C.30D.26

角度二等差數列和的性質

例4(l)［2023?安徽淮南模擬］已知等差數列同｝的前〃項和為S〃，若S〃=2,S2w=6,則

S4〃=()

A.8B.12

C.14D.20

(2)一個等差數列共有2〃項，奇數項的和與偶數項的和分別為24和30,且末項比首項

大10.5,則該數列的項數是()

A.4B.8

C.12D.20

(3)［2023?河南洛陽模擬］等差數列｛a。中，α1=2021,前〃項和為S,,若附一■=一2,

則$2023=()

A.1011B.2023

C.-IOllD.-2023

［聽課記錄］

題后師說

(1)運用等差數列和的性質可以提升解題效率，具體性質詳見【知識梳理】3.

(2)應用等差數列和的性質解題時，也要注意性質成立的前提條件.

鞏固訓練4

(l)［2023?安徽蚌埠模擬］設等差數列｛a。的前〃項和為S”已知$3=15,S9=99,則56

⑵等差數列｛a11｝共有63項，且$63=36,則SL，Sta=

角度三最值問題

例5等差數列｛a11｝的首項m>O,設其前〃項和為S”且S5=S∣2,則當“為何值時，有

最大值？

［聽課記錄J

題后師說

求等差數列前〃項和S,的最值的兩種常用方法

求通過配方或借助圖象求最值

S

"

的

最

值利用等差數列的單調?及性質，求

出其正負轉折項，再求工的最值

鞏固訓練5

⑴［2023?江西贛州模擬］已知等差數列｛all｝的前W項和為S”,若S2o2ι>O,S2o22<O,則使

得前〃項和，取得最大值時〃的值為()

A.2022B.2021

C.1012D.1Oll

(2)在等差數列｛arl｝中，a?=7,公差為4,前〃項和為S“，當且僅當〃=8時S,取得最大

值，則d的取值范圍為.

真題展臺

l.［2022?新高考∏卷］圖⑴是中國古代建筑中的舉架結構，AA',BB',CC',是桁，相

鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖(2)是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DDi,

CC,BBι,AA是舉，ODι,DC,CB,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為照■=

l1li1ODl

0.5,巖=心，等=依，警=A己知心，心，心成公差為0」的等差數列，且直線OA的斜

DCICtilBAl

率為0.725,則&3=()

圖(1)圖(2)

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

2.[2022?全國乙卷1記S,為等差數列｛arι｝的前n項和.若2S3=3Sz+6,則公差d=

3.[2020?新高考I卷]將數列｛2”-1｝與｛3〃一2｝的公共項從小到大排列得到數列｛斯｝,

則｛斯｝的前〃項和為.

4.[2021?新高考II卷]記S“是公差不為0的等差數列｛〃“｝的前n項和,若a3=S5,a2a4

=S4.

(1)求數列｛④｝的通項公式的；

(2)求使S,>α.成立的n的最小值.

5.[2021?全國乙卷]記S”為數列｛斯｝的前"項和，5為數列｛S,｝的前〃項積，已知名+占

?nDn

=2.

(1)證明：數列｛與｝是等差數列；

(2)求｛斯｝的通項公式.

第二節(jié)等差數列

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.(1)差同一個常數a,l-an-i=d(n^2,“為常數)(2)與B

2.(l)α,+(n-l)J(2嚴廣)nai+↑!^ld

3.(2)α?+a∣=a,n^?~an(5)-∣—-。中

夯實雙基

1.答案：(I)X(2)√(3)×(4)×

2.解析：設等差數列的公差為乩所以『5=5ai：*l；3解得［cl=3

(a6=a1+5d=10(a1=—

，例=一5+3X7=16.故選B.

答案：B

3.解析：設五個人所分得的面包為2d,a—d,a,a+d,a+2d(d>Q),

則(〃-20+(〃-")+4+(〃+J)+(α+2√)=5α=100,

?"?α=20.

又由題意知：(〃+a+d+a+2c/)=a—2d-?-a—d,

即24d=llα,

11??

Jd=iiX20=三.

246

，最小的一份為〃-2d=20-至X2=±故選A.

63

答案：A

4.解析：由題意可得Fπj>i'

I^9—1，

r1

i一

即+9d>1,

l215

l一÷8d≤1,

25

所以憑<"W云.故選D.

答案：D

5.解析：》<0,∣a31=IaJ,，。3=—〃9,

.?.α∣+2d=~a?—8d,

.?.m+5d=0,I.%=。，

ΛΠM>0(1≤H≤5),

???S〃取得最大值時的自然數〃是5或6.

答案：5或6

關鍵能力,題型突破

(a1+2d=41a—￡

例1解析：⑴由題可知O「X8“?故選B.

(2)設等差數列的首項為α∣,公差為力

a4=a1+3d=10,

則?8×7d

Sfi=8a1+喀=92,

Id=3,

所以?2023=?1+2022J=1+2022×3=6067.

(3)設等差數列的公差為d,由S2=S5,的=-1,

所以步+竽d=5a∣+等?d,解得Id=I

Ia?+2d=-1⑶=-3

所以aa=。1+(〃一?)d=n—4.

答案：(I)B(2)6067(3)n-4

鞏固訓練1解析：⑴s=αι+2J=7,50ι+10√=7(a1+d),

聯立方程可解得0=3,d=2,

所以46=3+5X2=13.故選B.

(2)因為S7+S2=844,所以74∣2+24ι+2=8(αι+6),解得：αι=4.

所以5s=5α∣+學X2=40.故選B.

(3)由ag=α3%,有(0+4)2=(?+2)3+5)=0=—?6,從而a”=—6+(〃-I)Xl=n-7,

所以若cin=O時，得"=7.

答案：(I)B(2)B(3)7

例2解析：(1)依題意，正項數列｛a11｝中，aa=1,即0=1,當〃22時，卬=S"-S,r,

即(S"-S"-ι)[2S“一(S,,-S"τ)]=1,

整理得累一S￡1=1,又Sf=^=1,因此，數列｛S^｝是以1為首項，1為公差的等差數

列，

則SZ=",因為｛a11｝是正項數列，即S,>0,

所以sn=y∕n.

(2)不存在，

τ7

當/?22時，arl=Sn-Sn-?=y∕n-√nT,又〃尸1,即Mz∈N*,都有一√i=I,

則工=尸+Jn-1,

an√n-√n-l

假設存在滿足要求的連續(xù)三項像，?+l,四+2,使得工，二一，二一構成等差數列，

akak+lak+2

則2(√k+1+√k)=√k+√k—1+√k+2+√k+1,即√k+2+√k=√k—1+√k+2,

兩邊同時平方，得?+1+?+2√k+lVk=?—1+?+2+2Vk—IVk÷2,即(Z+1)%=(Z

-l)(?+2),

整理得：?2+Λ=?2+?-2,即0=-2,顯然不成立，因此假設是錯誤的，

所以數列｛arl｝中不存在滿足要求的連續(xù)三項.

鞏固訓練2解析：⑴由已知，得G-2G=4,

則?2=2α∣+4,又αι=l,所以。2=6.

由243—3故=12,得2A3=12+3G,所以4=15.

(2)證明：由已知〃斯+1—("+1)%=2"(〃+1),

aa

得nan+ι-(n+l)all_?gpn+ι_n__?

n(n+l)'n+1n'

所以數列｛辭｝是首項為;=1,公差為"=2的等差數列.

則也=1+2(〃-1)=2〃-1,所以〃,2=2層一兒

n

例3解析：(1)因為2&=〃“-1+斯+ι(zι22),

所以數列｛arι｝是等差數列，

由+〃3+〃5=6=3〃3=6=〃3=2,

由僅+久+%=18=3。4=18=。4=6,

因此〃3+〃4=8.故選C.

(2)〃5,。16是方程%2-3χ-21=0的兩根,

所以〃5+。16=3,

又hn｝是等差數列，

所以其前20項和為2°ajaz。)=20(a-ai6)=30.故選D.

(3)因為等差數列｛a11｝,｛bn｝的前八項和分別是S,”Tn,

所以譽=心=1?4t=盤=高，故選B.

22

答案：(I)C(2)D(3)B

鞏固訓練3解析：(1)因為｛a11｝是等差數列，所以〃i+fiu+s,/+的+/，/+恁+硒

也成等差數列，

所以6Z3÷6Z6÷^9=2(a2+a5+a8)—(a?+a4+a7)=2X21-15=27.故選B.

(2)由題意知a↑+ci2Λ---卜。6=10,斯TT----卜斯一5=110,

兩式相加得6Qι+arl)=120,所以0+斯=20,又當詈蟲=360,所以〃=36.故選B.

答案：(I)B(2)B

例4解析：⑴等差數列凡｝的前〃項和為S”Sn=2,S2〃-s〃=6—2=4,

則S”SZLSn,S3LS2M,S4〃一$3〃構成首項為2,公差為2的等差數列,

則S4〃=S〃+(S如一Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20,故選D.

(2)根據等差數列的性質得:"1=30—24=6,aιn-a?=(2n—1)J=10.5,

解得：〃=4,故該數列的項數為2〃=8.故選B.

n(n-ι).

(3)設等差數列的公差為4,則g=na∣二α=q∣+?.

因為雪一工=一2,

所以(a1+￡d)—(a]+∣d)=-2,解得d=-2,

20232022

所以S2023=2023a?+^d=2023X2021-2023×2022=-2023,故選D.

答案：(I)D(2)B(3)D

鞏固訓練4解析：(1)因為等差數列｛atl｝的前〃項和為S”，

所以S3,Sft-Sy,S9-56成等差數列，

所以2e6—S3)=S3+(S9-S6),

因為$3=15,s9=99,

所以266-15)=15+(99-S6),解得$6=48.

⑵由563=36,得63?d?2=36,'?cii2~~.

.?.S支=32?32=32XA-

S偶=31432=3IX4A子124,

答案：⑴48⑵等?

例5解析：由題意知d<0,因為S,,≈?+(α∣-?)n,

設火X)=12+(aι一3尤,

則函數y=∕U）的圖象如圖,

由S5=S12知，拋物線的對稱軸為X=TT，由圖可知，當1W"<8時，S”單調遞增;

當"29時，S”單調遞減，且S8=S9.又“GN",所以當〃=8或9時，S“有最大值.

鞏固訓練5解析：（1）因為等差數列｛atl｝的前〃項和為S”S202∣>0,S2o22<O,

2021(q+/021)2021×2%ɑ??

S20212021a】0]]>0

22

〈勺÷022)

2022a2

S2022—=1011(q+。2022)=1011CaIoIl()12>V0

所以2

所以a?on>O,a?oιι+^ιoi2<O,

所以αιoιι>O,ci?oi2<O,即等差數列｛a11｝的公差d<O,

所以〃〈1011時，an>0;心1012時,an<09

所以使得前幾項和S〃取得最大值時"的值為1OlL故選D.

(2)當且僅當〃=8時，S”有最大值，說明卜8>0:

(a9<0.

∫7÷7d>0,

解得一l<dv-二,

(7+8d<0,8

；?d的取值范圍為(一1,—1).

答案：⑴D(2)(-1,-?)

真題展臺——知道高考考什么？

1.解析：設。A=QG=CB∣=84=1,則f>f>ι=0.5,CC1=k↑,BB↑=k2,AAI=A?.由

題意，得?3=?I+0.2,k3=k2+O.?,且照喑嚕普=0?725,即也詈=0.725,解得k3