2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第五講　離散型隨機變量的分布列、數(shù)字特征及超幾何分布 學(xué)案

第五講離散型隨機變量的分布列、

數(shù)字特征及超幾何分布

知識梳理?雙基自測

知識梳理

知識點一離散型隨機變量

對隨機試驗樣本空間。中的每個樣本點W,都有唯一的實數(shù)X(W)與之對應(yīng)，

稱為隨機變量，通常用大寫英文字母X,K…表示隨機變量.所有取值可以

一一列出的隨機變量，稱為一離散型_隨機變量.

知識點二離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)

(D一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為XI,X2,…，Xi,…,X",

稱X取每一個值&i=1,2,…，〃)的概率P(X=Xi)=P,?為X的分布列，可用表格

表示為：

XXlX2???Xi???Xn

??????

PPlP2PiPn

(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)

①PieOa=L2,…，〃)；②g∕λ=m+p2-l------=1.

知識點三離散型隨機變量的均值與方差

若離散型隨機變量X的分布列為P(X=M)=Pi,i=L2,…

(1)均值：稱E(X)=Xipi+%2∕J2÷???+x∣pι+???Λ-XnPn=YyXiPi為隨機變量X的

均值或數(shù)學(xué)期望.

(2)方差：稱O(X)=XlS-E(X)Api為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根

加而為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差一.

(3)均值與方差的性質(zhì)

①EmX+b}=aE(X)+h.

^)D(aX+b}=a2P(X).

③O(X)=E(X2)-(E(X))2.

知識點四常見離散型隨機變量的分布列

(1)兩點分布或0—1分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為

XO1

PLpP

其中P=P(X=I)稱為成功概率?

若X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(l-p).

(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件

次品,則P(X=Z)=―西一，k=0,l,2,???,m,其中Tn=min{Λ∕,n],且/WM

MWN,〃、M、NGN上,稱隨機變量X服從超幾何分布.可記為h(N,M,

XO1???m

ChxCc?cv?

P???

C-c?

E(X)=np,D(X)=HP(I-P)NK其中p=R?

歸納拓展

1.若X是隨機變量，則y=αX+伙α,人是常數(shù))也是隨機變量.

2.隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的.

3.隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定.

4.隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，

方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量?(√)

(2)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于

1.(X)

(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的?(√)

(4)由下列給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布.(X)

X25

P0.307

(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾

何分布.(J)

(6)某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分

布?(X)

題組二走進教材

2.(選擇性必修3P(x)T4改編)設(shè)隨機變量X的概率分布列為

X1234

?\3

Pm

488

則P(IX—3|=1)=0_.

113I

［解析］由解得

z4t+τn+ORO+q=l,4t

135

P(IX—3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=z+0=g.

3.(選擇性必修3P69例6)A、B兩種股票，每股收益分布列如表

股票A收益分布列

收益X/元-1O2

a03(λ6

股票B收益分布列

收益y/元O12

0304b

則投資A股票期望大,投資A股票風(fēng)險高.

［解析］由分布列的性質(zhì)易知α=0.1,b=0.3,

從而E(X)=L1,E(F)=I,D(X)=1.29,Zxy)=O.6,

/.E(X)>E(Y),投資A股票期望大，

D(X)>D(K)投資A股票風(fēng)險高.

題組三走向高考

4.(2022.浙江)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨

機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為3則Pe=2)=苗_,￡(￠)=7-.

［解析］從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C3種取法，其

中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有CL+C)C新中，所以PG=2)=

由已知可得4的取值有1,2,3,4,P(?=l)=^=∣∣,尸(。=2)=!|,

P(e=3)=fj=?,∕,(C=4)=?=?所以E(J=1X∣∣+2X∣∣+3X■+4X看=

12

T-

5.(2020?課標(biāo)川)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為？，p2,p3,

4

P4,且∑>=1,則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(B)

/=1

A.pι=p4=0.1,p2=p3=0.4

B.pι=p4=0?4,p2=p3=O.l

ɑ.pι=p4=0.2,p2=p3=O?3

D.pι=p4=0.3,p2=p3=(λ2

44

［解析］根據(jù)均值E(X)=∑rWi,方差。(X)=ZN-E(X)Fp,.,標(biāo)準(zhǔn)差最大即

1=lZ=I

方差最大，由各選項對應(yīng)的方差如下表

選項均值E(X)方差D(X)

A2.50.65

B2.51.85

C∑5L05

D：∑51.45

由此可知選項B對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大，故選B.

考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)—自主練透

H??例1(多選題)(2023?高考名校交流卷)設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=K)

=7T7^=1,2,5),E(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確

KI1

的是(ABC)

A.P(0<X<3.5)=VB.E(3X+1)=7

C.D(X)=ID.D(3X+1)=6

［解析］由分布列的性質(zhì)可知，P(X=1)÷P(X=2)+P(X=5)=∣+∣+∣=1,

解得α=l,所以P(0<X<3.5)=P(X=I)+P(X=2)=焉，A選項正確；E(X)=IX；+

2×∣+5×∣=2,所以E(3X+1)=3E(X)+1=3X2+1=7,B選項正確；O(X)=；

×(l-2)2+∣×(2-2)2+∣×(5-2)2=2,所以0(3X+1)=9XO(X)=18,C選項

正確，D選項不正確.故選ABC.

名幃A披MINGSHIDIANBO

(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，要注意檢查每個概率值均

為非負(fù)數(shù).

(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機變量

對應(yīng)的概率值相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.

〔變式訓(xùn)練1〕

,7

(2022.陜西寶雞模擬)已知隨機變量X,y滿足y=2x+3,丫的期望E(D=g,

X的分布列為：

X-1O1

?

P

2ab

則α,"的值分別為(C)

A.b=gB.α=",b=j

1,13,1

C.a-yb=&D.α=g,b=g

71

［解析］'：E(Y)=2E(X)+3=y.?E(X)=~y

考點二離散型隨機變量的期望與方差——多維探究

角度1均值、方差的簡單計算

m,例2(2022?浙江杭州質(zhì)檢)已知隨機變量X滿足P(X=x)=ax+b[x=一

1,0,1),其中α,匕∈R.若E(X)=；,則D(X)=(B)

2

-

A.9B?I

8

C-

≡9D.y

由已知可得：P(X=~l)=~a+b,P(X=Q)=b,P(X=?)=a+b,

則-a+b+Z?+a+Z?=1,即b=g,

又￡(X)=-1X(-?+/?)+0Xft+lX(a+Z?)=|,

所以。=/，所以X的分布列如下：

X-1O1

1?1

P

632

所以O(shè)(X)=AX故選B

［引申］在本例條件下ZX3X+5)=5.

角度2均值、方差與函數(shù)性質(zhì)

A?例3(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)設(shè)0<?<|,隨機變量X的分布列

是

X-1O1

~Γ∣+α

P2~ab

則當(dāng)“在(0,?內(nèi)增大時(C)

A.。(㈤增大B.O(X)減小

C.O(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大

[解析]α)+b+(?∣+α)=l,二8=/

因為E(X)=-1a)+0Xt+lX(；+a]=2a—

解法一：E(X2)=I×∣+0×∣=∣,

5

a~nr

12β++2π-121+β2α75

解法二：。(6)6×(6)+βI^6)=6^4

X)=2~a.6,36,6H.

2

所以當(dāng)α∈(θ,*h3

時,。增大D(X)增大，當(dāng)aS時增大。(X)減小.故

選C.

角度3實際問題中的均值、方差問題

降■■例4(2023?吉林長春質(zhì)監(jiān))四名黨員教師暑假去某社區(qū)做志愿者工作,

現(xiàn)將他們隨機分配到A,B,C三個崗位中，每人被分配到哪個崗位相互獨立.

(1)設(shè)這四名教師被分配到A崗位的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)求上述三個崗位中恰有一個崗位未分配到任何志愿者的概率.

［解析］(I)X的可能值為0,1,2,3,4.

P(X=O)=東=患；

C∣?2332

P(X=I)=34-81；

Cl22248

P(X=2)=34—81—27；

P(X=3)=^Γ=-^;

ci1

P(X=4)=孕=肝

二.X的分布列為

XO2-1-4

1632-1-~s~?

P

8181278181

Ci?24^,'

或?qū)懗蒔(X=i)=F~?(i=0,1,2,3,4)

328814

E(X)=麗+2×蘇+3X麗+4義麗=)?

14

所求概率P=

(2)27'

名帥克撥MINGSHIDIANBO

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差的步驟:

——明確隨機變量的可能取值有哪些,且每一

-----I個取值所表示的意義

I要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)

jhjj

pI公式求出變量所對應(yīng)的概率

畫爰格IT按規(guī)范要求形式寫出分布列

做檢驗一利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確

求期望、方差

注：求離散型隨機變量X的分布列，首先要理解X的意義，準(zhǔn)確寫出X的

所有可能值，其次要準(zhǔn)確求出X取各個值時的概率.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(1)(角度1)(2022.江蘇鎮(zhèn)江調(diào)研)隨機變量X的分布列如下表，則E(5X+4)=

13

XO24

P0.40.30.3

(2)(角度2)(2023?廣東深圳調(diào)研)設(shè)0<α<l,離散型隨機變量X的分布列如下,

則當(dāng)α在(O,|)內(nèi)增大時(D)

XO12

1-a1a

P~1~22

A.。(X)增大B.D(X)減小

C.O(X)先減小后增大D.O(X)先增大后減小

(3)(角度3)(2022?四川遂寧市二模)“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》

的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)

思想至今仍具有積極意義和參考價值.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展

“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動.某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論

語》《孟子》這4本書中選取1本進行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同.比賽時,

若這4位同學(xué)從這4本書中隨機抽取1本選取其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備

的書的人數(shù)的均值為(B)

A，2B.1

3

C.2D.2

［解析］(1)由題意知E(X)=2×0.3+4×0.3=1.8,

???E(5X+4)=5E(X)+4=13.

(2)由題意：

1—a1a,1

E(X)=O×?÷l1×y÷l2×y=6z÷y,

所以O(shè)po=Q—=一屋+〃+；=—

O+*

因為T∈(θ,|),所以。(X)先增后減，故選D.

(3)記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生人數(shù)為X,則X可能值為0,1,2,4,

3

P(X=O)=F=8,

C∣×21

P(X=I)=^r=3,

1

α×ι-

P(X=2)=4

P(X=4)=『為

3111

貝

IJE(X)=O×oQ+1×τJ+2×74÷4×T7=l.

故選B.

考點三超幾何分布——師生共研

A?例5在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人

的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理

暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果

來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者4,A2,A3,A4,A5,4和4

名女志愿者8,&,&,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受

乙種心理暗示.

⑴求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含B的概率；

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.

［解析］(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含B的事件為

Cg5

則P(M)=瓦=而

(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則

P(X_o)-C%-42,P(XT)一Go-21'

CrZioCr?5

"=2)=高=亓口、=3)=百=亓

CACL1

P(X=4)=

Cfo-42?

因此X的分布列為

X0234

丁^1-10^3-~Γ

P

422\2T2142

［引申1］用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù),則X的分布列為多少？

［解析］由題意可知X的取值為1,2,3,4,5,

p∣n--??-±o--CiCi-A

則1Pf(γX-nI)-CM-42'Pf(Xy-21)—Cqo-21

P(X_3L萼—心P(X_4L誓上

P(X-3)-CV-21'P(X-4)-Go-21,

P(X=5)=懸=表.

因此X的分布列為

X12345

丁5105~T~

rΓ)

4221212142

［引申2］用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,

則X的分布列為多少？

［解析］由題意知X可取的值為3,1,-1,-3,-5.

L,ClCi1Cia5

則P(X=3)=百=/，P(X=I)=司=五，

p_C^10p∕γ=i=?L*

P(fXy―=n1)=-CM=—21'P(X-3)-C^o-2Γ

P(X=T)S1

42,

因此X的分布列為

X31-1-3-5

-

D~Γ-110~Γ

Γ42212?2142

名幃點被MINGSHIDIANBO

1.超幾何分布的特點：

(1)考察對象分兩類；

(2)已知各類對象的個數(shù)；

(3)超幾何分布是不放回抽樣問題；

(4)隨機變量為抽取的某類個體的個數(shù).

(5)考查某類個體抽取個數(shù)X的概率分布.

2.超幾何分布的應(yīng)用

超幾何分布是一個重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于正品與次

品，白球與黑球，男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題.

〔變式訓(xùn)練3〕

(2023.四川統(tǒng)測)某班在一次以“弘揚偉大的抗疫精神，在抗疫中磨煉成長”

為主題的班團活動中，擬在2名男生和4名女生這六名志愿者中隨機選取3名志

愿者分享在參加抗疫志愿者活動中的感悟，則所選取的3人中女生人數(shù)的均值為

(C)

3

A.1B.2

5

C.2D.2

［解析］記所選取的3人中女生人數(shù)為X,則X的可能值為1,2,3,且P(X=

D=等=/P(X=2)=^=∣,P(X=3)=瞽=/則X均值E(X)=IX］+2X∣

+3Xg=2.

4

秒殺解法：E（X）=3X車=2.故選C?

離散型隨機變量的分布列與統(tǒng)計綜合

2?例6（2022.四川遂寧診斷）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅

速復(fù)工復(fù)產(chǎn)，為擴大銷售額，提升產(chǎn)品品質(zhì)，現(xiàn)隨機選取100名顧客到公司體驗

產(chǎn)品，并對體驗的滿意度進行評分（滿分100分）.體驗結(jié)束后，該公司將評

分制作成如圖所示的直方圖.

⑴將評分低于80分的為“良”，80分及以上的為“優(yōu)”.根據(jù)已知條件完

成下面2義2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為體驗評分為

“優(yōu)良”與性別有關(guān)？

良優(yōu)合計

40

40

（2）為答謝顧客參與產(chǎn)品體驗活動，在體驗度評分為［50,60）和［90,100］的顧客

中用分層抽樣的方法選取了6名顧客發(fā)放優(yōu)惠卡.若在這6名顧客中，隨機選取

4名再發(fā)放紀(jì)念品，記體驗評分為［50,60）的顧客獲得紀(jì)念品數(shù)為隨機變量X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式.2=------Mad*--------

叩衣以么八?(a+b)(c+d)(a+cχb+d)?

P(2>Xa)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)列聯(lián)表如下:

良優(yōu)合計

曷202040

女204060

合計4060100

由題得，

,IOOX(20><40-20X20)2K_

=40X60X60X40=V≈2.78>2.7O6=xo.ιoo

所以