新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)解三角形中周長(zhǎng)最大值及取值范圍問(wèn)題 同步講義

14、解三角形中周長(zhǎng)最大值及取值范圍問(wèn)題

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：解三角形中角的最值及范圍問(wèn)題

0<A<π

①利用銳角三角形，0<3<乃，求出角的范圍

0<C<7Γ

?222?12

②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：COSA=+'-"≥-

2bc2bc

考點(diǎn)一：解三角形中周長(zhǎng)的最值及范圍問(wèn)題

①利用基本不等式：COSA=----------=——L-----------,再利用力+cN2癡及

2bc2bc

b+c>a,求出b+c的取值范圍

②利用三角函數(shù)思想：6+c=2RsinB+2RsinC=2RsinB+2Rsin（A+B）,結(jié)合輔助角

公式及三角函數(shù)求最值

【題型目錄】

題型一：三角形角的最值及范圍問(wèn)題

題型二：三角形邊周長(zhǎng)的最值問(wèn)題

題型三：三角形邊周長(zhǎng)的最值范圍問(wèn)題

【典型例題】

題型一：三角形角的最值問(wèn)題

【例1】在4?C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,且Sin8+sinC=2sinA,則A

的最大值為（）

【答案】D

【分析】利用正弦定理可轉(zhuǎn)化sin3+sinC=2sinA為匕+。=為，結(jié)合均值不等式以及余弦定

,222

理CoSA=-可得解

2hc

【詳解】因?yàn)镾inb+sinC=2sinA,由正弦定理

所以方+C=2Λ.

因?yàn)閺?/N=bc≤(gf)=a2,

b2+c2-a2

所以COSA=>^—>-

2bc"2bc~2

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)，等號(hào)成立，所以A的最大值為.

【例2】在.ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,若24cos8+c=0,則tan。的最大

值是（）

A.?B.立C.還D.√3

32

【答案】B

【分析】根據(jù)已知及余弦定理可得/+2°2="，再由CoSC="2-i及基本不等式求C

Iab

的范圍，進(jìn)而求tanC的最大值.

【詳解】由余弦定理，2。COS8+c="+’———+c=0?BPa2÷2c2=bλ?

c

而CoSC==應(yīng)±歐2獨(dú)叱=立，當(dāng)且僅當(dāng)6=后時(shí)等號(hào)成立，

2ab4ah4ab2

TTTT

又0<C<乃，則O<C≤?y,故C=—,

6max6

所以tanC的最大值是包.

3

【例3】銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J若A—α=2aCOSC,則()

A.C=2AB.A的取值范圍是(g,f)

64

C.A=2CD.空的取值范圍是(2√Σ,2√5)

a

【答案】ABD

【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換得出C=2A,再由銳角三角形的定義得出∕<A<J,

64

十,2c2sinC2sin2A4sinAcosA.、〃力nnr

再由一=--=——=————=4cosA求解I即可.

asinAsinAsmA

【詳解】由正弦定理可知，SinB-SinA=2sinAcosC,sin(A+C)-sinA=2sinAcosC,

sinAcosC+cosAsinC-sinA=2sinAcosC,即SinA=sin(C-A),所以A=C-A,C=2Af

0<2A<-

2

πJIrn

因?yàn)锳ABC是銳角三角形，所以O(shè)<A<W,解得,

264

0<π-3A<-

12

勺鬻,2拘

【例4】已知在銳角ABC中，tanA=---------

l÷cosB

(1)證明：B=2A；

tanB-tanA

⑵求的取值范圍.

1÷tanΛ?tanB

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵f√3?

【分析】(I)化簡(jiǎn)題干條件得到SinA=Sin(B-A),從而根據(jù)/BC是銳角三角形，得到

A=B-A.得至UB=2A;

ππ

(2)先根據(jù)銳角三角形得到Ae,再逆用正切的差角公式，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論得到

6,4

tanB-ta∏A

-----------------=ta∏A∈

1+ta∏A?tanB

(1)

、leJ4SinASinB.

證明：IlltanA=------=-----------知:

CoSA1+COSJB

si∏Λ(l+cosβ)=SirtBcosA,

即sinA÷SinAcosB=SinBcosA，

所以SinA=si∏BcosA-SinAcosB=Sin(B-A),

因?yàn)锳BC是銳角三角形，

所以Ae(O,B-Ae(-；,?∣),

y=Sinx在(一卦)上單調(diào)遞增，

所以A=B-A.即5=2A.

(2)

由銳角ASC知：AWO,5,8=2Ae(0,5),C=π-Λ-β=π-3Λ∈θ?

解得：Ae

故：:露黑"an嶺小收例.

【題型專練】

1.在銳角三角形ABe中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,若b+?cosA=αcos8,則()

7171

A.A―2BB.一<B<一

64

C.^e(l,√2)D.cr=b^+bc

【答案】ABD

【分析】由正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，判斷A,結(jié)合內(nèi)角和定理和條件及余弦函數(shù)的

性質(zhì)判斷B,C,由余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，判斷D.

【詳解】因?yàn)閎+ftcosA=αcos/,由正弦定理可得

sinB+sinBcosA=sinAcosB,

所以sin8=sin(A-8),

又，ABC為銳角三角形，所以Ae(O/],Be(O

所以-1<A-B<],正弦函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增，

所以A-B=8,所以A=23,A正確；

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以Ae(OBe^0,yl^<A+B<π,

TTTTTF

所以0<28<-,0<β<-,一<28+8<乃，

222

所以f<jβ<f,B正確；

64

因?yàn)锳=28,所以SinA=Sin28=2SinBCoS8,

所以Q=2〃COS3,

所以f=2cosB,因?yàn)橥?lt;B<三,

b64

所以.(√Σ,6),C錯(cuò)誤；

因?yàn)槿?ZτcosΛ=αcosB,由余弦定理可得

,.b2+c2-a2a2+C2-b2

b+b---------------=a---------------,

2bc2ac

^τlU2c?+?2+c2-4Z2=a2+c2-Z?2，

所以/=∕+bc,D正確，

2S

2.在銳角ABe中，角A,8,C的對(duì)邊分別為mb,c,ABC的面積為S,若sin(4+C)=--

b-i

【答案】C

【分析】由面積公式與正余弦定理化簡(jiǎn)后得出A3關(guān)系后求解

【詳解】在ABC中，sin(4+C)=sinB,S=Jqcsin8,

2

故題干條件可化為尸一〃=ac，由余弦定理得從=a2+c2-IaccosB，

故C=〃COS8+〃，又由正弦定理化簡(jiǎn)得：

sinC=2sinACOSB+sinA=SinΛ∞sB+cosΛsinB,

整理得sin(8-4)=sinA,故B-A=A或B-A=Tr-A(舍去)，得3=2A

0<2A<],解得9<A<f,故且<tan4<l

ΛBC為銳角三角形，故,

2643

0<π-3A<-

2

]

tanA+

3tan(B-A)

題型二：三角形邊周長(zhǎng)的最值問(wèn)題

【例1】已知.45C的內(nèi)角A,8,c的對(duì)應(yīng)邊分別為α,b,c,c=6,8=60。，則。的最小值為()

A.3B.2√3C.3萬(wàn)D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理得6=黑.再結(jié)合Ce(O,120)求解即可.

【詳解】解:由正弦定理?=-?得b=20=巫.

sinBsinCsinCsinC

因?yàn)?=60。，所以Ce(O,120),

所以當(dāng)SinC=I時(shí)，b=%±=土亙有最小值3人.

sinCsinC

【例2】設(shè)一ABC邊”,b,c?所對(duì)的角分別為4,B,C,若一ABC的面積為3c?,則以下結(jié)

12

論中正確的是()

A.2+/取不到最小值2

ab

B.2+1的最大值為4

ah

兀

C.角C的最大值為g2

D.2+^■一的最小值為-2Λ∕[J

abab

【答案】BCD

【分析】根據(jù)三角形得面積公式及余弦定理化簡(jiǎn)可得?4sin[c+聿]=￡+，，再結(jié)合基本不等

式即可判斷AB；從而可求出Sin(C+仁)得范圍，即可判斷C；利用正弦定理化邊為角，再結(jié)

合三角恒等變換即可判斷D.

222

【詳解】解：Saiic=?47?sinC=C.6tt?sinC=√3(?+b-2Λ?COSC),

6sinC=>/3^+--2cosC^j,/.6sinC+2退CoSC=+,

4瓜in∣C+在可河)，.?.4sin(c+J然，

因?yàn)樗{(lán)+322唐=2,當(dāng)且僅當(dāng)$=即α=~時(shí)，取等號(hào)，

此時(shí)C=?2π可取到，故A錯(cuò)；

當(dāng)C+2=E時(shí)，4sinfc+y1=4,.?.(∕+2]=4,故B對(duì)；

62I6√max<baJ

?.?4sin[c+j]≥2,.?.J<C+m≤蘭，.?.0<C≤=,即角C的最大值為空，故C對(duì)；

<6J66633

。+@_^_=2^sinC+2cosC-66sinC=2cosC-4?∣3sinC

abab

=2>∕13COS(C+?9),其中tan°=2Λ∕J>6,故可令,

由O<cwg,得C+夕且C+s=π有解，

所以［2√I5COS(C+°)Ln=-2Λ∕I3?

即2+q一￡的最小值為一2jB,故D對(duì).

abab

【例3】已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。、人、J且

df(2sinA-sinB)=2(c-?)(sinB÷sinC),若Az)=2￡>5，求：

⑴求CoS(A+B)的值；

(2)求人+加的最大值.

【答案】(D-g,(2)M5

45

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出COSC的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得COS(A+5)

的值；

(2)解法一：根據(jù)CoSNADC+cos∕BDC=O結(jié)合余弦定理可得出4/+^+必=9,利用基本

不等式可求得2α+b的最大值；

解法二：由向量的線性運(yùn)算可得出3CO=C4+2CB,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出

4/+〃+必=9,利用基本不等式可求得2a+b的最大值.

【詳解】(1)解：由己知和正弦定理得α(2α-3=2(c-3(c+6)n∕+"-c2=Jα∕>,

由余弦定理可得CoSC="a=1,

2ab4

所以cos(A÷B)=cos(π-C)=-cosC二一；.

(2)解：法一：ZADC+NBDC=π,則COSN8。C=COS(兀-ZAi)C)=-COSZAf>C,

由cosZADC+cosZBDC=0得

BP3+∣c2-?2-2α2=0=>c2=∣(2a2+?2-3),

11

乂iABC中COSC=L="+"—'=a+b--,

4Iab2

從而?∣(2∕+"-3)=/+從-曰=4,/+從+岫=9,

即修+2o)2=9+3"=9+∣(2.?b)≤9+∣(野，

所以(H2α)2≤g=2"+匕≤乎(當(dāng)且僅當(dāng)6=24時(shí)取等號(hào)),

故b+24的最大值為小叵.

5

法二：由AD=2/)8nCO-CA=2(CB-CD)=>3CD=CA+2CB

所以，9CD2=CA'+4CB2+4CB-CA=h2+4a2+4abcosAACB，

即9=Z?2+4/+ab，

2

即(?+2w)=9+3α?=9+∣(2<∕?6)≤9+∣(^^

所以弓=>2a+b<~~~

(6+2α)-≤(當(dāng)且僅當(dāng)b=2α?xí)r取等號(hào)),

故2的最大值為粵

【例4】的內(nèi)角A,B9C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,己知cos2A+cos28+2sinAsinB=

l+cos2C.

⑴求角c；

(2)設(shè)。為邊AB的中點(diǎn)，AABC的面積為3股，求Cn的最小值.

JT

【答案】⑴§：(2)3.

【分析】(1)利用三角恒等變換以及正余弦定理，化簡(jiǎn)即可；

(2)根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合中線的向量表達(dá)形式，以及不等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】(I)CoS2A+cos2B+2sinAsin8=l+cos2C,即

1-2sin2A+l-2sin^8+2SinASinB=2-2sin^C，

由正弦定理可得a2+b2-c2=ab,結(jié)合余弦定理可得cosC="",一C=

2ab2

又Ce((U),故可得C=?.

(2)由三角形面積可得S=LSinC?0?=Lχ-?Xa6=3有，解得α?=12;

222

又CD=；(CA+CB),故ICD∣=g^CA∣2+∣CB∣2+2CΛ?CB+?2+20?×cosy

即?CD?=^a2+h2+ah≥;X屈=3,當(dāng)且僅當(dāng)α=6=2√J時(shí)取得等號(hào).

【例5】一ABC三角形的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,0,c,(2w-b)SinA+(2?-α)sinB=2csinC

(1)求/C；

⑵已知c=6,求ABC周長(zhǎng)的最大值.

■JT

【答案】(I)NC=(2)18

【分析】(I)利用正弦定理將角化為邊，整理等式，根據(jù)余弦定理，可得答案；

(2)利用換元，整理周長(zhǎng)的函數(shù)表示，根據(jù)基本不等式，求得變量的范圍，可得答案.

【詳解】(1)由(2a—切SinA+(2b-α)sin8=2csinC,根據(jù)正弦定理,可得

(.2a-b)a+Qb-Gb=2c?c,整理可得/+"_02=而，

由余弦定理，COSC=、+?-Ja=J.,由Ce(0,乃)，則C=1.

2ablab2v'3

(2)由(1)可知，cr+b2-36=ab?(6f+Z?)2=3ab+36,

lha2+b2≥2ab^當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)，等號(hào)成立，則出?+36≥2^b,即H≤36,

故JRC周長(zhǎng)G+h+c=√5赤而+6≤后％=+6=18.當(dāng)α=b=6時(shí)等號(hào)成立

【題型專練】

ch

1.在二ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,C,滿足SinA=2sinBsinC,則:+—

bc

的最大值為，此時(shí)內(nèi)角A的值為

π

【答案】2應(yīng)

4

【分析】由正弦定理可得/=28CSinA,結(jié)合余弦定理和輔助角公式、正弦函數(shù)的最值，可

得所求角.

【詳解】解：由SinA=2sinBsinC,根據(jù)正弦定理號(hào)=3=三，可得/=2?sinA,

sinAsinBsinC

再由余弦定理得COSA=萬(wàn)+￡］一，則〃+￠2=2?c(cosA+sinA),

所以M=?1=訓(xùn)8f1M)=2(SinA+CXI應(yīng)SinlA+幻，

又Ae(0,π),當(dāng)A=：時(shí)，sin(A+5)取得最大值1,則取得最大值2√Σ?

TrZTT

2.在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2Q,ZBAD=-,NBCD=-.

33

(1)若NABC=一，求8C的長(zhǎng);

(2)求四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(I)BC=迎質(zhì)⑵4。+竺也.

33

【分析】(1)分析可知AASZ)為等邊三角形，求出8。的長(zhǎng)，以及NBDC,利用正弦定理可

求得BC的長(zhǎng)；

(2)利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得3C+CO的最大值，進(jìn)而可求得四邊形ABa)周長(zhǎng)

的最大值.

【詳解】(1)解：連接8。，

A

7τ

因?yàn)锳8=AD=20,ZBAD=-,故AABD為等邊三角形，.?.3。=20,

STTTi冗Tr

.?.ZCBD=ZABC-/ABD=-----=—,則ZBDC=π-ZBCD-NCBD=-,

124

產(chǎn)sin：20指

BDBC

由正弦定理得,所以,=.2π=3.

SinNBCQsinZBDCsin—

3

2元

(2)解：由余弦定理可得400=BO?=BC?+Cb-28C?COCOS-=BC?+C0+BC?CZ)

3

=(BC+8)2-BC?CW(BC+8)2-隼型=串包，

所以，BC+CD4述,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)BC=CC=①叵時(shí)，等號(hào)成立.

33

因此，四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值為40+竺叵.

3

3.在條件：①M(fèi)sinA-A=O,②"=舟SinA-αcosB,③24=2ΛcosC+c中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

已知a,b,C分別為銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，?=2√3,而且__________;

(1)求角B的大小；

(2)求ABC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1)。：(2)6√3

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，再利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行整理，最后根據(jù)ABC

為銳角三角形得到B：

(2)利用余弦定理得到。，C的關(guān)系式，再利用基本不等式求最值即可.

(1)

選①：2bsinA-JJα=0=>2sinBsinA-^sinA=O,因?yàn)锳為銳角，所以SinAK0,上式可

以整理為SinB=也，又8為銳角，所以B=1.

23

選②：a=?∣3bsinA-cosB=^>sinA=GSinBSinA-SinACOSB,因?yàn)锳為銳角，所以SinAWO,

上式可以整理為I=AnB-COSB=2sin(8-。又8為銳角，所以解得B=。.

選③：2a=2?cosC÷c=>2sinA=2sinBCOSC+sinC=>2sin(B+C)=2sinBcosC+sinC

1jr

=2CoSBSinC=SinC,因?yàn)镃為銳角，所以SinCWO,cosB=—,又B為銳角，所以B=一.

23

(2)

由(1)得CoSB=；="+：—>整理得：a2+c2-12=ac>即(q+cj_12=3ac≤；<)>

解得α+c≤4√L當(dāng)且僅當(dāng)α=c=2√J時(shí)，“=”成立，此時(shí)，ΛBC為等邊三角形，滿足題意，

由于ABC的周長(zhǎng)為4+8+c,所以周長(zhǎng)的最大值為6√L

4.[AjBC中，sin2A-sin2B-Sin2C=SinBsinC.

(1)求A；

(2)若8C=3,求'AHC周長(zhǎng)的最大值.

Q7r

【答案】⑴y;(2)3+26.

【分析】【詳解】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2AC-AB

AC2+AB2-BC2?

.,.cosA=

2ACAB2

A∈(0,"),A=—.

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB1-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB

即(AC+AB)?-ACA8=9.

+

ACAB(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào))，

ACAB<I[2)?

：.9=(ΛC+AB)2-ACAB≥(AC+AB)2ABj=](AC+AB?,

解得：AC+AB≤(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào))，

.?^ABC周長(zhǎng)L=AC+AB+BC≤3+26，.;ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2看.

5.已知α,b,C分別為Z?ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，α(cosC+>∕3sinC)=?+c.

(1)求角A；

(2)若α=5,求Z?ABC的周長(zhǎng)的最大值.

解析：(1)由題意知0(cosC+J5sinC)=Z?+CnSinA(COSC+J5sinC)=sin3+sinC,所以

sin4(cosC+Gsinc)=sin(A+C)+sinC,即

sinAcosC+GSinAsinC=sinAcosC÷cosAsinC+sinC

即GSinAsinC=∞sAsinC+sinC，因sinC≠O,所以GSinA-COSA=1,即2sin^A--=1

又.0<A<肛所以A—/=工，所以A=%

6<66J663

(2)由余弦定理得：/^b2+c1-2b?ccosA=b-+c2-he=25，即伍+c1-3b?c=25.

(b+c>?

bc≤(當(dāng)且僅當(dāng)8=C時(shí)取等號(hào))，

I2J

.?.25=(Z>+c)2-3l>-c≥(i>+c)2一31"c=-(i>+c)2>

\274

解得：b+c≤?O(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào))，.NABC周長(zhǎng)L=α+8+c≤5+10=15,

.?.二ABC周長(zhǎng)的最大值為15.

題型三：三角形邊周長(zhǎng)的最值范圍問(wèn)題

【例1】在銳角：ABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,6,c?若c=l,β=p貝IJa的取值

范圍為;SinASinC的最大值為.

【答案】(吳］j##0.75

【分析】利用正弦定理可得α=等￡,結(jié)合三角恒等變換知識(shí)及C的范圍可化簡(jiǎn)得到

SinC

0=」+立一?一，由C的范圍可求得tanC的范圍，進(jìn)而得到。的范圍；利用兩角和差正弦

22tanC

公式、二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得至USinASinC=<sinhc-j1+J,根據(jù)正弦型函數(shù)最值

21o√4

的求法可求得結(jié)果.

【詳解】由正弦定理得：

/?I

a=CSinA=sin(∕-(8+C))=Sin(B+C)=CoSC+^sinC=L叵∞sC；

sinCsinCsinCsinC22sinC

0<A=--C<-

QSg拉C為銳角三角形，???；2-.??∣<C<^

.?.∞sC≠O,.?.=-+--——

a22tanC

?熹<5弓32,即α的取值范圍為C，2）；

COSC+'sinCsinC=-sinCcosC+?sin2C

sinAsinC=sin(B+C)sinC=

2722

=且sin2C+三竺/=3sin2C—』cos2C+L』sin(20一二］+4；

444442<6j4

?！甫??.5<sin(2C—w)≤1,

-<C<-

62f

.?.當(dāng)Sin（2C-^I=I時(shí)，SinASinC取得最大值:.

【例2】設(shè),ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c?已知α=6,h=2,要使ΛBC為

鈍角三角形，則C的大小可?。ㄈ≌麛?shù)值，答案不唯一）.

【答案】5（填7也對(duì)，答案不唯一）

【分析】利用三角形兩邊和與差點(diǎn)關(guān)系，求出4<c<8,再分別討論。和C為鈍角時(shí)，邊C的

取值范圍，根據(jù)題意即可得到答案.

【詳解】首先由。，b,C構(gòu)成三角形有4=α-AVCVa+8=8,

若C為鈍角所對(duì)邊，有C2>/+∕=40,c>√40,

若。為鈍角所對(duì)邊，有36=">從+c?=4+02,c<?∣32,

由力V。，〃不可能為鈍角所對(duì)邊，

綜上，C的取值范圍是（4,J亞）∣（√40,8）,

由題意，C取整數(shù)值，故C的大小可取5或7.

故答案為：5（填7也對(duì)，答案不唯-）.

【例3】在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，b,C且字=SSC

（1）求角8的大小;

（2）求烏的取值范圍.

C

【答案】（1）8=。

⑵*

【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化即可求解；（2）結(jié)合（1）中條件，利用正弦定理的邊角互化

以及三角恒等變換即可求解.

2sinA-sinC-

【詳解】（1）由正弦定理可得,------------------=cosC,

2sinB

即2sinA=2sin3cosC+sinC.

因?yàn)镾inA=Sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sinBcosC+2cosBsinC=2sinBcosC÷sinC,

即2cosBsinC=sinC.

因?yàn)镃W（O,乃），所以SinCH0,則CoS8=；.

因?yàn)锽e（0,萬(wàn)），所以B=亨.

（2）由（1）中可知，A+C=π-B=y,則A=與-C,

由正弦定理可知，JS弦Asi"--。∕cosC+gsinC如「，

csinCsinCsinC2tanC2

o<c<-,

因?yàn)橐籄BC為銳角三角形，所以?,則J<C<f,

八42萬(wàn)462

0<A=------Cv-,

32

所以tanC>—,

3

從而!<@<2.

2c

故/的取值范圍為2）.

【例4】平面四邊形ABCD中，ZA=NB=NC=75,AB=2,則A。長(zhǎng)度的取值范圍_______.

【答案】（0，"+近）

【分析】平行移動(dòng)CL當(dāng)C與。重合于E點(diǎn)時(shí)，AO最長(zhǎng)；當(dāng)A與。重合時(shí)（即圖中A尸位

置），AO最短.

如圖所示，延長(zhǎng)AO,BC交于?E,

平行移動(dòng)Cτ>,當(dāng)C與。重合于E點(diǎn)時(shí)，4。最長(zhǎng)，

ARAF

在=ABE中，NA=N8=75,NE=30,48=2,由正弦定理可得.丁=.

sinZEsinZB

2AE∕Σ./9

即------=------，sin75o=sin(45°+30")=sin45ocos300+cos45osin30"=—~~—

sin30osin75ovf4

解得AE=娓+應(yīng);

平行移動(dòng)C。，到圖中4廠位置，即當(dāng)A與。重合時(shí)，AD最短，為0.

綜上可得，Ao長(zhǎng)度的取值范圍為(。，指+逝)

【例5】某公園有一塊等腰直角三角形的空地ABC,其中斜邊BC的長(zhǎng)度為400米，現(xiàn)欲在

邊界BC上選擇一點(diǎn)P,修建觀賞小徑PM,PN,其中M,N分別在邊界AB,4C上，小徑

PM,PN與邊界BC的夾角都是60。，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)部種郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種

植月季花.

(1)探究：觀賞小徑PM,PN的長(zhǎng)度之和是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)城內(nèi)修建小徑當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，三條小徑(PM,

PN,MN)的長(zhǎng)度之和最少？

【答案】(1)為定值，理由見(jiàn)解析

(2)P為BC中點(diǎn)，600(√3-l)

【分析】(1)在ZkBPM和aCTW中分別利用正弦定理即可求得P何與PN的長(zhǎng)度之和；

(2)在°PMV中利用MN邊的余弦定理，再根據(jù)兩邊的積與和的基本不等式求解即可；

【詳解】(1)在ZXfiPM中，ZBMP=180o-60o-45o=75o,

PMPB

由正弦定理可得:

sinN8-SinNBMP

√2

即PM=-45^7j=-??PB=(g)PB,

sin75√2+√6

-4-

同理可得PN=(G-I)PC，

所以PM+PN=(√3-l)(PC+PB)=(√3-1)BC=400(√3-1)為定值;

(2)解：在，PΛ√N(yùn)中，由余弦定理可得:

MN2=PM2+PN2-IPM-PTVcos60°,

(PM+PN)2

即MN2=(PM+PN)2-3PM-PN≥(PM+PN)2-3×

4

所以MN2≥包3,MN≥^^L,

42

又由(1)有PΛ/+/W=400(√J-l),

故.MN≥200(√3-l),當(dāng)且僅當(dāng)PM=PN=200(√3-l)時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)尸點(diǎn)是MN的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑(PM,PN,MN)的長(zhǎng)度之和最小，最小為600(6-1)

【例6】請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

①(α+c)(sinA-SinC)+(h-4)sin8=0；

②26SinCCoSC=l+2cos2C；

(3)2sinB-sinA=2sinCcosA.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是α,b,c,若.

⑴求角C；

(2)若c=4,求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(DC=?,(2)(8,12].

【分析】(1)①利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，得至Ua?+從—c?=."然后利用余弦定理求C即

可；

②利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到Sin(2C一￡)=1，然后根據(jù)0<C<勿解方程即

可；

③根據(jù)內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式和和差公式得到sin8=sin(A+C)=sinACoSC+cosΛsinC,代入原

式得到cosC=g,即可得到C；

(2)利用余弦定理和基本不等式得到α+%≤8,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到α+b>c=4,即

可得到周長(zhǎng)的范圍.

【詳解】(1)選①，ElI+c)(sinA-sinC)+(Z?-6Z)sinB=0：

(α+c)(α-c)+力(匕-Q)=O,

BPaλ+b2-c2-ab，

因?yàn)镺<C<τr,

故角C=?;

選②，?2√3sinCcosC=l+2cos2CW：

2>∕3sinCcosC=2+cos2C，

-cos2C+√3sin2C=2sin2C-?j=2,

所以Sin2C——j=1,

因?yàn)?<C<Λ?,

666

所以2C-J=g,

62

解得：C=y;

選③，因?yàn)?sinB-SinA=2sinCcosA,

又因?yàn)镾inB=Sin[乃一(A+C)]=sin(4+C)=sinAcosC+sinCcosA,

所以2(sinCcosA+cosCsinA)-sinΛ=2sinCcosA,

.*.2cosCsinA—sinA=O，

VO<A<^?,

SinAW0,

.「1

..cosC=~,

2

因?yàn)镃w(0∕),

所以c=q.

(2)根據(jù)(1)可知：C=p

又因?yàn)閏=4,

由余弦定理得：c2=a2+h2-2abcosC=(^a+by-3ab=16,

所以3αb=(α+∕>)2-16≤3

即a+A≤8,當(dāng)且僅當(dāng)α=8=4時(shí)取得等號(hào)，

又因?yàn)楦鶕?jù)三角形的三邊關(guān)系有：a+h>c=4

所以8<α+c+bW12,

所以周長(zhǎng)的取值范圍為(8,12].

【例7】在ΛBC中α,),c為角A,B,C所對(duì)的邊，且上絲

cosC2a-

⑴求角B的值；

(2)若匕=JL求2α-c的取值范圍.

【答案】(1)5=1，(2)卜6,2石).

【分析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得2cos5sin4=sin(B+C),由三角形內(nèi)角和定理即

SinAwO,可得COSB=:，又8為三角形的內(nèi)角，即可解得B的值.

(2)由6=有，B=∣,結(jié)合正弦定理得α=2sinA,c=2sinC,且C=與-A,將2α-c轉(zhuǎn)化

為關(guān)于角A的正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)求取值范圍即可.

【詳解】(1)解：由正弦定理號(hào)=3=白，可得：誓二A.乎

SlnAsιnBSmCcosC2smA-SinC

可得28SJBSinA-COSJBSinC=SinBCOSC,即2cosBsinA=sin(B+C),

,A÷B÷C=π,.,.sin(B+C)=sin(π-A)=sinA

.,.2cosBsinΛ=sinA,又A∈(0,π),則SinAWO

.,.cosB=-,

2

B∈(O,π),,B=g.

a_b_cΛ∕3

(2)解：b=布,B=三，正弦定理得：sinAsinBsinC下

~2^

.?.α=2sinA,c=2sinC,其中A+C=π-8=/,C=1-A,且Ae(O

2π

貝IJ2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sinAJ=3sinA-T3cosA=26Sin(A一看JT

Ae吟兀兀,貝IJSin(AJJ∈

A,

-r62^

???2α-c的取值范圍是卜32檔).

【例8】在,ABC中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為”,4c,且

tzsinA=c(sinC-2sinB)+fe(sinC+sinB).

⑴求角A；

⑵若，ABC為銳角三角形，求，色而)的取值范圍.

2a

【答案】(I)A=彳;

【解析】

【分析】

(1)角換邊，在利用余弦定理求解；

(2)邊換角，將待求表達(dá)式表示成關(guān)于8的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出8的范圍,

最后再求表達(dá)式的范圍即可.

(I)

因?yàn)棣羢inA=C(SinC-2sinB)+6(sinC+sinB),所以由正弦定理得/=C(C-2ZJ)+6(C+Z?),

整理得^+c2-∕=bc,由余弦定理得COS4="+￡-'=!.因?yàn)?<4<乃，所以A=J.

2bc23

(2)

CbTVW4川俎6(b-c)gSinB-SinC..?.d.(2πA.(π?

由止位;ΛL劃!7S——------=----------------------=sinB-sinC=sinB-s?n-------B=sιnB-----.

2a2SinA(3)\3J

0<β<-,

2

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以C

C2.7CTT

0<------Bc-,

32

PTI，口TCCTC--.I7CC冗TC

解r得^7<8v?ξ?,所rr以一u<8一彳V"7，

62636

所以_3<5皿(8_5)<3，

故有僅-C)的取值范圍為

2a\227

【題型專練】