2022-2023學(xué)年云南省保山市、文山州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省保山市、文山州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={-1,1,2,4},B={x∣∣x-1∣≥1},則4CCRB=()

A.{1}B.{-l,2}C.{1,2}D.1-1,2,4}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi—3=—2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知tan(αf=2,則需%()

A.-3B.—?C.3D.?

4.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的

六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成

熟的蜂蜜.如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口ABCOEF,F列說法正確的是（）

A.AC-AE=JFB.AC+AE=^AD

C.^AD-AB=AD-^DED.AD=2（AB+AF）

5.已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列｛%l｝滿足。3,。4一2成等差數(shù)列，則公比q=（）

A.?B.-?C.2D.-2

6.在疫情防控期間，某社區(qū)開展了“疫情要防住，文明在行動(dòng)”核酸檢測(cè)志愿服務(wù)活動(dòng).活

動(dòng)期間，要安排5名志愿者完成A,B,C三項(xiàng)工作.已知每項(xiàng)工作至少有一人參加，每人只能

參加一項(xiàng)工作，則不同的安排方式共有（）

A.150種B.120種C.90種D.60種

7.已知雙曲線圣一，=l(α>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,以尸為圓心，α為半徑的圓與雙曲線的

一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為4B.若4AFB=60。，則該雙曲線的離心率為()

A.?B.∏CIDw

8.已知函數(shù)y=/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％∈(一8,0)時(shí)/(%)+Xf(X)<0恒成立，

0303

若α=3?∕(3?),b=(logπ3)∕(logπ3),c=(log3^)f(log3?),則α,b,C的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

二、多選題(本大題共4小題，共20?0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.若ac?≥bc2,則Q≥b

B.若Q>b>0,則2>

aα+l

C.若α>b>0,c>d>O9則QC>bd

D.若X∈R,Kn+7泉的最小值為2

10.已知函數(shù)/(%)=COS2%,則()

AJQ)的最小正周期為2τrB.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-得)對(duì)稱

C./(無(wú))的最小值為0D?f(x)的圖象關(guān)于直線X=各寸稱

11.A,B為隨機(jī)事件，已知P(A)=O.5,P(B)=O.3,下列結(jié)論中正確的是()

A.若4B為互斥事件，則P(4+B)=0.8

B.若A,B為互斥事件，貝”/+訪=0.8

C.若4B相互獨(dú)立，則P(A+B)=0.65

D.若P(BM)=O.3,則4,B相互獨(dú)立

12.仇章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方

早一千多年，在仇章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直

于底面的三棱柱稱為塹堵；陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的

四棱錐；鱉嚅指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵ABC-

&BICl中，ABIAC,C1C=BC=2,則下列說法正確的是()

A.四棱錐B-4√lCCι為陽(yáng)馬

B.三棱錐Cl-ABC為鱉席

C.當(dāng)三棱錐Cl-ABC的體積最大時(shí)，二面角G-AB-C的余弦值為?

D.記四棱錐B-AlACCI的體積為匕，三棱錐G-ABC的體積為匕，則匕=3匕

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)函數(shù)/(χ)=卓，則曲線y=∕(x)在點(diǎn)(IJ(I))處的切線方程是.

14.過點(diǎn)(1,-4),且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

15.己知三棱錐4-ACD中，A1AJ_平面4CD,AD1CD,A1A=AC=2,則三棱錐&-ACD

的外接球的表面積為.

16.“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年

所著的解解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都

是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.記“楊

i1

輝三角”第n行的第i個(gè)數(shù)為a”貝1瓦匕】2--ai=

第

0行

第1"

1I

第2

行

第12I

3行

第1331

4行

第14641

5行

15IO1051

第n行

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛ajt｝的前律項(xiàng)和為5，%=3,2Sn=3an-3.

(1)求｛a7l｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足:bn=an+log3(3an),記｛bn｝的前n項(xiàng)和為求及.

18.(本小題12.0分)

-

記△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a?+?—?2=ɑ匕，c_2√3.

(1)求4C的大??；

(2)D為4B上一點(diǎn)，從下列條件①、條件②中任選一個(gè)作為已知，求線段CD的最大值.

條件①：CD為4C的角平分線：條件②：CD為邊48上的中線.

19.(本小題12.0分)

民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)

主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).已知某主要從事手

工編織品的農(nóng)民專業(yè)合作社共有100名編織工人，該農(nóng)民專業(yè)合作社為了鼓勵(lì)工人，決定對(duì)

“編織巧手”進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),為研究“編織巧手”是否與年齡有關(guān),現(xiàn)從所有編織工人中抽取40周

歲以上(含40周歲)的工人24名，40周歲以下的工人16名，得到的數(shù)據(jù)如表所示.

“編織巧手”非“編織巧手”總計(jì)

年齡≥40歲19——

年齡＜40歲—10—

總計(jì)——40

(1)請(qǐng)完成答題卡上的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“編織巧

手”與“年齡”是否有關(guān)；

(2)為進(jìn)一步提高編織效率，培養(yǎng)更多的“編織巧手”，該農(nóng)民專業(yè)合作社決定從上表中的非

“編織巧手”的工人中采用分層抽樣的方法抽取6人參加技能培訓(xùn)，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2

人分享心得，求這2人中恰有1人的年齡在40周歲以下的概率.

2

參考公式:2=衣瑞黑吟其中Q+∕?+C+d.

參考數(shù)據(jù):

a0.1000.0500.0100.005

2.7063.8416.6357.879

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-HBC。中，底面4BC。為等腰梯形，AB//CD,AD=DC^^AB,且平面PAD1

平面ZBCD,PD1AD.

(1)求證：BD1PA-.

(2)PB與平面4BC。所成的角為30。，求二面角A-PB-C的余弦值.

P

AB

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C；捻+\=19＞匕＞0)經(jīng)過點(diǎn)(1,?),離心率為?，點(diǎn)4為橢圓C的右頂點(diǎn)，直

線，與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個(gè)點(diǎn)P(XI,%)，Q(X2，丫2＞

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若以P,Q為直徑的圓恒過點(diǎn)4,求證：直線計(jì)亙過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

22.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)-Inx+^,meR.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/'(X)-J有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由∣x-1∣≥1得X≤O或X≥2,則B={x∣x≤O或％≥2},則CRB={x∣0<x<2},

又4={-l,l,2,4).所以ACICRB={1}.

故選：A.

化簡(jiǎn)集合8,根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念可求出結(jié)果.

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由題意，Z=*=(3-警T)=_2_3i,

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-3)在第三象限.

故選：C.

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法算出z,然后由復(fù)數(shù)的幾何意義選出答案.

本題考查了復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閠an(α-Tr)=tcmα=2,

所以CoS2α_CoS2(z-sin2ɑ_l-taMa

l+sin2αcos2α+sin2α+2sinαcosal+tan2α+2tana

_12__1

-l+22+2×2-3"

故選：B.

利用誘導(dǎo)公式求出tana,再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算

可得.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：對(duì)4,AC-AE=AC+EA=EC,顯然由圖可得正與前為相反向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由圖易得IAEl=I4C∣,直線AD平分角NEAC,且AACE為正三角形，

尼+荏=2l不與同共線且同方向，易知AEOH,△4EH均為含，的直角三角形,

故I麗I=Cl麗|，∣^4HI=√^^∣f77∣=3?^DH?>則|而|=4|而|，

2?AH?=6?^DH\，.??^≡i=∣,.-.AC+AE=IAD,故8錯(cuò)誤；

∣i?izI乙乙

ED

AB

對(duì)C,ZC=ZTlFC=y,?AB?=?BC?=?DC?,■-?BDC=?DBC=^,貝比48。=去

22

XvAD//BC,乙DAB=I∣ΛD∣=2?AB?>--AD-AB=?AD??AB?cos^=2?AB?×=?AB?,

-^ADE=?DAB=≡,IDEI=兩，...而與麗所成角為多

.?.AD-^DE=?AD??^DE?cos^-=-?AB\2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由圖知，AB+AF=A0^AD=2A0<?.AD=2(AB+AFy故。正確.

故選：D.

根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，在圖中作出相關(guān)向量，對(duì)4利用向量減法運(yùn)算結(jié)合圖形即可判斷，對(duì)B借助

圖形和共線向量的定義即可判斷，對(duì)C利用向量數(shù)量積公式和相關(guān)模長(zhǎng)的關(guān)系即可判斷，對(duì)D結(jié)合

圖形即可判斷.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解:設(shè)等比數(shù)列｛αn｝的公比為q(q≠0),

因?yàn)閍2,a3,。4一2成等差數(shù)列，所以2α?=。2+。4-2,

23

則2Xa1q=a1q+a1q-2,

因?yàn)間=1,整理得(q-2)?(q2+l)=0,解得q=2.

故選：C.

利用等差中項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解；先將5名志愿者分成3組，再分配到三項(xiàng)工作中，

22

故不同的安排方式共有N=髭?朗+塵導(dǎo)?Aj=150種.

A2

故選：A.

先將5名志愿者分成3組，一是1,1,3,二是1,2,2,再分配到三項(xiàng)工作中即可.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

因?yàn)閍2+Z√=c2,所以b=孕，所以c2=Ja2,所以e=￡=g.

24a2

故選：D.

結(jié)合圓的垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，求出離心率即可.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：當(dāng)%∈(一8,0)時(shí)不等式f(%)÷χf,(χ)<0成立

即：(Xf(X))'VO,

:?Xf(%)在(一8,0)上是減函數(shù).

又?.?函數(shù)y=/(%)是定義在R上的奇函數(shù)

???%/(%)是定義在R上的偶函數(shù)

.??％∕(X)在(0,+8)上是增函數(shù).

又,.??o,?>1>logπ3>0>Iog3,，

1

-Iogɑ>303>1>log3>0

3yπ

0303

所以>3?√(3?)>(logπ3)?∕(logπ3)

即：C>a>b

故答案為：D

由“當(dāng)％∈(-8,0)時(shí)不等式f(%)+%尸(X)<0成立"知W(X)是減函數(shù)，要得到α,b,C的大小關(guān)

系，只要比較3O?3,1o0r3/。g3t的大小即可.

本題主要考查由已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，用原函數(shù)的性質(zhì)來研究新函數(shù).

9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4,若￠2=0,a=-l,b=l,滿足αc2≥bc2,但α≥b不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若α>b>0,由作差法：鬻-9=3得>0,即空>2故8錯(cuò)誤；

α+lQa{a+l)a+1a

對(duì)于C,若α>b>0,c>d>0,由不等式的性質(zhì)可得αc>bd,故C正確；

2

對(duì)于。，根據(jù)基本不等式，√x+2+-7=?=≥2I√χ2+2?7=/=2,當(dāng)√/+2=1時(shí)取

得等號(hào)，

此方程顯然無(wú)解，取等號(hào)條件達(dá)不到，故。錯(cuò)誤.

故選：ABD.

4選項(xiàng)可以舉反例來說明，B選項(xiàng)可以作差說明，C選項(xiàng)根據(jù)不等式的性質(zhì)說明，。選項(xiàng)利用基本

不等式取等號(hào)的條件進(jìn)行判斷說明.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)及基本不等式應(yīng)用條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：已知函數(shù)f(x)=COS2X,

則/(X)=COS2χ=1+C；s2x=lc0s2χ+If

故/⑶的最小正周期為竽=兀，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)％=-今時(shí)，2x=-p

又(一5,0)是y=3COSX的對(duì)稱中心，

故/⑶的圖像關(guān)于點(diǎn)(―:,手對(duì)稱，

故8正確；

因?yàn)閒(%)=^cos2x+?,

所以/(%)的最小值為Al=O

故C正確；

因?yàn)?(%)=TCoS2%+J當(dāng)％=.時(shí)，2x=?,

又％=5不是y=ICOSX的對(duì)稱軸，

乙Z

故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

先根據(jù)二倍角公式將/(X)降次，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

本題考查了三角恒等變換，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：A選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件的加法公式可得，P(4+B)=P(4)+P(B)=0.5+0.3=0.8,

4選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，若力，B為互斥事件，故P(ZB)=O,類似集合的運(yùn)算：A{JB=AΠB'

由P(4+B)=P(AUB)=P(AnB)=PQ4B)=I-P(AB)=I-O=1，故B選項(xiàng)不正確；

C選項(xiàng)，由于A,B是相互獨(dú)立事件，故P(AB)=P(A)P(B),

于是P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.5X0.3=0.65,C選項(xiàng)正確;

0選項(xiàng)：P(BM)=0.3=今黑=P(B),即P(4B)=P(A)P(B),于是4B相互獨(dú)立，。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

A選項(xiàng)根據(jù)互斥事件的加法公式進(jìn)行判斷；

B選項(xiàng)根據(jù)類似集合的運(yùn)算和對(duì)立事件進(jìn)行判斷；

C選項(xiàng)結(jié)合PQ4+B)=P(A)+P⑻-P(ZB)和獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算;

。選項(xiàng)根據(jù)條件概率公式計(jì)算.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于4塹堵ABC-ICl為直三棱柱，則側(cè)棱4遇L平面ABC,

???ABU平面ABC,

：.A1A1AB,

U平面/「

^5LAB1AC,ACC?A1A=A,AC,CC

??.BA，平面AJCCi，即四棱錐B-Cel為陽(yáng)馬，故A正確；

對(duì)于B：三棱錐Cl-ABC中，GC_L平面ABC,BAL平面ACC「則三棱錐C1-ABC的四個(gè)面均為

直角三角形，故三棱錐Cl-ABC為鱉膈，故B正確；

對(duì)于由題意得平面U平面】U平面「

C：ABJ_4CCl4,AC"GA，AC1ACGAAB1AC,AB1AC1,

NCTICl為二面角Cl-AB-C的平面角，

設(shè)所求二面角的平面角為0,三棱錐Cl-ABC的體積最大時(shí)，

又高CIC=2,則AABC的面積最大，

又BC=2,貝IJAB2+心=4,

.?.AB'AC≤嗎竺！=2.當(dāng)且僅當(dāng)4B=AC=C時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)cos。=?，故C正確；

對(duì)于則匕=/，故錯(cuò)誤.

D：V1=^AC-CC1-AB,K2=l×^AB-AC-CC1,2O

故選：ABC.

對(duì)于4：由ABC-&B1G為直三棱柱，又48J.4C,得到BA_L平面4遇CCi判斷：對(duì)于8：由_L

平面ABC,BZL平面ZCCl判斷；對(duì)于C：易知4C4Cι為二面角Cl-AB-C的平面角，再由三棱錐

的體積最大時(shí)，的面積最大求解判斷；對(duì)于由匕

G-ABCZkABCD：?CC1?AB,V2=^×

?AB?AC?CR判斷，即可得出答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征和棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

13.【答案】x+y-4=O

【解析】解：由/(χ)=W^=X+：，得/'(X)=I⑴=-L

又/(1)=3,

曲線y=/(X)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y-/(1)=f(l)(x-1),即x+y-4=0.

故答案為：x+y-4=0.

先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

14.【答案】x2=-iy

【解析】解：由題意設(shè)方程為/=∏y(n≠0),則有1?=∏(-4),

解得：n=-?,

所以拋物線的方程為∕=-"y.

故答案為：2

X=4J

利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線方程，把點(diǎn)代入求解即可.

本題考查拋物線的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】8兀

【解析】解：將三棱錐&-4CD補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體,

222

則三棱錐&一ACO的外接球的半徑為(2R)2=A1C=A1A+AC=8,

.?.三棱錐4-ACD的外接球的表面積為S=4πR2=8兀.

故答案為：8ττ.

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是三棱錐外接球的直徑，從而可求出其半徑，進(jìn)而

可求出其表面積.

本題考查多面體外接球表面積的求法，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】3n

【解析】解：根據(jù)題意，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，

若第n行的第i個(gè)數(shù)為q，則q=4-1,

i11znnn

當(dāng)n≥1時(shí)，∑^2-?ai=2℃°+2C?+2?+…...2C°=(1+2)=3.

故答案為：3n.

i1

根據(jù)題意,分析可得見=C尸，則有∑留2--ai=2℃°+2℃°+2。CR+2℃°,結(jié)合二項(xiàng)

式定理分析可得答案.

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)解：2Sn=3αn—3①，

???當(dāng)n≥2時(shí)，2Sjlγ=3ατjγ-3②，

①一②得：2%l=3αrι-3αzι-ι,即αn=3α7lτ(n≥2),

?.?%=3,???數(shù)列｛an｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

n

.?.an=3(neN*).

n

(2)bn=an+log3^3an')=3+n+1,

1n-1n

?'?7jl=%ι+B2+…+fen-ι+b7j=(3+2)+(3?+3)+…+(3+n)+(3+π+1)

=(31+32+…+3n^1+3")+(2+3+…+n+n+1)

_3(1-3Ii),(n+3)n

-1-3+-2-

+。

=-3-"-+--?-----2-+--3-n--—--3,

2

所以｛%｝的前/項(xiàng)和為=3"+l+J+3n-3.

【解析】(1)通過2Srι=3αn-3可知2Snτ=3αn,1-3,兩個(gè)式子相減化簡(jiǎn)后便可得出數(shù)列｛αrι｝是

一個(gè)等比數(shù)列，通過等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.

(2)將｛αn｝代入以=an+log3(3αll)后即可求出數(shù)列｛,｝的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)后會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等比數(shù)

列與等差數(shù)列相加，通過等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前九項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，考查轉(zhuǎn)化思

想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC,

所以，cosC=?,

又C∈(O,π),故C=?.

(2)選擇條件①：

在^ABC中，由余弦定理小+b2—c2=2abcosC,得小?b2—12=ab,

即(α+b)2=12+3ab≤12+3(竽產(chǎn)，故α+b≤4√3,

當(dāng)且僅當(dāng)α=b=2，與時(shí)，等號(hào)成立，

乂因?yàn)镾ACOA+SACDB=SAABC'

βfrCD?ACsin?ACD+1CD?BCSE乙BCD=^AC-BCsin?ACB,

所以TCD?b+^CD?α=yαb,

所以C。=勺=5?±1

a+b3(α+b)

=殍(9+°)一??)≤?(4C-系)=3,

故CD的最大值為3.

選擇條件②：由題2方=G?+而，平方得4而2=石1+而2+2方謔=fj2+a2+

2abcosC=Q2+爐+Qb,

在△4BC中，由余弦定理得M+旅一12=Q小

即(α+bp=12+3ab<12+3(竽/，所以(α+b)2≤48.

當(dāng)且僅當(dāng)α=b=2∕Z時(shí)，等號(hào)成立，

2

故有4∣CD∣2=a2+b2+ab=(a+b~)2—ab=(a+b)2—("+?~—=∣(a+e)2+4≤36?

解得∣CD∣≤3,所以CD的最大值為3.

【解析】(1)根據(jù)余弦定理求解即可；

(2)若選擇條件①，則先由余弦定理結(jié)合基本不等式可得a+b≤4√"飛，再由SACDA+SACDB=

SMBC可表示出CD，再結(jié)合基本不等式可求出其最大值；若選擇條件②：由余弦定理結(jié)合基本不

等式可得（α+b）2≤48,由題意可得2而=8？+而，兩邊平方化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式可求出

其最大值.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，以及邏輯推理與運(yùn)算能力，是中檔題.

19.【答案】解：（1）年齡在40周歲以上（含40周歲）的非“編織巧手”有5人，年齡在40周歲以下的

“編織巧手”有6人.列聯(lián)表如下：

“編織巧手”非“編織巧手”總計(jì)

年齡≥40歲19524

年齡V40歲61016

總計(jì)251540

零假設(shè)為仇：“編織巧手”與“年齡”無(wú)關(guān)聯(lián).

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=4。不譽(yù)鬻X7111>6,635=XOOl0，

根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷HO不成立，即認(rèn)為“編織巧手”與“年齡”有關(guān)，

此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.010;

（2）由題意可得這6人中年齡在40周歲以上（含40周歲）的人數(shù)是2；年齡在40周歲以下的人數(shù)是4.

從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況有盤=15種，

其中符合條件的情況有心?=8種，

故所求概率P=?.

【解析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算乃2,并與臨界值對(duì)比分析；

（2）先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，結(jié)合古典概型分析運(yùn)算.

本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

20.【答案】（1）證明：取4B的中點(diǎn)E,連接CE,則由題意知ABCE

為正三角形，

所以乙4BC=60°,

由等腰梯形知4BCO=120°,設(shè)40=CD=BC=2,則AB=4,

BD=2C，

故4力2+8。2=4^2,即得NaDB=90。，所以ADJLBD,y

因?yàn)槠矫鍼ADJ■平面ZBCD,PDLAD,平面PADC平面ZBCD=AD,PDU平面PAD,

所以PD1平面ABCD,乂BDU平面ABe。，所以PD1BD,

因?yàn)锳DnPD=D,AD,PDU平面PaD,所以BD_L平面PAD,

因?yàn)?4U平面P40,所以BDlPA.

(2)由(I)得ZM,DB,DP兩兩垂直，則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,DP所在直線分別為x,y,Z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻D1平面ABCD,所以PB平面ABCD所成的角為NPBD=30°,

設(shè)40=CD=BC=2,則DB=2C,PD=2,

貝∣J4(2,O,O),P(0,0,2),β(0,2√3,0).C(-1,C,O),

則兩=(2,0,-2),而=(0,2-,-2)，PC=(-l,√^3,-2).

設(shè)平面P4B的法向量為沅=(x,y,z),

貝嘴?柒上即朗M取Z=G貝懈=(Eg

設(shè)平面PBC的法向量為元=(a,b,c),

則｛寤U即｛蕊曾二噌取C=C≡n=(-√3,l,√3),

所以COs<記，n>=

網(wǎng)-^1In.l=7

所以二面角A-PB-C的余弦值為今

【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連接CE,由等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理可得4。180,由面面垂直的

性質(zhì)定理可得PDJL平面ABCz),從而可得PD1BD,再由線面垂直的判定定理可得BD1平面PaD,

從而可得結(jié)論；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,OP所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平

面PAB與平面PBC的法向量，利用向量的夾角即可得解.

本題主要考查空間線線垂直的判定以及空間二面角的求解，利用向量法是解決空間二面角的常用

方法，考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

c_√^3

a2a=2

21.【答案】解：(1)由題意知:a2=&2+2,可得：b=l

+—

4b

2

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+y2=.

4J1

P

(2)證明：當(dāng)直線Z的斜率不存在時(shí)，設(shè)，：x=m,

所以由而.而=(Zn-2)2-(I-苧)=0,

解得m=/或m-2(舍去)，

此時(shí)直線方程為％x=1；

當(dāng)直線2的斜率存在