2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)真題 （解析版）

樂山市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

本試題卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題），共8頁(yè)?？忌鞔饡r(shí)，須將答案答在答

題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無(wú)效。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，

將本試題卷和答題卡一并交回?？忌鞔饡r(shí)，不能使用任何型號(hào)的計(jì)算器。

第I卷（選擇題共30分）

注意事項(xiàng)：

1.選擇題必須使用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上。

2.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。

一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。

1.計(jì)算：2a-a=（）

A.aB.一αC.3aD.I

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：2a—a=a,故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握合并同類項(xiàng)法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

2.下面幾何體中，是圓柱的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱體的特征進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.是正方體，不符合題意；

B.是圓柱，符合題意；

C.是圓錐，不符合題意；

D.是球體，不符合題意，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，熟練掌握每個(gè)幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.

3.下列各點(diǎn)在函數(shù)y=2x—1圖象上的是()

A.(―1,3)B.(04)C.(1,—1)D.(2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將選項(xiàng)中的各點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式y(tǒng)=2χ-l,進(jìn)行計(jì)算

即可得到答案.

【詳解】解：一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，

函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-1,

A.當(dāng)戶—1時(shí)，y=-3,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.當(dāng)尤=0時(shí)，y=-l,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.當(dāng)x=l時(shí)，y=l,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.當(dāng)x=2時(shí)?，y=3,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，

是解題的關(guān)鍵.

4.從水利部長(zhǎng)江水利委員會(huì)獲悉，截止2023年3月30日17時(shí)，南水北調(diào)中線一期工程自2014年12月

全面通水以來(lái)，已累計(jì)向受水區(qū)實(shí)施生態(tài)補(bǔ)水約90億立方米.其中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

()

A.9×IO8B.9×IO9C.9×1()'°D.9×lθ"

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為αX10"的形式，其中1≤同<1(),〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，看小數(shù)點(diǎn)移

動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，〃是正整數(shù)；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，

”是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：9000000000=9×IO9

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為αX10"的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<l(),〃為整

數(shù).解題關(guān)鍵是正確確定α的值以及〃的值.

5.樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源.某校準(zhǔn)備組織初一年級(jí)500名學(xué)生進(jìn)行研學(xué)旅行活

動(dòng)，政教處周老師隨機(jī)抽取了其中50名同學(xué)進(jìn)行研學(xué)目的地意向調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如下統(tǒng)計(jì)圖，

如圖所示估計(jì)初一年級(jí)愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)為()

人數(shù)

故居新寨故宮

A.100B.150C.200D.400

【答案】C

【解析】

【分析】用初一年級(jí)總?cè)藬?shù)500名乘以隨機(jī)抽取的50名同學(xué)中愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)占的比值了可

求解.

【詳解】解：500×-=200,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體一，熟練掌握用樣本頻數(shù)估計(jì)總體頻數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，菱形ABe。的對(duì)角線AC與Bo相交于點(diǎn)O,E為邊8C的中點(diǎn)，連結(jié)OE?若

AC=6,Bo=8,則OE=()

5

A2B,-C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先由菱形的性質(zhì)得AC工83,OC=LAC=JX6=3,OB=-BD=-×8=4,再由勾股定理

2222

求出3C=5,然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

【詳解】解：；菱形ABC。，

ΛAClBD,OC=LAC」x6=3,OB=-BD=-S^A,

2222

由勾股定理，得BC=JOB?+OC?=5,

為邊BC的中點(diǎn)，

.?.OE=LBC='χ5=*

222

故選：B.

【點(diǎn)睛】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

7.若關(guān)于X的一元二次方程X?-8x+m=0兩根為番、?-且玉=3々，則，"的值為()

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出西+々=8,然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求

解即可.

【詳解】解：；關(guān)于X的一元二次方程一8χ+w=0兩根為玉、X2,

/.x1+x2=8,

,.?x1=3X2,

?*?X?=2,X]=6,

/.m-xlx2=12,

故選：C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵.

8.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角

形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形面積為25,小正方形面積為1,則Sine=()

21

A.-bC.一D.-

5?155

【答案】A

【解析】

【分析】先由兩個(gè)正方形的面積分別得出其邊長(zhǎng)，由趙爽弦圖的特征可得AD=BC,則Ao=AC+1,在

RtAABC中，利用勾股定理求出AD=BC=4,最后按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算求解即可.

【詳解】解：；大正方形的面積是25,小正方形面積是I,

.?.大正方形的邊長(zhǎng)AB=5,小正方形的邊長(zhǎng)CD=1,

?.?AD=BC,

：.AD=AC+?，

在RtZVlBC中，AC2+BC2=AB2，

.,.(AD-I)2+ZiD2=52,

解得AD=5C=4（負(fù)值舍去）

?..sin。=四=±

AB5

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數(shù)的計(jì)算，明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，拋物線,=辦2+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,0）、β（m,0）,且1<機(jī)<2,有下列結(jié)論：φ?<0;②

a+b>O;③0<a<—c；④若點(diǎn)C∣-）在拋物線上，則M>必?其中，正確的結(jié)論有

V.B.τ

V

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】拋物線>=公2+桁+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4—1,0)、B(w,O),且1<m<2,,可以得到α>O,

h1

0<——<-,從而可以得到6的正負(fù)情況，從而可以判斷①；繼而可得出—h<α,則α+力>0,即可

2a2

判斷②；由圖象可知I,當(dāng)X=I時(shí)，y<0,即α+8+c<0,所以有a+h<—c,從而可得出

O<β<-c.即可判斷③；利用再根據(jù)0<一?<:，所以

b(4)<l-(^?),從而可得X<%>即可判斷④.

五

【詳解】解：???拋物線y=6i√+法+C的圖象開口向上，

??Q>O,

；拋物線y=加+?r+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,O)、B(m,0),且1<租<2,

Λ0C<----b-<-1,

2a2

：.b<0,故①正確;

V0<——<-,a>0,

2a2

.".-b<a

：.a+h>O,故②正確；

由圖象可知，當(dāng)X=I時(shí)，y<0,即α+h+c<(),

.,.a+b<-c

:α>O,b<0,

?"?O<6!<—C>故③正確；

1251

233~2

k??°<V4

b25b

<

2a332a

：拋物線y=0χ2+?x+c的圖象開口向上,

???M<%,故④錯(cuò)誤.

.?.正確的有①②③共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XQy中，直線y=-x-2與X軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，C、。是半徑

為1的0。上兩動(dòng)點(diǎn)，且CO=J5，尸為弦CZ）的中點(diǎn).當(dāng)C、。兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，.243面積的最大

C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出Q4=OB=2,確定48=2直，再由題意得出當(dāng)P。的延長(zhǎng)

線恰好垂直A6時(shí)，垂足為點(diǎn)E,此時(shí)PE即為三角形的最大高，連接。0,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：；直線y=—x—2與X軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

當(dāng)X=O時(shí)，y=-2,當(dāng)y=0時(shí)，χ=-2,

ΛA(-2,0),B(0,-2)1

?*.OA=OB=2，

???AB=y∣O^+OB2=2√2,

?；.√?6的底邊AB=2√Σ為定值，

，使得二∕?β底邊上的高最大時(shí)，面積最大，

點(diǎn)P為C。的中點(diǎn)，當(dāng)Po的延長(zhǎng)線恰好垂直AB時(shí)，垂足為點(diǎn)E,此時(shí)/石即為三角形的最大高，連接

√2

2

.?.OP=√or>2-DP2=—，

2

?.?OEVAB,

：.OE=LAB=丘,

2

.??PE=OE+OP=辿，

2

?'?SPAB=gx2&x^^=3>

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，確定出高的最大

值是解題關(guān)鍵.

第∏卷（非選擇題共120分）

注意事項(xiàng)：

1.考生使用0?5m黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，答在試題卷上

無(wú)效。

2.作圖時(shí)，可先用鉛筆畫線，確認(rèn)后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚。

3.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。

4.本部分共16個(gè)小題，共120分。

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分。

11.不等式x—1>()的解集是.

【答案】x>l

【解析】

【分析】直接移項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：Yx-1>0,

??X>1，

故答案為：x>l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

12.小張?jiān)凇瓣?yáng)光大課間”活動(dòng)中進(jìn)行了5次一分鐘跳繩練習(xí)，所跳個(gè)數(shù)分別為：160,163,160,157,

160.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

【答案】160

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值求解即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是160,出現(xiàn)了三次，

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160,

故答案為：160.

【點(diǎn)睛】題目注意考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，理解眾數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

13.如圖，點(diǎn)。在直線Ag上，0。是/30C的平分線，若NAOC=I4()。，則/BOD的度數(shù)為

【答案】20°##20度

【解析】

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出NJBOC=I80?！?40。=4()。，再由角平分線求解即可.

【詳解】解：=NAOC=140°,

/.ΛBOC=180o-140o=40°,

,/QD是NjBoC的平分線，

.??ZfiOD=20。，

故答案為：20°.

【點(diǎn)睛】題目注意考查鄰補(bǔ)角及角平分線的計(jì)算，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14.若m、〃滿足3加一〃一4=0,貝∣J8"'+2"=.

【答案】16

【解析】

【分析】先將已知3〃?一〃一4=0變形為3加—〃=4,再將8"'÷2"變形為23"”"，然后整體代入即可.

【詳解】解：；3加一〃一4=0

.,.3m—〃=4

.?.8'"÷2"=(23J"÷2"=23m÷2"=23n,^n=24=16

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式值，基的乘方和同底數(shù)累除法，熟練掌握累的乘方和同底數(shù)基除法法則是解題的

關(guān)鍵.

ΛΓ7

15.如圖，在平行四邊形ABCo中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)、F.若上=*,則

EB3

SMD"_

SXAEF

【答案】I

2

【解析】

【分析】四邊形4B8是平行四邊形，則AB=CD,A5CD,可證明..E4∕sDCF,得到

DF—,由空=2進(jìn)一步即可得到答案.

~EFAEAEEB3

【詳解】解：：四邊形A88是平行四邊形,

.*.AB=CD,ABCD,

.?.ZAEF=/CDF,ZEAF=ZDCF,

.EAFar).DCF,

.DFCDAB

''~EF~~AE~~AE'

...AE=—2，

EB3

.AB5

??=—,

AE2

.S4ADF_DF_AB_5

''SΔAEF~EF~AE~2?

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明一E4bs*Oa7是解題的

關(guān)鍵.

16.定義：若X,y滿足尤2=4y+f,y2=4χ+/且χ*yG為常數(shù))，則稱點(diǎn)M(X,y)為“和諧點(diǎn)”.

(1)若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，貝[]〃?=.

k

(2)若雙曲線、=一(—3<%<一1)存在“和諧點(diǎn)”，則&取值范圍為.

X

【答案】①.-7②.3<Zr<4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到32=4m+f,m2=4x3+f,整理得到病+4初-21=0,解得

/珥=-7,應(yīng)=3(不合題意，舍去)，即可得到答案；

(2)設(shè)點(diǎn)(a,。)為雙曲線y=5(-3<x<-l)上的“和諧點(diǎn)”，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義整理得到

L

(a-b)(a+b+4)=0,由疝。得到a+b+4=0,則〃=—a—4,由。=—(-3<a<-l)進(jìn)一步得到

a

女=—(a+2j+4,且—3<a<—1,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到女的取值范圍.

【詳解】解：⑴若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，則32=4根+f2=4χ3+f,

則32—4m=t,m2-?2=t,

?,?32-4m=m2-12，

即療+4m—21=0,解得肛=-7,人=3(不合題意,舍去)，

.*.tn=-7,

故答案為：-7

(2)設(shè)點(diǎn)(α,0)為雙曲線y=g(-3<x<-l)上的“和諧點(diǎn)”，

k

/.cr=4Z?+r,/?2=4。+，，/?=—(-3<tz<-l),

a

.?.cr=4〃+/萬(wàn)=4。+"

即a?-4b=b2-4a，

/.(Q+〃)(Q-Z?)+4(Q-/?)=0,

則(〃一人)(。+力+4)=(),

Va*b,

?*?α+Z?+4=O,

即。=一。一4,

?：b=-(-3<a<-l),

a

?*?k=cιh=Q(—Q—4)=-a"—41=—(Q+2)~+4,且—3<QV—1,

對(duì)拋物線Z=—(。+2)2+4來(lái)說(shuō)，

V-1<O,

；?開口向下，

當(dāng)〃=-1時(shí)，&=一(-1+2『+4=3,

當(dāng)。二-3時(shí)，?=-(-3+2)2+4=3,

?.?對(duì)稱軸為a=-2>—3<α<—1>

當(dāng)a=—2時(shí)，Z取最大值為4,

的取值范圍為3<k<4,

故答案為：3<女<4

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)

和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟。

17.計(jì)算：∣-2∣+2O23o-√4

【答案】1

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值及算術(shù)平方根，計(jì)算零次幕的運(yùn)算，然后進(jìn)行加減法即可.

【詳解】解：］—2|+2023°—

=2+1-2

=1.

【點(diǎn)睛】題目注意考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

x-y=1

18.解二元一次方程組:

3x+2y=8

【答案】《x=2,

Iy=I

【解析】

【分析】采用加減消元法即可求解.

【詳解】解：①x2,得2x-2y=2②,

將②+③，得5x=10,

解得χ=2.

將X=2代入①，

得"1，

x=2

.?.方程組的解為：\.

Iy=I

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的知識(shí)，掌握加減消元法是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O,AO=BO,AC〃DB.求證：AC=BD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】要證明AC=BD,只要證明△AOCgaBOD,根據(jù)AC//DB可得NA=NB,NC=ND,又知

AO=BO,則可得到△A0Cg4B0D,從而求得結(jié)論.

【詳解】（方法一）

?/AC∕∕DB,

ΛZA=ZB,ZC=ZD.

在4AOC與^BOD中

VZA=ZB,ZC=ZD,AO=BO,

Λ?A0C^?B0D.

ΛAC=BD.

（方法二）VAC//DB,

ΛZA=ZB.

在4AOC?ΔBoD中，

ZA=NB

V?AO=BO,

ZAOC=NBOD

Λ?AOC^?BOD.

AC=BD.

20.如圖，在RtZ?A3C中，NC=90°,點(diǎn)。為AB邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、2重合），過(guò)點(diǎn)。作

DE//BC,DF//AC,分別交AC、BC于點(diǎn)E、F,連接Ef.

（1）求證：四邊形ECFD是矩形；

（2）若CE=2,CE=4,求點(diǎn)C到E尸的距離.

【答案】（1）見解析⑵3方

【解析】

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明NCED=NeFe）=90°,再利用四邊形內(nèi)角和為360°,證明

NEDF=90°,即可由矩形判定定理得出結(jié)論；

（2）先由勾股定理求出所=Jb2+慮2=2?,再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：?.?OE"3C,DF//AC,

.?.四邊形ECFD為平行四邊形，

???ZC=90°,

四邊形ECFD是矩形.

【小問2詳解】

解：?.?NC=90°,CF=2,CE=4,

；?EF=√CF2+CE2=2√5

設(shè)點(diǎn)C到所的距離為〃，

?.?Scef=^CE?CF=gEF?h

；?2×4=2√5∕z

.,4√5

??n=----

5

答：點(diǎn)C到EF的距離為生&.

5

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段

長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

21.為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨

樹6000棵.開始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹的數(shù)量比原計(jì)劃增加了20%,結(jié)果提前

2天完成任務(wù).問原計(jì)劃每天種植梨樹多少棵？

【答案】原計(jì)劃每天種植梨樹500棵

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹X棵

=二60006000C

由題可知：丁一百標(biāo)=2

解得：尤=5(X)

經(jīng)檢驗(yàn)：x=500是原方程的根，且符合題意.

答：原計(jì)劃每天種植梨樹500棵.

【點(diǎn)睛】題目注意考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出分式方程是解題關(guān)鍵.

22.為培養(yǎng)同學(xué)們愛勞動(dòng)的習(xí)慣，某班開展了“做好一件家務(wù)”主題活動(dòng)，要求全班同學(xué)人人參與經(jīng)統(tǒng)

計(jì)，同學(xué)們做的家務(wù)類型為“洗衣”“拖地"''煮飯”“刷碗”.班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計(jì)圖表,

如圖所示.

家務(wù)類型洗衣拖地煮飯刷碗

人數(shù)(人)101210m

根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：

(1)m=；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為；

(3)班會(huì)課上，班主任評(píng)選出了近期做家務(wù)表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學(xué)，其中有2名男生.現(xiàn)準(zhǔn)備從表現(xiàn)優(yōu)異的

同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)分享體會(huì)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學(xué)中有男生的概率.

【答案】(I)8(2)108°

(3)-

6

【解析】

【分析】(1)用做飯的人數(shù)除以做飯點(diǎn)的百分比25%,得抽取的總?cè)藬?shù)，再減去“洗衣”、“拖地”、“刷

碗”的人數(shù)即可求得到，〃值；

(2)用360。乘以“拖地”人數(shù)所占的百分比，即可求解；

(3)畫樹狀圖或列表分析出所有可能的結(jié)果數(shù)和有男生的結(jié)果數(shù)，再用概率公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：“7=10+25%—10-12-10=8,

故答案：8；

【小問2詳解】

解：360o×12÷(10÷25%)=108°,

故苔案為：108°；

【小問3詳解】

解：方法一：畫樹狀圖如下：

開蛤

男2女I女2男I女I女2男I男2女29JI男2女I

由圖可知所有可能的結(jié)果共的12種，有男生的結(jié)果有10種，所以所選同學(xué)中有男生的概率為3=3.

126

方法二：列表如下：

男1男2女1女2

男1(男1，男2)（男1,女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1,男1）（女1,男2）（女I,女2）

女2（女2,男1）（女2,女1）

由表可知所有可能的結(jié)果共的12種，有男生的結(jié)果有K)種，所以所選同學(xué)中有男生的概率為W=*?

126

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用畫樹狀圖或列表的方法求概率.熟練掌握從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取有

用信息和用畫樹狀圖或列表的方法求概率是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，一次函數(shù))，=履+b的圖象與反比例函數(shù)y=＜的圖象交于點(diǎn)A(∕",4),與X軸交于點(diǎn)8,與y

X

軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求，〃的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

4

(2)已知尸為反比例函數(shù)y=一圖象上的一點(diǎn)，SZBP=2SMAc，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

X))

【答案】(1)y=%+3

(2)P(2,2)或(-2,-2)

【解析】

【分析】(1)先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出〃7的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A和點(diǎn)C的

坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；

(2)先求出。8=3,0C=3,過(guò)點(diǎn)A作Ly軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)P作PDJ.χ軸于點(diǎn)。，如圖所示，

根據(jù)Sa°Bp=2SaoAc可得gθB?PO=2xgθC?AH,求出PD=2,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2或—2，由此

即可得到答案.

【小問1詳解】

解：點(diǎn)A(m,4)在反比例函數(shù)y=3的圖象上，

m

??.A(1,4),

又點(diǎn)A(l,4),C(0,3)都在一次函數(shù)y=履+匕的圖象上，

4-k+h

[3=b

k=1

解得/.，

p=3

，一次函數(shù)的解析式為y=χ+3.

【小問2詳解】

解：對(duì)于y=x+3,當(dāng)y=0時(shí)，X=-3,

：.B(-3,0),

.,.OB=3,

VC(0,3),

..OC=3

過(guò)點(diǎn)A作AHLy軸于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)P作X軸于點(diǎn)。，如圖所示.

'?'S&)BP=2%AOC，

.?.-OBPD=2×-OCAH.

22

./x3xP￡)=2x』x3xl,

22

解得PD=2?

.??點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2或一2?

4

將y=2代入y=-得χ=2,

X

4

將y=-2代入y=_得x=_2,

X

.?.點(diǎn)P(2,2)或(一2,—2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，已知.。是RtAABC的外接圓，NAC3=90°,。是圓上一點(diǎn)，E是。C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)

AD9AE，且AD=AEyCA=CE.

(1)求證：直線AE是。是的切線；

2

(2)若SinE=O的半徑為3,求Ao的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析(2)8叵

3

【解析】

【分析】(1)由NACB=90。，可知AB是。的直徑，由AC=AC，可得乙鉆。=乙4。。，由

AD=AE,CA=CE,可得NE=ZAr>C,NCAE=AE,則NC4E=ZADC=ZABC,由

ZABC+ZCAB=90°,可得NC4E+NCAB=90°,即NQ4E=90°,進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)作CF_LAE,垂足為E,如圖所示，由題意知，A4CE是等腰三角形，則EF=LAE,由題意

2

知，AB=6,SinZAδC=sinZE,可求AC=AJB?sinB=6χ2=4,CE-4,

3

CF=CEsinE^Ax-=-,由勾股定理得EF=JCE?一b?=逑,根據(jù)Ao=AE=2印，計(jì)算

333

求解即可.

【小問1詳解】

證明：VZACB=90°,

AB是。。的直徑，

?；AC=AC'

：.ZABC=ZADC,

VAD=AE,CA=CE,

：.ZEZADC,NCAE=NE,

：.ZCAE=ZADC=ZABC,

?/ZABC+NCAB=90。，

.?.ACAE+ACAB=90°,

：.N(ME=90°,

又???Q4是半徑，

直線AE是CO是的切線：

【小問2詳解】

解：作CFLAE,垂足為E,如圖所示，

ECD

??,CA=CE,

：.AACE是等腰三角形，

?.?CFIAE,

：,EF=-AE,

2

由題意知，AB=6,SinZABC=SinZE,

，2

：,AC=ABsinB=6×-=4

3f

.*.CE=4，

2Q

ΛCF=CE?sinE=4×-=-,

33

由勾股定理得EF=√Cfi2-CF2=生6，

3

OR

AD=AE=2EF=-,

3

.?.AO的長(zhǎng)為與叵.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的

判定與性質(zhì)，正弦，勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

25.在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個(gè)三角形紙板一ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)4AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC',BC=B'C-,ZBAC=ZBrAC',ZABC=ZABC'>ZACBZACB'()

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們

解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

問題解決】

(1)上述問題情境中“()”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為4cm,圓心角為6（）。的扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙

板AB'C'的位置.

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)。；

②如果BB'=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)8經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，

另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積

是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問題.

【答案】問題解決（I）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①見解析②述兀cm;問題拓展:

【解析】

【分析】問題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；

（2）①分別作88'和AA的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可;

問題拓展，連接/%',交AC于M,連接陽(yáng),PD,AA',由旋轉(zhuǎn)得NPAB'=30。，QA=Fq=4,在

RtPAM和Rti.A'DM中求出A!M和DM的長(zhǎng)，可以求出S陰影部分Bn）-S扇形Bw尸-Sλ?dp,再證明

ADP^A'DP，即可求出最后結(jié)果.

【詳解】解：【問題解決】

（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等

(2)①下圖中，點(diǎn)O為所求

②連接OB,OB,

扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A!B'C'的位置,

：.ZBoB'=90°,OB=OB',

BB'=6cm>

設(shè)OB—OB'-XCm,

.?.%2+X2=62>

OB-OB'-3-?^cm，

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)。為圓心，圓心角為90°,OB為半徑的所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng),

,上C以'+v,u??ajz.90x7TX3近3y∣2

■■點(diǎn)8經(jīng)過(guò)的1路徑長(zhǎng)=----------=二一乃Cm；

1802

【問題拓展】解：連接PA,交AC于M,連接∕?,PD，AA'如

圖所示

.?.ZPAC=-ZBAC=30°.

2

由旋轉(zhuǎn)得NPA'8'=30°,Q4=ar=4?

在RLB4〃中，

AM=PM=Q4?sinZPAM=4×sin30o=2.

在RtADW中，

∕DA'M=-NB'A'C'=30o,

2

A1M24

.?.A'D=

cosZDA,Mcos3003

DM=-A'D=-×-^=-yβ.

2233

：.S..=-DM-A'P=-x-^3x4=-y/3.

δaAdDpP2233

_30×π×42_4

π,

扇形BWP——麗―-3

441

?*?S陰影部分=S扇形布P-S^Λ,DP=—π--√3,

在ZVLDP和Z?A7)P中,

AD=AM-DM=2痘-Z用=±/=A1D,

33

又?NPAr)=NPAr)=30°,PA=PA!,

.?.ADP^,ADP.

又S扇形PAC=S扇形BWP'

?,?S陰影部分B7>∕>-S陰影部分CDP,

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓

住圖形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形.

26.已