暑期培優(yōu)：第三章-三角函數(shù)、解三角形(必記知識點+必明易錯點+必會方法)教師版

專題三、三角函數(shù)與解三角形 按終邊位置不同分為象限角和軸線角k∈Z}.(1)定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角a的正弦線，余弦線和正切線.三類是區(qū)間角.但假設不是單1.假設α=k180°+45(k∈Z),那么α是第象限角.的三角不等式時，可利用單位圓及三角函數(shù)線，表達了數(shù)形結合的思想.解析：由sina<0,知α在第三、第四象限或考什么怎么考怎么辦考什么怎么考怎么辦三象限，因此α在第三象限.考點一②得-765≤A×360<-45°,解{從而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.+45°=k-45°+45°=(k+1)-45°,k+1是整數(shù)，因此必有MN..,.,1.利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.2.角α的終邊位置，確定形如ka,π±a等形式的角終邊的方法：先表示角α的范圍，再寫出ka,π±a等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置.(sin受，co那么Z),所以α的最小正值(1)角α終邊上一點P的坐標，那么可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解；三角函數(shù)的定義來求相關問題.角α的終邊在直線y=-3x上，求的值.解：設α終邊上任一點為P(k,-3k),[典例](1)扇形周長為10,面積是4,求扇形的圓心角.(2)扇形周長為40,當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大?[解](1)設圓心角是0,半徑是r,1那(2)設圓心角是0,半徑是r,所以當r=10,0=2解析：設圓半徑為r,那么圓內接正方形的對角線長為2r,(1)弧度制下I=lalr,此時a為弧度.在角度制下，弧長為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系.扇形面積解解(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形.[針對訓練]扇形的圓心角是a=120°,弦長AB=12cm,求弧長l.解：設扇形的半徑為rcm,如圖.1.如下圖，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P,假設∠AOP=0,那么點P的坐標2.扇形的周長是6cm,面積是2cm2,那么扇形的圓心角的弧度數(shù)是解析：設扇形的半徑和弧長分別為r,l,故扇形的圓心角的弧度數(shù)是4或1.答案：1或43.角α的終邊經過點(3a—9,a+2),且cosa≤0,sing>0,那么實數(shù)a的取值范圍是解析：∵cosa≤0,sina>0,∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.答案：(-2,3)4.在與2010°終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數(shù)為∴與2010°終邊相同的角中絕對值最小的角的弧度數(shù)5.(2014.南京期末)角α的終邊經過點P(x,—6),且那么x的所以所以第1組：全員必做題1.將表的分針撥快10分鐘，那么分針旋轉過程中形成的角的弧度數(shù)是解析：將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角.又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周2.cosd·tand<0,那么角Q是第4…4…cos(-2200°)=cos(-40,解析：依題意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,點A的),),:第二或第知9.一個扇形OAB的面積是1cm2,它的周長是4cm,求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解：設圓的半徑為rcm,弧長為lcm,那么∠AOH=1弧度.解：(1)由sina<0,知α在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tana>0,知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為所以所以取正號.第Ⅱ組：重點選做題.為解析：作直線交單位圓于C、D兩點，連接OC、OD,為圍成的區(qū)域(圖中陰影局部)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合明誤區(qū)憶知識明誤區(qū)憶知識解析：如圖，連接AP,分別過P,A作PC,題意知BP的長為2.∵圓的半徑為1,答案：(2-sin2,1-cos2)角函數(shù)正弦正切“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”.“符號看象限”是指“在a的三角函數(shù)值前面加上當a為銳角時，原函數(shù)值的符號”.1.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，假設開方，要特別注意判斷符號.1.誘導公式的應用原那么所以2.(2013-蕪湖調研)假設,那么的值是1.sin600°+tan240°的值等于那么A的值構成的集合是答案：{2,-2}任意負角的三角函數(shù)任意負角的三角函數(shù)誘導公式應用的步驟任意正角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù) 銳角三角函數(shù)0～2π的角的三角函數(shù)提醒：誘導公式應用時不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號.[典例]a是三角形的內角，且sina+cosa=5①整理得25sin2a-5sina-12=0.題多變保持本例條件不變，(2)sin2a+2sinacosa的值.可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用互化.2.應用公式時注意方程思想的應用：對于sina+cosa,sinacosa,sina-cosa3.注意公式逆用及變形應用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a.[針對訓練]sina=2sinβ,tana=3tan解：∵sina=2sinβ,tana=3tanβ,由①+③得sin2a+9cos2a=4..可以實現(xiàn)角a的弦切這三個式子，利用師生共研型內角.,,,,,,,又角A、B是三角形的內角，,不合題意’’,2.求角時，通常是先求出該角的某一個三角函數(shù)值，再結合其范圍，確定該角的大小.[課堂練通考點]解析：2.(2014·鎮(zhèn)江統(tǒng)考)a為第四象限角，且解析：由因為α在第四象限，所以那么3.假設△ABC的內角A滿足解析：∵0<A<π,∴O<2A<2π.求的值求的值.解：∵cos(a-7π)=cos(7π-a)[課下提升考能]第1組：全員必做題1.(2014.南通調研)假設那么解析：2.(2014.淮安模擬)假設tang=3,那么sin2a-2singcosq+3cos2α=..的值為那么tan(2π-a)的值為得=-sina+sina=0.答案：0解：原式=-sin1200°cos1290°+cos1020°-(-sin1050°)+tan945°解：由得sina=2cosa.解得tana=2.,,的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B以1rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動.解：(1)經過1s后，∠BOA的弧度,所以質點A,B在單位圓上第一次相遇.單位圓與y軸的正半軸交于點A,與鈍角α的終邊OB交于點B(xa,ya),法二：因為a為鈍角，所以xp<0,ya>0,x2+yb=1,xg-ya=-(-xg+ya),(-xg+ya)2≤2(xb+yi)第三節(jié)三角函數(shù)圖像與性質正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質函數(shù)圖像定義域π[2kπ,2kπ+π]為減；[2kπ—π,2kπ為增為增中心對稱軸無2.研究三角函數(shù)單調性、對稱中心、奇偶性及對稱軸時易無視“k∈Z”這一條件.故函數(shù)y的值域故函數(shù)y的值域1解析：因1.三角函數(shù)單調區(qū)間的求法先把函數(shù)式化成形如y=Asin(ox+φ)(o>0)的形式，再根據根本三角函數(shù)的單調區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應特別注意，考慮問題應在函數(shù)的定義域內考慮.注意區(qū)分以下兩題的單調增區(qū)間的不同：2.求三角函數(shù)值域(最值)的兩種方法(1)將所給函數(shù)化為y=Asin(ox+φ)的形式，通過分析ox+φ的范圍，結合圖像寫出函數(shù)的值域；(2)換元法：把sinx(cosx)看作一個整體，化為二次函數(shù)來解決.1.函數(shù)y=|sinx|的一個單調增區(qū)間是解析：由得答案：考點一三角函數(shù)的定義域與值域解析：當44解析：要使函數(shù)有意義必須有;;解：畫出函數(shù)解：畫出函數(shù),易知其單調遞減區(qū),一題一題所謂代換法，就是將比擬復雜的三角函數(shù)整理后的整體當作一個角u(或t),利用根本三角函數(shù)的單調性來求所要求的三角函數(shù)的單調區(qū)間.區(qū)間為單調遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖像，結合圖像易求它的單調區(qū)間.義域.解析：當k∈Z時，是f(x)的單調增區(qū)間.又因為x∈[-π,0],故取k角度一求三角函數(shù)的對稱軸或對稱中心所以fx)的最小正周期為,,所!所以-1≤f(x)≤2.所以當,fu)的最小值為一1;當,fx)的最大值為2.3.o>0,函數(shù)一個對稱中心為那么o的最小局部圖像如下圖，△KLM為等腰直角三角形，∠KML=90°,KL=的值為根據題意可設又由題圖解析：由題意知，點M到x根據題意可設又由題圖2.對于函數(shù)y=Asin(ox+φ),其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的解得3.函數(shù)的單調減區(qū)間為所以函數(shù)的單調減區(qū)間4.函數(shù)的圖像與x軸交點的坐標是解析：由fx)=xsinx知其定義域為R,為減函數(shù).第1組：全員必做題1.函數(shù)的定義域為3.函數(shù)(x)=2sinox(o>0)在區(qū)間上的最小值是一2,那么@的最小值等于所得函數(shù)(x)的對稱中心為(1,-1).答案：(1,一1)的條件.勺值域為,并且取最大值時x勺值域為,并且取最大值時x的值為.,解：(1)由1-2sinx≥0,根據正弦函的最小正周期為π令得(2)試寫出一個函數(shù)g(x),使得g(x)f(x)=cos2x,并求g(x)的單調區(qū)間.因為g(x)x)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x,所以g(x)=cosx-sinx符合要求.所以g(x)的單調遞增區(qū)間2.a>0,函,當時，-5≤fx)≤1.·,:∴g(x)的單調增區(qū)間為∴g(x)的單調減區(qū)間周期初相一個振動量時x0π0A001.函數(shù)圖像變換要明確，要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖像，得到哪個函數(shù)的圖像,考什么怎么考怎么辦命題角度全掃描甲,甲,局部局部,典例函數(shù)Fx)=3sin(2x-4),x∈R.xπ20π12π0300描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖,.t,∴2.(2013·蘇州暑假調查)函數(shù)的局部圖像如下圖，那么φ的值為 ·D,C分別為它的最高點和最低點，點F(0,1)是線段MD的中點，.設D點的坐標為(xp,2),那么由得點M的坐標為(-xp,0),,那么那么點M的坐標得全能演練大沖關全能演練大沖關對應學生用書得所得所,解得),即第1組：全員必做題2.將函數(shù)的圖像上每一點向右平移1個單位長度，再將所得圖像上每一點的橫坐標擴大解析：函數(shù)向右平移1個單位長度得將所得圖像上每一點在R上的局部圖像在R上的局部圖像最小值，那么φ=∈R,a≠0)的一個完整周期圖像，那么當q變化時，矩形ABCD周長的最小值為.時取等號.的周長為c,那么6.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)1,2,3,…,12)來表示，6月份的月平均氣溫最高，為28℃,12月份的月平均氣溫最低，為18℃,那么10月份的平均氣溫值為℃.;,;,,,g(x)取得最大值22.為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人時調整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份到達最多.(2)請問哪幾個月份要準備400份以上的食物?是12;由②可知，(2)最小，(8)最大，且f所以f(8)=500故所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關系式為化簡，得化簡，得解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.即只有6,7,8,9,10五個月份要準備400份以上的食物.第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式cos(afβ)=cos_acos_β±2.二倍角的正弦、余弦、正切公式cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a1.在使用兩角和與差的余弦或正切公式時運算符號易錯.2.在(0,π)范圍內，所對應的角a+β不是唯一的.解析：由1.公式的常用變形(1)tana±tanβ=tan(a±β)口2.角的變換技巧3.三角公式關系答案：1解析：法一：那么答案：考點一三角函數(shù)公式的根本應用那么那么,,,即①①的值為.[解析](1)由tanAtanB=tanA+所以那么運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tana+答案：2一題多變:sin(a-D=-,cos(a-D=310°,2.當“角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“角”;3.注意角變換技巧.故2.(2012·江蘇高考)設a為銳角，假設所以所以那么的值為那么答案：[課堂練通考點]那么的值是那么=-1.求cosβ的值.,,又又=cosacos(a-β)+sinas第1組：全員必做題2.(2014·常州期末)函最小正周期為_.解析：因所以最小正周期為的最大值為3.(2013-洛陽統(tǒng)考)函數(shù)，的最大值為2x-VScos2x+1=2sin(22x-VScos2x+1=2sin(2答案：3(2014蘇州調研)4.(2014蘇州調研)4..解析：由3sin2a=2cosα得5.(2013·南通二模)解析：依題意t那么從而tan(β-2a)=tan[(β-a)-α]=整理得2tan2a-3tana-2=0,解得tana=2或又α是第二象限的角，所以7.化簡的結果是.解析：原.解析：原.,,…,…又sin2a+cos2a=1,∴5sin2a=1,而.(1)求函數(shù)fx)在[-π,0]上的單調區(qū)間.(2)角α滿足),,求(a)的值.→cos2a+2sinacosa第Ⅱ組：重點選做題從而對應學生用書三角函數(shù)式的化簡考點一三角函數(shù)式的化簡(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”;(3)三看“結構特征”,分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等.研究三角函數(shù)式的求值，解題的關鍵都是找出條件中的角與結論中的角的聯(lián)系，依據角度一給值求值求2a-β的值角”,使其角相同或具有某種關系.(3)“給值求角”:實質是轉化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.,即得co2創(chuàng)新練得由得3.(2013·于是sinβ=sin[a—(a-β)]=sinacos(a-β)-cosas②②所以cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ又a+β∈(0,π),得∴T=2π,f(x)的最小值為-2.兩式相加得2cosβcosa=0.,,=sinacos(β-α)+cosas第二卷：提能增分卷的值.,,,cosa+β<0.∴,,,解得m解得m=1,n=2.A,b=2RsinB,c=2Rsin 1.由正弦定理解三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易無視解的判2.在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.解析：設BD=1,那么BC=2.在△ABD中，解得在△ABC的△ABC有兩個，那么實數(shù)k的取值范的一次式時，那么考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，那么要考慮兩個定理都有可能用到.那么△ABC的面積為2.設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.假設b+c=2a,3sinA=5sinB,那么角C解析：由3sinA=5sinB可得3a=5b,又b+c=2a,所以可令a=5t(>0),那么b=3t,c=7t,可得故考什么[典例](2013·徐州摸底)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosC-bcosC且C=120,因為A,B,C是三角形的內角，所以A+C=B+C,所以A=B.1.應熟練掌握正、余弦定理及其變形.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，通常根據三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.顯然cosA≠0,否那么由cosA=0得sinA=0,與sin2A+cos2A=1矛盾，所以[典例]在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,多變在本例條件下，假設sinB·sinC=sin2A,試判斷△ABC的形解：由正弦定理，得bc=a2,∴△ABC是等邊三角形.提醒：在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另外，在變形過程中要注意角A,B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響.滿足滿足(1)求角B;(2)假設a,b,c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀.解：(1)法一：由正弦定理得法二：由余弦定理得化簡得a2+b2-c2+ac=2a2,即b2-c2+ac=a2,由(1)知b2=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,即a=c,所以a=b=c,所以△ABC是等邊三角形.[典例](2013.蘇州暑假調查)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設B=60°且cos(B(2)假設a=5,求△ABC的面積.所以cosC=cos[(B+C)-B]一般是哪一個角就使用哪一個公式.中項.因為A+C=π-B,0<B<π,所以sin(A+C)=sinB≠0,所以所以所以ac=2.創(chuàng)新練[課堂練通考點]那么b=答案：13.(2014.鎮(zhèn)江質檢)在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC=得sinA:sinB:sinC=a:b:c,再利用余弦定理得4.(2013·山東高考改編)△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,假設B=2A,a=1,b解析：由及正弦定理所以,A=30.結合余弦定理得整理得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.答案：2(2)假設△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(即2C=A+B,所以第一卷：夯基保分卷A的大小為2.(2013·南京、鹽城三模)如圖，在△ABC中AD=5,AC=7,DC=3,那么AB的長為_.解析：在△ACD中，由余弦定理得∠ADC=120°,故∠ADB=60°,在△中，由正弦定理得ABD解析：由于△ABC的面積所以AB=4.由余弦定理得AC24.(2014·南京、鹽城一模)在△ABC中，假設9cos2A-4cos2B=5,那的值為解析：由題意得9(1-2sin2A)-4(1-2sin2B)=5,解析：設AC=b,BC=a,AB=c,那因為sinC≠0,所以sinBcosC=2sinAcosB所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA.(1)求cosA的值代入sin2A+cos2A=1,化簡整理得(2)由2b=a+c及正弦定理得2sinB=sinA+sinC.所以2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC.①代入sin2C+cos2C=1,整理得65sin2C-8sinC-48=0,的取值范圍.,,即72=132-3ac,得ac=40,第二卷：提能增分卷(2)求AC的長度且2BA·CB=-27., (1)求角A和角B的大小；那么cosC<0,即C為鈍角，∴B為銳角，且那么化簡得解得,:在△ABC中，設內角A,B的對邊分別是a,b.因為△ABC的面積,所以于是由余弦定理得,所以a2+b2=7.②由①②可所以a+b=2+√3.由正弦定理水平視線下方時叫俯角.(如圖(a)).2.方位角從某點的指北方向線起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為北或正南方向線與目標方向線所成的銳角.(2013·南京一模)如圖，海岸線上有相距5nmile的兩座燈塔A,B,燈塔B塔A的正南方向.海上停泊著兩艘輪船，甲位于燈塔A的北偏西75°方向，與兩艘船之間的距離為nmile.解析：連結AC,BC=AB=5,∠ABC=,,的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,那么A,B兩點的距離為 考點一研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇適宜的輔其方法測量者可以在河岸邊選定兩點C,D,測得CD=a,同時在C,D弦定理分別計算出AC和BC,再在△ABC中，應用余弦定理計算出AB.AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°求A,B兩點間的距離.置C,用經緯儀測出角α,再分別測出AC,BC的長b,a,那么可求出A,B兩點間的距離.試計算AB的長.試計算AB的長.AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,3.如下圖，到達，要測出AB的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點C,可以測距離m,再借助儀器，測出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中，運用假設測出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,那么A,B兩點間的距離為[典例]某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測點A,B兩地相距100米，∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時秒.在A地測得該儀器至最高點H時的仰角為30°,求該儀器的垂在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB.ACcos∠即(x-40)2=10000+x2-100x,解得x=420.故該儀器的垂直彈射高度CH為140√3米.[備課札記]求解高度問題的考前須知(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾(2)準確理解題意，分清條件與所求，畫出示意圖；(3)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用.(2010-江蘇高考)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m).示下圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=a,∠ADE=β.意圖如出H的差較大，可以提高測量精確度.假設電視塔的實際高度為125m,試問d為多少時，a-β最大?解得因此電視塔的高度H是124m.偏東45°偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile45°+a方向攔截藍方的小艇.假設要在最短的時間內攔截住，求紅那么AC=14x,BC=10x,∠ABC=解得x=2.所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α