山東省淄博市2023屆高三三模數(shù)學試題（含答案與解析）

山東省淄博市2023屆高三三模試題

數(shù)學

(滿分150分，考試時間120分鐘)

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

L設集合A=NZl2，>100},8={x%g<l},則ABI)

A.{5,6,7}B.{6,7,8}

C.{7,8,9}D.{8,9,10}

2.已知復數(shù)Z是一元二次方程2χ+2=0的一個根，則IZl的值為

A.1B.√2C.0D.2

3.甲、乙兩所學校各有3名志愿者參加一次公益活動，活動結束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個學校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有()

A.36B.72C.144D.288

4.在一ABC中，NC=90°,N8=30°,/84C的平分線交BC于點。.若Ao=ZlA8+(7,"∈R),

2

則一=()

A.-B.?C.2D.3

32

5.中國古代建筑的主要受力構件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制

成截面為矩形的梁，設與承載重力的方向垂直的寬度為X,與承載重力的方向平行的高度為y,記矩形截面

1?

抵抗矩W=ZD2.根據(jù)力學原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強，則寬X與高y的最佳之比應為

O

()

A.?B.立C.?D.0

22

22

6.已知橢圓C0+2r=l（α＞力＞0）,F為其左焦點,直線y=依化＞0）與橢圓。交于點A,B,且

AF±AB.若NABF=30°,則橢圓C的離心率為（）

A.也B,星C也D.如

3366

7.如圖，陰影正方形邊長為1,以其對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點，作第2個正方

形；然后再以第2個正方形的對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個正方形的頂點，作第3個正方形；依此

方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個正方形，第〃個正方形的面積為耳，則

2023

^[cos(∕ιπ)?log2β,,]=()

H=I

A.1011B.-IOllC.1012D.-1012

8.設A,B是半徑為3的球體。表面上兩定點，且NAOB=60°,球體。表面上動點P滿足

∣B4∣=2∣P8∣,則點P的軌跡長度為（）

12√H4后C.MLD."

A.---------πB.--------π

5713

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某種子站培育出A、B兩類種子，為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進行試種，得到如下餅

狀圖與柱狀圖：

“類種子

用頻率估計概率，且每一粒種子

A.若規(guī)定種子發(fā)芽時間越短，越適合種植，則從5天內的發(fā)芽率來看，B類種子更適合種植

B.若種下12粒A類種子，則有9粒種子5天內發(fā)芽的概率最大

C.從樣本4、B兩類種子中各隨機取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內未發(fā)芽的概率是0.145

D.若種下10粒B類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X,則O（X）=L6

10.設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A=”從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B="從乙袋中任取2球全是白

球”，則（）

Q

A.事件A與事件8相互獨立B.P⑻=—

')14

CP（A⑻4D.P網(wǎng)哈

11.已知拋物線f=4y的焦點為點代準線與對稱軸的交點為K,斜率為Z（A>0）的直線/與拋物線相

交于A,B兩點，線段AB的中點為"（4,匕,），則下列結論正確的是（）

A.若IABI=6,則點M到X軸最小距離是3

B.當直線/過點P（0,—2）時，Λ0>2√2

C.當。4LOB時，直線尸M的斜率最小值是邁

2

D.當直線/過點K,且AF平分NBFKB寸，怛同=4

12.如圖，已知圓柱母線長為4,底面圓半徑為26，梯形。內接于下底面，CZ）是直徑，AB//

CD,AB=6,點AB,C,。在上底面的射影分別為4，Bi,Cl,。，點M,N分別是線段CC∣,AA1

上的動點，點。為上底面圓內（含邊界）任意一點，則（）

A.若面DMN交線段BBl于點R,則NR//DM

B.若面勿V過點用，則直線MN過定點

C.ABQ周長為定值

D.當點。在上底面圓周上運動時，記直線QA,QB與下底面圓所成角分別為α,萬，則

cos^+cos^eΓ39^

sin~asin2β|_22_

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某個品種的小麥麥穗長度(單位：Cm)的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、

9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

14.已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其內切球的表面積之比為.

15.已知函數(shù)/(x)=SinS-遂cos8(。>0)零點是以為公差的等差數(shù)列?若“可在區(qū)間［°，加］上單調

遞增，則機的最大值為.

16.已知函數(shù)/(x)的定義域O=(YO,0)D(O,+?),且對任意的xe。，都有/(τ)=∣∕(x)∣,若

/(x)在(-,O)上單調遞減，且對任意的XG(0,”)，不等式/(e*)>∕(x)恒成立，則實數(shù)”的取值

范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，角A,B,C的對邊分別是小b,c,己知貪〃A+COSA=0.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)給出以下三個條件：①Q(mào)=4出，6=4；②。2一/+￠2+108=0；③SAβc=15λ∕L若以上三個條

件中恰有兩個正確，求SinB的值.

18.已知數(shù)列｛α,,｝中，％=1,點P(%,4+∣),"∈N*在直線*一丁+1=0上.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(2)設為=—,S,為數(shù)列｛2｝的前〃項和，試問：是否存在關于"的整式g(〃)，使得

S]+S)+S,τ=(S,-l)?g(")(“≥2,"eN*)恒成立,若存在,寫出g(〃)的表達式，并加以證明，若

不存在，說明理由.

19.在長方體ABC?！?片。1。1中,AB=BC=2,過其，G，8三點的平面截去長方體的一個角后,

得到如圖所示的幾何體AB。。-AClA,且這個幾何體的體積為10.

(1)求棱4A的長;

(2)求平面ABc和平面BG。夾角的余弦值.

20.有一大批產(chǎn)品等待驗收，驗收方案如下：方案一：從中任取6件產(chǎn)品檢驗，次品件數(shù)大于1拒收；方

案二：依次從中取4件產(chǎn)品檢驗；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗

收.

(1)若本批產(chǎn)品次品率為20%,選擇“方案二”，求需要抽取次數(shù)X的均值；

(2)若本批產(chǎn)品次品率為p(0<p<l),比較選擇哪種方案容易通過驗收？

22

21.已知雙曲線C：W-W=I(α>0力>0)的左、右焦點分別為￡、%,焦距為4,右頂點為A,以A

為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R,S兩點，且NRAS=60。.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)已知點M,。是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，N￡QK的角平分線

IMEl

記為/,過點M做/的垂線，垂足為E,與雙曲線右支的另一交點記為點M求上高的最大值.

?MN?

r-1

22.已知函數(shù)/(χ)=e

X

(1)求函數(shù)“力的單調區(qū)間；

(2)證明：當x>0時，/(x)>xln(x+l).

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設集合A=NW>100},B=”ZIlgX<1},則A*（）

A.{5,6,7}B.{6,7,8}

C.{7,8,9}D.{8,9,10}

【答案】C

【解析】

【分析】求得指數(shù)不等式和對數(shù)不等式從而解得集合A3,再求ACB即可.

【詳解】y=2*為R上的單調增函數(shù)，又26=64（100,27=128）100,

故集合A的元素為大于等于7的整數(shù)；

lgx<l,即lgx<lglθ,解得0<χ<10,又x∈Z,

故集合B={l,2,3,4,5,6,7,8,9};

則ACB={7,8,9}.

故選：C.

2.已知復數(shù)Z是一元二次方程2χ+2=0的一個根，則IZl的值為

A.1B.√2C.OD.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個復數(shù)根，結合復數(shù)模的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，方程--2χ+2=0,可得A=-2<0,

所以方程的兩個復數(shù)根分別為z=l+i或z=l-i,

所以忖=J5.

故選：B.

3.甲、乙兩所學校各有3名志愿者參加一次公益活動，活動結束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個學校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【解析】

【分析】先求出第一排有2人來自甲校，1人來自乙校，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同

理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理，相加即可

得出答案.

【詳解】第一排有2人來自甲校，1人來自乙校：

第一步，從甲校選出2人，有C；=3種選擇方式；

第二步，2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2；

第三步，從乙校選出1人，有C；=3種選擇方式；

第四步，第二排甲校剩余的1人站中間，乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有3x2x3x2=36.

同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù)有36.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有36+36=72.

故選：B.

4.在JWC中，ZC=90o,NB=30°,/84C的平分線交BC于點D若AD=+(X,"∈R),

λ

則一=()

A.-B.?C.2D.3

32

【答案】B

【解析】

BD

【分析】設AC=I,由角平分線定理求得一，然后由向量的線性運算可用AB,AC表示出Ao,從而求

CD

得得出結論.

【詳解】設AC=I,因為NC=90°,NB=30°,所以AB=2，

又A。是/B4C的平分線，所以生=生=1，CD=^BC,

BDAB23

---.1.-1一一.1一2

AD=AC+CD^AC+-CBAC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

3333

12

又AO=4ΛB+"AC,所以幾=3，〃=§,

所以人=；.

μ2

故選：B.

5.中國古代建筑的主要受力構件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制

成截面為矩形的梁，設與承載重力的方向垂直的寬度為X,與承載重力的方向平行的高度為y,記矩形截面

抵抗矩W=Jx）2.根據(jù)力學原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強，則寬X與高y的最佳之比應為

6

()

A.?B.—C.1D.√2

22

【答案】B

【解析】

【分析】設圓的直徑為d,則V+;/=/,將矩形截面抵抗矩W=5個2表示成關于X的的函數(shù)，利用導

6

數(shù)求此函數(shù)的單調性、最值，從而得出結果.

【詳解】設圓的直徑為"，則Y+:/=/,...y=/—/,

由W'>0時，解得O<x<立d；由W'<O時，解得x>3

—a；

3、3

所以W在d單調遞增,d,d單調遞減,

7/

所以X=走d時W取最大值.

3

_______Bdr

此時y=pf=爭，所以：=右=￡.

—a

3

故選：B.

尤2V2

6.已知橢圓C:4+%=l(α>∕7>0),/7為其左焦點,直線y="（左>0）與橢圓C交于點A,B,且

AE_LAB.若NABb=3（）。，則橢圓C的離心率為（）

A.也B,"C.也D.國

3366

【答案】A

【解析】

【分析】設橢圓的右焦點為F2,連接4工，BF2,設IAK=加，根據(jù)余弦定理得到C?=手，計算得

到離心率.

【詳解】設橢圓的右焦點為F?,連接AK，BF2,故四邊形AFB瑪為平行四邊形，

設IA月=加，ZABF-30°,貝IJlFβ∣=2m,忸閭=IAFl=加,

2

∣BF∣÷∣β∕?∣=2m+m=2a,m=-a,

△BE6中，(2c)2=[gα)+g4)-2x^?x^?xcos120o，

整理得到4c2=幽?，即C=立α,故e=￡=也.

93a3

故選：A

7.如圖，陰影正方形的邊長為1,以其對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點，作第2個正方

形；然后再以第2個正方形的對角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個正方形的頂點，作第3個正方形；依此

方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個正方形，第〃個正方形的面積為則

2023

?^[eos(ra)-log,ɑ,,]?()

〃=1

C.1012D.-1012

【答案】B

【解析】

’1,“為偶數(shù)

【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知｛q｝是以公比為2,首項為1的等比數(shù)列，進而根據(jù)cosnπ=<

、-為奇數(shù)

并項求和即可?

【詳解】第一個正方形的邊長為4=1,面積為q="2=1,

222

第二個正方形的邊長為％=2xy-?,=√2?1,面積為4=b2=(√2?1)=2b：=2at,

第三個正方形的邊長為4=2×，面積為a?=仇？=(J，"，)=2%2=2a,,..…,進而可

知：｛%｝是以公比為2,首項為1的等比數(shù)列，所以勺=2"τ,??.log2怎=log22"T=〃—1,

I,〃為偶數(shù)

由于CoS〃兀=<,所以

為奇數(shù)

20232023

^[cos(nπ)?log2fl,,]=^[cos(nπ)?(n-l)]=0+1-2+3-4+5++2021-2022

〃=1"=1

2023—1

=0+(1-2)+(3-4)++(2021-2022)=-l×---=-1011,

故選：B

8.設4,B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且NAa3=60°,球體。表面上動點ρ滿足

IpAI=2∣PB∣,則點尸的軌跡長度為()

A12而r4√15r6√14n12√j?

A.-----------TlB.---------JTC?---------TtL)?---------兀

115713

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐標系，根據(jù)IPAI=2歸卻確定軌跡為圓，轉化到空間得到軌跡為兩球的交線，計算球心

距ICa=Jm,對應圓的半徑為Ai=瑞=鋁3,再計算周長得到答案.

【詳解】以AOB所在的平面建立直角坐標系，AB為X軸，AB的垂直平分線為了軸,

I蜴=3,則A[-*0∣,B∣3∣,0,設P(XM,∣PA∣=2∣PB∣,

27

C3Y+4y2,整理得到(x—21+/=4,

則x+-+y2

I2；、2)\2)

故尸軌跡是以c[g,θj為圓心，半徑〃=2的圓,

轉化到空間中：當P繞AB為軸旋轉一周時，網(wǎng),網(wǎng)不變，依然滿足IpH=2∣PM

故空間中P軌跡為以C為球心，半徑為尸=2的球,

同時P在球。上，故P在兩球的交線上，為圓.

球心距為ICOI=^?0Bf+?BCf-2?OB???0C?COS120°=用=√22+32，

△OCP為直角三角形，對應圓的半徑為4=言=綃3

國∣∕4,cC6√B12√B

周k為2兀4=2兀X-----=------π.

11313

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某種子站培育出A、B兩類種子，為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進行試種，得到如下餅

狀圖與柱狀圖：

4類種子8類種子

用頻率估計概率，且每一粒種子是否發(fā)芽均互不影響，則()

A.若規(guī)定種子發(fā)芽時間越短，越適合種植，則從5天內的發(fā)芽率來看，B類種子更適合種植

B.若種下12粒A類種子，則有9粒種子5天內發(fā)芽的概率最大

C.從樣本4、B兩類種子中各隨機取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內未發(fā)芽的概率是0.145

D.若種下10粒8類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X,則O(X)=L6

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)圖形和概率的概念可判斷A選項；

由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項分布，X8(12,0.8),

再由P(X=6>P(X=Z:+1),且P(X=6>P(X=女一1),可求人的最大值；

由概率的根據(jù)對立事件的性質和相互獨立事件的概率公式，可計算選項C;

由題意可知X服從二項分布，X3(10,0.2),可判斷D選項.

【詳解】從5天內的發(fā)芽率來看，4類種子為80%,8類種子為75%,故A選項錯；

若種下12粒A類種子，由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項分布，XB(12,0.8),

l2i

P(X=Z)=Cf2O?8"(l-0.8產(chǎn)*=Cf20.8*0.2^,

則P(X=4"P(X=左+1),且P(X=Z)≥P(X=A-I),

可得C?0?8"0.2"d≥Cgi0.84+i0.2∣i,且C,O0θ22--≥Cf廠。圖飛?夫,

4752

所以一≤A≤y,即人=10,即有10粒種子5天內發(fā)芽概率最大，故B選項錯；

記事件A:樣本A種子中隨機取一粒8天內發(fā)芽；

事件B:樣本B種子中隨機取一粒8天內發(fā)芽；

根據(jù)對立事件的性質，這兩粒種子至少有一粒8天內未發(fā)芽的概率：

1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.9×0.95=1-0.855=0.145,故C選項正確；

由題意可知X服從二項分布，X3(10,0.2),

所以O(X)=IoXo.2x(1-0.2)=1.6,故D選項正確;

故選：CD

10.設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A=”從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B="從乙袋中任取2球全是白

球”，則()

9

A.事件A與事件B相互獨立B.P(B)=-

'14

C?P(A⑻=(D.網(wǎng)碉唔

【答案】CD

【解析】

【分析】由古典概型概率計算公式，以及條件概率公式分項求解判斷即可.

【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知：

從甲袋中任取1球對乙袋中任取2球有影響，事件A與事件8不是相互獨立關系，故A錯誤；

34

從甲袋中任取1球是紅球的概率為：P(A)=1,從甲袋中任取1球是白球的概率為：

所以乙袋中任取2球全是白球的概率為:

?C'C?C；C：125

z票?+故錯誤;

P(B),=M?=77+4=77,B

`C'7C^C；C：14714

12

P(/AB、)=處CC五1’所以P/(MI?=/P(端AB)Fx1M14=歹1故C正確;

p(而)=1—尸(AB)=I—、=￡,故D正確.

故選：CD

11.已知拋物線￠=4),的焦點為點凡準線與對稱軸的交點為K,斜率為k(A>O)的直線/與拋物線相

交于A,8兩點，線段4B的中點為"(x0,yo),則下列結論正確的是()

A.若IABl=6,則點M到X軸的最小距離是3

B.當直線/過點P(0,—2)時，Λ0>2√2

當OA?LO8時，直線FM的斜率最小值是如

2

D.當直線/過點K,且AF平分/BFK時，忸月=4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義判斷A,由判別式求出k的范圍結合中點坐標公式判斷B,利用均值不等式判斷C,

根據(jù)角平分線定理及拋物線定義判斷D.

連接AEB尸，其中加為準線,

由拋物線定義知，2?MN?=^AC?+?BDHAF?+?BF?≥?AB?=6,

所以IMNI≥3,當且僅當/在AB上時，等號成立，故A正確;

對B,直線/過點P(O,-2)時，直線方程為y=依-2,聯(lián)立Y=今可得f—4日+8=0,

設A(XI,%),B(x2,y2),則A=16%2-32>0，解得C>√Σ(?>O),

所以2Λ0=石+w=4Z>40,即Xo>20,故B正確;

對C,設/:y=依+b,聯(lián)立χ2=4y可得χ2一4Ax-4b=0,當△>()時,

設A(Xl,y∣),B(x2,y2),則2q=X]+>=4：,Bpx0=2k(k>0),

X1X2=-4b,所以Xy2=1號=嘿-=/'

QA_LoB可得。A?O6=0,即司々+%%=。，

所以一4h+∕=0,解得6=4或沙=0(舍去)，此時A=16A:?+64>0，滿足題意,

=>∕β,

所以％=T="產(chǎn)=與?仔

當且僅當％=』，即時等號成立，故C錯誤;

Ik2

對D,如圖，作AC_L/n,3O_Lm,

由題意知，K(0,—l),連接AgB/，其中加為準線，

則/:y=自-1,聯(lián)立拋物線聯(lián)立∕=4y可得/_4履+4=0,當△>()時,

設A(XI,χ),β(%2,y2),則χ+X2=4Z,%l%2=4,

由拋物線定義知，18尸|=%+1=他，

∣BF∣?AB?IAB∣?CD?x,-x.

因為AF平分/BFK,所以匕J=%U，由AC〃BD可知ZW=方元=一~l,

IFKIIAK?IAK?ICKlX1

y9÷1kx1X9-x1,?…

所以2=三=。-，即依］工2=2(%-F)，所以2攵二工2一%，

∣βFI3k—kC

又M+∕=4Z,解得Λ?=3A,%=k,所以4W=-—=2,gp∣BF∣=2×2=4,故D正確.

IFKITκ

故選：ABD

12.如圖，已知圓柱母線長為4,底面圓半徑為26,梯形ABC。內接于下底面，CD是直徑,AB//

CD,AB=6,點AB,C,。在上底面的射影分別為A,B1,Ci,2,點”,N分別是線段CC∣,AA1

上的動點，點Q為上底面圓內(含邊界)任意一點，則()

A.若面DMN交線段于點R,則NR//DM

B.若面勿V過點用，則直線MN過定點

C.ABQ的周長為定值

D.當點。在上底面圓周上運動時，記直線QA,QB與下底面圓所成角分別為α,萬，則

cos^+cos^eΓ39^

sin~asin2β|_22_

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A：先證。0〃面ABBlA,再利用線面平行的性質，即可判斷；

對B：根據(jù)。4,MN共面，且MNU面ACe4,即可判斷；

對C：取點。與點及重合，以及點。與Ag中點重合兩個位置，分別計算三角形周長，即可判斷；

對D：根據(jù)題意，找到線面角，得到一^+「4=———,結合余弦定理、基本不等式求

s?naSnr夕QE'

四。2+4。2的范圍，即可判斷結果.

【詳解】對A：由題可得QC〃AB,ABu面ABqA,Z）C（Z面ABAA∣,故。C〃面ABBI4；

又CGMBBl,Bgu面ABBlAi,CGa面ABBlA1,故CC"/面ABBlA；

DCCCC1=C,DC,CC1U面PCC1D1,故面I）CC∣Q//面ABBl?；

又DMU面OCGol,故DM〃面ABBiAi-

又DMU面DMN,面DMNC面ABBIAl=NR,故可得DM〃NR,A正確；

對B：根據(jù)題意，DB,MN共面,

又M,N分別為CCl,AA1上的動點，故直線施VU面ACC1A1；

不妨設直線DBl與平面ACCiAi的交點為p,

若要滿足與MN共面，則直線MN必過點尸，又尸為定點，故B正確；

對C：設-ABQ的周長為∕,

2

當點。與與重合時，l=AB+BB]+AB∣=6+4+y∣AB+BB^

=10+√36+16=10+2√13；

當點。與A隹中點重合時，連接僅2,AQ：

此時/=A8+5Q+AQ=A8+25Q=6+2J[；AB]+16

=6+2χ∕9+16=16；

顯然ABQ周長不為定值，C錯誤；

對D：過。作底面圓垂線，垂足為E且在下底面圓周上，即QEJ?面ABCr>,

連接BE,AE,則NQBE、NQAE分別是直線QA,Q3與下底面圓所成角,

所以Sina=W,c。Sa=絲，sin夕=更,c。SP=世，貝COSaAEBE

AQAQBQBQsinaQE'QE

所以"里+霽g=當詈1,而QE=4,AB=G,底面圓半徑為2道,

sin^asm~βQE'

若E在AB對應優(yōu)弧上時NAEB=工，則cosNAEB=AE+'"TB=

32AEBE2

AF24-RF2

所以AE?+BE2-AEBE=36≥----------僅當AE=BE=6時等號成立,

2

此時Al+BE2≤72，

2冗Λ"2,RF2AD21

若E在AB對應劣弧上時ZAEB=—,則cosZAEB=

32AEBE2

所以NE?+BE2+AEBE^36≤匕；BE）,僅當AE=BE=20時等號成立，

此時AE2+BE1≥24-

22

z.r,,,,CosCZCosβr39,

綜上，24≤4E2+BE2?72,故一^+―e[二,7],D正確.

Snrasm^∕?22

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：面面平行的性質、直線與平面的位置關系、動點問題以及線面角的求解；其中關于

D選項中對范圍的求解，將空間問題轉化為平米問題進行處理，也可以直接建立空間直角坐標系進行處

理；同時關于C選項中的定值問題，選取特殊位置驗證，不失為一種較好的做題技巧。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某個品種的小麥麥穗長度（單位：Cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、93、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、

9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

【答案】10.8

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運用百分位數(shù)的運算公式即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序為：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有

12個,

所以12χ80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8

14.已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其內切球的表面積之比為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】由已知先計算圓錐母線與底面圓半徑的關系，再確定其內切球半徑，最后由圓錐的側面積與球的表

面積公式計算即可.

如圖所示圓錐不，設其底面圓心為尸，半徑為〃，內切球球心為0,半徑為心內切球與母線〃/切于點

G,

22

則由題意可知;XπX2/"=2兀XHFn/H=IHF=2r,故/=1J(2r)-r=品,

易知IGoIFH,即史=皿=L,所以0∕=2R,/R=OF'+∕0=3R,二=上

OlIH2R

2

1oπr?

圓錐的側面積為2仃x2rx—=2兀，，內切球的表面積為4兀叱，故與T=L

2ATIR-2

3

故答案為：一

2

15.已知函數(shù)/(X)=sinωx-^cosωx(ω>0)的零點是以T為公差的等差數(shù)列.若/(%)在區(qū)間［θ,nι?上單調

遞增，則，〃的最大值為.

..._5兀

【答x案】—

【解析】

【分析】先化簡函數(shù)，利用零點求出。，根據(jù)單調遞增求出陽的值.

(1,√3

【詳解】因為/(x)=sinOR-bCOSGX(G>0),所以/(x)=2一sin------cosωx=2sinωx--

I3

22√

TT9JI

因為/(X)的零點是以一為公差的等差數(shù)列，所以周期為兀，即一=兀，解得0=2；

2ω

Γ?IlC兀兀C兀

當x∈[θ,加]時，2x——∈--,2ττ?——,

因為/(x)在區(qū)間[0,向上單調遞增，所以2,"-(≤],解得m≤∣^.

5兀

所以機的最大值為一?

127

故答案為：蕓5兀.

12

16.已知函數(shù)/(x)的定義域。=(F,0)D(0,+DO),且對任意的χ∈O,都有/(T)=∣∕(X)∣,若

/(x)在(y,0)上單調遞減，且對任意的x∈(0,+8),不等式/(ejc+")>"x)恒成立，則實數(shù)”的取值

范圍是.

【答案】(T,+∞)

【解析】

【分析】由/(r)=∣∕(x)∣,得到/(x)是偶函數(shù)，再結合/(x)在(-∞,0)上單調遞減，不妨設

/(x)=ln∣x∣+m,再根據(jù)對任意的x∈(0,+8),不等式/(6'+")>/(力恒成立求解.

【詳解】因為數(shù)/(x)的定義域。=(-∞,0)5°,+s),且對任意的Xe。，都有x)=∣∕(x)∣,

所以y(-x)=∣∕(x)∣≥o,故以χ)≥o,貝U/(-X)=/(χ),

所以/(X)是偶函數(shù)，

又/(x)在(—8,0)上單調遞減，

由偶函數(shù)的對稱性可得/(X)在(0,+8)上單調遞增，

因為對任意的％∈(0,+8),不等式f(e+u)>/(χ)恒成立，

所以對任意x∈(0,+8),不等式e'+α>x恒成立，

即X+α>InX對任意的X∈(0,+*)恒成立，

即α>In%-%對任意的％∈(0,七>。)恒成立，

l-x

令∕z(x)=InX-X,則∕z'(x)

X

當O<x<l時，Λ,（x）>O,MX）單調遞增；

當x>l時,Λ,（x）<O,MX）單調遞減;

所以力（X）max='（I）=T，則α>T,

所以實數(shù)?的取值范圍是（一L+8）,

故答案為：（―l,+∞）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，角4,B,C的對邊分別是小b,c,已知A+gcosA=0.

（I）求角4的大?。?/p>

（2）給出以下三個條件：①a=4"，6=4;②〃一/+。？+］。匕=。；③SABC=I5后.若以上三個條

件中恰有兩個正確，求SinB的值.

【答案】（1）A-

ZX?p_3>∕3

（92）sinB------

14

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系求解即可；

（2）先由余弦定理分析條件確定正確的是②③，然后由正弦定理求解即可.

【小問1詳解】

因為sinA+>∕3cosA=0，

若COSA=O,則SinA=0,不滿足sin?A+cos?A=I,所以tan4=-6，

2兀

因為0<A<7t,所以A=1.

【小問2詳解】

由A=年及①，由余弦定理可得〃=〃+/一2歷CoS會，

即c2+4c-32=0,由c>0,解得c=4；

由A=g及②，由余弦定理可得∕√+<?一/-2Z?ccosA=-be,

由b?一/+c?+10b=0可得10匕一匕C=0,可得C=I0；

由A=Zf及③，由三角形的面積公式可得SMBC=L歷SinA=正歷=15JL

?24

可得〃c=60.

經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，

故人=6,c=10?

代入②可得36-Q2+i(χ)+60=0可得。=14.

ab283x∕T

在4LBC中，由正弦定理=Z==f，故SinB=也.

sinAsinB√314

18.已知數(shù)列｛4｝中，α∣=l,點P(an,an+l),在直線了一丁+1=0上.

(I)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)設a=—，S“為數(shù)列｛2｝的前〃項和，試問：是否存在關于"的整式g(〃)，使得

a∏

Sl+S2+5,_|=(5,-1)抬(〃)(〃22,〃6%*)恒成立，若存在，寫出g(〃)的表達式,并加以證明，若

不存在，說明理由.

【答案】(1)aι,=ni(2)存在，g(〃)=〃，證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點P(α.M,小)在直線χ-y+l=0上，將點坐標代入方程，可得用與知的關系，根據(jù)等差數(shù)列

的定義，即可求得數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)由⑴可得〃,，進而可求得S”的表示式，化簡整理，可.得〃S,一但-I)S=S,"+1,利用累加

法，即可求得S∣+S?+S,"的表達式，結合題意，即可得答案.

【詳解】(1)因為點P(q,,αw),〃GN*在直線x-y+l=O上，

所以4-?！?1+1=0,即。"+1-4=1，且4=1，

所以數(shù)列｛4