2023年河南省信陽(yáng)市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考預(yù)測(cè)試題(含答案帶解析)

2023年河南省信陽(yáng)市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考預(yù)測(cè)試題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.

設(shè)函數(shù)f(χ)=Jjα-l)dr,則F(X)有

A.極小值LB.極小值-LC.極大值1D.極大值-L

2222

設(shè)Z=Xvl,則由=()

2K.^ye,dιdyβ.ji∕(3dτ+2xydy)C.λr2∕drD.ι?'dy

設(shè)函數(shù)y=e'+2.則d>=().

3?.(c-÷2)dxB.(e'÷2x)dxC.(r,+?)dxD.e,<lx

/設(shè)函數(shù)z=∕y,則]￡=().

4.Bχ?γ

A.x÷yB.xC.yD.2x

5變上限積分/./(，)市是()?A](χ)的一個(gè)原函數(shù)B?(x)的全體原函數(shù)

C.?(x)的一個(gè)原函數(shù)D.?(x)的全體原函數(shù)

設(shè)函數(shù)/(X)=七J(x*l).W∣JIim/(x)=

6.x-1J()。

A.OB.-1C.lD.不存在

設(shè)Z=^[xy,則生=

7°R(∣.D

A.A.OB.-1C.-lD.l

設(shè)函數(shù)y=y(r)由方程In+y)=Jjv+SirU確定,則取∣=

8e??IJ--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Q設(shè)z=x,siny,則罌■=()???CCCn

9.?χ?ynA.2x+cosyB.-sιnyC.2D.0

[?r+z>dr等于，、

J-I(.)

A.-2

B.O

C.2

10.d?4

11.由曲線y=-χ2,直線X=I及X軸所圍成的面積S等于().

A.-l∕3B.-l∕2C.l/3D.1/2

12.

根據(jù)/(χ)的導(dǎo)函數(shù)尸(X)的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在(7,-1)內(nèi)，/*)是單調(diào)增加的

B.在(-8,0)內(nèi)，/(x)是單調(diào)增加的

C./(-1)為極大值

D./(T)為極小值

設(shè)P=fsin2xd.r?Q=I.rd?.R=4?Isin2.rdJ?則,

JoJd4J+()

A.R=Q;。

RP=R≠Q(mào)

C-QR≠P

13D.P-Q≠R

已知y=華，則y=

X

COSΛ-COSΛ

2x

xcosx-2sinxXCOSX+2SinX

事件A與B互斥,它們都不是不可能事件,則下列結(jié)論

P(A+8)=P(A)+HB);P(A)W0；OVP(B)<1；P(A)>P(8)正確的個(gè)數(shù)是：(

15.B.2C.3D.4

16.

若函數(shù)f(?)=Ο√+Λr在『NI處取得極值2.則“=.!>

設(shè)Iim到"=3,則α的值為

LO才()

A.1/3

B.1

C.2

17.d?3

18.

已知函數(shù)〃Q)M∕)在I=I處可導(dǎo)，11U(I)-I?∕(l)=tW(I)=2,J(I)=-2?則

u(x)v(x)-2

A.-2

B.2

C.O

D.4

設(shè)lim3?=g則IimA^S等于().

≡→cX3?-oX

On對(duì)函數(shù)/(x,y)=Jχ2+y2,原點(diǎn)(0,0),、

ZU?K√o

A.是駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)B.是駐點(diǎn)且是極值點(diǎn)C.不是駐點(diǎn)，但是極大

值點(diǎn)D.不是駐點(diǎn)，但是極小值點(diǎn)

21.

則[J7(x)dx]'=

已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為χ2+siιu,則Jr(2x)dx=

A.4x+cos2xB.2x+-cos2x

2

C.2x+,cos2x+CD.x+2cos2x+C

22.2

raretanx

-------r-ej?

23.j1÷X2

A.A.arctanx+C

?(aretanx)2÷C

B.2

?(aresin?)2÷C

C.2

—(arctanx)2÷C

D.2

設(shè)"=∕y,則,等于()

Λ.zxyt

B.,ry''

c.y,

24.d?/

25.

當(dāng)XT?2時(shí),下列函數(shù)中下基無(wú)窮小枇的昱

A./-8B.sin(x*-41C.JD.In(3-.τ)

26.函數(shù)f(x)=(x2-l)3+l>在x=l處【】

A.有極大值1B.有極小值1C.有極小值OD.無(wú)極值

下列函數(shù)在(一oc,+oc)內(nèi)單調(diào)增加的是()

27.A.V=XB,y≈-xCy=/D.?=sinx

28.下列廣義積分收斂的是Oo

29.

已知當(dāng)ZfO時(shí)?，4+Or2-2與sin2j?是等價(jià)無(wú)窮小,則a=

30.下列結(jié)論正確的是

A.A.若A+B=。,則A,B互為對(duì)立事件

B.若A,B為互不相容事件,則A,B互為對(duì)立事件

若A,B為互不相容事件，則A,B也互不相容

L???

D.若A.B為互不相容事件，則A-B=A

二、填空題（30題）

31.

當(dāng)JIfo時(shí)，/?（工。+3/0一“工。一五）+2人是/1的高階無(wú)窮小量，則/（?o）=

32.

5[×X≥0-2

設(shè)/O)=',八，則1f(χ)*=______________

ex<OJT

-X

COS2f山

Iim^---------

33.—X

34.

函數(shù)）=工一出（1+工2）的單調(diào)增區(qū)間為

35.

36.

若曲線y=X2+?上點(diǎn)M處的切線與比線y=4J+I平行.則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

A.(2.5)B.(-2.5)C.(1,2)Iλ(-1,2)

若?-f====dι≈AareSin2x+C,則6工)≡,

38.

設(shè)函數(shù)?(?)=,則∕,(1)=________.

4I-X

39.設(shè)/（工）的n-l階導(dǎo)數(shù)為則r“（x”

設(shè)Z=Sin,0r+妙)?______

40.dxdy

41.

已知∫∕(Λ)dr=(l+x2)arctanx÷C.則f?x)=

43.3屏

45.已知/(、，'--^，則久然1=------.

函數(shù)曲線y=xe-'的凸區(qū)間是

46.

47.

設(shè)函數(shù)y=2'?則其單調(diào)遞增區(qū)間為--------

函數(shù)V=In(arcsinz)的連續(xù)區(qū)間為-------,

48.

XC設(shè)函數(shù)/(X)=W,則/'(0)=----------?

設(shè)F(X)=「arcsin∕d∕,則Fz(O)=.

50.1

設(shè)函數(shù)y=∕(-x2).且f(“)可導(dǎo)，則dy=.

51.

52.

設(shè)Kb=告黑:'則小幻=_________"

1十COSZ

53.

若工T(I+/)'=2,則常數(shù)A=

λ'e：B.石C.ln2D.-1∏2

54.

ΓHdH

JΓ+√

55設(shè)?"')d'=xe+,則/(*)=

56.

設(shè)了'(sinx)=cos2X,則/(Λ)=?

設(shè)Iim(I+-)*"=e,?則k=---------------------

57.1"

58.

不定積分J(sin+I)d?=

A.-cos?+x÷CB.-±f+x+C

4cθs

C.?sin?÷?÷CD.?sin?+??C

44

Xx20

設(shè)/(x)={?χ<(√則f/2/(幻也=--------------

e

60.函數(shù)y=χ-l∏(l+χ)的駐點(diǎn)為X=

三、計(jì)算題（30題）

61.設(shè)函數(shù)y=y（*）由方程y=（l∏χ）i?.τl1u確定,求y'.

C計(jì)算定積分「cos'*SinZ（Lr.

62.

?sin???≠0?

時(shí)論函H/<*)■<?在χ=o處連續(xù)性與町導(dǎo)性.

63.0-*一0

64求J。'Zdy.其中D是由直線y=x.y=?及y軸圍成的區(qū)域.

設(shè)函數(shù)τ=/（/?《）?/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求點(diǎn),導(dǎo)

65.

計(jì)算定積分-e^utLr.

66.J

67.設(shè)函數(shù)一κ?ττ求產(chǎn).

計(jì)算二次積分『打『您≡<u

68.joL?

NC求函數(shù)z=?r<y+工、'的全部二階偏導(dǎo)數(shù)?

OV.

求極限網(wǎng)與

70.I)

求不定枳分fχ?arβt?nrdr.

71.

72.求函數(shù)f(x)=χ3-3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

設(shè)函數(shù)Z=-y*,?ry).求生虐.

73.e?

已知函數(shù)P=aresin?J：二Sg求。|.

74.\1+sin?d?I#-o

求微分方程y'=*+—皿的通解.

75.CoSy

求極限Iimj-

76.，?<>sin?

77.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

x>0.

1+0,

設(shè)?(?)?,求(JOd?.

JrVO.

78.

求極限!吧（之高+3-IhosJ卜

求極限Iim——['—At

80.?→*X-SinjJ0√m7

81.設(shè)曲線y=4-x2（xK））與X軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D(如

圖中陰影部分所示）.

圖1—3—1

y

①求D的面積S;

②求圖中X軸上方的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

82求函數(shù)"公=（?r-D＞的單■區(qū)間與糠值點(diǎn).

設(shè)＞+V+2I-2A=c?確定函數(shù)？=Mι,y）.求生.生.

83.??分

84.同：小"

計(jì)算定積分I√2+2cos2xdj.

85.

86.

2

計(jì)算一垂積分，LH(J?+?/+3y)cLrdy,其中D=((J.?)|??÷√≤α?x≥0}.

n

87■若曲線由方程工+/=4-2C魏定,求此曲線在Z=1處的切線方程.

c"<lrdy?其中區(qū)域D由y=?fy≡2,工=1及N=2所圍成.

88.

89.在拋物線y=l-χ2與X軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD,

其一邊AB在X軸上(如圖所示).設(shè)AB=2x,矩形面積為S(x).

①寫(xiě)出S(X)的表達(dá)式;

②求S(X)的最大值.

90.求函數(shù)f(x,y)=x2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

四、綜合題(10題)

過(guò)點(diǎn)PU.O)作拋物線＞=/=3的切線,球切線與上述揪樗線及.，軸圉成一平面圖

9LL?來(lái)此國(guó)舊洸，軸故H-冏所或的債*體如∣?f"

92.

設(shè)函數(shù)人力在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù).在開(kāi)區(qū)間(0.D內(nèi)可導(dǎo)且/(0)=/(1)=0,

/(Ij=1?證明:存在SW(0,1)ft/(1)=?.

93.證明方程/-3n一I=0在1與2之間至少有一個(gè)實(shí)根?

94.證明方程4?r=2,在［0.1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

θ?求曲或y=(工一1)竹的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)?

CN求由曲線y*≡?r+4與y=)工,所圉成的平面圖形的面積.

VO.-

97*?β?-?的單一區(qū)間,微值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和漸近線.

98.

設(shè)/(N)在區(qū)間［α,瓦1上可導(dǎo)，且八α)=/(力=0.證明：至少存在一點(diǎn)Se(α.6).使得

/(ξ)+3ξi∕(f)=0.

已知曲線,=aG(α>0)與曲線y-ln√7在點(diǎn)(工。~。)處有公切線.試求:

(1)常數(shù)α和切點(diǎn)(?r(,,y>)ι

99.(2)兩曲線與1軸圉成的平面圖形的面積S.

100.求函數(shù)/(?‘)」,c在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

五、解答題(10題)

101.

已知/Cr)的一個(gè)原函數(shù)為e?,試求「inx∕*(H)dz.

102.

S1234

設(shè)隨機(jī)變量4的分布列為*?？τk?Tm，求E⑹和og)?

74

tU.4Vz.??J?1U.?

'i,?rI?+aretan?.

計(jì)算JFPP-CLr

103.

lft4設(shè)y=e，Inx'求y?

105.設(shè)z=sin(xy)+2x2+y,求dz.

106.

1,11

計(jì)算Iimπ(n+l)]?

W?B1?2'2?3

求f4tan2xdx.

107.J。

108.

設(shè)函數(shù)Z=P+M?(2),其中/(“)是二階可微的.

X

證明^2?+y?=-∕,,(2)?

?x?yXX

(I課由曲線y=j?.y=}.工=2與y=0所圖的平面圖形(如

圖所示)的面租S；

(2)求(1)中的平面圖形燒/軸旋轉(zhuǎn)一周所得艇轉(zhuǎn)體的體積

V,.

109.

110.

六、單選題(0題)

111.

過(guò)曲線y=x+]∣u上MO點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)M)的坐標(biāo)是

OO

A.。，D

B.(e，e)

r(1,e+l)

D(e，e+2)

參考答案

LB解析：

因?yàn)棣)=[Jθ(r-l)dd,=^-l

令∕,(x)=0,解得：x=l

又∕,z(i)=ι>o

所以x=l是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，極小值:

?(l)=￡(X-Ddx=i(χ-D21θ=-?

2.B

3.D

答案'&D.

解JK指導(dǎo)本四號(hào)ift的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)微分的短念?

,

函數(shù)”工)的微分為d∕(x)=∕(*)d*.所以dy=d(<√*2)=(e?+2)dx=e?dx.

錯(cuò)誤防范少部分考生選A,其錯(cuò)誤原因始將常數(shù)2的微分寫(xiě)成d2=2&而導(dǎo)致錯(cuò)i5J?

4.D此題暫無(wú)解析

5.C根據(jù)變上限定積分的定義及原函數(shù)存在定理可知選項(xiàng)C正確.

6.D

先去函數(shù)的絕對(duì)值,使之成為分段函數(shù)；然后，運(yùn)用函數(shù)在一點(diǎn)處極

限存在的充分必要條件進(jìn)行判定.

1x<,

由/(x)=kdJ-

x-l[?x>l

因?yàn)镮im/(x)=lim(-J)=-I?

M→ΓX→Γ

Iim/(x)≡=Iiml=I.

<→l*<-?l*

Iim/(x)≠I(mǎi)im/(x),

ι→Γι→l*

所以!吧/(外不存在.故選D.

7.B

設(shè)w≈xy9則z=4?

Iɑ?z?z?uI1I[y

因fl為柔WV7=訴"5匕’

所以M..n4?4?

8.1

9.D此題暫無(wú)解析

10.B

11.C

【解析)此時(shí)的/(*)=-，<0,所以曲邊梯形的面積S=∣j7(x)<k儼S=J]∕(x)Idx.

因?yàn)镾=CI/(X)IdZ=fx'dx=-∣^χ,=J,所以選C?

JAJo3IO3

12.D解析：

X軸上方的/'(x)>0,X軸下方的/'(幻<0,即當(dāng)時(shí)，∕Q)<0:當(dāng)

QT時(shí)U(X)>0,根據(jù)極值的第一充分條件，可知/(-1)為極小值，所以選D.

13.B

(sinx),?X2-sinx?(x2)z_xcosx-2sinx

［解析］因?yàn)?/p>

y=(?P^xr~

14.C

15.C

16.-24

17.D

18.C

19.B

答應(yīng)選B.

分析本題號(hào)傳的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)"1"型極限存在加胃:FC<

注意到li，53=高.令2x=".代換后在Iim如。=?.BPIimJ=÷.恚二1：k匕二U=

i?m?5:堤.所以選B.

?-ou3

也可以采用賽變M法：

2

20.D

由于f；@，y)=~r=τ，f；a)')=-<-y-,

,Y+y?∣χ+y

顯然，f；(0,0)、A'(0,0)均不存在.

在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，當(dāng)(x,y)≠(0r0)時(shí)，總有F3y)="V+V>0=/(0,0)

所以，原點(diǎn)(0,0)不是駐點(diǎn),但是極小值點(diǎn).

21.B［解析］由不定積分的性質(zhì)可得.

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可知/U)=(√+sinx),=2x+coax

因?yàn)閖f,(2x)dx=?∫∕,(2x)d(2x)=1jdf(2x)=?f(2x)+C

所以∫∕,(2x)dx=匕2?(2x)+cos(2x)］+C=2x+‰os2x+C

22.B22

23.B

2

∣yctanxdr=JarCtanχdarctanx=^?(arctanx)+C.

24.D

25.C

答應(yīng)選C.

分析根據(jù)無(wú)窮小量的定義:若1?√(G=0,則當(dāng)*τ%時(shí)JtG為無(wú)窮小*.因此可根據(jù)定

義計(jì)算其極限值,知選C.

26.D

l122,

/(x)=(x-l)÷l<H/'(?r)=6x(x-l)t4f'(x)=0,??Axl=-lσ2=0>x3=1>

當(dāng)時(shí)當(dāng)工>】時(shí)故處不取極值.

0<r<1J'(z)>0,J'(z)>θ,?(?)?x3=1

27.A

28.B

29.4

30.D

31.-1/2

32.3-e4

(I

2x

∫/(x)dx=∫°CXdX+∫?dx=c°+。=(l-e^l)+2=3-e^1

I2

COS2疝2

O|.COS?

Iim--------Iim-：-=1.1

33.11Xx-*01

34.(-∞,+∞)

35.

1

(cosjc+sin?)2

_]z_-sec2z_—sec2工______________]

l+tam''(1+tanr)2(CoSz+SiIrr)[(cosx+sin?)2

COS2X

36.A

37.

38.

39.

【答案】應(yīng)填」聲/.

2jx

【解析】U"=，"3,即

∕?'(X)=(√Γ)*=-LZ.

40.

41.

r2#

2arctanx+-----r

l+√

因?yàn)閒(x)=2xarctanx+1

2κ

所以f,(x)=2Hrctanx+J

42.0

43.

【答案)應(yīng)填2/''(l+2ylnx).

(解析】Z對(duì)X求偏存時(shí)用￥函數(shù)求號(hào)公式,工對(duì)y求偏導(dǎo)時(shí)用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式?

因?yàn)?=2y?x"",則

?χ

第卜21+2*k?2.

即≡2ΛJ',(?+2ylnx)?

44.

arcsinx-√1-x2÷C

45.應(yīng)填0.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的求

法.?=?(S=i(2x)=0-

(F，2)

AN［解析］因?yàn)閥"=(2-χ)ex<O,得x<2,即(-8,2)

46.

47.(0+∞)

48.［01)

49.

因?yàn)?'(x)=∕?，所以/'(O)=l?

50.0

-2xf7-x2)dχ

［解析1因?yàn)閥,=f,(-x2)(-x2Y=-2xfX-x2)

所以dy=-2xf,(x2)dx

52.

z+SinN

1+cosx

53.C

41(1(4+/)+C-^-ln(4÷jcz)+C

54.22

55.

【答案】應(yīng)填(1+5產(chǎn).

【解析】本題考杳的知識(shí)點(diǎn)是原函數(shù)存在定理,即變上限的定積分J7(，)小是函數(shù)/(X)在

該區(qū)間L的個(gè)原函數(shù),因此有

Λ*)=(xef),=(l+f)e?.

因?yàn)楱M,(siπx)=cos2X=1-sin2X

設(shè)/=sinX則ff(t)=l-r2

即/(X)=I-X2

于是/(x)≡∫∕,(x)dx=J(l-xz)dx=x-^xs+C

57.-(3/2)

58.D

3-C1

2村J01°

［解析］?/(x)dx=∫e4dr+∫xdx=ex+—x2=(1-e-1)+2=3-e^'

59.TT°^l2

60.應(yīng)填0.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是駐點(diǎn)的概念及求

根據(jù)定義,使廣(N)=O的X稱為函數(shù)/(W的駐點(diǎn)，因此有y'=1-4=0,得χ=0.

1+x

法.故填0.

y=[(l∏j?)*y?Jur+(lnx)r?(j?hu)*

=[e了.χuu+(I0r),?(etolχ)x

=e,'κ'ru,Pln(ln?)+工???j*Nkr+(ln?)??eh，J?2lαr??

≡(?n?)4?rIn(Inx)+Ia+2(iru?)z*1?xu^l.

61.LI詞

y-[dru-)*]z?Λ?u,+(ln?)*?(jhu)*

jlx

=+(∣ιu-)r?(e?θ

=ej^κ,nj,ln(?n?)+???;?J]?Xa+(Injr)'?ek，1?2l∏j??

=(?n?)4?Rn(lru?)+上]?+2(l0r尸1?1~一'.

設(shè)U=cθλr,則du=—SiTLrCLr?當(dāng)JF==O時(shí)U=1,當(dāng)Jr=?j?時(shí)?u=0

:?原式IUydu=—?I一"

62.JI4Ii4

設(shè)“=eos?,則du=—sin?d?,當(dāng)Jr=O時(shí)U=11當(dāng)Jr=："時(shí)■”=()

?原式=-Jtt3du=_yI?=9?

因?yàn)镮im/(1)=lim?sin?=O=/(0)?

1-0Λ*-*0JC

所以/(?)在Z=0處連續(xù).

1

但f(G-(0)=/Cr)=——X=si,

Jr-0XX

而IimSin-不存在,即lim∕(j^)11°)不存在.

63.所以八丁)在Z=O處不可導(dǎo).

因?yàn)镮im/(1)=lim?sin?=0=/(0)?

LoLQ?

所以/(?r)在Z=O處連續(xù).

1

0,X一、?sin?~.

但八.一八0)=?Ξ>=——?=sin1.

Jr-OXXX

而IimSin?不存在，即Iim八,一人。)不存在.

L。TLOX-0

所以/(z)在Z=O處不可導(dǎo).

64.

枳分區(qū)域D如圖所示,由于被枳函數(shù)八?r<y)=e",因?yàn)榇嗽摱胤e分適用

于化為“先對(duì)?r積分.后對(duì)'積分”的二次枳分進(jìn)行計(jì)算.

又區(qū)域/)可衰示為：Jwl,

]0≤?≤y,

是

于

I

-y

I

-

=一

÷e-1/-h

2-OΛ

12J

I-e

l2-

1

-

=2GC

枳分區(qū)域D如圖所示,由于被積函數(shù)/X?r.>)neL因?yàn)榇嗽摱胤e分適用

于化為“先對(duì)/積分,后對(duì)y積分”的二次積分進(jìn)行計(jì)算.

jθ≤y≤1?

又區(qū)域D可裊示為:∣0≤x≤y.

,

于是,?jfe'Ardy=?dyjc'd?

=Ly.e/dy

TeT:

1I.l

7

?=∕l÷∕/??.

??

蠡A"

?(-7)+^(^7),7+Λ(^7)

,

≡-ΛΛ∣-p∕*n-^rZt.

65./

g=∕./÷A,?y.

蠹=".(—揖+"(一句?T+八(一」)

=_5?

66.

令e~r=SiTU?則X=-Insinr?<Lr=一等,山■且當(dāng)N=O時(shí).L當(dāng)”=In2

sir

時(shí),=缶?于是

O

f，1—e"CLr≡f^eos/(?c°sf)d∕=—P-ɑ-

JQJfsin/JfsirM

=-f*-^+PSinrdf

JfsιnrJf

=—[ln(csc/-COH)呼

T4

N—ln(2—V3)—W.

令e'#=sin∕?則X=-lnsin∕?d?=—匯^d/■且當(dāng)*=≡O(shè)時(shí),f二號(hào)1當(dāng)Jr==In2

sir

時(shí)」=不于是

O

[√4—e"CLr=f^co?∕(-COS/)d∕=-1。郎

JaJfsιn∕JfsirU

f*dz,f*.

：

=―Jf-sm---r--1-Jfsιnzd∕

=—[ln(cscZ—COIQ呼

N-ln(2"~√3)一

4

y=?2+4x÷3=~2(?+1—z+3)

y=1)(J-+1)z-(-l)(x+3)?,

y=-y<-1>C<-2)(x+D^,-<-2)(J-+3)-J]

c?

=-∣-(-l)(-2)[(x+l)-,-(x+3)?.

W

Z=y<-1)(-2)[(-3)(J+1)4-(-3)(T÷3)-*]

41

=?(-l)(-2)(-3)[(j-÷l)--(J-+3)-],

Ce

*

*

故√?,=?(-l),n![(jr+l)^fr"υ-(j+3)^,^υ].

'=M+4工+3=^2(z+1—z+3)

y=-∣-C<-I)(I+1)2-(-l)(j?+3)i],

￡?

y=4^<-l>C(-2)<x+D1-<-2)(J+3)-J]

=y(-l)(-2)[(x+l)-3-(j+3),3.

W

y"=?(-1)(-2)[(-3)(J÷1)'一(-3)Gr+3)τ]

=?(-1)(-2)(-3)[(x+1)-4-(J+3)-,1.

*

*

故√?,=?(-1)?n![(?+1)^(?*n-(?+3)^*^υ].

應(yīng)交換枳分次序.

s2dy

68.原積分=fΓ=Γcosxdx=5injI*=

應(yīng)交換枳分次序.

原積分=1d?r[=Icosx<Lr=si?u|=?.

因?yàn)?/p>

j,,,,

zβ=4xy+2Jry.z,=2x>÷3.r?,

所以

ZΛΛ≡12∕y'+2y'

,

z9=2x+6∕y?

之“≡8x,>÷6ι?y,?

69.NN=8jjy+6*y*.

因?yàn)?/p>

11,4,,

=4xy+2jry.ry=2xy+3x>■

所以

J≡12√√÷2ys.

tf

%=2x+6xy9

12

zt9≡8J?>+6xy?

:

z9t=8.、+6*>.

.r-].Zl.—O?r?<-t>

?(τ+ι)=)?(1+rπ)=e',?

70.

!i5n(?τ)z,=)i5n(1-o????<-t>

+7÷1)=e^,?

原式N?Iaretan?d(??)

=?χ,arc,anj?^?p?∏?dj

=lχ>arcUnj--l∫(l-r?7)<Lr

=???aretan?--?-(?-aretan?)+C.

71.

原式=≡?Iaretan?d(?1)

="?-?aretan?-?∣??*,Γ?dj

4MJ

=??^aretan?-?[(1~i?)dj

1?1,

=--?arettan?-y(jaretan?)+C.

72.函數(shù)的定義域?yàn)镚8,+∞),且r(x尸3χ2-3.

令P(X)=0,得駐點(diǎn)xι=-l,X2=l.列表如下：

X(-?.-O-I(-1.1)I?)

/'⑺0-0?

/U)Z/(T)=3為極大值Λ∣)=-?為極小值/

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-U和［1,+8),單調(diào)減區(qū)間

為［-1,1］:f(-l)=3為極大值f(l)=-l為極小值.

注意:如果將(-8,-I］寫(xiě)成GOO,⑴，［1，+8)寫(xiě)成(1,+∞),［-1,1］寫(xiě)成

(-1,1)也正確.

1,t,t

會(huì)≡Zxyfix—y.x>)+xyfl?2x-?^xyfι'?y

=2xyf(xi—y'?Ny)+J√>(2Z∕√+?//).

~=xx∕<x,—ylR>+x'W∣'?(—2y)+x,>∕/?x

dy

73.≡J').

爭(zhēng)=2xyf(X1-yl^xy)+x2>∕/?2τ+xtyf/?y

O-X

r

=2xyf(JC1—√?Ny)+√y(2x∕/+”「).

于=x2∕(x,—V?ιy)÷x,>∕/?(一2y)÷x,y∕/?x

dy

z22,

=Jrf(τ÷xy(xfi-2>∕∕>.

74.

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將χ=0代人計(jì)算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

/1一sin?

八。"M4二’3四=M=?√≡-

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將X=O代入計(jì)算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

?/1—sin?

Z(O)=Iim外W(O)d?Iim二=Hm∕∑≡叵=1.

z^*°?°—。?10y1+Sinjr

75.

方程兩邊同乘以COSy.則得cosy?y'=/+1—Siny,即

d(sinv)I.I

----Li—rsiny=?+1.

d?

令“=SinA則方程化為的+u=?r+l.屬線性方程,用求通解公式得

u=e÷,[∫(j+l)Jdj+C]

=ej[?(ɑr÷1)crdj+C]

=e??(??1)e*—er+C]

≡Cyli+C).

則原方程的通解為Siny=cz(xez+C).

方程兩邊同乘以CoSy.則得cosy?=?+1—siny,即

d(sinv)..1

——Li—rsιny=Jr+1L

ɑ?

令“=SiB則方程化為碧+“=?r+1.屬線性方程,用求通解公式得

u=e÷,[∫(x÷l)e∫dj÷C]

=e_j[J(?÷1)e?d?+C]

=e-xC(x+De1—er+C]

=Cn+C).

則原方程的通解為siny=c?(?e?÷C).

Iim匚士≡∣imyLT〉Iim==Iirn——)

，一。m-?，一。min?一“■一°sin?—?，7sin?一工

*?USIfLT-X

76.

77.

令

d?=2x==O.

由?得駐點(diǎn)(0.-1).

?∑令

=2y+2=0.

?y

因?yàn)棣??=2.B=*=0.C=與

=2.

?X(0.-l)?x?).<0,-1)ay

所以B=AC=-4<0,且4=2>0,從而可知"0.-l)=-l為極小值.

原式=?Lr?ttr+

=ln(?+ej)+

In2-Ind÷el>+

ln2—ln(1+e^l)+?arctan2x

ln2ln(1+c,)+?,

78.O

原式=∫?u?業(yè)+Co?tk

,

≡ln(l÷^>∣ι÷∫*???d?

≡In2-ln(1÷e1)+,??-?d?

Jo1+4]

=1∏2-ln(?÷C,)÷Iaretan21I

=lπ2-ln(I+e-,)+~.

O

?；當(dāng)工-0時(shí)是無(wú)窮小鼠，cos?1≤1,

:?Iime—1)cos—==0.

L0X

而/'-e—l.7』+，*1