2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)10 圓錐曲線（文科）解答題30題 含答案

2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專題

10圓錐曲線(文科)解答題30題

1.(陜西省渭南市華陰市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓

22

(7:￡+￡=1(。>6>0)的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4√L離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求IMM的值.

2.(云南省曲靖市羅平縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期見面考數(shù)學(xué)試題)已知

拋物線C：/=2px(p>0)上一點(diǎn)P(3√n)到焦點(diǎn)F的距離為4.

(1)求實(shí)數(shù)P的值；

(2)若直線/過C的焦點(diǎn)，與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，且,卻=8,求直線/的方程.

3.(云南巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題)橢

圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且長軸長為2√L

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)M(LO)且斜率為1的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求弦長∣AB∣.

4.(貴州省貴陽市白云區(qū)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)中心

在原點(diǎn)O,6、G為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為變，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和焦點(diǎn)的連

2

線距離為√L

⑴求橢圓C的方程；

(2)直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N,若直線/的斜率存在，線段MN的中點(diǎn)在直線x=-g

上，求直線/的斜率取值范圍.

5.(貴州省貴陽第一中學(xué)2023屆高三高考適應(yīng)性月考(三)數(shù)學(xué)(文)試題)已知橢

22

圓C:=+4=l(a>6>0),短軸長為26，過橢圓C的右焦點(diǎn)F?且垂直于X軸的直線

a-b-

被截得的弦長為3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)工的直線/與橢圓C交于。，E兩點(diǎn)，則在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得直

線MRME的斜率互為相反數(shù)？若存在,求出定點(diǎn)M的坐標(biāo):若不存在，也請(qǐng)說明理由.

6.(貴州省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題)已知F∣,乃是橢

圓Et-ζ-+?=l(a>Δ>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)41,-2)在E上，且ZVW=;鳥的面積為

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)8(2,0)的直線/與橢圓E交于C,。兩點(diǎn),直線AC,AD分別與直線x=2交于

M,N兩點(diǎn)，證明：IMBl=IN8].

7.(山東省多校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合調(diào)考數(shù)學(xué)試題)己知橢圓W：

5+}=l(a>b>0)的離心率為言，左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過心且垂直于X軸

ClD?

的直線被橢圓W所截得的線段長為羋.

⑴求橢圓W的方程；

⑵直線y="(kWO)與橢圓W交于4,8兩點(diǎn)，連接A￡交橢圓W于點(diǎn)C,若SAAaC=下，

求直線AC的方程.

8.(青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬(一)數(shù)學(xué)(文)試題)已知?jiǎng)訄AE過定

點(diǎn)P(2,0),且y軸被圓E所截得的弦長恒為4.

(1)求圓心E的軌跡方程.

(2)過點(diǎn)尸的直線/與E的軌跡交于A,B兩點(diǎn),M(-2,0),證明：點(diǎn)尸到直線AM,BM

的距離相等.

9.(四川省南充高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)(文)試題)已

知橢圓C：，+/=l(q>8>0)經(jīng)過點(diǎn)4(2,1),橢圓C的離心率e=亭.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)B(3,0)且與X軸不重合的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AM,

AN分別與直線*=-3分別交于P,Q,記點(diǎn)尸，。的縱坐標(biāo)分別為p,q,求P+夕的值.

10.(安徽省安慶市懷寧縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(文)

22

試題)橢圓E：二+4=l(α>%>0)的左焦點(diǎn)為Fi右焦點(diǎn)為尸2離心率e=；,過Fi的直

線交橢圓于4，B兩點(diǎn)，且ZMB&的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線AB的斜率為√J,求/A8F2的面積.

11.(高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(文)試題)已知直線/：x-y+l=0與焦點(diǎn)為產(chǎn)

的拋物線C-.y2=2px(p>0)相切.

(?)求拋物線C的方程；

(II)過點(diǎn)尸的直線，"與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，求A,8兩點(diǎn)到直線/的距離之和

的最小值.

12.(陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(I)文科數(shù)學(xué)試題)“工藝折紙”

是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含

豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片,設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的

距離為4,按上述方法折紙.

(1)以點(diǎn)/、E所在的直線為X軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過點(diǎn)Q(LO)且不與y軸垂直的直線/與橢圓C交于N兩點(diǎn)，在X軸的正半軸上

是否存在定點(diǎn)T。,。)，使得直線TM,刀V斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定

值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.(陜西省寶雞市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題)已知點(diǎn)A(Λ0,-2)在拋物線

C:/=2px(p>0)上，且A到C的焦點(diǎn)F的距離與到X軸的距離之差為T.

(1)求C的方程；

(2)當(dāng)〃<2時(shí)，M,N是C上不同于點(diǎn)A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線AM,AN的斜率之積為

-2,A。，MMn為垂足.證明：存在定點(diǎn)E,使得|。目為定值.

14.(陜西省咸陽市高新一中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題)

已知焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線F經(jīng)過點(diǎn)加(跖應(yīng)),可一23一卡).

(1)求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵若直線/:y=冬-1與雙曲線「交于AB兩點(diǎn)，求弦長網(wǎng)

22

15.(山西省呂梁市2022屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓C:「+4=l(a>b>0)

ab

的離心率為好，且過點(diǎn)A∣2,孝,

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率為-g的直線/交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)A),記直線PAQA的斜率分別

為人&,證明：自上2為定值.

16.(山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二(沖刺卷)文科數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系XOy

中，橢圓C:=+==l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(忘0),離心率e=3.

a2b22

⑴求橢圓C的方程；

(2)若點(diǎn)。(L3)為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)。作兩條斜率之和為1的直線，分別交橢圓于A,B

兩點(diǎn)和P,。兩點(diǎn)，線段A民尸Q的中點(diǎn)分別為M,N,試證直線MN過定點(diǎn).

17.(山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)(文)試題)己知橢圓C：

*?+方=l(">6>0)過點(diǎn)A(2,l),過右焦點(diǎn)心作X軸的垂線交橢圓于“，N兩點(diǎn)，且

IMNl=6

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)p,Q在橢圓C上，且原片怎。=；.證明：直線PQ恒過定點(diǎn).

18.(內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三下學(xué)期1月模擬考試文科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知點(diǎn)A(α,O),B(0,?),直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)。交橢圓C于P,。兩點(diǎn)(點(diǎn)A,B位于

直線/的兩側(cè)).設(shè)直線AP,AQ,BP,8。的斜率分別為勺，與，&，儲(chǔ)，求證：+桃4

為定值.

19.(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量普查調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試題)

已知橢圓C:5+A=l(a>6>0)的離心率為:，橢圓的右焦點(diǎn)尸與拋物線V=4x的

a~b~2

焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓C的方程；

(2)A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)尸且斜率不為0的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N,直線

AM與直線x=4交于點(diǎn)P.記PA、PF,BN的斜率分別為匕、k2,k3,六L是否為定值？

ZK2

并說明理由.

20.(四川省成都市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試

題)已知橢圓M：；+￡=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為.J￡="點(diǎn)在

(Tb-'a2k2；

(2)如圖，四邊形ABCD是矩形，AB與橢圓M相切于點(diǎn)尸，AO與橢圓M相切于點(diǎn)

E,BC與橢圓M相切于點(diǎn)GCD與橢圓M相切于點(diǎn)”，求矩形ABC。面積的取值

范圍.

21.(江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試

題)已知橢圓5+∕=1(4>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為D(0,1),離心率為坐.

(1)求橢圓的方程：

(2)過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為k(k*0)的直線機(jī)與橢圓相交于兩點(diǎn)AB,y軸交于點(diǎn)E,線

段AB的中點(diǎn)為「，直線/過點(diǎn)E且垂直于。P(其中O為原點(diǎn))，證明直線/過定點(diǎn).

22.(江西省景德鎮(zhèn)市2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)(文)試題)已知橢圓C：

2,.2

5r?+方=l(α>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為K(-c,0),E(C,0),M,N分別為左右頂點(diǎn),

直線/:x="+l與橢圓C交于A,5兩點(diǎn)，當(dāng)傾斜角為2寧兀時(shí)，A是橢圓的上頂點(diǎn)，且

△46月的周長為6.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)N作X軸的垂線4,。為右上異于點(diǎn)N的一點(diǎn)，以DN為直徑作圓￡.若過點(diǎn)G的

直線4（異于X軸）與圓E相切于點(diǎn)”，且4與直線DM相交于點(diǎn)尸，試判斷歸用+∣PH∣

是否為定值，并說明理由.

23.（江西省景德鎮(zhèn)市2023屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓

22

C:￡+左=1（。>6>0）,長軸是短軸的2倍，點(diǎn)？（2網(wǎng)在橢圓C上，且點(diǎn)P在X軸上

的投影為點(diǎn)。.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)Q的且不與X軸垂直的直線/交橢圓于A、8兩點(diǎn)，是否存點(diǎn)用&0）,使得直

線直線仞B(yǎng)與X軸所在直線所成夾角相等？若存在，請(qǐng)求出常數(shù)/的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

24.（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）已知

橢圓。:二+4=1（?！地啊?）,傾斜角為30。的直線過橢圓的左焦點(diǎn)G和上頂點(diǎn)8,且

a-b-

SAABK=I+與（其中A為右頂點(diǎn)）?

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過點(diǎn)M（0,㈤的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且尸M=2MQ,求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

25.（廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）己知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x,>'）

到F（0,1）的距離比Q（x,y）到直線/：y=-2的距離小1,記動(dòng)點(diǎn)Q（x,y）的軌跡

為曲線C

（1）求曲線C的方程.

⑵設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（O,-D,過點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A,若過點(diǎn)P的直線，"

與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，證明：ZAFM=ZAFN.

26.（專題21圓錐曲線綜合-2022年高考數(shù)學(xué)（文）母題題源解密）已知橢圓

Cl+g=l（α>6>0）的長軸長為4,且經(jīng)過點(diǎn)P（√Σ,與.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/的斜率為3,且與橢圓交于A,5兩點(diǎn)（異于點(diǎn)尸），過點(diǎn)P作/APB的角

平分線交橢圓于另一點(diǎn)Q.證明：直線PQ與坐標(biāo)軸平行.

27.（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已

知橢圓C：5?+g=l(4>6>0)的離心率為也，且過點(diǎn)P(2,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(T,0)作直線/與橢圓C交于4,B兩點(diǎn),且橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,

耳Ag,KB6的面積分別為S∣,SA求B-Sj的最大值.

28.(河南省濮陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試文科數(shù)學(xué)試題)已知橢

，2

圓E:'+方=l(α>6>0)的離心率為3,點(diǎn)Pg)在短軸AB上，且P4P8=-2.

(1)求E的方程；

(2)若直線/：，=丘+a(m≠0)與E交于C,。兩點(diǎn)，求OCD(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的

最大值.

29.(河南省三門峽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次大練習(xí)(期末)數(shù)學(xué)(文科)

試題)已知橢圓J+%=l(α>6>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。

到直線A8的距離為亞，O4β的面積為五.

32

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓交于CJD兩點(diǎn)，若直線/“，直線A8,設(shè)直線AC,BO的斜率分別為K

證明：勺占為定值.

30.(安徽省黃山市2022屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題)如圖，已知橢

圓C：*+2=1(4>%>0)經(jīng)過點(diǎn)pa,#),A、A2為橢圓的左右頂點(diǎn)，尸為橢圓的

右焦點(diǎn)，F(xiàn)AiFA2=-I.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線A8(不經(jīng)過點(diǎn)P)交橢圓C于A、3兩點(diǎn)，交直線/：x=2

于點(diǎn)Q,若％+勺歷=-2應(yīng)，求直線P。的斜率.

專題10圓錐曲線(文科)解答題30題

1.(陜西省渭南市華陰市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓

22

U*?+*?=l(a>8>0)的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為45離心率為會(huì)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求IMNl的值.

【答案】⑴三+二=1

43

【分析】(1)由題意列出方程組求出α,匕，c,即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由題意可得直線/的方程為χ+y-1=0,聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理和弦長公式即可

得到PwM的值.

^?2a?2?=4√3

a=2

C1

【詳解】(1)由題得-二一，解得，b=6,

a2

a1=b1+c2

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+￡=1.

43

(2)由(1)知橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

則直線/的方程為χ+y-i=O,

設(shè)〃(百，乂)，刈秩必)，

ΞLZ=

聯(lián)立,4+31,化簡得7d-8x-8=(),

x+y-l=O

88

..Λ]÷Xj=—,&X)=.

2j

.?.?MN?=?J?+k∣xl-x2∣=V∑?J(Xl+?)'-4中2=~γ■

2.(云南省曲靖市羅平縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期見面考數(shù)學(xué)試題)已知拋物

線C：V=2px(p>0)上一點(diǎn)P(3,m)到焦點(diǎn)F的距離為4.

(1)求實(shí)數(shù)P的值；

(2)若直線/過C的焦點(diǎn)，與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，且IABI=8,求直線/的方程.

【答案】⑴P=2

⑵χ-y-l=O或x+y—l=0

【分析】(1)由拋物線的焦半徑公式可知IPFI=3+5，由此即可求出答案；

(2)由(1)可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(L0),則可設(shè)直線為x=(y+l,聯(lián)立直線與拋物線，則可得

2

xl+x2=4t+2,再利用IABI=XI+Λ?+.=8,即可求出直線.

【詳解】(1)由題意可知：∣PF∣=3+5=4,

解得：P=2.

(2)由(1)知拋物線C:y2=4x,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

由題意知直線/斜率不為0,設(shè)直線/為：x=(y+l,A(xl,yl),B(x2,y2)

聯(lián)立直線與拋物線：fΓ0'+1,消X得：y2-4ty-4=0,

[y=4X

則乂+%=力,％為=-4，

則xl+x2=∕(y∣+丫2)+2=4廠+2

所以IABI=x∣+x>+p=4/+2+2=8,

解得f=±l,

所以直線/為：x-y-l=0或x+y-l=0

3.(云南巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題)橢圓C的

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且長軸長為2√Σ?

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)M(LO)且斜率為1的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，求弦長IAB

【答案】(1)5+V=1

⑵逑

3

【分析】(I)先設(shè)出橢圓方程，然后由題意可得α=√∑S=l,從而可得橢圓方程，

(2)由題意可得直線/的方程為x=y+l,代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦

長公式可求得結(jié)果.

22

【詳解】(1)由題意設(shè)橢圓的方程為馬?+與=l(a>b>O),

因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且長軸長為2√∑,

所以Q=>∕2,b=lf

所以橢圓方程為］+y2=l,

(2)因?yàn)橹本€/過點(diǎn)M(LO)且斜率為1,

所以直線/的方程為y=χ-ι,

設(shè)A(XQI),B(w,%)，

將y=x-l代入鼻+/=1,得g+(χ-i)2=ι,

整理得3∕-4Λ?=0,

4

xx

所以辦+工2=-^?2=O，

22

所以?AB?=^Ji+ky∣(xl+x2)-4xix2

4.（貴州省貴陽市白云區(qū)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)中心在原

點(diǎn)。，匕、鳥為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為正，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線距離

2

為應(yīng).

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)何、N,若直線/的斜率存在，線段MN的中點(diǎn)在直線X=上，

求直線/的斜率取值范圍.

【答案】⑴，+y2=i；

【分析】（1）由題意求出“，結(jié)合離心率求出C,再由層=/一02求出/，從而可求出橢

圓方程；

（2）設(shè)直線/的方程為y=h+m,代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式大于

零，及線段例N的中點(diǎn)在直線x=-g上，得到關(guān)于A的不等式，求解即可得答案.

【詳解】（1）由題意得e=￡=且，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為必T=“=拉，

a2

所以C=1,所以="—C'2=2—1=1,

所以橢圓的方程為,+y2=i,

(2)設(shè)直線/的方程為y=H+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

由，2+),得(2Z2+l)χ2+4kzu+2〃22-2=0,

y=kx+nι

由△=16?-4(2?2+l)(2∕n2-2)>0,^2k2+↑-m2>0,

2

匚匚I、I-4km2m—2

所以"I+"?=環(huán)川=E?'

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在直線x=-g上，

所以=T，所以4k"=2∕+l,

2?^+l

所以蘇=紀(jì)要，

16Λ2

代入2公+l-∕√>o,得入—+If>o,

↑6k2

化簡得14X-l>0,解得％<_巫或%>恒,

1414

即直線/的斜率取值范圍為

5.（貴州省貴陽第一中學(xué)2023屆高三高考適應(yīng)性月考（三）數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓

cι?+4≈ιω>?>0）.短軸長為26，過橢圓C的右焦點(diǎn)心且垂直于X軸的直線被截得

ab

的弦長為3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)心的直線/與橢圓C交于￡>,E兩點(diǎn)，則在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得直線

MD,ME的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說明理由.

22

【答案】⑴二+匕=1；

43

⑵存在，M（4,0）.

【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出〃力滿足的方程組，解得“涉，即可求得橢圓方程；

（2）討論直線/的斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立幡圓方程，結(jié)合韋達(dá)

定理以及直線MQME的斜率互為相反數(shù)，即可求得結(jié)果.

2b=2√3,

工2y2A-

【詳解】(1)對(duì)橢圓C:/+a=l(a>b>0),令x=c,解得y=士?，故可得-2b2

-----=3,

22

解得標(biāo)=%序=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

43

(2)據(jù)題設(shè)知點(diǎn)g(l,O),當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=-χ-l).

α

IZ

m￡

l+(4?2+3)X2-8Λ2X+4?2-12=O.

3=b

4?2-12

設(shè)EQ,χ),D(X2,%)，則X+X=-?——，X‰

1-7止+314Λ2+3"

設(shè)M(∕n,0),則右「瓷’小點(diǎn)

又因?yàn)橹本€Mr>,ME的斜率互為相反數(shù),

所以"ME+&MD=臺(tái)+瓷士)'|+3)'2-〃心'|+%)；0

(xl-m)(x2-m)

所以+不%-機(jī)(M+%)=°，

則x2k(xl-1)+Xlk(X2-Y)-m[k(xi-1)÷k(x2-1)]=O,

所以2例/一A(Xl+9)7W伙(斗+毛)-2Z]=O,

……4J12-12,8&2(8二C八八

加入4公+34公+3(4公+3)

所以上(機(jī)—4)=0.

若A(Zn-4)=0對(duì)任意A∈R恒成立，則加=4,

當(dāng)直線/的斜率及不存在時(shí)，若加=4,則M(4,0)滿足直線M￡),ME的斜率互為相反數(shù).

綜上，在X軸上存在一個(gè)定點(diǎn)“(4,0),使得直線ME>,ME的斜率互為相反數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中存在某點(diǎn)滿足條件；第二問處

理的關(guān)鍵是合理使用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率之和為0進(jìn)行求解，屬綜合中檔題.

6.(貴州省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題)已知“，乃是橢圓E：

22

馬+==1(a>?>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A(l,-2)在E上，且AA6鳥的面積為遍.

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)3(2,0)的直線/與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，直線AC,AD分別與直線x=2交于M,

N兩點(diǎn),證明：∣M3∣=∣NB∣.

【答案】⑴!+《=1;

o2

（2）證明見解析.

【分析】（1）利用代入法，結(jié)合三角形面積公式、。,仇。之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用代入法、分類討論法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)41,-2）在E上，且“6月的面積為質(zhì),

41

AL

所以有<=>

^×2y∣a2-b2×1=?[β

（2）當(dāng)直線/不存在斜率時(shí)，顯然此時(shí)該直線為x=2,這時(shí)與橢圓不相交，不符合題意;

當(dāng)直線/存在斜率時(shí)，設(shè)為3方程為y=伙％-2）,與橢圓方程聯(lián)立，得

y=k（x-2）

<22=>（?24）√-4?2X+4?2-8=O,

?v+-=1+

82

所以有A=（-442）2一4伏2+4）（422-8）>00一2<攵<2,

Λ.]ζ~4?2-8

設(shè)Ca,y∣),D(X2，必)，則有χ+χ=———,χχ

i2K十412〃+4

y+2_x-1

直線AC的方程為:

-2-yI-xl

令x=2,得y="^-2,即M(2,立1-2),同理可得：N(2,五1一2),

x}-1x1-1x2-ι

y+2y+2Ax+(2-2?)kx,+(2-2k)

---------Zπ-----2------Z=-----l-------------1---------------------4

---

X∣1J2-1XjIX2?

2Axlx2+(xl+x2)(2-3?)+(4?-4)4

xyx2一(Xl+x2)+1

4&2AL2_Q

把％+/=半一，％%=Aq代入上式，得：

^Λ2+4?2+4

4女2_g4女2

2kk2+4+p74<2~3^+(4^~4)2?(4(12-8)+4?2(2-3?)+(4?-4)(4+?2)

2222

4?-8^^4p^^I—4?-8-4?+4+?

1?4^^PT4+

4?2-16“C

=---------4=0,

?2-4

易知：B為M、N的中點(diǎn)，因此IMBI=IN81.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.（山東省多校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合調(diào)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓W：

[+∕=l（a>6>0）的離心率為半，左、右焦點(diǎn)分別為E,F2,過B且垂直于X軸的直

線被橢圓W所截得的線段長為平.

(1)求橢圓W的方程；

⑵直線y=米(&≠0)與橢圓W交于A,B兩點(diǎn),連接A6交橢圓W于點(diǎn)c,若SAABC=小，求

直線AC的方程.

【答案】(l)?+y2=i；

(2)X->f3y+2=O或X+73y,+2=0.

【分析】(I)根據(jù)題意可得從=岑”,結(jié)合離心率和笳="+￠2即可求解；

(2)根據(jù)題意可設(shè)直線AC的方程為x=9-2,A(x,,%),C(XQ°),聯(lián)立橢圓方程，利用

韋達(dá)定理表示出弘+%、)。2,根據(jù)弦長公式求出|A。，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)。

到直線AC的距離，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算求出f,即可求解.

22

【詳解】(1)由題意知1,設(shè)過心且垂直于X軸的直線交橢圓于點(diǎn)P(c,m),則??+4=l,

ab~

解得相=士工，所以空=葦，所以〃=￡“.

aa55

因?yàn)闄E圓W的離心率e=￡=2叵，所以

a55

O

因?yàn)?=從+C2,所以“2=5,廿=1,故橢圓卬的方程為1+V=1.

(2)由題意知，直線AC不垂直于y軸，設(shè)直線AC的方程為x=0-2,A(xl,γ,),C(x2,y2),

聯(lián)立方程組CU:5消去X并整理得(*+5)/-40-1=0,

所以X+%=?p±，弘必=一產(chǎn)三，

22

所以IAq=J(∕+l)(%f)2=^G+l)[(y2+J1)-4γ2y1]

2

因?yàn)辄c(diǎn)。到直線AC的距離d=?=旦。是線段AB的中點(diǎn),

所以點(diǎn)B到直線AC的距離為2d,

所以S-TAa?2d=?^χ舄4立而+1

*+5

由生毒亙=不，解得∕=3,所以r=±√L故直線AC的方程為x=±√Jy-2,

即X-??∕Jy+2=O或X+>∕Jy+2=O.

8.(青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬(一)數(shù)學(xué)(文)試題)已知?jiǎng)訄AE過定點(diǎn)尸(2,0),

且y軸被圓E所截得的弦長恒為4.

(1)求圓心E的軌跡方程.

(2)過點(diǎn)P的直線/與E的軌跡交于A,B兩點(diǎn),M(-2,0),證明：點(diǎn)P到直線AM,的

距離相等.

【答案】⑴尸=4x

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)E(χ,y),由圓的弦長公式列式可得；

(2)設(shè)Aa,χ),B(x2,y2),設(shè)Ly=%(x-2),直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理

得%+X2,xlx2,計(jì)算的,”+的“=0,得直線PM平分NAM8,從而得結(jié)論，再說明直線/斜

率不存在時(shí)也滿足.

(1)

設(shè)E(X,y),圓E的半徑r=5∕(χ-2)2+-,圓心E到)，軸的距離1=國，

由題意得/=磨+4,

化簡得y=4x,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

(2)

當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)/：y=Mx-2),與E的方程聯(lián)立,消去y得，ArV一(4公+4)x+4k2=0.

設(shè)A(XI,y),B(x2,y2),則卜十馬"十小,

χχ4

[t2=

k,n_)1%_MXl_2)MX2_2)_Z(Xl-2)(々+2)+%(犬2-2)(西+2)..

amBM-^721^2~_α+2)(.+2),

Zr(x∣-2)(Λ2+2)+Z(X2-2)(]+2)=2HXIX2_4)=0,

kAM+kBM=0,則直線PM平分ZAMB,

當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，顯然直線PM平分NAΛ43.

綜上，點(diǎn)尸到直線AM,BM的距離相等.

9.(四川省南充高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)(文)試題)已知橢

圓C:/+S=I(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,l),橢圓C的離心率e=*.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)8(3,0)且與X軸不重合的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)例，N,直線AM,AN

分別與直線》=-3分別交于尸，Q,記點(diǎn)P,。的縱坐標(biāo)分別為p,q,求P+<7的值.

【答案】(1)4+二=1

63

⑵12

【分析】(D用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線7的方程為y=%(x-3),Ma,*),N(Λ2,%),用“設(shè)而不求法”得到

?2k118F-6

士+"百"=不獷.

分別表示出P=4D+ι,^∑?∑l)+15得至"+4=嗎D+ι+二?U+ι整

xl-2x2-2xl-2X2-2

理化簡即可求得P+q=12.

41

T”一

【詳解】(1)由題意可得：卜=￡=4，解得：/=3,所以所求橢圓方程為，+5=1

a2,63

(2)直線/的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓不相交.故斜率存在，設(shè)其為歷設(shè)直線/的方程為

y=k(x-3),M(xl,yi),N(x2,y2),

z+z=1

聯(lián)立方程63,消去y得：(1+2?2)X2-12?2X+18*2-6=0,

y=A（x-3）

所以4=（-12公）2-4（1+2公）（1弘2-6）=24（1-左2）>0,解得：一ιc

Uk218fc2-6

x1+x2

y一?P=D

直線AM方程為:>=ZIF（X-2）+1,令4一3解得:

X∣-Z

直線AN方程為：y=2y(x-2)+l,令廣一3解得:11

X~-?÷

2

所以P+4=Ξ?11+I+0?^+I

>1~1>2~1

=-5l+2

g-2x2-2

k(^x—2)—Λ—1A(X,—2)—4一]

=-5------i------------------1------------------------+2

七一2X2—2

x+4

=-10?+5(?+l)?∣?-+2

''(-2)

Uk2.

1+2二-

=-10?+5(?+l)?

↑+2k2[l+2k2)

4?2-4

=-10?+5(?+l)?+2

2?2-2

=-10?+10?+10+2

=12

即p+g=12.

【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）“設(shè)而不求法”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的

問題.

10.（安徽省安慶市懷寧縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題）

22

橢圓E,示+講=l（4>6>0）的左焦點(diǎn)為閂，右焦點(diǎn)為尸2離心率過B的直線交橢圓于

A,B兩點(diǎn)，且ZL4BF2的周長為8.

（I）求橢圓E的方程；

（2）若直線AB的斜率為求/A8F2的面積.

【答案】（1）二+亡=1；（2）典

435

【分析】⑴利用橢圓的離心率以及AABF2的周長為8,求出小c",即可得到橢圓的方程;

（2）求出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A,8坐標(biāo)，然后求解三角形的面積即可.

【詳解】（1）因?yàn)檫^B的直線交橢圓于4,8兩點(diǎn)，且448尸2的周長為8,4α=8

所以4α=8,即α=2,

1c'

又橢圓離心率e=；,可得￡=彳，

2a2

即c=l,

b2=a2-C2=3>

22

所以橢圓方程為：—+?-?l.

43

（2）設(shè)直線方程為：y=6（χ+l）

y=√J(x+l)

由*y2得：5*+8x=0,

-卜--=1

43

Q

解得：X=O,”2=—《

,

所以y∣=有，y2=~~~

則SVA%=∣×2c?∣yl-y2∣=^?

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法,橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)

用，屬于中檔題.

II.（高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題）已知直線，：x-y+l=O與焦點(diǎn)為尸的拋

物線。:>2=2°叱。>0）相切.

（I）求拋物線C的方程；

（H）過點(diǎn)F的直線，”與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，求A,B兩點(diǎn)到直線/的距離之和的最

小值.

【答案】（I）∕=4χ（II）跑

2

【分析】（I）聯(lián)立/和C,利用A=O即可求得0,從而得到拋物線方程；（H）設(shè)直線機(jī)

為X=）+1,與拋物線聯(lián)立后可利用韋達(dá)定理求得y+%=4f,進(jìn)而得到為+%：由中點(diǎn)坐

標(biāo)公式可求得AB中點(diǎn)/（2〃+l,2r）;利用點(diǎn)AB到/距離之和等于點(diǎn)M到/的距離的2倍,

可將所求距離變?yōu)殛P(guān)于/的函數(shù)，求解函數(shù)的最小值即可得到所求距離之和的最小值.

【詳解】（I）將+1=。與拋物線C:尸=2px聯(lián)立得：y^-2py+Ip=O

/與C相切.?.A=4P2_8p=0,解得：p=2

，拋物線C的方程為：r=4x

（II）由題意知，直線〃，斜率不為0,可設(shè)直線〃?方程為：x=ty+?

聯(lián)立=4X得：/-4ι>-4=0

[x=∕y+l

設(shè)（∣,則）∣+x=ty（2

Ax,yJ,B（?,J2）>+>2=4r.?.x12l+l+y2+l=4∕+2

???線段AB中點(diǎn)M（2產(chǎn)+1,2，）

設(shè)A,8,M到直線/距離分別為心,(MW

則dA+dB=2?=2?I"宏斗=2√2p-r+l∣=2√2^-l∫+∣

???AB兩點(diǎn)到直線/的距離之和的最小值為：2√∑χ3=述

42

【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求解

拋物線方程、拋物線中的最值問題的求解等知識(shí)；求解最值的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺缶嚯x之和轉(zhuǎn)

變?yōu)橹悬c(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式得到函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求解方法求

得結(jié)果.

12.(陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(I)文科數(shù)學(xué)試題)“工藝折紙''是

一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的

數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設(shè)圓心是￡,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為尸；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距

離為4,按上述方法折紙.

(1)以點(diǎn)尸、E所在的直線為X軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)Q(LO)且不與V軸垂直的直線/與橢圓C交于Λ7,N兩點(diǎn)，在X軸的正半軸上是

否存在定點(diǎn)T(f,0),使得直線TM,TTV斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(I)E+工=1

95

(2)存在點(diǎn)7(3,0),使得直線TM與力V斜率之積為定值-t.

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義對(duì)照折紙的方法求出c;

(2)設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.

【詳解】(1)如圖，以EE所在的直線為X軸，EE的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系

設(shè)M(X,y)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，∣Mq+1網(wǎng)=IA國=6>|￡F|=4,

所以M點(diǎn)軌跡是以P,E為焦點(diǎn)，長軸長加=6的橢圓，

因?yàn)?τ=4,2a=6,所以c=2,α=3,

由己知：直線/過Q(1,O),設(shè)/的方程為X=Wy+1,由題意，〃必定是存在的,

聯(lián)立兩個(gè)方程得彳95^,消去X得(5∕√+9)y2+10my-40=0,

X=/WV÷1

△=100>+160(5/+9)>0得〃?€1<,

設(shè)Ma,乂)，N(X2,%)，則，母％=?￥。(*)，

jnι+9jm+9

k.k=工.總_=_______2V?_______

tn

7"xχ-tx2-t+1-t)^my2+1-f)

=____________y1y1____________

/％%+機(jī)(IT)(y+%)+(iτ)2'

—40

將⑴代入上式，可得上式=5(*_9)*+9(IT)2,

要使a?%為定值，貝IJ有9"=o,r=9,

10

又?.?∕>o,=3,此時(shí)％//=一

9

??.存在點(diǎn)T(3,0),使得直線TM與TTV斜率之積為定值；

綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+1=1,存在點(diǎn)7(3,0),使得直線TM與77V斜率之積為定值

_10

^^9^'

13.(陜西省寶雞市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題)已知點(diǎn)以為,-2)在拋物線

UV=2pχ(p>0)上，且A到C的焦點(diǎn)E的距離與到X軸的距離之差為1

(1)求C的方程；

(2)當(dāng)p<2時(shí)，ΛΛN是C上不同于點(diǎn)A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線AM,4V的斜率之積為

-2,ADLMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)E,