四節(jié)相互獨(dú)立性與條件概率

第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率?1.在具體情境中，結(jié)合古典概型，了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.2.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.3.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過關(guān)檢測(cè)01?1.相互獨(dú)立事件（1）事件相互獨(dú)立：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B是否發(fā)生互不影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，當(dāng)對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中

任意一個(gè)事件

?發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立；任意一個(gè)事件

②若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.提醒

P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，此時(shí)P（B）＝P（B｜A）.（2）獨(dú)立事件的概率公式①若事件A，B相互獨(dú)立，則P（AB）＝

P（A）P（

?

）

?；P（A）P（B）

P（A）P（B｜A）

3.全概率公式

?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立.

（

）答案：（1）×

（2）拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨(dú)立.

（

）（3）若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.

（

）答案：（2）√

答案：（3）√2.（2021·新高考Ⅰ卷）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

（

）A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

4.已知m是一個(gè)三位正整數(shù)，若m的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱m為遞增數(shù).已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，設(shè)事件A＝“由a，b，c組成三位正整數(shù)”，事件B＝“由a，b，c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù)”，則P（B｜A）＝

?.

?

2.事件A與事件B是互斥事件，則A與B不相互獨(dú)立.3.已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B｜A）＝P（B），則P（A｜B）＝P（A）.?1.（多選）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲這個(gè)正四面體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，設(shè)事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，則

（

）A.E與F不是互斥事件B.F與G是對(duì)立事件C.E與F是獨(dú)立事件D.F與G是獨(dú)立事件解析：AB

因?yàn)镋∩F＝{1}，所以E與F不是互斥事件，A正確；由F∩G＝?，即F與G互斥，又F∪G＝Ω，即F與G是對(duì)立事件，B正確；拋擲這個(gè)正四面體一次，若與地面接觸面的數(shù)字為2，即發(fā)生E，則一定不會(huì)發(fā)生F，故E與F不是獨(dú)立事件，C錯(cuò)誤；由結(jié)論2，F(xiàn)與G不是獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤.故選A、B.

02?獨(dú)立事件的概率【例1】

（2020·全國(guó)Ⅰ卷）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

｜解題技法｜求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的策略（1）列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；（2）厘清事件之間的關(guān)系（兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立），列出關(guān)系式；（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；（4）當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.?1.（多選）設(shè)M，N為兩個(gè)隨機(jī)事件，則以下命題是真命題的為

（

）

（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.

條件概率【例2】

（1）已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為

（

）

答案

（1）B

（2）在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為

?.

?

2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為

?.

解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B（發(fā)芽又成長(zhǎng)為幼苗）.依題意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根據(jù)條件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.答案：0.72全概率公式

答案

（1）B

（2）人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，則該支股票將上漲的概率為

?.

答案

（2）0.64｜解題技法｜應(yīng)用全概率公式求概率的思路（1）按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式計(jì)算.?

某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為100%，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)題目的概率為

（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

03?1.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中目標(biāo)的概率都為0.9，則他連續(xù)射擊兩次都命中的概率是

（

）A.0.64B.0.56C.0.81D.0.99解析：C

設(shè)Ai表示“第i次擊中目標(biāo)”，i＝1，2，則P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.9×0.9＝0.81.2.某班學(xué)生考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是

（

）A.0.1B.0.2C.0.33D.0.35

3.對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸出正品的概率是

（

）

4.（多選）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且B發(fā)生A必定發(fā)生，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，給出下列各式，其中正確的是

（

）A.P（A∪B）＝P（B）C.P（A｜B）＝1D.P（AB）＝P（

A

）

A5.（多選）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”，則

（

）

6.某班為響應(yīng)校團(tuán)委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號(hào)召組織了有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，第一環(huán)節(jié)是一道必答題，由甲、乙兩位同學(xué)作答，每人答對(duì)的概率均為0.7，兩人都答對(duì)的概率為0.5，則甲答對(duì)的前提下乙也答對(duì)的概率是

?.（用分?jǐn)?shù)表示）

答案：0.48.從1～100共100個(gè)正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的這個(gè)數(shù)不大于50，則此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率為

?.

9.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，甲同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8.則甲同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為

?.

解析：設(shè)A1＝“第1天去A餐廳用餐”，B1＝“第1天去B餐廳用餐”，A2＝“第2天去A餐廳用餐”，則Ω＝A1∪B1，且A1與B1互斥，根據(jù)題意得P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝0.8，由全概率公式，得P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.答案：0.7

?

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.（多選）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù).用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（x，y）表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.定義：事件A＝“x＋y＝7”，事件B＝“xy為奇數(shù)”，事件C＝“x＞3”