2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第四講　隨機(jī)事件的概率　古典概型 學(xué)案

第四講隨機(jī)事件的概率古典概型

?雙基自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件的有關(guān)概念

1.隨機(jī)試驗(yàn)——對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察.常用E表示.

樣本點(diǎn)一隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果.常用w表示.

樣本空間——全體樣本點(diǎn)的集合，常用。表示.

2.隨機(jī)事件——樣本空間。的子集，簡(jiǎn)稱事件，常用A,8,…表示.

基本事件一只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.

在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)稱為事件A發(fā)生，Q一總會(huì)

發(fā)生，稱。為必然事件，。在每次試驗(yàn)中都坯H發(fā)生，稱。為不可能事件.

知識(shí)點(diǎn)二事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)表示

若事件A發(fā)生，則事件B

包含一定發(fā)生.,這時(shí)稱事件8

關(guān)系包含事件A（或稱事件A包含（或AqB）

于事件B）

相等若83A,且A3B.，則?-

A=B

關(guān)系事件A與事件B相等

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事

件A與事件5至少有一個(gè)發(fā)

并事件

生一，則稱此事件為事件A

（和事件）（或A+8）

與事件8的并事件（或和事

件）

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事

交事件件A與事件B同時(shí)發(fā)生，AnB

（積事件）則稱此事件為事件A與事件（或AB）

B的交事件（或積事件）

互斥若AnB為不可能事件，AnB=0

事件則稱事件A與事件B互斥

若AnB為不可能事件，

對(duì)立AUB為必然事件一，則稱ArIB=0,_

事件事件A與事件B互為對(duì)立事且AUB=Q

件

知識(shí)點(diǎn)三古典概型

1.概率——對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值).

2.具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)本有有限個(gè)一.

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_^球.

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的攵

個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率P(A)=*

3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)WL

⑵P(Q)=1,P(0)=0.

(3)如果事件A與事件B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).P(AB)=0.

(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)=LP(B).

(5)如果A=B,那么P(A)≤P(B).

(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

知識(shí)點(diǎn)四頻率與概率

在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.隨著

試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率以A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率

P(A).稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，因此，可用頻率以A)估計(jì)概率P(A).

歸納拓展

1.頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，概率是一個(gè)常數(shù).

2.對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，“互斥”

是“對(duì)立”的必要不充分條件.

3.求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)常用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排

列、組合知識(shí)，另外還有列舉法、列表法、樹狀圖法等.

4.當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式

的推廣，即P(Aι+Az+…+A")=P(4)+P(A2)+…+P(A”).

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)甲、乙二人比賽，甲勝的概率為］則比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng).(X)

(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三

個(gè)結(jié)果是等可能事件?(X)

(3)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于

古典概型.(×)

(4)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參

加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為g.(√)

(5)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是02(√)

題組二走進(jìn)教材

2.(必修2P235例8)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為焉_.

［解析］擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6X6=36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)

數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P=I一9=焉.

題組三走向高考

3.(2020?新課標(biāo)I)設(shè)。為正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任

取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(A)

A(B.2

5

C.；D.4

［解析］O,A,B,C,D中任取3點(diǎn)，共有OAB,OAC,OAD,OBC,OBD,

OCD,ABC,ABD,ACD,BCD10種，(或Cg=I0).

其中共線為A,O,C和B,O,。兩種，

21

故取到的3點(diǎn)共線的概率為P=正=亍故選A.

4.(2022?新高考I卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2

個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(D)

［解析］從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C^=21種不同

的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),

21—72

(6,8),共7種，故所求概率P=-^h=(故選D.

5.(2021.全國高考)將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概

率為(C)

A.0.3B.0.5

C.0.6D.0.8

［解析］將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10種排

法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)。不相鄰的概率為強(qiáng)=0.6,故選C.

考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系——自主練透

A例1(1)(多選題)(2022.山東濰坊核心素養(yǎng)測(cè)評(píng))不透明的口袋內(nèi)裝有紅

色和綠色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”

互斥而不對(duì)立的事件有(AB)

A.2張卡片都不是紅色

B.2張卡片恰有一張紅色

C.2張卡片至少有一張紅色

D.2張卡片至多有一張紅色

⑵一枚均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具

向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面

出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,則(D)

A.A與8是互斥而非對(duì)立事件

B.A與8是對(duì)立事件

C.8與C是互斥而非對(duì)立事件

D.B與C是對(duì)立事件

(3)設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)

+P(B)=I”,則甲是乙的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［解析］(1)“2張卡片都為紅色”的對(duì)立事件為“2張卡片不都為紅色”即

“2張卡片至多有一張紅色”.排除D；“2張卡片至少有一張紅色”包含“2

張卡片都為紅色”排除C.選AB.

(2)根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義作答,A∩B={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3},事件A,

B不互斥更不對(duì)立;B∩C=0,BUC=Q(O為必然事件)，故事件B,C是對(duì)立事

件.

(3)若事件A與事件B是對(duì)立事件，則AUB為必然事件，再由概率的加法

公式得P(A)+P(B)=I;投擲一枚硬幣3次，滿足P(A)+P(B)=1,但A,B不一

定是對(duì)立事件，如：事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件&“出現(xiàn)3次正面”，

71

則P(A)=+P(B)=G，滿足P(A)+P(B)=I,但A,B不是對(duì)立事件，故甲是乙

的充分不必要條件.

名幃點(diǎn)被MINGSHIDIANBO

(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的

事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)

事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.

(2)判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法

定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件

為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，

對(duì)立事件一定是互斥事件

①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合交集為空集，則事件互斥.

集合法②事件A的對(duì)立事件了所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所

含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.

〔變式訓(xùn)練1〕

（1）（2022.寧夏檢測(cè)）抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事

件A的對(duì)立事件為（B）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

（2）（多選題）（2022?江蘇蘇北七市三模）從裝有5只紅球、5只白球的袋中任意

取出3只球，下列各對(duì)事件為對(duì)立事件的有（BD）

A.“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”

B.“取出3只紅球”與“取出的3只球中至少有1只白球”

C.”取出3只紅球”與“取出3只白球”

D.“取出的3只球中至少有2只紅球”與“取出的3只球中至少有2只白

球”

［解析］（1）：”至少有〃個(gè)”的反面是“至多有〃一1個(gè)”，又；事件A”至

少有2件次品”，.?.事件A的對(duì)立事件為“至多有1件次品”.

（2）從裝有5只紅球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的情況有：

3只均為紅球；2只紅球1只白球；1只紅球2只白球；3只均為白球.所以，對(duì)

于A選項(xiàng)，”取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”為互

斥事件，但不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取出的3只球中至少有1只

白球包含：2只紅球1只白球；1只紅球2只白球；3只均為白球，故與取出3

只紅球?yàn)閷?duì)立事件，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，“取出3只紅球”與“取出3只白

球”為互斥事件，但不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，“取出的3只球中

至少有2只紅球”包含事件：3只均為紅球；2只紅球1只白球，“取出的3只

球中至少有2只白球”包含事件：1只紅球2只白球；3只均為白球，故為對(duì)立

事件，故正確.

考點(diǎn)二古典概型——師生共研

2?例2(1)(2022.四川攀枝花統(tǒng)考)有編號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)紅球和4個(gè)

黑球，隨機(jī)取出3個(gè)，則取出的球的編號(hào)互不相同的概率是(A)

43

A.γB.γ

C.ID.；

(2)(2023?廣西南寧摸底)從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則

這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為彳.

(3)(2023?河南豫東名校摸底)為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能,構(gòu)建“五育并

舉”的全面培養(yǎng)的教育體系，某校開設(shè)了傳統(tǒng)體育、美育、書法三門選修課程，

該校某班級(jí)有6名同學(xué)分別選修其中的一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修,

則恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的概率為(D)

A-%b-6

八77

c?36d-18

(4)(2022?湖北省調(diào)研)生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技

藝過人,這里的“六藝”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、

射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展

了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，

“禮”和“樂”必須分開安排的概率為(C)

??B?

a

A60-6

C13r1

c-6(jD,4

［解析］(1)有編號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)紅球和4個(gè)黑球，隨機(jī)取出3個(gè)，基

本事件總數(shù)〃=α=56,

取出的編號(hào)互不相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=CiCIC1Ci=

32(或加=C等=32),則取出的編號(hào)互不相同的概率是P=*H=小故選A?

(2)如右圖，選正方體6個(gè)側(cè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，共有6種選法；過中心。的

平面共有6個(gè)平面，每個(gè)平面含9個(gè)點(diǎn)中的5個(gè)，則共有6C4種選法；所有可能

情況有所以這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為嚕星=得=*故答案為,

χ-?yL/U//

(3)6名同學(xué)分別選修一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，共有

佟等+α+αc支;AT=540種.恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的情況:

CMa+窄)A3=21O種.?'?P=舒=-??故選D.

(4)解法一：當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，“禮”“樂”分開有Ag—A執(zhí)之種排法;

當(dāng)“數(shù)”位于第二位時(shí)，“禮”“樂”分開有Ag-CJA認(rèn)之種排法.

故滿足條件的事件的概率為：

Ag—C?ALM+A?—AaAa13

--------------Al--------------=60'故選C?

解法二：當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，有用AZ種；當(dāng)“數(shù)”位于第二位時(shí)，有

AWA3+CLM+GA3A313

CLM+GA3A3種，總排法有AR種，.?.所求概率P=Al=60-

7

［引申］本例(4)中，(1)“必須分開”改為“相鄰”，則概率為而—

3

(2)“必須分開”改為“不和‘?dāng)?shù)'相鄰”的概率為去

_1_

［解析］

(I)P=AR=而?

CiAHCiClA^3

Q)P==20'

名幃點(diǎn)帔MINGSHIDIANBO

求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本

事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表

法和樹狀圖法，較復(fù)雜事件的基本事件數(shù)可用排列、組合知識(shí)求得，具體應(yīng)用時(shí)

可根據(jù)需要靈活選擇.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(1)(2022.安徽淮南模擬)盒中裝有形狀大小相同的球6個(gè)，其中紅球3個(gè)，編

號(hào)為1、2,3,藍(lán)球3個(gè)，編號(hào)為4、5、6,從中取2球，則兩球顏色不同，且

編號(hào)之和不小于7的概率為(B)

A.1B.I

c?Wd?5

(2)(2023?河南鄭州名校調(diào)研)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相，則甲、

乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為(A)

?-eB-2

C.；D.I

［解析］(1)記''從盒中取2球，兩球顏色不同，且編號(hào)之和不小于7”為事

...1+Cl+Ci2,,

件A.則P(A)=&=予故選B.

(2)：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相，

基本事件總數(shù)〃=A∣=24,

甲、乙兩人中至少有一人站在兩端包含的基本事件個(gè)數(shù)m=A，一A3A3=2O,

二甲、乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為：

P=*號(hào)/故選?-

考點(diǎn)三較復(fù)雜的古典概型問題—多維探究

角度1古典概型與平面向量的交匯

A例3(2022.安徽黃山模擬)從集合｛1,2,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合

｛2,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)4則向量機(jī)=5，勿與向量〃=(2,—1)垂直的概率為

12

--

A.99

BD.

12

C--

33

［解析］機(jī)，〃臺(tái)b=2",...滿足加，〃的(α,加有(1,2),(2,4),2個(gè)，又基本

事件有(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(4,2),(4,4),(4,5),9個(gè)，；.所求

2

概率尸=$故選B.

角度2古典概型與幾何的交匯

??■例4(1)(2022?甘肅蘭州模擬)雙曲線C：，一方=l(α>0,b>0),其中。

∈{1,2,3,4},8∈{1,2,3,4},且α,人取到其中每個(gè)數(shù)都是等可能的，則直線/：y

=%與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為(B)

??B3

A?4a-8

c?2D,8

(2)(2023?江蘇徐州期中抽測(cè))從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則

所得三角形是正三角形的概率是(B)

??B?

Λ?427

C3r3

C.亟D.7

h

［解析］(1)直線/：y=x與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，貝b>1,基

本事件總數(shù)為4X4=16,滿足條件的(α,加的情況有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),

3

共個(gè)(或?∣個(gè)，故概率為

(2,4),(3,4),6C+C3+C=6())QO.

(2)如圖所示，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，基本事件有CB=

56種，在正方體中，滿足任取3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成正三角形有8種，頂點(diǎn)的集合分別

是{AC,Bι},{A,C,Dι］,{B,D,Cι},{B,D,Al},{Al,Cι,B},{Ai,

Q1

Cl,D},{B1,Di,A},{B1,Dι,C},所以所求概率為后='.故選B.

角度3古典概型與函數(shù)的交匯

1

2?例5（2022.吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）已知函數(shù)/U）=33+0√+∕x+l,若a

是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，〃是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函

數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為（D）

A.ξB.I

C.ID.?

［解析］求導(dǎo)得/'（九）=<+2℃+〃，要滿足題意需χ2+20r+b2=0有兩個(gè)

不等實(shí)根，即/=4（屋一/）〉0,即α>b,又α,。的取法共有3X3=9種，其中滿

足α>b的有（1,0）,（2,0）,（2,1）,（3,0）,（3,1）,（3,2）共6種，故所求的概率為P=S

_2

=于

角度4古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合

2?例6（2022?天津南開中學(xué)模擬）為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況，某學(xué)

校收集了本校500名學(xué)生2021年12月課余使用手機(jī)的總時(shí)間（單位：小時(shí)）的情

況.從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直

方圖I.已知這50名學(xué)生中，恰有3名女生課余使用手機(jī)的總時(shí)間在［10,12］,現(xiàn)

在從課余使用手機(jī)總時(shí)間在［10,12］的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，則至少抽

［解析］：這50名學(xué)生中，恰有3名女生的課余使用手機(jī)總時(shí)間在口0,12］,

課余使用手機(jī)總時(shí)間在［10,⑵的學(xué)生共有50X0.08X2=8（名），,從課余使用手

機(jī)總時(shí)間在［10,12］的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，基本事件總數(shù)〃=C3=56,至少抽到

2名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)"Z=d+dc4=16,則至少抽到2名女生的概率為

Cm162*?-

P=Tr=A=〒故選c?

23

［弓I申］本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率為黃；(2)“至多抽到1名女

Zo

生”的概率為'.

［解析］⑴解法一：抽到1名女生的概率P產(chǎn)普=品，

抽到2名女生的概率尸2=C*d=靠15，

Cq1

抽到3名女生的概率尸3=0=后，

23

.?.至少抽到1名女生的概率P=Pl+P2+P3=荻.

解法二：記''至少抽到1名女生”為事件A,

則了：抽取3名男生，

—Cg523

???P(A)=I-P(A)=I一點(diǎn)=1一詆=函

(2)沒有抽到女生的概率尸4=卷Cg=余5，

，至多抽到1名女生的概率P=P1+P4=,.或P=I-P2—P3=半.

名帥點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO

較復(fù)雜的古典概型問題的求解方法

解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事

件，求出基本事件總數(shù)和隨機(jī)事件中所含基本事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的

概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

互斥事件的概率的求法

一第一步，根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和；第二步,

直接法

運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算概率

第一步，求事件的對(duì)立事件的概率；第二步，運(yùn)用公式P(A)=I—P(A)

間接法

求解，特別是含有“至多”“至少”的題目，用間接法就顯得比較簡(jiǎn)便

〔變式訓(xùn)I練3〕

(1)(角度1)設(shè)平面向量α=5U),b=(2,n),其中〃z,〃e{1,2,3,4},記％

為事件A,則事件A發(fā)生的概率為(A)

11

--

A.8B.4

C.jD.2

(2)(角度2)(2023?河北七校聯(lián)考)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意選取的一個(gè)

Y2V21

元素，則橢圓5+??=ι的焦距為整數(shù)的概率為彳.

mZZ—

(3)(角度3)(2022?四川威遠(yuǎn)中學(xué)月考)若α,?∈{T,0,1,2},則函數(shù)於)=加

+2x+0有零點(diǎn)的概率為(A)

13c7

?lleB-8

(4)(角度4)(2022.衡水中學(xué)模擬改編)某中學(xué)有初中生1800人，高中生1200

人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100

名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中生”和“高中生”分為兩組,

再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))分為5組:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)?

[40,50],并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則至少抽到1名高

7

中生的概率為行.

[解析](l)ɑ?(a—b)0a?(a—b)~0^m2—2m—〃+1=0,即〃=(〃?一I)2,又

加、〃∈{1,2,3,4},：.(m,〃)共有16個(gè)，而事件A僅包括(2,1),(3,4),2個(gè)，

21

.?.P(A)=M=g,故選A.

(2)由題意知橢圓的焦距2c=2y∣m-2或2c=2??∣2f,.?.m=l,3,ll,二所求

31

概率

P=7o=5Z?

(3)α,A∈{T,0,l,2},(α,份的取法