2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市高一下學(xué)期期中聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市高一下學(xué)期期中聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={x∣T≤x≤2},S={x∣0≤x≤4},則Venn圖陰影區(qū)域表示的集合是()

CXD

A.{x∣0≤x≤2}B.{x∣l≤x≤2}C.{x∣0≤x≤4}D.{x∣l≤x≤4}

【答案】A

【分析】利用交集的定義即可求解.

【詳解】由題意可知，Venn圖陰影區(qū)域表示的集合是AcB,

所以AB={x?-l≤x<2}{X∣0≤X≤4}={Λ∣0≤X≤2}.

故選：A.

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l+αi)(2+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于

A.-2B.?C.—D.2

22

【答案】D

【分析】先化復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念列式求解.

【詳解】因?yàn)?l+ai)(2+i)=2-α+(2α+l)i,所以2-〃=0,2〃+1#0,即a=2,選D.

【點(diǎn)睛】本題考查純虛數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.'">y”的一個(gè)充分條件可以是()

A.2?r^v>-B.X2>/

2

v?

C.->lD.xt2>yt2

y/

【答案】D

【分析】結(jié)合分?jǐn)?shù)不等式的解，不等式的性質(zhì)，及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由x>y,即x-y>O,所以

對(duì)選項(xiàng)A,2χ-y>g=2'->'>2-'^x-y>-?,

所以x-y>-l不一定有x-y>O,故A不正確，

選項(xiàng)B,由∕>y2,則χ2一J>0=(χ+))(χ一y)>0,

x+y>0fx÷y<O

則,故B項(xiàng)不正確,

x-γ>0^[x-y<0

選項(xiàng)C,-^>l=>?-l>0=>--->0=>y(x-j>)>0,

yyy

'>00或P<°0

則故C不正確,

x-y>01x-y<0

選項(xiàng)D,由Xr>)/知產(chǎn)>0,

所以χ>y,成立，故D正確，

故選：D.

4.己知。為銳角，sin(α+45)=j則sin2α=()

7c1447

A.—B.—C.±—D.-----

25252525

【答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式直接求解即可.

ɑ*7

【詳解】sin2α=-cos(2α+90)=-[l-2sin2(α+45)J=-l+2×-.

故選：D.

5.漁民出海打魚(yú)，為了保證運(yùn)回的魚(yú)的新鮮度(以魚(yú)肉內(nèi)的主甲胺量的多少來(lái)確定魚(yú)的新鮮度.三

甲胺是--種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的三甲胺量積聚就表明魚(yú)的新鮮度

下降，魚(yú)體開(kāi)始變質(zhì)，進(jìn)而腐敗)，魚(yú)被打上船后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏.已知某種魚(yú)

失去的新鮮度〃與其出海后時(shí)間，(分)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為〃=吐"若出海后20分鐘，這種魚(yú)失

去的新鮮度為20%,出海后30分鐘，這種魚(yú)失去的新鮮度為40%,那么若不及時(shí)處理，打上船的這

種魚(yú)大約在多長(zhǎng)時(shí)間剛好失去50%的新鮮度()

參考數(shù)據(jù)Tg2=0.3

A.33分鐘B.43分鐘C.50分鐘D.56分鐘

【答案】A

∕C20')=maιn=02

【分析】由題意可得：7八二，可得〃⑺的解析式，再令出力=0.5,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性

[∕ι(30)=ma3x0=0.4

質(zhì)求解可得答案.

【詳解】解：由題意可得：〔管二::荒，解得α=2打=0.05,

IΠ?u?J)一JTlCl—U.4τ

故：h(t)=0.05×

（?v

令力⑺=0.05x2記=0.5,可得向=］。，兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)，

\/

故f=10?^W=U?=33分鐘，

Ig20.3

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

6.若同=2,W=3,db=4,則卜-24的值是（）

A.24B.2√6C.-24D.-2√6

【答案】B

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得卜-2》『，由此可求得結(jié)果.

【詳解】∣α-2?∣2=∣α∣2-40??+4∣?∣2=4-16+36=24,.ψ-2?∣=2√6.

故選：B.

SinXCOSX

4aι

若將函數(shù)/（X）=

7.定義行列式運(yùn)算：=a↑a4-a2ai,的圖象向右平移夕（夕＞。）

%41出

個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則。的最小值是

πC汽5π

A.一B.一C.——D.

633^6^

【答案】D

【詳解】【解析】/（X）=^siru--COSX=2sinL-的圖象向右平移。個(gè)單位后，得

TrJr

y=2sinf的圖象,因此W-Z=Ed￡2）=0=-工-也（左€2）,又夕＞0,所以0的最小正值

OO

為夕=?5π,選D.

O

8.在?ABC中，a=2b=BC=60°,則SABe=（）

A.2√3B.且C.6D.巫

28

【答案】D

【分析】由題意已知條件，直接使用三角形面積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)棣?2b=G,所以α=6b=與,

又因?yàn)镃=60°,所以S=—cιbsinC=-×?∣3×^-×^-=^^-.

22228

故選：D.

二、多選題

9.己知復(fù)數(shù)z=T-i,則（）

2

A.Z的虛部為1B.z=-l+iC.∣z∣=√2D.z=2i

【答案】BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，共規(guī)復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模長(zhǎng)以及乘積運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意得Z的虛部為-1,z=-l+i,∣z∣=√2,z2=（-1-i）2=2i.

故選：BCD

10.（多選題）有下列四種變換方式，能將y=sinx的圖象變?yōu)閥=sin（2x+：）的圖象的是（）

A.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變）

42

B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變），再向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變），再向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變）

oZ

【答案】AB

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換的規(guī)律進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】A：V=Sinx的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+f）的圖象，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來(lái)的T（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（2x+：）的圖象，故本選項(xiàng)符合題意；

B：y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再向左平移S個(gè)

，O

TTTT

單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin[2（x+g）]=sin（2x+J）的圖象，故本選項(xiàng)符合題意；

84

C：V=Sinx的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再向左平移E個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin[2（x+f]=sin（2x+∕）=cos2x的圖象，故本選項(xiàng)不符合題意；

D：y=sinx的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+g）的圖如再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱

坐標(biāo)不變），得到＞=sin（2x+1）的圖象，故本選項(xiàng)不符合題意，

故選：AB

11.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷(Diri(Met,PeterGIIStaVLejelme,1805-1859)在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)

于X的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y是X的函數(shù)這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了

函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)X,有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管

[l,?eQ

這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄里克雷函數(shù)O(X)=八W八.下列關(guān)于狄

里克雷函數(shù)O(X)的性質(zhì)表述正確的是()

A.。⑺=1

B.O(X)的值域?yàn)閧0,1}

C.任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,O(X+T)=Q(X)對(duì)任意的XeR恒成立

D.?∕xl,x2e?κQ,￡)(%+%)=D(XI)+￡>(0)恒成立

【答案】BC

【解析】結(jié)合已知定義可寫(xiě)出函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：由題意可得D(X)=PE理數(shù)，

[l,x∈Q

由于乃為無(wú)理數(shù)，則Xm=O,故A錯(cuò)誤；

結(jié)合函數(shù)的定義及分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的值域{0,l},故8正確；

對(duì)于C：任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，x+T為有理數(shù)，則3(x+T)=O(x)

當(dāng)X為無(wú)理數(shù)時(shí)，x+T為無(wú)理數(shù)，則。(x+7)=D(X),綜上可得D(x+T)=Q(x)對(duì)任意的XeR恒成

立，故C正確；

對(duì)于D：若Xl=JΣ,x2=-√?時(shí)，x∣+Λ2=O,所以O(shè)(XJ=O(X2)=0,D(x,+x,)=l,則

故錯(cuò)誤；

D(x1+x2)≠D(XI)+D(X2),D

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解已知定義，屬于

基礎(chǔ)題.

12.己知函數(shù)/(x)滿(mǎn)足：當(dāng)x<l時(shí)，f(x—4)=∕(x),當(dāng)x∈(-3,l]時(shí)〃x)=k+l|—2；當(dāng)χ>l時(shí),

/(Λ)=logn(x-l)(a>0,且αxl).若函數(shù)"x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)至少有3對(duì)，則()

A.〃x)為周期函數(shù)

B.f(x)的值域?yàn)镽

C.實(shí)數(shù)。的取值范圍為(2,+8)

D.實(shí)數(shù)。的取值范圍為［2&,y)

【答案】BC

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的圖象，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A中，當(dāng)x>l時(shí)，〃x)=Iog“(x-l)(a>(),α≠1)不是周期函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=Iogu(x-1)(?>(),α≠l),此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)镽,

所以函數(shù)的值域?yàn)镽，所以B正確；

對(duì)于C中，當(dāng)xe(-3,1］時(shí)，/(x)=∣x+l∣-2,且當(dāng)x41時(shí)，/(x-4)="x),

作出函數(shù)/(x)在(-8,0］上的部分圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

若函數(shù)/(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)至少有3對(duì)，

則函數(shù)F(X)=?(X-I)的圖象與所作的圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)，

［a>?

必有I八C，解得α>2,所以C正確，D不正確.

［Iogn(5-1)<2

故選：BC.

三、填空題

~x+2χca

13.已知函數(shù)〃X)=e'的最小值為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則”2)+∕(ln2)=_______.

ex,x≥a

【答案】-e2+2e

2

【分析】根據(jù)“x)的最小值為e,得到”的值，然后分別計(jì)算“2)和/(ln2)的值，得到答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=?e

[ex,x≥a

當(dāng)x<“時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x≥”時(shí)，“X)單調(diào)遞增，

Iea-g

因?yàn)?(x)最小值為e,所以e-K>e

[a=l

解得、-所以α=l?

[a≥?

e/2r<1

即“X=：

ex,x≥?

所以"2)=2e,/(ln2)=e-l"2+2=le2,

所以/(2)+"ln2)=ge2+2e

故答案為：?e2+2e.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的最值求參數(shù)，求分段函數(shù)的值，屬于簡(jiǎn)單題.

14.已知0是銳角ΔABC的外接圓圓心，A是最大角，若擎48+筆AC=機(jī)A0,則m的取值

sinCsinB

范圍為.

【答案】[6,2)

【分析】利用平面向量的運(yùn)算，求得機(jī)=2SinA,由此求得加的取值范圍.

【詳解】設(shè)。是AB中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知8,回，依題意

m2

CoSBAnΛOCOSC4八An(Ahcc?AnAnι∏/COSJB力CCOSACoSCm工JZT

AB?AB+AC-AB=mlAD+DO]`AB=-AB,即r-------+------------=—c2,利用n正I

sinC-------------SinB')2sinCsinB2

弦定理化簡(jiǎn)得cos3+cosAcosC=￡sinC.由于cos8=-CoS(A+C),所以

tn

sinAsinC-cosAcosC+cosAcosC=—sinC,即m=2sinA.由于A是銳角三角形的最大角，故

2

A∈,故M?=2sin4w[6,2).

A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法、數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，考查三角形的內(nèi)角和定理等

知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

15.已知2sin(α-j∣)=cosα,則tane=.

【答案】^+l∕l+√3

【分析】由差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出.

L兀冗

H=COSa,所以2sinαcos?^?-2cosαsin]=cosα,

整理可得Sina=(6+Dcos<z,BPtana=√3+l.

故答案為：?∣3+1.

16.設(shè)。是-ΛBC內(nèi)部一點(diǎn)，S,OA+OC=-2OB，則二AOB馬,,AOC的面積之比為.

【答案】1:2

【分析】先作出草圖，然后分析出O的位置，先考慮長(zhǎng)度的比值，最后即可得到面積的比值.

【詳解】設(shè)。為AC的中點(diǎn)，如圖所示，連接。。，則。4+OC=2OQ.又OA+OC=-2O8，所以

OD=-OB,即。為8。的中點(diǎn)，且SMC=2S"g,即一AOB與以0C的面積之比為1:2.

【點(diǎn)睛】任意三角形中，若。為BC中點(diǎn)，這里可以根據(jù)三角形法則或者平行四邊形法則得到:

AD=-(AB+

2、

四、解答題

17.計(jì)算

(1)計(jì)算：0.064不一(-1)°+16；+0.253；

21g2+lg3

(2)計(jì)算：.I....I

l+-lg1θ.36+-lg180

【答案】(D10(2)1

【解析】(1)利用有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)(2)直接利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)運(yùn)算.

【詳解】(1)原式=043^T+24‰0?5嗎

=0.4',-l÷23+0.5

=2.5-1+8+0.5=10.

?一-lg4+33―∣gi2

(2)原式=1+g-062+gIg2'=1+Ig0.6+Ig2

_炮12_勺2_]

Iglθ+lgθ.6+lg2lgl2'

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，屬

于容易題.

18.已知函數(shù)/(x)=sinx,將其圖像向右平移￡個(gè)單位，再將其圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

6

3倍，再將每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的!倍，得到函數(shù)g(x)的圖像

(1)求g(x)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心；

(2)求g(x)在上的值域.

【答案】⑴萬(wàn),(,+年,0),無(wú)∈z,⑵I-H

【分析】(1)利用三角函數(shù)的圖像變換,求解得到g(χ)再計(jì)算最小正周期與對(duì)稱(chēng)中心即可.

TT

(2)利用X的范圍得出2X-￡的范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求值域即可.

O

1Jr

【詳解】(1)根據(jù)題意g(x)==sin(2x-9

26

故g(χ)的最小正周期τ=3="，

令2x-g=,解得X=/+故g(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(2+”,0),AeZ.

6212122

、1,?5τc_τcTC.

(z2)x?x∈rlO,-]1H>J?,2x--∈r

12O63

冗?

，sin(2x-—)∈[―—,1],

62

/.g(?)e[-?,?]

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖像變換以及根據(jù)定義域求值域的問(wèn)題等.屬于基礎(chǔ)題型.

19.已知向量4=(3$111￥,8$23)，b=(cosx,g),XeR,設(shè)函數(shù)/(x)=o?A.

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期；

⑵求函數(shù)/(χ)在θ,?上的最大值和最小值.

【答案】⑴兀

(2)∕(x)在卜彳]上的最大值和最小值分別為叵，

,2」22

【分析】(1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角的正弦公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的周期公式

即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?=(35欣,8$2同，h=(cosx,;),XeR,

所以/(%)=〃?〃=(3sinX,cos2x)?(cossinxcosx+~cos2x

=?∣sin2x+gcos2Jt=^^Sin(2κ+e)(tane=g,取夕為銳角).

.?.函數(shù)的最小正周期為y=π.

(2)由⑴得/(x)=∕^sin(2x+°)(tane=；,取8為銳角).

TT

因?yàn)閄eO;,

所以2x+ee[0,兀+e].

當(dāng)2x+g=π+。時(shí)，/(x)取得最小值為Sin(Tr+°)=SinS==^^g；

當(dāng)2x+*=5時(shí)，〃x)取得最大值為萼SinI=萼.

所以函數(shù)f(χ)在卜彳]上的最大值和最小值分別為典，-∣?

20.如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30。相距卡+近海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45。

的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2√Σ海里/小時(shí)的速度沿著正東方向直線(xiàn)

追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，

以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3√Ξ海里/小時(shí)的速度沿著直線(xiàn)追擊

(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里

(2)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船

【答案】(1)兩船相距6海里.

(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東75°方向去追，才能最快追上走私船.

【分析】(1)在.ΛBC中，解三角形得BC=2√J,ZABC=45°,在438中，由余弦定理求得C"

(2)在aBCD中，解三角形得/8CZ)=60°,ZBDC=90,得到NsE=I35°,在“8E中，由正

弦定理求得NoCE=30,結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.

【詳解】(1)由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)

BD=3xl=3,4C=2√∑χ1=20,

由題意知ZBAC=90°-30°=60

在“ABC中，ΛB=√6+√2,AC=2^

由余弦定理得叱=+Ac?-2AB-ACcosNBAC

=(√6+√2)2+(2√2)2-2(√6+√2)?2√2x1=12

2

所以BC=26

在MC中，由正弦定理得H=缶即2√12√J

sinZABCsin60

所以SinNABC=正NABC=45°,(135舍去)

所在ZACB=180°-60°-45°=75°

又ZCBD=180φ-45°-45°-60°=30°

在ABCQ中，NCBO=30",8。=3,BC=2有

由余弦定理得CD2=BC2+BD1-2BCBD-cos30°

=(2√3)2+32-2×2√3×3?COS30^=3

.?.CD=√3,

故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距G海里.

(2)當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)，小時(shí)經(jīng)CE方向在E處追上走私船,

則CE=3√2∕,DE=3t,CD=3

CDBDBC

在MS中，由正弦定理得：

sinZBCD~sinZBDC

則G_32&

sin30sinZBCDsinZBDC

所以sinZBCD=B,:"BCD=60°,ZBDC=90°,NCDE=135°

2

CCDE

在,CZ)E中，由正弦定理得:

SinNCDEsinZ.DCE

3bSinI35°1U

則SinNQCE二--故NDCE=30(150舍)

3√2f2

ZACE=NACB+ABCD+ADCE=75°+60°+30=90+75’

故巡邏