2023年東北三省三校高考數(shù)學(xué)三模試卷

2023年東北三省三校高考數(shù)學(xué)三模試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設(shè)集合a={%∣1<2一<8},B={x∣y=√一婷一2x+8},則力CB=()

A.[-4,3]B.(0,2]C.[-4,0)D.[2,3)

2.已知復(fù)數(shù)Z=若，則∣z∣-z=()

A.1+iB.1C.1—iD.

3,平行四邊形48CO中，點M在邊48上，AM=3MB,記乙？=

a,^CM=b,則亦=()

A.料一的B.軟一扣C.以一料D.Ia-^b

4.記α,b,c,d為1,2,3,4的任意一個排列，則使得(α+b)(c+d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為

()

A.8B.12C.16D.18

5.已知函數(shù)/⑶=%2,平面區(qū)域。內(nèi)的點P(X,y)滿足/(χ)+f(y)<l,f(Q^∣)+

則。的面積為()

/(λ∏y∣)>1-

TrTT

A.2B.2-?C.TtD.π—2

6.己知四棱錐P-ABC。的底面為正方形，PDl底面ABC。，PD=ZD,點E是線段PB上的

動點,則直線CE與平面PBC所成角的最大值為()

?-R-C-Γ)-

c.6u?4?32

7.如圖，陰影正方形的邊長為1,以其對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點，作

第2個正方形；然后再以第2個正方形的對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個正方形的頂點，

作第3個正方形；依此方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個正方形，第般個正方形的面

積為則￡混。即]=()

αn,3[cos(wτ)[02

A.1011B.-1011C.1012D.-1012

8.已知函數(shù)/(χ),對任意的XeR,都有/^(χ)+/(-X)=X2,當(dāng)％e[o,+8)時，∕/(%)-%-

1<0,若f(2—α)≥f(α)+4-4α,則實數(shù)α的取值范圍為()

A.[0,+∞)B.[l,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知兩個事件4,B,滿足P(A)>0,P(B)>0,則下列結(jié)論正確的是()

A.若A,B為相互獨立事件，則P(B)=P(BlA)

B.若P(BM)=P(B),則P(AIB)=PG4)

C.P(AB)+P(AB)=P(B)

D.P(Bl4)+P(B?A')=P(AB)

10.已知函數(shù)f(無)=2sin(ωx+<p)(ω>0,0<φ<π)J(?)=2,∕φ=0,且f(x)在(泊)

上單調(diào).則下列結(jié)論正確的是()

A.ω=3

B.0=微

C./(X)在區(qū)間[0節(jié)上有2個零點

D.若%1,%2∈(π,y)(x1≠X2)>且∕Q?)=/(X2)-則/01+X2)=-2

11.正四棱錐P-ABCO中，PA=2,AB=M,過點B作截面

分別交棱P4PC、Pn于點E、F、M,且EF〃/1C,則下列結(jié)論

正確的是()

A.若M為PZ)中點，則EF=g

B.若PD_L平面BEMF,則截面BEMF的面積

C.若E、F為所在棱的中點，則PM=，

D.若E、尸為所在棱的中點，則點P到平面BEM尸的距離為了

12.已知曲線G：X3+y3—6xy=0(x>0,y>0),則()

A.曲線G關(guān)于直線y=》軸對稱

B.曲線G與直線久+y-6=O有唯一公共點

C.曲線G與直線x-y+l=O沒有公共點

D.曲線G上任意一點到原點的距離的最大值為3C

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數(shù)/(x)=SinX?sin(x+0),若三與6R,使得/^(Λ?)=1,則W=.(寫出符合

條件的一個少值即可

)

14.若對于定義在R上的函數(shù)y=f(%),當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個非零自變量值使得/(-&)=

42

-∕^(x0))則稱y=/(X)為類奇函數(shù)，若函數(shù)y=X+(α-I)X2+asinX為類奇函數(shù)，則實數(shù)

ɑ的取值范圍為.

15.若α=log??+/。必？/=/owe+仇2,c=也則實數(shù)α,b,C由小到大排列為<

<.

16.將五個1、五個2、五個3、五個4、五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)(每格填入

一個數(shù))，使得同一列任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.設(shè)每列中五個數(shù)之和的最小值為M,則

M的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，四邊形4BBv4ι是圓柱OOi的軸截面，點M是母線CCl的中點，圓柱底面半徑R=

y∕~2,AA1=2.

(1)求證：OlCl〃平面4BM；

(2)當(dāng)三棱錐4-ABC的體積最大時，求平面4BM與平面CBM夾角的余弦值.

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛%｝的前n項和為無,滿足2Srj=3(bn-1),等差數(shù)列｛c7l｝中,Cl=5,c1+c2+c3=

27.

⑴求｛狐｝和&｝的通項公式;

(2)數(shù)列｛%｝與｛4｝的共同項由小到大排列組成新數(shù)列｛azι｝,求數(shù)列｛azι｝的前20的積Ro.

19.(本小題12.0分)

我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在做書九章J)中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，

求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為:S=Ji[α2c2-(±t±^)2]……①(其中AABC內(nèi)角4

B,C所對的邊分別為a、b、c,S為△4BC的面積)

(1)證明公式①；

(2)已知AABC三條邊BC,AC,4B的高分別為%=F,∕?=Y1∕c=QH,求S?

20.(本小題12.0分)

碳中和是指國家、企業(yè)、產(chǎn)品、活動或個人在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的二氧化碳或溫室

氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排

放量,實現(xiàn)正負(fù)抵消，達到相對“零排放."2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國

大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放

力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.某工廠響應(yīng)國家號召，隨著對工

業(yè)廢氣進行處理新技術(shù)不斷升級，最近半年二氧化碳排放量逐月遞減，具體數(shù)據(jù)如下表：

月份序號(3123456

碳排放量仍(噸)1007050352520

487488

并計算得∑*=ι*=91,∑f=1tiInpi≈73.1,1XJnPia22.5,e?≈130,e?≈132.

Q)這6個月中，任取2個月，求已知其中1個月的碳排放量低于6個月碳排放量的平均值的條件

下，另1個月碳排放量高于6個月碳排放量的平均值的概率；

(2)若用函數(shù)模型P=POekt對兩個變量月份t與排放量P進行擬合，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出P關(guān)于

t的回歸方程.

附：對于同一組數(shù)據(jù)(xι,yι),(x2,y2),…，(xn,yn),其回歸直線$=+：的斜率和截距的

最小二乘估計公式分別為：b=a=y-bx.

∑%(石τ)

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：?+?=1.

164

(1)若P(XOJo)為橢圓上一定點，證明：直線答+學(xué)=1與橢圓C相切；

(2)若P(XO,%)為橢圓外一點，過P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M、N,直線MN分別交

直線y=∣x,l2:y=—TX于4B兩點，且△4。B的面積為8.問：在X軸是否存在兩個定

點Fi、F2,使得IlPFll-∣PF2∣∣為定值.若存在，求居、尸2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.(本小題12.0分)

已知f(%)=ex.sinx—x.

(1)若g(x)=2-2：)(x)(0<%<方,證明：g(χ)存在唯一零點；

(2)當(dāng)xe(-8,7r)時?，討論f(x)零點個數(shù).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：4={x∣0<X<3},F={x∣—X2—2x+8≥0}={x?x2+2x-8≤0}={x∣-4≤

X≤2},

??AΓ?B=(0,2].

故選：B.

可求出集合4,B,然后進行交集的運算即可.

本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，交集的定

義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

l+i_(l+i)2__21_21

【解析】解：

VZ口=(IT)(I+i)=匚？=萬

?-?∣z∣—z—∣i∣—(―i)—1+i.

故選：A.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡Z,可得IZl與2,則答案可求.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：AD=CD-CA=^MA-CA=^(CA-CM}-CA=?-CM=?-?.

??????

故選：D.

根據(jù)平面向量的線性運算法則，即可得解.

本題考查平面向量的基本定理，熟練掌握平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算法則是解題的關(guān)鍵,

考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由已知得前兩位α和8一奇一偶，有戲G掰=8種排法，

后兩位C和d一奇一偶，有心=2種排法，

根據(jù)分步計數(shù)原理，使得(α+b)(c+d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為8X2=16種.

故選：C.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分前兩位一奇一偶，后兩位一奇一偶安排，利用先取后排的原則作答即

可得到結(jié)果.

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由∕Q)=X2,/(X)+/(y)<ιj(√-ki)+/(√-bd)>1-

得：作出不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

(∣x∣+∣y∣>1

由圖可知，0的面積為TT義1?—X=兀一2.

故選：D.

由題意可得點P(χ,y)所滿足的不等式組，作出可行域，再由圓的面積減去正方形面積得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：由題意，因為ABCz)為正方形，且PDl底面4BCD,

以。為原點，DA,DC,OP所在直線分別為X,y,Z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=AD=I,

則D(0,0,0),ff(l,l,0),C(O,1,O),P(O,O,1)>所以而=(1,1,-1),

PC=(0,1,-1).設(shè)方=A而，λ∈[0,1].則兩=(/1,尢一用，

所以E(4,4,1-4),即灰=(4,4,1-4),設(shè)平面PBC的法向量為五=(X,y,z),

則低.竺=0,有]：+；—：一°,解得X=0,y=z,Wy=z=l,

E?PC=0ky-Z=O''

所以平面PBC的一個法向量為亢=(0,1,1),

設(shè)直線DE與平面PBC所成角為θ,

∏l∣∣sinΘ=∣cos<n,DE>∣=J;黑=----.1—=----；■1

222,

'l"l∣DE∣√-2χJ2λ+(l-Λ)y∕~2×y∣3(λ-∣)+∣

因為y=Sin仇Se[0,總單調(diào)遞增,所以當(dāng)4=守時，

S譏。=?最大，此時即直線DE與平面PBC所成角的最大值為余

故選：C.

根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，利用函數(shù)的最值，即可得結(jié)果.

本題考查線面所成角，最值問題，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：第一個正方形的邊長為瓦=1,面積為的=&=1,

2

第二個正方形的邊長為電=2X瓦)=√^2瓦，面積為a2=好=(√^7h1)=2瓦=2a1,

,2

第三個正方形的邊長為b3=2×2)=√^2?2面積為α3=優(yōu)=(y∕~2b2)=2b1=2α2,

進而可知：｛αj是以公比為2,首項為1的等比數(shù)列，

n1n1

所以Qn=2^,log2an—log22~=Tl-1,

Ln為偶數(shù)

由于C0snττ=

-l,n為奇數(shù)'

所以Σ[cos(mr)[0①噎|=∑∏='ι3[cos(nπ)?(n-1)]=0+1—2+3—4+54------F2021—

2022

=0+(1-2)+(3-4)+-+(2021-2022)=-1×202^-1=-1011.

故選：B.

n

根據(jù)圖形規(guī)律可知｛an｝是以公比為2,首項為1的等比數(shù)列，進而根據(jù)c。Smr=F'為偶?”，并

I-I,n為奇數(shù)

項求和即可.

本題考查了等比數(shù)列的通項公式和分組求和，屬于中檔題.

8.【答案】B

1

-1X2+X

【解析】解：令g(χ)=/(X)--％,則g(-%)=/(-%)2-

則g(x)+g(-χ)=f(χ)+/(-χ)-χ2=0,得g(χ)為RJs的奇函數(shù)，

??,X≥0時，g'(%)=∕,(x)一%—1V0,故g(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

再結(jié)合g(0)=。及g(%)為奇函數(shù)，知g(x)在(-8,+8)為減函數(shù)，

由不等式f(2-α)≥/(α)+4-4a,

可得/(2-a)—2(2—Q)2—(2—Q)≥/(Q)+4—4a——(2—ɑ)2—(2—Q),

1-1

2

整理得到/(2—ɑ)--(2—a)2—(2—Q)≥f(Q)--CL-Cl9

即g(2-a)≥g(a),可得2-a≤Q,解得a≥l,

所以實數(shù)a的取值范圍為［1,+8).

故選：B.

令g(x)=/'(無)-卜2一X,由g(τ)+g(%)=0,可得函數(shù)g(χ)為R上的奇函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)可得函

數(shù)g(%)在R上是增函數(shù),/(2-a)-/(a)≥2-2a,即g(2—a)≥g(a),可得2-a≥a,由此解

得a的范圍.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于4,若A,B為相互獨立事件，貝IJP(AB)=P(AB),則有P(BIA)=嬲=筆翼=P(B),A

正確；

對于B若P(BM)=P(B),即需=P(B),變形可得P(4B)=P(A)P(B),故P(AIB)=翻=

rlzι√γ?d)

畸詈=P(A),B正確；

對于C,由全概率公式可得：P(B)=P(A)P(BM)+P(4)P(B∣4)=P(4B)+P(4B)，C正確；

對于D,P(AB)=P(A)P(BM),。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)題意，由條件概率的計算公式依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

本題考查條件概率的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及相互獨立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：由函數(shù)/(x)=2sin(ωx+?o)(ω>

0,0<φ<π),

因為「給)=2√φ=0,可得Sin(3×?+φ)=

l,sin(ωxg+尹)=0,

可得駕+卜逐號+

<P=≡+2φ=k2π,(∕c1∈

Z,k2∈Z),

則3=(后的∈

4(fc2-2∕c1)-2,eZ,Z),

又因為f(X)在XeGJ)上單調(diào),所以裊JY=I即τ≥∕,

。乙ZZO??

因為3>0,可得CI)=—≤3,

?-2k=4,可得3=2,則萼+w=3+2的兀,七6Z,可得W=T+2七兀,七eZ,

1IZZJ

又因為0<9<τr,可得s=g,可得f(x)=2sin(2x+

檢驗：當(dāng)X∈GW),2x+∣∈(y,y),故f(X)=2S譏(2X+)單調(diào)遞減,滿足題意,

所以4不正確，8正確;

由％∈[0,爭可得2%+T∈g,2ττ],

令/(x)=0,即sin(2%+勺=0,解得％=g或X=罟

所以函數(shù)/(X)在[0,普]上有兩個零點，所以C正確；

令則弓壽

?x∈≠x2,2x+∈(?,?)'2x+g=t,t6)，

因為％,&且可得

e(π,y)(x1≠X2)-/(Xl)=Z(X2)>f(tl)=/?2)，

根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得空=*即〃+逅=5叫

即2X]+g+2xι+g=5π,可得X÷x=~τ~>

??1O2

所以乂早+今=所以不正確.

/Qι+x2)=2sin(2√~3>D

故選：BC.

根據(jù)題意求得函數(shù)/(X)=2sin(2x+今,可判定4錯誤,8正確；由X∈[0,手,得到2%+為∈臣2利，

令求得=裁%=,可判定正確；令轉(zhuǎn)化為得到

f(x)=0,X?C2x+?=t,fG)=/(t2),G+t2=

5π,進而可判定。錯誤.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：在正四棱錐P-ABCD中，AC.BD、PO兩兩垂直，建系如圖，

因為PA=2,AB=O,則APAC,APBD是等邊三角形，

Λ(0,-l,0),B(LO,0),C(0,l,0),D(TO,0),P(0,0,√3),

若M是PD中點，則過M作MQIBC交BD于Q,則Q為OD中點，EF交OP于G,

∣∣∣∣∣β≤_-2_<32√3215

則BM-MQ-3，n0Gr=~X3=~'PG=M，

—=—?,4A正確.

POAC,EcFc=~j^~=3

PD1平面BEMF,則M是P。中點，且BM1EF,

S四邊形BEMF=%X%XJ（_,2+W）2=浮，B錯誤；

當(dāng)E、F均為中點時，

設(shè)打=2麗，PM=μ^PD,

-->1—>1一>…，>,>?1一,>>—?2?1,

???PG=-PO=4（PB+PD）,BG=PG-PB=Z（PB+PD）-PB=--PB-{--PD9

又BM=PM-PB=NPD-PB，：.BG=λfiPD一入PB,：?人μ

?PM=|，故C錯誤；

若￡、F均為中點，則EQ,-；,?）,/7（0；,?）,

???BE=（-1,一；,?）,BF=（―l,?,?）,

n?麗=-X--y+—z=0

2

設(shè)平面尸的法向量是記=_C，令

BEM(x,y,z)1k1X=I,y=0,Z=TT

n.RF=—X÷-y+—z=0

平面BEMF的法向量是記=(1,0,1)，

又麗=（一LO,√3）,

,?BP?n?-1+2

???點P到平面BEMF的距離為d=；故。正確.

11I0+1+4

故選：AD.

根據(jù)空間幾何體的特征，結(jié)合每個選項的條件計算可判斷每個選項的正確性.

本題考查利用向量法求空間距離，考查截面面積，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：4將(α,b),(瓦。)代入曲線方程有(？+。3-6助=0都成立,即曲線G關(guān)于直線y=X

軸對稱，A對；

B.將y=6-X代入曲線方程有爐+(6-X)3-6x(6-X)=0,整理得/-6x+9=(x-3)2=0,

.?.x=y=3,即曲線G與直線X+y-6有唯一公共點(3,3),B對；

C.將y=X+1代入曲線方程有/+(χ+1)3-6x(X+1)=0,整理得2/-3x2-3x+1=0,

令/(x)=2/—3/—3x+1,則/'(X)=3(2χ2-2x-1),且％>0,

??.在(匕/,+8)上[(X)>0,"%)遞增；在(0,巨尹)[(X)<0,f(x)遞減，

又f(0)=1>0,〃|)=6>0,/(手)=-年-1<0,

.??f(x)在(0,+8)上有兩個零點，C錯；

。.令曲線G上任意一點(rcosO,rsinO)且?！?。,今，且到原點的距離為r,

???r3(cos30+s20)=6r2cosθsinθ,則r=黑黑?=砌湍罌臉P

設(shè)t=cosθ+sinθ=√7sin(0+≡)∈(1,√^2],則cos9sin8=

6(t2-l)612

:?T=-----T-=------l1-------7，

t(3-t)f3t—￡

令y=3t—t3,t∈(l,√^^2],y,=3(1-t2)<0,即t6上y單調(diào)遞減，

.■r=-5+券在te(1,上單調(diào)遞增，

?,?rmax=1+=3√^^Σ,D對?

故選：ABD.

A可看出(α,b),(b,α)都滿足曲線G的方程，從而得出曲線G關(guān)于y=x對稱；

B.聯(lián)立直線％+y—6=0和曲線G的方程解出X,y即可判斷B的正誤；

C.將y=X÷1代入曲線G的方程,整理得2/-3X2-3x+1=0,然后設(shè)/(%)=2x3-3x2-3x÷

I,求導(dǎo)可得出/(X)在(竽,+8)上遞增；在(0,匕F)上遞減，并得出/(O)>o,∕(∣)>

oj(iip)<o,從而可判斷C的正誤；

。.曲線G上任意一點(rcosars譏。)且。e(O,ξ),且到原點的距離為r,然后得出r=

(cos"：；黑，SinT設(shè)t=cosθ+sinθ=QSin(O+》得出t∈(1,。］,然后可得出r=-θ+

懸，并可判斷該函數(shù)在(1,47]上單調(diào)遞增，從而可求出r的最大值，從而可判斷。的正誤.

本題考查了關(guān)于y=χ對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系，直線和曲線交點坐標(biāo)的求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函

數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法，增函數(shù)的定義，考查了計算能力,

屬于中檔題.

13.【答案】2兀(答案不唯一)

【解析】解：令C=2π,/(x)=SinXSiMX+2ττ)=sinxsinx=sin2%,

m%o=P則/(Xo)=/⑤=siM>l,故*=2兀符合題意.

故答案為：2以答案不唯一).

令<jp=2τr,化簡函數(shù)∕^(x),/(x)=Sin2%,驗證f(A?)=1即可.

本題考查誘導(dǎo)公式，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(—1,1)

【解析】解：依題意，令鏟+(α2—l)x2+asinx+(-x)4+(α2—l)(-x)2+asin(-x')=0,

BP2X4+2(a2—I)X2=0,BPx2[x2+(a2—1)]=0,

2

則/+a-l=。存在有限個非零實數(shù)解，

則1-a2>0,解得一1<a<1.

故答案為：(—1,1).

根據(jù)題意可得/+a2-1=0存在有限個非零實數(shù)解，由此可建立關(guān)于a的不等式，解出即可.

本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，理解類奇函數(shù)的定義，方程有解的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】bca

【解析】解：a=log23+看,b=log2e+康,C=V=I+|,

設(shè)/(%)=%+%(%>1)，

則Q=/(log23),b=/(log2β),C=∕φ,

??"'(χ)=i—妥>o在(i,+8)上恒成立，.??/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

,

???Iog23>IOg22。=|,log2e<log22√^2=

3

.?.log23>->log2e,

???a>c>b.

故答案為：b<c<a.

先得到對勾函數(shù)/(x)=久+：在(L+8)上單調(diào)遞增，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查對勾函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的運算法則與性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】10

【解析】解：由題意得5個1分布圖表：

11145

11245

22245

33245

33345

依據(jù)5個1分布的列數(shù)的不同情形進行討論，確定M的最大值，

(I)若5個1分布在同一列，則M=5：

(2)若5個1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故2M≤5×l+5×3=20,

故M≤10；

(3)若5個1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故3M≤5xl+5x2+

5×3=30,故M≤10；

(4)若5個1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個數(shù)大于3,這與已知矛盾，

綜上所述，M≤10；

另一方面，如上表的例子說明M可以取到10,故”的最大值為10?

故答案為：10.

根據(jù)題意，由5個1分布的列數(shù)不同情形進行討論，即可確定用的最大值.

本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)證明：連接00「。。InAlB=N,則0。1/CC1，且。Ol=CC1，

VO1N=ON,MC=MC1,.?.01C1//MN,

VOIClC平面41BM,MNU平面&BM,.?.OlCI〃平面&BM,

(2)解：設(shè)4C=α,BC=b,則α2+∕√=8,VAi.ABC=∣5ΔΛBC-AA1=1ab≤^×2?=

當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2,體積最大，

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C-盯z,

Aι(2,0,2),B(0,2,0),M(0,0,1).則前=(0,2,-1),MA^=(2,0,1),

設(shè)平面M的法向量元=(%,y,z),

貝Ji?.吧=2y-z=0

不妨取Z=2,則記=(-1,1,2),

{n?MA1=2x+z=0

取平面BCM的法向量而=(1,0,0),則ICos＜而，元＞|=得得=詈,

所以平面AlBM與平面BCM夾角的余弦值為華.

6

【解析】(1)由已知可證OlCi〃MN,進而可證結(jié)論;

(2)設(shè)4C=α,BC=b,可得AC=BC=2,體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求平

面4BM與平面CBM夾角的余弦值.

本題考查線面平行的證明，考查面面角的求法，屬中檔題.

18.【答案】解：⑴Vn∈N*,2Srι=3(匕-1),當(dāng)n≥2時，2Srιγ=3(垢T-1),兩式相減得:

2bn=3bn-3hn.1,

即brι=3brι-ι,而2瓦=2S1=3(b1—1),

解得瓦=3,

因此數(shù)列｛砥｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以“=3巳

在等差數(shù)列｛cτι｝中，由Cl+C2+c3=27,得3C2=27,

解得C2=9,

則公差d=c3-C2=4,cn=c1+(n-l)d=4n+1,

n

所以｛%｝和｛〃｝的通項公式分別為&=3,cn=4n+l;

(2)令數(shù)列｛%｝的第Tn項與數(shù)列｛與｝的第k項相同，即Cm=bk,m,k∈N*,

于是4m+1=3k=(4-l)k=以#+(-l)C3k^1+(-l)2Cfc4fc-2+…+(-l)k-1?-14+

(T)"，

顯然Cf4?k+(-l)C3k^1+(T)2或小-2+...+(—1)JCtT4是4的正整數(shù)倍，要4m+1=3小成

立，

當(dāng)且僅當(dāng)k為正偶數(shù)，因此數(shù)列｛brι｝與｛cn｝的共同項為∕?n=32n=＞，即廝=＞，

所以T20=9X92X93X…X920=91+2+3+"+2°=921°.

【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式求出bn=3%γ(n≥2),即可求出匕，再求出等差數(shù)列｛d｝的公

差，利用等差數(shù)列的通項公式求出Cn作答；

(2)利用二項式定理分析、探求出即的表達式即可求出「20作答.

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)在△?!BC中，AB=c,AC=b,BC=a,

過點4作4D1BC,設(shè)4D=∕ι,BD=x,CD=y,

fx+y=a-------------------------

由/l2=c2_/得：%=次+'2-廬,=業(yè)V,J4α2c2-(α2+c?2-b2)2,

(h2=b2-y22a2an~~

222222

]y∣4αc-(α+c-ft)

/1r97zc2+(z2-∕j2

√—2—)「

.,,,LCL111x∏L5y∏?∏L0

(z2π)λffla∕ι=bht)—chff知rQ：b：c=-：—：——―-—：-τ-：，

acZIa∣lfyZIC?乙XU

設(shè)CI=1^k,b==k,c=^^?k,k>0,

???號l<2=gk，?k—2√^5，

?a=2yJ~3,b=?/IO1c=V-2,

所以S=Ta%=；x2qxf=C.

LL3

【解析】(1)在AaBC中，過點4作ADJ_BC,設(shè)AD=∕ι,BD=x,CD=y,算出九=

J4α2c2-(α2+c2-b2)2,然后利用面積公式即可證明；

2a

(2)由α%=b∕?=c七可設(shè)a=Wk,b=?k,c=[*k，k>0,代入三角形面積公式可得S=

*k2=gk,解出k,求出a,即可求解.

本題考查解三角形問題，三角形面積的求解，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)事件4表示“1個月的碳排放量低于6個月碳排放量的平均值”，事件B表示

“1個月碳排放量高于6個月碳排放量的平均值”，

cjcj

則P(B⑷=需=3Ca=

P(A)C3C3÷c32

(2)由P=POeM可得，》p=kc+仇po，

則k=%t即PT%S≈γ.32,

∑之濟-6t

7

所以a=3.75+0.32XI=4.87,

所以回歸方程為)p=-0.32t+4.87,

所以P=e4?87?e-0?32t≈130e-o?32t.

【解析】(1)利用條件概率的概率公式求解；

(2)由P=Poekt可得，InP=kt+Inpo,利用所提供的數(shù)據(jù)求出々,進而求出a,得到P關(guān)于t的回歸

方程；

本題主要考查了條件概率的概率公式，考查了非線性相關(guān)的回歸方程的求解，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)證明：當(dāng)y0=0時，XO=±2，直線表+平=1與橢圓C相切,

當(dāng)y°≠0時J+季=1，

z16-xox

聯(lián)立4y0,得(詔+4弁)％2-32&%+16(16-4據(jù))=0,

%2+4y2-16=O

所以M—2x0x+16-4yθ=0,

所以Zl=%Q+4yθ-16=0,

所以直線裳+孥=1與圓C相切.

IO4

(2)設(shè)M(Xl,%),/V(x2,y2),

(汕+竺=1(2+堅=i

則由⑴得性+白=]，則患+身=]'

1164V164

所以M(XI,%)，N(X2/2)是方程兼+￥=1的兩根，

IO4

所以直線MN的方程為鬟+孥=1，

Io4

16r0;C

y

聯(lián)立/°，得XA=瀛,

y

同理可得&=Wv

162_64

&&=WB=石n'

__1_1

tan乙4。B=—=一工,

1+(-∣)?53

所以Sin乙40B=2

所以SgoB=：|。*|。BISin乙40B=TJTTlI∕∣JTT?lXBl[=8,

所以4據(jù)一就=±16,點P的軌跡是雙曲線，

所以存在久軸上的點尸1（—2/虧,0）,尸2（2，