2023高考數(shù)學情景與新文化100題

2023高考一數(shù)學情景與新文化100題

目錄

1.數(shù)學文化視角下的數(shù)學問題...................................................1

LL借助數(shù)學故事創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲望...........................1

1.2.借助數(shù)學方法創(chuàng)設問題情境，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度...........................2

1.3.借助數(shù)學游戲創(chuàng)設問題情境，調(diào)動學生的參與熱情...........................2

1.4.借助數(shù)學名題創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)學生的思維能力...........................3

2.類型一：函數(shù)類新文化題型...................................................3

2.1.單選題..................................................................3

3.類型二：三角形類新文化題型................................................20

4.類型三：向量類新文化題型..................................................37

5.類型四：數(shù)列類新文化題型..................................................57

6.類型五：幾何類新文化題型..................................................70

7.類型六：概率類新文化題型..................................................86

1.數(shù)學文化視角下的數(shù)學問題

數(shù)學文化是一種通過數(shù)學觀點觀察現(xiàn)實，運用數(shù)學語言、圖表、符號進行

數(shù)學交流，滲透數(shù)學思想、精神、方法、觀點、語言的文化現(xiàn)象.在數(shù)學文化視

野下創(chuàng)設數(shù)學問題情境，旨在培養(yǎng)學生的嚴謹素質及創(chuàng)新意識，增強學生的理

性思維能力，以促進學生的全面發(fā)展.

L1.借助數(shù)學故事創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲望

數(shù)學故事有時反映了知識形成的過程，有時揭示了數(shù)學知識的本質，因

此，在課教學中，以數(shù)學故事的形式創(chuàng)設問題情境，既符合學生愛聽故事的心

理特點，又可巧妙地借助故事引出數(shù)學問題，活躍學生的思維，加深學生對數(shù)

學的興趣.

例如，在講“平面直角坐標系”時，教師可以利用數(shù)學家歐拉發(fā)明坐標系

的故事為切入點.當歐拉躺在床上望著天花板思考著怎樣去確定事物的位置時，

突然發(fā)現(xiàn)一只蒼蠅被粘在蜘蛛網(wǎng)上，蜘蛛迅速爬過去捉住了蒼蠅，這時歐拉靈

機一動：對啊，可以像蜘蛛一樣利用網(wǎng)絡來確定事物的位置.然后教師提問：歐

拉是如何利用網(wǎng)絡來確定點的位置的？這樣自然而然地引入正題，學生的學習

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熱情很快被調(diào)動起來?

又如，在講“相似三解的性質”時，教師可講述古代數(shù)學家泰勒如何用一

根棍棒測量金字塔高度的故事，指出：如果給你們一根棍棒，你們同樣也能夠

將金字塔的高度，學校旗桿的高度測量出來.這時學生疑惑起來，迫切地想知道

如何測量.

1.2.借助數(shù)學方法創(chuàng)設問題情境，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度

數(shù)學問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學方法是數(shù)學的靈魂，而任何數(shù)學問題的解決

都建立在數(shù)學思想方法的基礎上.因此，在課堂教學中，借助數(shù)學方法創(chuàng)設問題

情境，既有助于提高學生分析問題、解決問題的能力，又有助于培養(yǎng)學生學

習、做事的嚴謹態(tài)度以及認真精神.

例如，在講“勾股定理”時，教師可介紹勾股定理的探索過程以及歷史上

的不同證明方法：《周髀算經(jīng)》中西周的商高是如何發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”這

個規(guī)律的；古希臘著名數(shù)學家畢達哥拉斯又是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的：據(jù)說在

2500年前，畢達哥拉斯從朋友家的地磚鋪成的地面上發(fā)現(xiàn)了勾股定理.最后通

過對比，分析引導從各種不同文化中的不同證明方法中，選擇自己感興趣的方

法.這樣，既可加深學生對“勾股定理”的理解，拓寬學生的視野，又可培養(yǎng)學

生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，提高學生的解題能力.

1.3.借助數(shù)學游戲創(chuàng)設問題情境，調(diào)動學生的參與熱情

活潑好動是學生的天性.在課堂教學中，教師將數(shù)學知識融入到數(shù)學游戲

中，并巧妙地創(chuàng)設問題情境，既可調(diào)動學生參與活動的積極性，又可誘發(fā)學生

的學習興趣.

例如，在講“概率的初步知識”時，通過“中秋節(jié)擲骰子，博月餅”的游

戲創(chuàng)設問題情境.游戲規(guī)則如下：每人每次擲出六顆骰子，月餅的數(shù)量由點數(shù)的

多少決定.若是一個點數(shù)相同，則得“一秀餅”；若是兩個點相同，則得“二

舉餅”；若是三個點數(shù)相同，則得‘'三紅餅”；若是四個點數(shù)相同（不包括

四），則得''四進餅"；若是五個點數(shù)相同或六個點數(shù)全部相同，均可得“狀

元餅”；若六個點數(shù)各不相同，可得“對堂餅”.然后提出問題：（1）剛好有

一個向上點數(shù)為4的概率是多少？（2）若剛好有兩個向上點數(shù)為4的概率是

多少？（3）若剛好有三個向上點數(shù)為4的概率是多少？（4）出現(xiàn)四個點數(shù)

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都是4的概率是多少？（5）四個點數(shù)相同或五個點數(shù)相同（不包括4）的概

率分別是多少？（6）六個點數(shù)均不同的概率是多少？這樣的問題情境，趣味

性較強，有利于調(diào)動學生參與的熱情，又貼近學生的生活實際，有利于加深學

生對數(shù)學知識的理解，培養(yǎng)學生自主探索、思維慎密的優(yōu)良品質.

L4.借助數(shù)學名題創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)學生的思維能力

數(shù)學名題是歷史上著名的數(shù)學問題，是在歷史發(fā)展的長河中發(fā)展形成的，

對于數(shù)學教育史上發(fā)揮著十分重要的作用.在課堂教學中借助數(shù)學名題創(chuàng)設問題

情境，既有助于學生探索精神和數(shù)學思維的培養(yǎng)，又有助于加深學生對所學知

識的理解和掌握.

例如，在講“一元一次方程”時，教師可以通過歷史上有名的“丟番圖之

迷”創(chuàng)設問題情境：人們對代數(shù)學之父丟番圖的生平知之甚少，但是卻清楚地

知道他去世的年齡，這主要是因為他將所自己經(jīng)歷的人生道路忠實地記錄在他

為自己寫的《墓志銘》上：墓中安葬著丟番圖.上帝賜給這位貧困數(shù)學家六分之

一的童年；又過十二分之一，兩鬢長髯；再過七分之一，點燃了洞房花燭；五

年之后天賜貴子，嬌兒夭折僅及其父之半；悲痛欲絕只得用研究代數(shù)解憂；

又過了四年，他走完了人生的旅途.然后教師提出問題：丟番圖究竟活了多少

年？這樣的問題情境，不僅可以激發(fā)學生的挑戰(zhàn)欲望，啟發(fā)學生的思維能力，

而且可以使學生了解到相應數(shù)學內(nèi)容的文化背景，增強學生的數(shù)學文化素養(yǎng).

總之，數(shù)學文化視角下的創(chuàng)設問題情境，既可以讓學生更好地了解數(shù)學的

內(nèi)在本質，深刻感受到數(shù)學文化的魅力與價值，又可以調(diào)動學生積極參與數(shù)學

學習活動的積極性和主動性，激發(fā)學生探究數(shù)學知識的興趣，同時對于提高課

堂教學效果，優(yōu)化學生學習效果也發(fā)揮著積極的作用.

2.類型一：函數(shù)類新文化題型

2.1.單選題

C=WlogJl+*]

1.5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：?N人它表

示：在受噪聲干撓的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)

s_

信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中萬叫做信噪比.按

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S

照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比后從IOOO提升至2000,則C大約

增加了()

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

根據(jù)香農(nóng)公式，分別寫出信噪比為1000和2000時的傳遞速率為

C=Wlog式1+1000)和C=Wk)g2(l+2OOO),兩者相比，再根據(jù)對數(shù)運算即可估計得

答案.

【詳解】

當N=l0°°時，C=Wlog2(1+1000)

當萬=2000時，C=WlOg2(1+2000)

WIogz(1+2000)-WIOg2(1+1OOo)=log?2001?1+log210007J2

WlOg2(1+1000)-IogIOOl^IogIOOO_一_3g

則22

11111

-=IglO4<lg2<lglθ3=--lg2≈0.1

又43,根據(jù)選項分析，3°

S

所以信噪比后從IOOO提升至2000,則C大約增加了10%.

故選：A.

【點睛】

本題考查知識的遷移應用，考查對數(shù)的運算，是中檔題.

2.2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運

載火箭成功發(fā)射嫦娥五號，12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在

內(nèi)蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸，"繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這

為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎.已知在不考慮空氣阻力和地球引

v=vlnM

力的理想狀態(tài)下，可以用公式"“Y.計算火箭的最大速度MmZS),其中

%(∏Vs)是噴流相對速度，〃Mkg)是火箭(除推進劑外)的質量，M(Zg)是推進

M

劑與火箭質量的總和，.稱為“總質比”.若A型火箭的噴流相對速度為

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（

Iooom∕s,當總質比為500時，A型火箭的最大速度約為lge*0?434,

lg2≈0.301）（）

A.4890m∕sβ.5790m∕sC.6219m∕sD.6825m∕s

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意把數(shù)據(jù)代入已知函數(shù)可得答案.

【詳解】

M1?5003-1?2

v=vln-=1000×ln500=IOOOx-5—=1000×—^≈6219∕n∕s

0mIgeIge

故選：C.

3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中

較為著名的是胡夫金字塔.令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還

有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高

度的兩倍，得到的商為3.14159,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底

部形為正方形，整個塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設完成后，底座邊長

大約230米.因年久風化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

設出胡夫金字塔原高，根據(jù)題意列出等式，解出等式即可根據(jù)題意選出答

案.

【詳解】

230×4C,230×4

---------=3.14159h=--------≈146.4

胡夫金字塔原高為人，則2h,即2x3.14159米，

則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米.故選C.

【點睛】

本題屬于數(shù)學應用題，一般設出未知數(shù)，再根據(jù)題意列出含未知數(shù)的等

式，解出未知數(shù)，即可得到答案.屬于常規(guī)題型.

4.中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大

數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W,經(jīng)科學研究表明：C與W滿足

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V

C=lVlog√l÷-）

N，其中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲

￡

功率，萬為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計.若不

￡

改變帶寬W,而將信噪比N從IOOO提升至4000,則C大約增加了（）

（附:Ig2≈0.3010j

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【分析】

—=1000—=4000「C

先計算N和N時的最大數(shù)據(jù)傳輸速率&和G,再計算增大的

。2-Cl

百分比G即可.

【詳解】

S

1000

當TF=時，C1=Wlog2IOOl≈Wlog2IOOO.

5

當萬=4000時，G=WlOg240OhWlog24000

所以增大的百分比為：

G-C?=GT=Wlog/OOO_1=Ig4000_1=lg4+lgl000

-

C1-Cl^^IVlog21000IglOOO-IglOOO

X="2X0.3。Iom=20%

IgIOOO33

故選：B.

5.中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公

C=WIog/1+9]

式：?N人它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取

決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大

S

小，其中萬叫做信噪比.當信噪比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按

S

照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比瓦從IOOO提升至8000,則C大

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約增加了(∣g2"°?3010)()

A.10%B.30%C.60%D.90%

【答案】B

【分析】

根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運算法則代入計算可得；

【詳解】

VV

--=1000「WICrr1A∩∩---=8000「WlCeQ∏∏A

解：當N時，C1=VVIog21000；當N時，C2=WIog280005

C2_WlOg28000_Ig8000_3+31g2?∣?

.?.GWlogJOooIgIo003~約增加了30%.

故選：B

6.2020年11月24日4時30分，長征五號途五運載火箭在我國文昌航

天發(fā)射場成功發(fā)射，飛行約2200秒后，順利將探月工程嫦娥五號探測器送人

預定軌道，開啟我國首次地外天體采樣返回之旅.已知火箭的最大速度儀單位

:km/s)與燃料質量M俾位：kg)、火箭質量M單位:kg)的函數(shù)關系為

V=21nfl+-

I'"人若已知火箭的質共為31°Okg,火箭的最大速度為Ilkm∕s,則火箭需

要加注的燃料為(參考數(shù)值為∣n2"0?694n244.69"5?50,結果精確到OOl)()

A.243,691B.244.69tC.755.44tD.890.23t

【答案】C

【分析】

利用指對互化解出"，可得火箭需要加注的燃料的估算值.

【詳解】

M55

v=21nfl+-11=2In[I+?-][+^e?

I機人則V310θJ,所以3100

解得M=3100(55一1卜3100x243.69=755439(kg)≈755.44(t)

故選：C

7.意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋

物線.直到1690年，雅各布?伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學

界征求答案.1691年他的弟弟約翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得

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到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學表達式一一雙曲余弦函數(shù):

aa

「/、XeΛ-e

/(X)=C+QCO1Sh-=C+α----------------

C為自然對數(shù)的底數(shù)).當C=O,。=1時，記

p=∕(T),(2人〃"(2),則p,fn,"的大小關系為().

Ap<m<nBn<m<pCMVPcnDm<n<p

【答案】C

【分析】

先利用導數(shù)證明函數(shù)/(X)在區(qū)間(α+?)上單調(diào)遞增，再結合單調(diào)性比較大

小即可.

【詳解】

、e~x+exC,.-e'x+exe2x-1

/(x)=J(X)==

由題意知，2,22e,

當x>0時，/U)>0,即函數(shù)A》)在區(qū)間(°，+?)上單調(diào)遞增

+P

/(-1)=￡—^=Z(I)

1

??∕[∣j<∕(l)<∕(2)

2-

mm<p<n

故選C

關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)證明函數(shù)"X)的單調(diào)性，再結合單

調(diào)性比較大小.

8.著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的

初始溫度為印C,空氣溫度為則rmin后物體的溫度8(單位：。C)滿足：

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0=q+(α-4)e”(其中k為常數(shù)，e=2.71828?.).現(xiàn)有某物體放在20C的空

氣中冷卻，2min后測得物體的溫度為52℃,再經(jīng)過6min后物體的溫度冷卻到

24℃,則該物體初始溫度是()

A.80℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

,In8

先利用第二次冷卻:，EC,%=20C,尸6,e=24C,代入求出"=^Γ,然后

對第一次冷卻，代入公式，求出初始溫度.

【詳解】

第二次冷卻：4=52°C,q=20°C,片6,e=24°C,

In8

即24=20+(52-2。)/：解得：％=工；

第一次冷卻：滅52。。，的20。。，尸2,,

In8

即52=20+(4-20”丁，解得：a=84J

故選：C.

【點睛】

數(shù)學建模是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學中，應用題是常見考

查形式：

(1)求解應用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結論，抓住關鍵詞和

量，理順數(shù)量關系，然后將文字語言轉化成數(shù)學語言，建立相應的數(shù)學模型；

(2)求解應用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結合實際問題

理解自變量的取值范圍；

(3)可以建立多個函數(shù)模型時,要對每個模型計算,進行比較,選擇最優(yōu)化模

型.

9.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的

著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震

動.在1859年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)

個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)

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學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字X的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為

I'InX的結論.若根據(jù)歐拉得出的結論，估計IOOOo以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（素

數(shù)即質數(shù)，lge"043429,計算結果取整數(shù)）

A.1089B.1086C.434D.145

【答案】B

【分析】

10000

（10000）

由題意可知IOOoO以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為InIOooo計算即可得到

答案.

【詳解】

π（x）≈——

由題可知小于數(shù)字X的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為12,

八八八八八、1000010000IOOOOlge

π（10000）≈---------------------...............—

則IOooO以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為I7InlOOOO=41nl0=4=2500

Ige≈0.4342925∞=Io86,

故選B.

【點睛】

本題考查對數(shù)運算性質的簡單應用，考查學生的審題能力.

10.2020年6月17日15時19分，星期三，酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，我國

成功發(fā)射長征二號丁運載火箭，并成功將高分九號03星、皮星三號A星和德

五號衛(wèi)星送入預定軌道，攜三星入軌，全程發(fā)射獲得圓滿成功，祖國威武,已知

火箭的最大速度V（單位：km/s）和燃料質量M（單位：kg）,火箭質量m

v=20001n∣1+—I

（單位：kg）的函數(shù)關系是：I〃“，若已知火箭的質量為3100公

斤，燃料質量為310噸，則此時V的值為多少（參考數(shù)值為ln2“0.69；

InlOI≈4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)和函數(shù)關系式直接計算.

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【詳解】

V=2000Xln(1+，黑。)=2000X(InloD=2000X4.62=9240km∕s

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的應用，屬于基礎題.

11.為了研究疫情有關指標的變化，現(xiàn)有學者給出了如下的模型：假定初

始時刻的病例數(shù)為NO,平均每個病人可傳染給K個人，平均每個病人可以直

接傳染給其他人的時間為L天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨時間t(單位：

天)的關系式為N(t)=NO(l+K)t,若NO=2,K=2.4,則利用此模型預測第5天的

病例數(shù)大約為()(參考數(shù)據(jù)：logl.4454≈18,log2.4454≈7,

log3.4454≈5)

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先根據(jù)題意得到N⑸=2(1+24)5=2x3.41再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

W(5)=2(l+2,4)5=2×3.45

因為k‰454a5,所以3.45≈454,

所以N(5)=2x3.4$≈2×454≈908≈910

故選：C

12.干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法、干支是天

干和地支的總稱，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干：子、

丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥為地支.把十天干和十二地支依

次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、…癸對寅，其中天干比地支少兩位，所

以天干先循環(huán)，甲對戊、乙對亥、…接下來地支循環(huán)，丙對子、丁對丑、.，以

此用來紀年，今年2020年是庚子年，那么中華人民共和國建國100周年即

2049年是()

A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年

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【答案】B

【分析】

由題意2020年是干支紀年法中的庚子年，則2049的天干為己,地支

為巳，即可求出答案.

【詳解】

天干是以10為一周期，地支是以12為一周期，

2020年是干支紀年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以

2049的天干為己,地支為己，

故選:B.

【點睛】

本題考查數(shù)學文化，實際生活中的數(shù)學應用，關鍵在于運用閱讀理解能力

將生活中的數(shù)據(jù)和用語轉化為數(shù)學中的概念和數(shù)據(jù)，屬于中檔題.

13.2020年初，新冠病毒肺炎(COVlD-19)疫情在武漢爆發(fā)，并以極

快的速度在全國傳播開來.因該病毒暫無臨床特效藥可用，因此防控難度極

大.湖北某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查4類人員：新冠患者、疑似

患者、普通感冒發(fā)熱者和新冠密切接觸者，過程中排查到一戶5口之家被確認

為新冠肺炎密切接觸者，按要求進一步對該5名成員逐一進行核糖核酸檢測，

若出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為"感染高危戶”，設該家庭每個成員檢測呈陽性的

概率相同均為M0<P<l),且相互獨立，該家庭至少檢測了4人才能確定為"感

染高危戶”的概率為八P),當P=P。時，/(P)最大，此時見=()

1√15√15√51心

A.5B.5c.7D.5

【答案】A

【分析】

由題意可得，該家庭至少檢測了4人才能確定為“感染高危戶”，則前3人

檢測為陰性，第4人為陽性，或前4人檢測為陰性，第5人為陽性.求出

〃P),求/S),利用導數(shù)求當"P)最大時，P的值.

【詳解】

由題意可得，該家庭至少檢測了4人才能確定為"感染高危戶”，則前3人

第12頁共98頁

檢測為陰性，第4人為陽性，或前4人檢測為陰性，第5人為陽性.

"(p)=(l-p)3p+(l-p)4p,

,f'(p)=-3(I-P)2p+(l-Py-4(1-PyP+(1-P)4=(I-Py(5p2-10p+2)

令/")>°,得°<"k;/(p)<o,得k<”∣?

05->∕i^51)

???∕s)在〔'5J上單調(diào)遞增，在15'J單調(diào)遞減，

5-√L5-5-√151√15

"P=5時，最大，即%―一L

故選：A.

【點睛】

本題考查相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式，考查利用導數(shù)求最

值，屬于中檔題.

14.復興號動車組列車，是中國標準動車組的中文命名，由中國鐵路總公

司牽頭組織研制、具有完全自主知識產(chǎn)權、達到世界先進水平的動車組列

車,2019年12月30日，CR4003F-C智能復興號動車組在京張高鐵實現(xiàn)時速

35()km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.我們用聲強/(單

位：W∕π?表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級Z.(單位：

dB與聲強/的函數(shù)關系式為"=IOIg(R),已知∕=10'W∕n√時，L=I(WB.若要將某

列車的聲強級降低30dB,則該列車的聲強應變?yōu)樵晱姷?)

A.IO、'倍B.10^4倍C.107倍D.I。一倍

【答案】C

【分析】

由題設可得a=1。"，代入函數(shù)式，由指對數(shù)的關系有/=100:進而求聲

強級降低30dB的聲強/，，應用指數(shù)累的運算性質求聲強的比值.

第13頁共98頁

【詳解】

由題設，IOlg(IOZ)=IO,解得α=10-3,則乙=10愴(10-3/)=Io(Ig/-3),

“??A

.U=IO10,要使聲強級降低30dB,則廠=10">=10'?,

，卑WO。

JlO而*3.

故選：C

15.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有"數(shù)學王子”的

美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設xeR,用國表示不超過X的最大整

數(shù)，則y=[H稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：13.7]=T,[2?3]=2,已知

/3=FTr1,則函數(shù)y=3["χ)]-2[∕(τ)]的值域為()

a{-3,0,2}b{-l,2}c{-3,0,-2}d{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

2

化簡得出"X=J仃，可得x>0時，[/(x)]=°;X=O時，[〃切=°；

x<o時，[/(χ)]=-ι,即可求出.

【詳解】

/、2句2(2Λ+1)-222

f(χ}=--------1=-^-------L-------1=2-----------1=1---------

')2x÷l2v+l2Λ+12Λ+1,

當x>0時，2"+le(2,?w),則2*+lI。'”,則/(x)e(°/)，此時

[f(x)]=O,

當X=O時，f(χ)=o,則

當x<0時，2Λ+1∈(1,2),則2"+1<12),貝(X)W(T。)，此時

[f(χ)]=τ,

則對于函數(shù)，=3上(切-2上(一切,

第14頁共98頁

當x>0時，-x<(),此時y=3["x)卜2"(τ)]=3*0-2*(T)=2;

當X=O時，-x=0,止匕時y=3[f(x)]_2[/(_x)]=3*0_2x0=0；

當x<0時，τ>0,此時y=3[f(叫一2[∕(r)]=3χ(τ)一2χO=-3,

故N=3"(x)]-2[∕(-x)]的值域為{T0,2}.

故選：A.

【點睛】

2

關鍵點睛：解題的關鍵是化簡得出""=JfW,分別求出χ>o,χ=o,χ<o

時/(x)的取值范圍.

16.我國于2021年5月成功研制出目前國際上超導量子比特數(shù)量最多的

量子計算原型機“祖沖之號”，操控的超導量子比特為62個.已知1個超導量子

比特共有“ι°>,n>"2種疊加態(tài)，2個超導量子比特共有∣01>,∣10>,

1>”4種疊加態(tài)，3個超導量子比特共有"∣0∞>,∣001>,∣010>,∣011?,

IIoo>,∣ιθι>,∣no>,∣111>"8種疊加態(tài)，…，只要增加1個超導量子比特，

其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級增長.設62個超導量子比特共有N種疊加態(tài)，則N

是一個()位的數(shù).(參考數(shù)據(jù)：∣g2R0?3010)

A.18B.19C.62D.63

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意“個超導量子比特共有2"種疊加態(tài)，進而兩邊取以10為底的對數(shù)

化簡整理即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，設〃個超導量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以當有62個超導量子比特共有N=262種疊加態(tài)。

兩邊取以1。為底的對數(shù)得IgN=Ig2秘=62Ig2a62x0.3010=18.662,

所以N=IO18-662=IO0662×10ιs,由于10°<IO0662<IO1,

故N是一個19位的數(shù).

故選：B

第15頁共98頁

【點睛】

本題考查數(shù)學文化，對數(shù)運算，考查知識的遷移與應，是中檔題.本題解題

的關鍵在于根據(jù)材料得“個超導量子比特共有2"種疊加態(tài)，進而根據(jù)對數(shù)運算

求解.

17.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面

軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一

個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四

號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡

點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為Ml,月球質量為M2,地月距

離為R,4點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方

程：

M.M=(R+r)簪

-----------------1........-

(R+r)2rA

a——--------2A3Q-

設R,由于。的值很小，因此在近似計算中"W,則r的

【分析】

本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立。的方

程，解方程、近似計算.題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使

考生"望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查.

【詳解】

αJ

由R,得r=αR

L

----"7+T=(R+r)T

因為(R+r)一廠R；

第16頁共98頁

M1M,.1M1

-7-.-----?-+-2=(I+α)--τ

所以R-(l+α)-a^RD-R-,

543

M、,.11a+3σ+3a3

-J-CrKl+a)----------7]=-------------z——≈3a

即Λ√∣(l+α)-(l+a)^

【點睛】

由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題

意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯.

18.中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公

C=Wlog2I1+?1

式：?N人它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取

決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大

?

小，其中獷叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不

S

計.按照香農(nóng)公式，若帶寬W增大到原來的1.1倍，信噪比正從IOOO提升到

16000,則C大約增加了(附:1≡2≈0?3)()

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】D

【分析】

利用對數(shù)的運算性質，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和16000時C

的比值即可求解.

【詳解】

Lm?J60%=]]χ星如％=]]χ±H=054

解：由題意Mog2100°?100°3,所以C

大約增加了54%.

故選：D.

19.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的

第17頁共98頁

美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設xeR,用國表示不超過X的最大整

數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：12.1]=-3,艮1卜3,已知

z?3Λ-2

/⑴=TT/，則函數(shù)y=["χ）]的值域為（）

A.{0,-3}B.{OfC,{0,-l,-2}?{l,0,-1,-2}

【答案】C

【分析】

結合指數(shù)函數(shù)性質求得,（X）的值域，然后再根據(jù)新定義求>="（刈的值

域.

【詳解】

1_7

3Λ-2J+』一司1777

f（X）=____=____??=_________________W（O—）

t+lt+lΛ+

1+3*"3+l33（3+l）；顯然3"∣+1>1,3（3'+1）'3,

（-21）

所以/（X）的值域是‘3,

當-2<∕（x）<-l時，"（x）]=-2,

-l<x<O?,[∕ωι=-I,當然/⑶<5時"（χ）]=o,

所以所求值域是{-2,T。}.

故選：C.

20.2020年第三屆中國國際進口博覽會開幕，時值初冬呼吸系統(tǒng)傳染病

高發(fā)期，防疫檢測由上海交通大學附屬瑞金醫(yī)院與上海聯(lián)通公司合作研發(fā)的

“5G發(fā)熱門診智慧解決方案”完成.該方案基于5G網(wǎng)絡技術實現(xiàn)了患者體溫檢

測、人證核驗、導診、診療、藥品與標本配送的無人化和智能化.5G技術中數(shù)

C=Wlog,I1+?I

學原理之一就是香農(nóng)公式：”IN人它表示：在受噪聲干擾的信道中,

最大信息傳遞速度C（單位：bit/s）取決于信道帶寬卬（單位：HZ）、信道

內(nèi)信號的平均功率S（單位：dB）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N（單位：dB）

SS

的大小，其中方叫做信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比方

從IOoO提升至2000,則C大約是原來的（）

第18頁共98頁

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

C,Wlog,20011.??.1111

7Γ=L??,^ιn?≈τ1S2+1-=IglO4<lg2<lglθ3=-

由題可得GWzliogzlOOml3,根據(jù)433可求出.

【詳解】

C=”",

S

當W=IOOO時，G=WIog2(l+1000)=WlogJO01,

S

2000

當丁=時，C=IVlog2(1+2000)=WIog22∞1,

C?_WlogzZOOl_log22000[og22+k>g2lOO()]川_1]2+ι

,+g+

則E-Wlog2IOOl~Iog2IOOO-Iog2IOOO-—log210^3

1??11G

-=IglO4<lg2<IglO1=-?^lg2≈0.1==111/

又43,則3?,即Cl.

故選：B.

【點睛】

—≈?Ig2+1

關鍵點睛：本題考查對數(shù)函數(shù)的應用，解題的關鍵是得出C3,再

1?11

-=lgl()W<lg2<IglO3=—

利用43求出.

第19頁共98頁

3.類型二：三角形類新文化題型

21.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一

名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙

ππ

臂近似看成一張拉滿弦的"弓"，擲鐵餅者的手臂長約為7米，肩寬約為W米，

"弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

A.Lol2米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由題分析出這段弓所在弧長，結合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間

的距離為其所對弦長.

【詳解】

,πππ5π

I=—I--1—=—

解：由題得：弓所在的弧長為：4488.

第20頁共98頁

所以其所對的圓心角4

一一、、,,一d=2RsinC=√Σxl.25=1.768

，兩手之間的距昌4

故選：B.

【點睛】

本題主要考查圓心角，弧長以及半徑之間的基本關系，本題的關鍵在于讀

懂題目，能提取出有效信息.

22.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名,如圖，畫中女子神秘的微

笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷,某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作

品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角AC處作圓

弧的切線，兩條切線交于8點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm3C=6c?"?,AC=10.392cm

-≈0.866

（其中2）.根據(jù)測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇

視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）

【答案】A

【分析】

.5.196

由已知AB=BC=6,設ZABC=2/可得SnI.于是可得e,進而

得出結論.

第21頁共98頁

【詳解】

解：依題意A8=3C=6,設ZABC=29.

sin，==0.866=立

則62.

:-θ^-2θ=-

3,3.

設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為α.

則a+26=π,

π

:.a=—

3.

故選:A.

【點睛】

本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

23.《九章算術》成書于公元一世紀，是中國古代乃至東方的第一部自成

體系的數(shù)學專著.書中記載這樣一個問題"今有宛田，下周三十步，徑十六步,問

為田幾何？"（一步=1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24

米，那么扇形田的面積為

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

直接利用扇形面積計算得到答案.

【詳解】

?I24

=———XX------

根據(jù)扇形的面積公式，計算扇形田的面積為S2Ir2452270（平

方米）.

故選:B.

【點睛】

本題考查了扇形面積，屬于簡單題.

24.希波克拉底是古希臘醫(yī)學家，他被西方尊為“醫(yī)學之父”，除了醫(yī)學，

他也研究數(shù)學.特別是與“月牙形”有關的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣

第22頁共98頁

都是圓弧，兩段圓弧分別是ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若

ZACB=-

3,AC=BC=I,則該月牙形的面積為（）

1兀

4--一

D.24

【答案】A

【分析】

求出ABC的外接圓半徑，得弓形面積，再求得大的半圓面積，相減可得

結論.

【詳解】

解析由已知可得AB=有，A"C的外接圓半徑為R=5*嬴旃=L由題意，

2π

內(nèi)側圓弧為MC的外接圓的一部分，且其對應的圓心角為丁，則弓形ABC的

i×l2xf^-sin≥K^-^

面積為2133）34,外側的圓弧以AB為直徑，所以半圓AB的面

ιxπxf^y=2Ξ已立［=3+工

積為212）8,則月牙形的面積為8134J4