廣東省2021年中考真題數(shù)學(xué)試卷(原卷和解析版)

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.萬B.√2C.∣-2∣D.3

2.據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生

產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.0.510858×109B.51.0858×IO7C.5.10858×IO4D.5.10858×IO8

3.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）

A.—B.~C.—D.—

12632

4.已知9"'=3,27"=4,則B?",=（）

A.1B.6C.7D.12

5,若卜-W+j9Y-12"+4后=0,則他=（）

Q

A.√3B.-C.4√3D.9

6.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）

∏η,,,∏η,

Al個B.2個C.3個D.4個

7.如圖，A3是。。直徑，點C為圓上一點，AC=3,ZABC的平分線交AC于點O,8=1,

則。。的直徑為（）

1/33

C

D，

A.√3B.26C.1D.2

8.設(shè)6-√IU的整數(shù)部分為Q,小數(shù)部分為4貝∣j（2α+M）h的值是（）

A.6B.2√iθC.12D.9√i0

9.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形三邊求面積的公式，此公式與古希

臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為。，兒c,記P=”|匯，

貝IJ其面積S=JM〃一α）（〃一份（〃一c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若"=5,C=4,

則此三角形面積的最大值為（）

A.√5B.4C.2√5D.5

10.設(shè)O為坐標原點，點A、3為拋物線y=χ2上的兩個動點，且OA_LO8.連接點4、B,

過O作。CJ_AB于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

A.；B.亞C.正D.1

222

二、填空題：本大題7小題

11.二元一次方程組；的解為—.

2x+y=2

12.把拋物線y=2χ2+ι向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物

線的解析式為

13.如圖，等腰直角三角形ABC中，ZA=90o,βC=4.分別以點以點。為圓心，線段BC

長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點。、￡、F,則圖中陰影部分的面積為____.

BEC

2/33

14.若一元二次方程/+"+C=O（b,C為常數(shù)）的兩根片，w滿足-3<玉<-l,l<%<3,則

符合條件的一個方程為.

11Q1

15.若x+—=三且0<χ<l,則f---=.

X6X

4

16.如圖，在,ABC。中，AD=5,AB=12,sinA=-.過點。作DnA3,垂足E,貝IJ

17.在八49C中，NABC=9（）。,AB=2,BC=3.點。為平面上一個動點，ZΛDβ=45o,則線

段CO長度的最小值為.

三、解答題（一）：本大題共3小題

2x-4?3（x-2）

18.解不等式組，x-i.

4%>----

I2

19.某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽.用簡單隨機抽樣的方法，從該年級

（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù).

20.如圖，在MABC中，ZA≈90o,作BC的垂直平分線交AC于點。，延長AC至點E,

使CE=4?.

3/33

B

(1)若AE=I,求AABO的周長；

(2)若A。=/。，求tanZABC的值.

四、解答題(二)：本大題共3小題

21.在平面直角坐標系χQy中，一次函數(shù)y=履+妙＞0)的圖象與％軸、y軸分別交于A、

B兩點，且與反比例函數(shù)y=,圖象的一個交點為P(l,∕")?

X

(1)求加的值；

(2)若B4=2AB,求上的值.

22.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳

統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進

的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價

50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價％元(50Wx≤65),y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(單位:元),

求y關(guān)于X的函數(shù)解析式并求最大利潤.

23.如圖，邊長為1的正方形ABC。中，點E為AD的中點.連接5E,將ZXABE沿班折

疊得到.EBgM交AC于點G,求CG的長.

4/33

五、解答題(三)：本大題共2小題

24.如圖，在四邊形ABCz)中，ABHCD,AB≠CD,ZABC=90。，點后、尸分別在線段BC、

AO上，?EFHCD,AB=AF,CD=DF.

BA

(1)求證：CFA.FB-

(2)求證：以為直徑的圓與BC相切；

(3)若E∕=2,NoFE=I20。，求.?.ADE面積.

25.已知二次函數(shù)y=以2+bx+c的圖象過點(TO),且對任意實數(shù)了,都有

4x-12≤ax2+bx+c≤2X2-8X+6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與％軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點〃是(1)

中二次函數(shù)圖象上的動點.問在％軸上是否存在點N,使得以A、GM、N為頂點的

四邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明

理由.

5/33

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.萬B.√2C.∣-2∣D.3

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)實數(shù)大小比較法則比較數(shù)的大小即可.

【詳解】解：*3.14,√2≈1.414,∣-2∣=2,

>/2<I-2∣<3<TT,

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，關(guān)鍵要熟記：正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,

正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.

2.據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生

產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.0.510858×IO9B.51.0858×IO7C.5.10858×IO4D.5.10858×IO8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式“10",其中l(wèi)≤∣αK10,〃為整數(shù)，一定要將題目

中的“51085.8萬”轉(zhuǎn)化為數(shù)字510858000,即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示出

來.

詳解】51085.8萬=510858000=5.10858?IO?,

故選：D.

6/33

【點睛】本題主要考察科學(xué)計數(shù)法的表示形式，科學(xué)記數(shù)法的表示形式αxlθ",其中

∣≤∣αK10,〃為整數(shù)，此題容易將題目中的“萬”遺漏，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是

解題關(guān)鍵.

3.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）

?-?B-Ic??D-2

【答案】B

【解析】

【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子

向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計算公式即可求得所求的概率.

【詳解】列表如下：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

5678910II

6789101112

由表知，兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)為36種，兩枚骰子向上的點數(shù)之

和為7的結(jié)果數(shù)為6,故兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是：

3。O

故選：B.

【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以

不重不漏地把事件所有可能的結(jié)果數(shù)及某一事件的結(jié)果數(shù)表示出來，具有直觀的特點.

4.已知9"'=3,27"=4,則S?",=()

7/33

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【解析】

【分析】利用同底數(shù)塞乘法逆用轉(zhuǎn)換求解即可.

【詳解】解：：9"=3,27"=4,

...32m+3n=X=?21X03)"=夕"X27"=3×4=12,

二.故選：D.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕乘法的逆用，熟練掌握其運算法則即表現(xiàn)形式是解題

關(guān)鍵.

5.若卜-刊+的后-12"+46=O,則曲=()

9

A.√3B.-C.4√3D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一個實數(shù)的絕對值非負，一個非負實數(shù)的算術(shù)平方根非負，且其和為零,

則它們都為零，從而可求得服。的值，從而可求得外的值.

【詳解】V∣a-√3∣≥0,，9層一12而+4從≥0,?∣α-√3∣+√‰2-12α?+4?2?0

Λ∣π-√3∣=0,yj9a2-?2ab+4b2=-2bf=0

即a-6=0,且3a-2?=0

.,.a=√3,b=當(dāng)

.?.ab=6x空△

22

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負性，一般地，幾個非負數(shù)的和為零，

則這幾個非負數(shù)都為零.

8/33

6.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）

一∏~∏,∏~1,,,?！莮l

A.1個B.2個C.3個D.4個

>【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征，11種不同情況進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個圖不是正方體的展開圖，故四

個圖中有3個圖是正方體的展開圖.

故選：C.

【點睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應(yīng)棄之''應(yīng)用比較廣泛簡潔.

7.如圖，AB是。。的直徑,點C為圓上一點，AC=3,ZΛBC的平分線交AC于點0,CD=I,

則。。的直徑為（）

A.√3B,2√3C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】過。作DELAB垂足為E,先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到

DE=DC=I,再說明放△OEB也放△OCB得到BE=BC,然后再利用勾股定理求得AE,

設(shè)BE=BC=X,AB=AE+BE=x+√3,最后根據(jù)勾股定理列式求出工,進而求得Aβ.

【詳解】解：如圖：過。作DELA8,垂足為E

?「AB是直徑

9/33

.,.NAC3=90°

??NABC的角平分線80

：,DE=DC=X

在RtLDEB和RtLDCB中

DE=DC、BD=BD

：.RtkDEBQRtADCB(HL)

JBE=BC

在R柩ADE中，A。=AC-QC=3-1=2

AE=√AD2-DE2=√22-l2=√3

BE=BC=x,AB=AE+BE=x+^3

在心ZkABC中，AB2=AC2+BC2

則(％+√5)2=32+/,解得產(chǎn)百

ΛAB=√3+√3=2√3

故填：2G.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，靈活

應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

8.設(shè)6-加的整數(shù)部分為m小數(shù)部分為6則伽+如必的值是（）

A.6B.2√10C.12D.9√10

【答案】A

【解析】

10/33

【分析】首先根據(jù)質(zhì)的整數(shù)部分可確定。的值，進而確定人的值，然后將。與6的值代

入計算即可得到所求代數(shù)式的值.

【詳解】V3<√iθ<4,

2<6-√10<3,

?*.6-√Tθ的整數(shù)部分α=2,

，小數(shù)部分。=6-√i^-2=4-√Γδ,

.?.(26z+√i0)?=(2×2+√i0)(4-√i0)=(4+√i0)(4-√i0)=16-10=6.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定6-如的整數(shù)部分。與小數(shù)部分〃的值

是解題關(guān)鍵.

9.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希

臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記P=生黃，

貝其面積S=J/(，一/)(。一與(P-C).這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若。=5,c=4,

則此三角形面積的最大值為()

A.√5B.4C.2√5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得。+b=6,S=J5(5-α)(5-勿=石.Ja,把。=6-Q代入S的表達式中

得：

S=A/-Y+6α-5,由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值.

【詳解】?.?p=5,c=4,P="+：+C

.*.a+b=2p-c=6

：.S=λ∕5(5-a)(5-份(5-4)=√5.√0^-5

2

由α+h=6,得b=6-a,代入上式，得：S=y∕5.y∣a(6-a)-5=V5.V-a+6?-5

11/33

設(shè)y=-/+6a_5,當(dāng)y=-∕+6α-5取得最大值時，S也取得最大值

二?y=-a2+6a-5=-(a-3)2+4

，當(dāng)。二3時，丁取得最大值4

.?.S的最大值為√5×√4=2√5

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出α+h=6,把面積最大值問題轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)的最大值問題.

10.設(shè)。為坐標原點，點A、3為拋物線y=尤2上的兩個動點，且OA_LOB.連接點4、B,

過O作。C_LAB于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值()

A.?B.也C.—D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)A(a,d),B(b,b2),求出AB的解析式為y=(α-')x+l,進而得到OZ)=1,

a

由NoCB=90?？芍?，C點在以O(shè)Q的中點E為圓心，以尸=；。。=3為半徑的圓上運動，

當(dāng)C”為圓E半徑時最大，由此即可求解.

【詳解】解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為“，AB與％軸的交點為。，

設(shè)A(α,a2),BS，b2),其中α≠0,b≠0,

12/33

?'OA±OB,

?k.k——1

??^OAAOB-19

?a?b21

ab

即Ob=-I,

設(shè)AB的解析式為：y=(a--)x+m,代入A(α,a2),

a

解得：加=1,

.?.OD=X,

VOCLAB,即NOCB=90,

.?.C點在以O(shè)Z)的中點E為圓心，以r=；。。=；為半徑的圓上運動，

當(dāng)C”為圓E的半徑時，此時C”的長度最大，

故CH的最大值為

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識等，本題的關(guān)鍵是求出A3與y軸

交點的縱坐標始終為1,結(jié)合NOa=90,由此確定點E的軌跡為圓進而求解.

二、填空題：本大題7小題

11.二元一次方程組一：的解為.

2x+y=2---

_..、_犬=2

【答案】?

Iy=-2

【解析】

【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解.

x+2y=-2①

【詳解】解:

2x+y=2②

由①式得：x=-2-2y,代入②式,

13/33

得：2(-2-2y)+y=2,

解得＞=-2,

再將V=-2代入①式，

X-2?2-2,

解得了=2,

x-1

?(y=-2'

故填：［"=2

Iy=-2

【點睛】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

12.把拋物線y=2/+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物

線的解析式為—.

【答案】y=2f+4x

【解析】

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進行計算即可.

【詳解】解:拋物線y=2d+ι向左平移1個單位長度，

再向下平移3個單位長度，

得到的拋物線的解析式為：y=2(x+iy+J3,

即：y=Ix2+4x

故答案為：y=2f+4χ?

【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式”上加下減，左加

右減”是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，等腰直角三角形ABC中，ZA=90。,BC=4.分別以點3、點C為圓心，線段BC

長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點。、E、F,則圖中陰影部分的面積為.

14/33

A

BEC

【答案】4-4

【解析】

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長，根據(jù)S陰影=SAABC-2S扇形CEF即可得

答案.

【詳解】???等腰直角三角形ABC中，ZA=900,3C=4,

：.AC=AB=絲BC=2血,NJB=NC=45。，

2

45?X2?

??S陰影二S△ABC-25扇形CEF=-ACAB-2×=4-π,

2360

故答案為：4-4

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵.

14.若一元二次方程/+云+C=OQb,C為常數(shù)）的兩根片T滿足-3<x∣<3,則

符合條件的一個方程為.

【答案】X2-4=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】設(shè)y=∕+?r+c與y=o交點為χ∣,w,根據(jù)題意-3<%<-1,1<%2<3關(guān)于）軸對稱和

二次函數(shù)的對稱性，可找到不々的值（不々只需滿足互為相反數(shù)且滿足IVXl<3即可）

即可寫出一個符合條件的方程

【詳解】設(shè)y=f+>χ+c與產(chǎn)。交點為不，々，

I艮據(jù)題意一3<%<一1,1<々<3

貝ljl<∣x∣<3

y=x2+bx+c的對稱軸為X=O

15/33

故設(shè)x∣=-2,/=2

則方程為：X2-4=0

故答案為：X2-4=0

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟悉二次

函數(shù)的性質(zhì)和找到兩根的對稱性類比二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵

11Q1

15.若x+—=u且0<χ<l,則x?—7=

X6x^

【答案】嗤

【解析】

【分析】根據(jù)X+L?利用完全平方公式可得(x-*=II,根據(jù)X的取值范圍可得X」

X6X36X

的值，利用平方差公式即可得答案.

【詳解】???x+?1芳13,

XO

?*?(X----)2=(?+-)2-4x?-=——,

XXX36

V0<Λ<1,

?*?XV—,

X

15

X-___二_______

X6

1

.?.%2=—)

故答案為：嗤

【點睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準確運用公式是解題的關(guān)鍵.

4

16.如圖，在「ABC。中，AZ)=5,AB=12,SinA=-.過點。作OEJLΛB,垂足為區(qū)則

EH

16/33

9√10

【答案】行

【解析】

【分析】首先根據(jù)題目中的SinA,求出ED的長度，再用勾股定理求出AE即可求出

EB,利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD,在心Z?DEC中，用勾股定理求出EC,再作

BFLCE,在ABEC中，利用等面積法求出RF的長，即可求出SinNBCE.

【詳解】VDEYAB,

...△AQE為直角三角形,

一4

又β.?AD=5,sinA=~,

..A4DEDE

..sinA=—==.

5AD5

解得DE=4,

在心ZVlQE中，由勾股定理得:

AE=y∣AD2-DE2=√52-42=3,

XVAB=12,

：.BE=AB-AE=12-3=9,

又???四邊形ABCO為平行四邊形，

.?.CD=AB=12,AD=BC=5

在mZkQEC中，由勾股定理得：

EC=yJCD2+DE2=√122+42=4√10,

過點3作BRLCE,垂足為E如圖

在△骸C中：

5ΔEBC=^BgPE=4=18；

17/33

又VSMEBC=-^JEgβF=??4√10gβF=2√K)βF

.,.2√10BF=18,

解得BF=嚕，

在RtABFC中,

BF9√10_.9√10

sin?BCF----=-------75

BCIO50

9√10

故填:

50

【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法

求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，

勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高.

17.在AABC中，ZABC=90t3,AB=2,BC=3.點Q為平面上一個動點，NAZM=45。，則線

段8長度的最小值為.

【答案】6-后

【解析】

【分析】由已知ZAZM=45。，AB=2,根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓

周角等于圓心角的一半可知，點。在以。為圓心OB為半徑的圓上，線段CO長度的最小

值為Co-OD?

【詳解】如圖：以;AB為半徑作圓，過圓心。作ONLAB,OM_LBC,

以。為圓心。B為半徑作圓，則點。在圓。上，

NAr)B=45°

.?ZAOB=90°

AB=2

AN=BN=I

.*.AO=Λ∕12+12=V2

18/33

ON=OM=LAB=I、BC=3

2

.?.OC=√12+(3-1)2=√5

.?.CO-OD=√5-√2

線段Co長度的最小值為：石-亞.

故答案為：√5-√2.

【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股

定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(一)：本大題共3小題

2%-4≥3(x-2)

18.解不等式組,χ-7.

4Λ>------

I2

【答案】-l<x≤2.

【解析】

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

，2x-4≥3(x-2)①

【詳解】解：，x—7?

4x>---②

I2

由①得：％<2；

由②得：％>T,

則不等式組的解集為-1VxW2.

19/33

【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

19.某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽.用簡單隨機抽樣的方法，從該年級

（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù).

【答案】（1）眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,平均數(shù)：90.5；（2）450人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）利用樣本估計總體思想求解可得.

【詳解】解：（1）由列表中90分對應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90,

由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90

分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90,

眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,

80×2+85×3+90×8+95×5+100×2

平均數(shù)==90.5.

20

答：這20名學(xué)生成績的眾數(shù)90,中位數(shù)90,和平均數(shù)90.5；

（2）20名中有8+5+2=15人為優(yōu)秀，

二?優(yōu)秀等級占比：=

該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為：6θ0×∣=450（人）

答：該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)450人.

20/33

【點睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵

是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

20.如圖，在M二ABC中，ZA=90。，作BC的垂直平分線交AC于點。，延長AC至點E,

使CE=AB.

(1)若AE=I,求AABQ的周長；

(2)若Ao=求tanZA6C的值.

【答案】(1)1;(2)√2

【解析】

【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接B0,由垂直平分線上的點到線段的兩個端點

的距離相等得到DB=DC,由此即可求出△48D的周長；

(2)設(shè)Ap=%,BD=3x,進而求出AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中使用勾股定理求得

AB=2√2x,由此即可求出tanZABC的值.

【詳解】解：(D如圖，連接30,設(shè)BC垂直平分線交BC于點尸，

CARDDri—AB+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

?/AB=CE9

21/33

.*.CABD=AC+CE=AE=1.

(2)設(shè)AD=x,：.BD=3x,

又,：BD=CD,：.AC=AD+CD=4x,

1222

Rt?A8。中，AB=4BD-AD=λ∕(3x)-x=2y∣2x.

：.tanZABC=-=-‰=y∕2

AB2√2x

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟

練掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵.

四、解答題(二)：本大題共3小題

21.在平面直角坐標系My中，一次函數(shù)尸履+力(％>0)的圖象與入軸、y軸分別交于A、

B兩點，且與反比例函數(shù)y=3圖象的一個交點為P(Lm).

(1)求根的值；

(2)若∕?=2AB,求人的值.

【答案】(1)4；(2)2=2或4=6

【解析】

【分析】(1)將尸點的坐標代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=d,計算即可求得加；

X

(2)分兩種情況討論，當(dāng)一次函數(shù)過一、二、三象限時，畫出圖像，將尸A=2AB轉(zhuǎn)化

為兩個三角形相似，過過P作P"?Lx軸交％軸于點"，證明VABO:VAP”，即可求出女

和力的值；當(dāng)一次函數(shù)過一、三、四象限時，畫出圖像，將PA=2AB轉(zhuǎn)化為兩個三角形

相似，過點P作PQLV軸于點。，證明VBAO:VBPQ即可求出女和人的值.

【詳解】解：(1)???尸為反比例函數(shù)》,上一點,

X

4

，代入得m=1=4,

.?m=4.

22/33

(2)令y=o,§Pkx+h=O,

.b.(bΛ

..x=--,Al一7，°，

kVkJ

令X=O,y=b,Λβ(0,?),

,?,PA=2AB.

由圖象得，可分為以下兩種情況,

①3在y軸正半軸時，b>Q,

'：PA=2AB,

過P作/>HJ_x軸交％軸于點“，又B0LA,H,NPAo/耳Ao,

.?.4OgSA1HP,

A1B1AiOBiO

~?P~~?H~~PH~2

AB=4。」

：.B.O=-PH=4×-=2,

22B1POHT

即AA=4尸，4。=OH,

:?Z?=2,

/.Ao=OH=1,

②8在y軸負半軸時,?<o,過產(chǎn)作PQJ?y軸,

?.?PQ±B2Q,A2O±B2Q,ZA2B2O=ZA2B2Q,

23/33

.?.A2OB2^PQB2,

.A2B2A1OB2O

B2O=^B2Q=^OQ=?b?=2,

Vb<0,

S八代入MJ

：.k=6,

綜上，A=2或左=6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，添加輔助線

構(gòu)造相似三角形，將題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比是解題關(guān)鍵.

22.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳

統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進

的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價

50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價％元（50≤x≤65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位:元）,

求了關(guān)于%的函數(shù)解析式并求最大利潤.

【答案】（1）豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；（2）

>?=-2x2+280X-8000（50≤x≤65）,最大利潤為1750元

【解析】

【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進價。元，則豆沙粽每盒進價（αT0）元，根據(jù)某商家用8000

元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計算即可；

24/33

(2)根據(jù)題意當(dāng)x=5()時,每天可售IOO盒,豬肉粽每盒售工元時,每天可售[100-2(x-50)]

盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算最大值即可.

【詳解】解：(1)設(shè)豬肉粽每盒進價。元，則豆沙粽每盒進價元.

解得：?=40,經(jīng)檢驗α=40是方程的解.

???豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元.

答：豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元.

(2)由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售100盒.

當(dāng)豬肉粽每盒售工元時，每天可售[100-2(x70)]盒.每盒的利潤為(x-40)

.?.y=(x_40).[lOO_2(x_50)],

=-2X2+280Λ-8000

配方得：y=-2(x-70)2+1800

當(dāng)x=65時，y取最大值為1750元.

.?.?=-2X2+280x-8000(50≤x≤65),最大利潤為1750元.

答：y關(guān)于％的函數(shù)解析式為y=—2f+280x-8000(50≤x≤65),且最大利潤為1750元.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出

相應(yīng)的函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵.

23.如圖，邊長為1的正方形ABC。中，點E為AO的中點.連接把，將A4BE沿跳折

疊得至UE5E,5E交AC于點G,求CG的長.

25/33

【答案】CG=∣√2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，延長所交8于H連EH,通過證明&..E。H會RJEF”(乩)、

33

DHEs..AEB得到CH="再由.HGCs：3GA得至IJCG=-(AC-CG),進而即可求得CG的

長.

【詳解】解：延長6尸交8于“連E”，

D__H__________C

Ir∠ι

：EBE由?ABE沿BE折疊得到，

二.EA=EF,ZEFB=ZEAB=90°,

YE為AD中點，正方形ABCz)邊長為1,

.*.EA=ED=L

2

.?.ED=EF=-,

2

?.?四邊形ABCr)是正方形，

.?.ZD=NEFB=NEFH=90°,

在RtAEDH和RtEFH中，

ED=EF

EH=EH'

/.RtEDH"RtEFH(HL),

.?.ZDEH=NFEH,

XVZAEB=ZFEB,

：.NDEH+ZAEB=90°,

26/33

.,ZABE+ZAEB=90o,

.*.ZABE=/DEH,

：.DHEs.AEB,

.DHAE?

''~DE~~AB~2,

：.DH=；,

4

13

.*.CH=CD—DH=I——=-,

44

,.φCH//AB,

：.HGCSBGA,

.CGCH3

,,AG-AS-4,

33

.?.CG=-AG=-(AC-CG),

VAB=I,CB=I,NCBA=90。，

.?.AC=√2,

/.CG=-(√2-CG),

ΛCG=-√2.

7

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正

方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識是解決本題的關(guān)鍵.

五、解答題(三)：本大題共2小題

24.如圖，在四邊形ABCD中，ABHCD,AB≠CD,ZABC=90。，點石、尸分別在線段BC、

AD上，?EFHCD,AB=AF,CD=DF.

27/33

I)

(1)求證：ChFB；

(2)求證：以A。為直徑的圓與BC相切；

(3)若EF=2,ZDFE=UQo,求ADE的面積.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)∣√3

【解析】

【分析】⑴設(shè)ΛDCF=ZDFC=a,進而求得ZABF=ZAFB=90°-a,再由

NCFB=180o-NCFD-NBFA=90。即可求得C/_LFB；

(2)取AD中點0,過點。作OMLBC,由梯形中位線定理得到OM=*A6+C0,利用

AFAB,。尸=OC得至IJAD=2Q4,進而QA=OM=OD,由此即可證明；

(3)過點。，點4分別向班'作垂線交"于點M,N,得至∣JSA"=SM0+S.,分別求出

EF2r-

BE=F=N，CE=EEE=2百再代入求解即可.

【詳解】解：(I)VCD=DF,設(shè)"CE=ZZ)尸C=α,

/.NFDC=I80°—2c,

'：CD/∕?B,

：.NBAF=I80-(180-2a)=2a,

又；AB=AF,

.?.ZABF=ZAFB=財產(chǎn)=9"a,

/.ZCFB=180o-ZCFD-ZBFA=180o-^-(90o-a)=90°,

28/33

.*.CFtBF.

過點。作0MJ?8C,

?；CD〃AB,ZBCD=90o,

.*.ZDCB=90o,

又??OMlBC,

：.OM^AB,

.?.M為BC中點,

/.OM=^AB+CD),

,.,AD^AF+DF,

又?.?AF=AB,DF=DC,

.*.AD=AB+CD=2OM,

又,：AD^2OA,

：.OA=OM=OD,

???以AD為直徑的圓與BC相切.

(3)VZDF￡=120o,CD〃EF〃AB,

：.ZCDA=60o,ZBAD=120o,ZAFE=60o,

又,：DC=DF

_DCF為等邊三角形，NDFC=NFCD=60°,

?：CD〃EF,

29/33

.*.NCFE=NFCD=60。,

由(2)得：NCFS=90。，

.?.NEFB=30。,

：.ZBFA=ZFBA=30°,

VEF=2,在用ABFE中，三邊之比為1:石:2,

3冷河

在用CE/中，三邊之比為1:百:2,

/.CE=√3EF=2√3,

如圖，過點。，點A分別向麻作垂線交必于點M,N,

'：?CEM?EMD?ECD90,

.?.四邊形CDWE為矩形,

.?.CE=DM=26,

同理，四邊形BENA矩形，

.,.BE=AN=,

SADE=S￡FD+S.=gEF?DM+；?EF?AN

=g?EF?(DN+AN)

=1×2×^2√3+∣√3^∣

30/33

【點睛】本題考查了等