2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)06 解析幾何含答案

2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)查補(bǔ)易混易錯(cuò)點(diǎn)06解析幾何

ɑlj

1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確

定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò).

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視

截距為0的情況，直接設(shè)為；+1；再如，過定點(diǎn)P(XO,yo)的直線往往忽視斜率不存在的情

aa

況直接設(shè)為y-yo=A(X-XO)等.

3.討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時(shí)，

一條直線的斜率不存在另一條直線的斜率為0.當(dāng)兩條直線的斜率相等時(shí),兩直線平行或重合,

易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時(shí)，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式JA?+晶,導(dǎo)

致錯(cuò)解.

5.利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線

的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2α<∣B∕?如果不滿足第一個(gè)條件，動(dòng)

點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系，導(dǎo)

致計(jì)算錯(cuò)誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，消元后得到的方程中要注

意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，判別式/K)的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時(shí)，

必須先有“判別式/加”；在求交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、斜率、對(duì)稱或存在性問題時(shí)都應(yīng)在“/>0”下

進(jìn)行.

好題演練

1.（2023?吉林?統(tǒng)考三模）已知圓C:x2+y2-2x+2y=0,直線/：X-y+l=0,則圓心。到直

線/的距離為（）

A.yB.在C.ID.逑

2222

2.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考二模）過直線/:x+y-5=0上的點(diǎn)作圓C:（X-1）2+（），+2『=6的切線，

則切線段長(zhǎng)的最小值為（）

A.√6B.2√3C.√L5D.3√2

3.（2023?甘肅蘭州??？寄M預(yù)測(cè)）若直線x+y-α=0與曲線y=2-J-f-2χ恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

則α的取值范圍是（）

A.[l-^,l+√2]B.（l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(1-√2,0)

4.（2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)尸為拋物線Uy2=4X的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)

3（4,0）,若∣AF∣=∣BF∣,則43的中點(diǎn)到，軸的距離是（）

A.2B.2√2C.3D.3萬(wàn)

5.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：^-?=1（?>0）的左、右焦點(diǎn)分別是K,F2,

49b

。是雙曲線C上的一點(diǎn)，且∣PK∣+IPEl=34,若抽_LP/"則雙曲線。的離心率是（）

、13n13C13n17

A.—B?—C.-D.—

57127

6.（2023?山東濰坊聯(lián)考二模）橢圓￡+方=1,>石）的左、右焦點(diǎn)分別為K,F2,A為上頂

點(diǎn)，若的面積為6,則△4中；的周長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

7.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知雙曲線'-g?=l（a>0,6>0）的實(shí)軸為4,拋物線丁=2px（p>0）的

準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為尸（4,機(jī)），則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±述XB.y=±MχC.y=+→D.y=+^-x

,3334

8.（2023?江西南昌?統(tǒng)考一模）“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線G：V=-2PXs>0）

和G：/=2px（p>0）構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線G,G的焦點(diǎn)分別

為6,8，點(diǎn)P在拋物線G上，過點(diǎn)尸作X軸的平行線交拋物線G于點(diǎn)Q,若P4=2尸。=4,則

A.2B.3C.4D.6

9.（2023?天津?校聯(lián)考一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStUdio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚

訝世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一

段近似看成雙曲線，-1?=l（α>0）下支的一部分，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線虛半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的

圓與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B、C、。四點(diǎn)，四邊形ABC。的面積為2”,則雙曲

線的方程為（）

10.（2023?新疆阿克蘇??？家荒＃┤鐖D所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡戶（當(dāng)成

質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右

焦點(diǎn).若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平

面上的點(diǎn)為A,橢圓的右頂點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率，等于（）

A

11.（多選題）（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）已知曲線UYsina+/COSa=I（O≤α<7r）,則下列說

法正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則。=0

B.若曲線C表示雙曲線，則T<a<π

C.若0<α<],則曲線C表示橢圓

D.若0<α<%則曲線C表示焦點(diǎn)在A軸的橢圓

22

12.（多選題）（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知6,K是橢圓從上+上=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P

43

在橢圓E上，則（）

A.點(diǎn)片,工在X軸上B.橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.橢圓E的離心率為TD.使得aEPE為直角三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)

13.（多選題）（2023?山東著澤預(yù)測(cè)）已知雙曲線￡-《=1（。>0,〃>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,

aa

B,M是雙曲線右支上一點(diǎn)，且在第一象限，線段MA被兩條漸近線三等分，則（）

,_b?,_3b

Aa.∣<-=—B.=一

ma5aa

C.zM14B的面積為34bD.若K4垂直于一條漸近線，則雙曲線的離心率為3

14.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€U∕=4y,O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，尸為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則下列說法中正確的是（）

A.若點(diǎn)A（2,3）,則IPAI+|尸日的最小值為4

B.過點(diǎn)B（3,2）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條

C.若正三角形OoE的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，則OOE的周長(zhǎng)為8√J

D.點(diǎn)”為拋物線C上的任意一點(diǎn)，G（O,-1）,?HG?=t?HF?,當(dāng)，取最大值時(shí)，GF"的面積

為2

15.(多選題)(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C:4-4=1(?>0,?>0),C

a^b

的左、右焦點(diǎn)分別為K,F2,P為C上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是()

A.若P(屈1),且空口軸，則C的方程為/-V=1

B.若C的一條漸近線方程是J%-y=0,則C的離心率為當(dāng)

C.若點(diǎn)尸在C的右支上，C的離心率為√J,則等腰。冗。的面積為從

D.若SinNP耳心=e?sinN∕EK,則C的離心率，的取值范圍是(1,0+1]

16.(2023?江西?校聯(lián)考二模)寫出與圓/+V=4和拋物線Y=3「都相切的一條直線的方程

17.(2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測(cè))已知橢圓?→]1=1的左焦點(diǎn)為BP是橢圓上

一點(diǎn)，若點(diǎn)A(LT),則IPAl+1PFI的最小值為.

18.(2023?山東聊城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線CW-I=I(α>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,

ab~

F2,且恒4∣=4,P(3,√Σ)是。上一點(diǎn).

(1)求。的方程；

(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交C于M,N兩點(diǎn)，交X軸于點(diǎn)4,線段MN的垂直平分線交X

軸于點(diǎn)O,若IAMl?∣AN∣=2∣A0,證明：直線/過四個(gè)定點(diǎn)(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個(gè).

19.(2023?遼寧段山?統(tǒng)考二模)拋物線C:V=2px(P>0)上的點(diǎn)M(l,%)到拋物線。的焦點(diǎn)F

的距離為2,A、B(不與。重合)是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OALO8.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)X軸上是否存在點(diǎn)P使得ZAP3=2ZAPO?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

22

20.(2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模)已知過點(diǎn)(Le)的橢圓E：宗+白=舊>∕,>o)的焦距為2,其

中e為橢圓E的離心率.

⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與E交于AC兩點(diǎn)，以O(shè)A,OC為鄰邊作平行四邊形OSC,且點(diǎn)5

恰好在E上，試問：平行四邊形。ABC的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，

說明理由.

查補(bǔ)易混易錯(cuò)點(diǎn)06解析幾何

ɑlj)/易混易錯(cuò)歸納/

1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率

的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò).

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)

方程時(shí)，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為%》1；再如，過定點(diǎn)P(xo,yo)的直

線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y-y。=k{x-Xo)等.

3.討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條

直線垂直時(shí)，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.當(dāng)兩條直線的斜率

相等時(shí)，兩直線平行或重合，易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時(shí)，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式

aQ,導(dǎo)致錯(cuò)解.

√A2+β2

5利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí),要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如

在雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2α<PB∣?如果

不滿足第一個(gè)條件,動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對(duì)值為常數(shù),

那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，尤其是方程中alb,c三者之

間的關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸

導(dǎo)致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，消元后得到

的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，判別式∕≥0的限制.尤其是在應(yīng)用

根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時(shí)，必須先有“判別式/K)”；在求交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、

斜率、對(duì)稱或存在性問題時(shí)都應(yīng)在“/>0”下進(jìn)行.

____________

EJ好題演練t

1.(2023?吉林?統(tǒng)考三模)已知圓C:x2+y2-2x+2y^0,直線/：x-y+l=O,

則圓心C到直線/的距離為()

√2

20浮

【答案】D

【解析】依題意，圓C:(x-l)2+(y+l)2=2的圓心C(I,-1),

所以圓心C到直線/的距離”

故選：D

2.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考二模)過直線/:x+y-5=0上的點(diǎn)作圓C：

(X-I)?(y+2)2=6的切線，則切線段長(zhǎng)的最小值為()

A.√6B.2yβC.√15D.3亞

【答案】B

【解析】設(shè)直線上任意一點(diǎn)為P,過P作圓的切線,切點(diǎn)為M,圓C圓心C為(1,-2),

半徑r=瓜,

則?MP?=JlPCF-，=√∣PC∣2-6,

要使IMPl最小，則IPC最小，易知IPq最小值為圓心C到直線/的距離.

即IPqN"尸）/=3√2,

故選：B.

3.(2023?甘肅蘭州?校考模擬預(yù)測(cè))若直線x-?-y-a=。與曲線y=2-J-χ2-2X恰有

兩個(gè)公共點(diǎn)，則α的取值范圍是()

A.[l-√2,1+^^]B.(l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(l-√2,0)

【答案】B

【解析】y=可化為(V-2)2+(x+l)2=l且y≤2,

即曲線y=2-，-一―2X是以(-1,2)為圓心,1為半徑的圓的下半圓，

作出曲線Iy=2-J-X2一2x,如圖，

作直線χ+y=0,而直線χ+y-a=。與直線χ+y=0平行，

當(dāng)直線x+y-α=O過A(-2,2)時(shí)，4=0,

1-1+2-?1L

當(dāng)直線x+y-α=0與半圓相切時(shí)，由J~忑~~^=1得〃=1-0(4=1+應(yīng)舍去)，

由圖象可知”的取值范圍是(l-√∑,0∣.

4.(2023?河南開封?開封高中校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)/為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn),

點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3(4,0),若IAFI=I附，則A3的中點(diǎn)到丁軸的距離是()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】C

【解析】由題意得，F(xiàn)(LO),則IM=網(wǎng)=3,

所以，由拋物線的定義得點(diǎn)A到準(zhǔn)線4-1的距離為3,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+3=2,

不妨設(shè)點(diǎn)A在.'軸上方，代入拋物線方程得，A（2,2應(yīng)）,

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,√∑）,到J軸的距離是3.

故選：C

5.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:—-?-=1（?>O）的左、右焦

49b-

點(diǎn)分別是月，F(xiàn)-P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且歸4+上用=34,若PK_LP心，則雙

曲線C的離心率是（）

13131317

A.-B.-C.—D.—

57127

【答案】B

【解析】不妨設(shè)P在雙曲線C的右支上,由題意可得α=7,

根據(jù)雙曲線定義IP周一IPEl=2=14,又IP用+1PEI=34,

所以IPMl=24,陶=10.

因?yàn)镻FjPE2,所以忻Yl=亞西而7=26=2c,

c13

則c=13,故雙曲線C的離心率e=￡=g.

a7

故選：B.

9夕

6.（2023?山東濰坊聯(lián)考二模）橢圓?→q=l（α>√J）的左、右焦點(diǎn)分別為G,E,

A為上頂點(diǎn)，若的面積為白，則AAKE的周長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

22

【解析】設(shè)橢圓點(diǎn)+q=l（">⑹的半短軸長(zhǎng)為3半焦距為c,

則b=√J,4AEE的面積S=JKEIb=&

由題知y∣3c=G9

所以C=1,a=Jb*+H=29

由橢圓的定義知∣AK∣+∣A周=24=4,又山尸2∣=2C=2,

所以AAZ5的周長(zhǎng)為4+2=6.

故選：C.

7.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知雙曲線W-W=I（。>（）2>0）的實(shí)軸為4,拋物線

y2=2Px（p>0）的準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P（4,附,

則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±^^-xB.y=±^^-xC.y=±∣?xD.y=±—x

3334

【答案】A

【解析】由題意得加=4,。=2,故雙曲線左頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-。,0）,

拋物線的準(zhǔn)線為x=-?^,就a=g,解得〃=4,

點(diǎn)P（4,附為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，故∕=8p=32,*/=1,

即4-*1,解得從夸，解得/y*,

4√6

故雙曲線的漸近線方程為b工丁J瓜.

y=±-x=±^-x=±----X

a23

故選：A

8.（2023?江西南昌?統(tǒng)考一模）“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線

C,：/=-2px（p>0）和G：V=2px（p>0）構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所

示，若拋物線G,G的焦點(diǎn)分別為用，點(diǎn)尸在拋物線G上，過點(diǎn)P作X軸的

平行線交拋物線G于點(diǎn)Q,若P"=2PQ=4,則P=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】因?yàn)?尸。=4,即PQ=2,由拋物線的對(duì)稱性知牛=T,

由拋物線定義可知，IPFJ=^f,即4=勺（-1）,解得P=6,

故選：D

9.（2023?天津?校聯(lián)考一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStUdiO設(shè)計(jì)的南非雙

曲線大教堂驚訝世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖

所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線5?-1=l（a>0）下支的一部分，以

原點(diǎn)為圓心，雙曲線虛半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、

8、C、。四點(diǎn)，四邊形ABC。的面積為24,則雙曲線的方程為（）

R?2?21

A.匕-工=115.-----------=1d=1

94124?V-7

【答案】B

2

2,,ax

【解析】雙曲線a%地〉。）的漸近線方程為)'=±萬(wàn)，

以原點(diǎn)為圓心，雙曲線虛半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓的方程為爐+丁=4,

不妨設(shè)點(diǎn)A、5、C、。分別為第一、二、三、四象限內(nèi)的點(diǎn),

42a42a

則AB

2

`+4yJa+4>Ja2+4Ja2+4,

D

84a

易知四邊形ABCO為矩形，且IAM=

6+4Ja2+4

故四邊形A5C。的面積為∣ABHAD∣=∕^=2%可得.2=12,

2?

因此，該雙曲線的方程為限￡=1,

故選：B.

10.（2023?新疆阿克蘇?校考一模）如圖所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)

燈泡P（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與

桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn).若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距

離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為A,橢圓的右頂點(diǎn)到A點(diǎn)的距

離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率，等于（）

【答案】D

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)Q(〃,0)("-3),則M(%l),

?..點(diǎn)"到直線PR的距離4=也F=1,解得："T，

71

.?.?QR?^-3+-=-f即…；；

設(shè)直線PMy=丘+4(A>0),即"-y+4=0,

，點(diǎn)用到直線PN的距離*」成+3|」3一義_解得：上=4或Z=:，

a

2-;--------1153

√Λ2+1√?2+l

QQ

又魚級(jí)kpN<kpli,:.k=3即直線PN*x-y+4=0,

令y=o,解得：χ=~,即

715

?,?∣∕V2∣=--+y=4,即cz+c=4;

9

1a=—_

.a-c=一,6,jr7

由J2得：<7，橢圓離心率e=-=g.

/a9

α+c=4c=-

4

故選：D.

1L（多選題）（2023?Γ東江門?統(tǒng)考一模）已知曲線C：VSina+√cosa=I（O≤α<π）,

則下列說法正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則α=0

B.若曲線C表示雙曲線，貝∣]'<α<π

C.若0<α<5,則曲線C表示橢圓

D.若0<￡<：,則曲線C表示焦點(diǎn)在1軸的橢圓

【答案】BD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線C表示兩條平行線，則有Sina=O或CoSa=0,且

0≤α<π.

若Sina=0,則==0,此時(shí)曲線C的方程為V=1,可得"T或尸】，合乎題意，

若COSa=0,則ɑ=],此時(shí)曲線C的方程為χ?=ι,可得α―]或X=1,合乎題意，

故A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若曲線C表示雙曲線，則SinaCC）SaVO,

由于0≤α<7i且Sina聲0,貝IJSina>0,可得COSaV0,則?^<α<π,B對(duì)；

sincr>O

對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線C表示橢圓，則：t">°,解得O<α<S且a#；,C錯(cuò);

（）≤a<π24

Sina≠cosa

1]

對(duì)于D選項(xiàng)，^0<a<π-,則O<sina<cosa,貝4------>------>0,

4SmaCoSa

廠I）廣T

曲線C的方程可化為1+1-1

SinaCOSCT

此時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在I軸上的橢圓，D對(duì).

故選：BD.

12.(多選題)(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知耳,乃是橢圓E：M+￡=1的

43

兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，則()

A.點(diǎn)6,用在X軸上B.橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.橢圓E的離心率為TD.使得為直角三角形的點(diǎn)P恰

有6個(gè)

【答案】BC

【解析】由題意￡:《+片=1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)α=2,短半軸長(zhǎng)〃=百，焦半距c=l,

43

橢圓￡:3+\=1的焦點(diǎn)在y軸上，A錯(cuò)誤；

橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為為=4,B正確；

橢圓E的離心率為￡=：,C正確；

橢圓的右頂點(diǎn)M(H0),焦點(diǎn)耳(0,-1),乙(0,1),

所以ME=(-√3,-l),MF=(-?l),cos<M∕?,MFJ=前,踞=∣>0

2j

則〈MR/砧e(θg),即3M行為銳角，

故根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，使得P鳥為直角三角形的點(diǎn)P恰有4個(gè)(以Fl或心

為直角)，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.(多選題)(2023?山東蒲澤預(yù)測(cè))已知雙曲線1-5=l(α>(),6>())的左、右頂

ab,

點(diǎn)分別為A,B,M是雙曲線右支上一點(diǎn)，且在第一象限，線段MA被兩條漸近

線三等分，則()

A.k=γ-B.k=—

MA3。MBa

C.ZiMAB的面積為3"D.若MA垂直于一條漸近線，則雙曲

線的離心率為3

【答案】AB

【解析】對(duì)于A：易知直線M4的方程為y=%Λw（χ+4）,

設(shè)直線y=-"與尸砥分別交直線M4于點(diǎn)P（XQJ,Q（x2,y2）f如圖所示:

aa

將y=&(X+")與y=-3χ聯(lián)立，解得X=%

將尸%（』）與—X聯(lián)立'解得'"黑

因?yàn)榫€段MA被兩條漸近線三等分,

kMAab2kMAab

所以力=2%，即,得L=故A正確.

b-akMAb+akMA

對(duì)于B:設(shè)必伍,幾)，則鐮?L=+?q=/1T,

Λθ+ClX^-ClXQ-CI

由盤-*=1,得尤=4(片-叫，則白%=耳，得G=步,故B正確.

Crbav73aCra

13

所以Sw=3?2"?W=w",故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D:設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，易知OPLMA,因?yàn)镮AH=IPQ

所以ZAoP=NQOP,又/AOP=NQOB,所以/008=60,?t-=√3,

a

所以雙曲線的離心率e=JZgj=2,故D錯(cuò)誤.

故選：AB

14.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€UX2="，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則下列說法中正確的

是（）

A.若點(diǎn)A(2,3),則∣%∣+∣P尸I的最小值為4

B.過點(diǎn)B(3,2)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條

C.若正三角形Oz)E的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，則OoE的周長(zhǎng)為8√J

D.點(diǎn)H為拋物線C上的任意一點(diǎn)，G(0,-l),?HG?^t?HF?,當(dāng)，取最大值時(shí)，

GFH的面積為2

【答案】AD

【解析】A選項(xiàng)，過尸點(diǎn)做準(zhǔn)線y=τ的垂線，垂足為九則由拋物線定義，有

IpFl=IPil.則I網(wǎng)+IPPl=IM+∣%∣,則當(dāng)4P,《三點(diǎn)共線時(shí)，∣PAl+∣PF∣有最小值

4.故A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)過點(diǎn)5直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,此時(shí)直線與拋物線只

有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)5直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=A(x-3)+2,將直線

方程與拋物線方程聯(lián)立，則X2-4fcv+I2Z-8=0.令

Δ=16Λ2-48%+32=O=>k=1或

k=2,則直線y=χ-ι或y=2x-4為拋物線切線.綜上，過點(diǎn)B(3,2)且與拋物線只有

一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。(XUX)，E(χ2,y2),因三角形0。E為正三角形，

則?OD?=?OE?=X：+4=￥+￥,又片=4y,考=4y2,

則4(X-%)=W-4=>(為_X)(%+X+4)=0.

因乂，%>°,則為=X=X2+百=O.又由圖可得/0。F=7-

O

得ODE的周長(zhǎng)為24√L故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，設(shè)“(X，y),則f

y2+2y+\

,當(dāng)r取最大值時(shí),

y=l.取“（2,1）,則此時(shí)G尸〃的面積為gx,GIXkJ=gx2χ2=2.

故D正確.

22

15.（多選題）（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：?-4=l（?>0,

a~b~

b>0）,C的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,尸為C上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的

是（）

A.若P（√∑,l）,且也心軸，則C的方程為/-V=1

B.若C的一條漸近線方程是0χ-y=O,則C的離心率為亞

2

C.若點(diǎn)尸在C的右支上，C的離心率為G,則等腰尸耳。的面積為

D.若SinNpzM=e?sinNP死耳，則C的離心率，的取值范圍是（1,√∑+1]

【答案】AD

【解析】對(duì)于A,若P（√I1）,且PFTX軸，則耳卜衣0）,6（立0）,c=4,

所以IPKITPGI=J（2&）+F-JO`r=3-1=2=24,則4=1,所以從=C?-6=ι,

則C的方程為--V=],故A正確；

對(duì)于B,若C的一條漸近線方程是"r-y=O,則?=√∑,離心率e=/=6,

故B不正確；

對(duì)于C,若C的離心率為6,JHc=&,所以A=TJ二∕=J2,若點(diǎn)尸在C的右

支上，W。為等腰三角形，則IPa=IO不，連接PF2,如圖，

y

FΓTO?UF2X

q-l?-Ib2-b2

則APEB是直角三角形，所以呻-萬(wàn)^歷弓-]丁丁-萬(wàn)，故C不正確；

tan—

4

對(duì)于D,若SinNP/祀=esinNP//，由正弦定理得∣∕1E∣=e∣P用，可知點(diǎn)P在雙曲

線的左支上，故IP闖—∣PR∣=2α,

則歸用=必；，^?PFl?≥c-af所以蘭≥c-α,整理得二≥e-l,解得e≤√∑+l,

e—ie—le—1

所以C的離心率，的取值范圍是（1,五+1],故D正確.

故選：AD.

16.（2023?江西?校聯(lián)考二模）寫由與圓./+）,2=4和拋物線Y=3y都相切的一條

直線的方程.

【答案】y=2√Σx-6或.y=-2Λ∕ΣX-6（寫出其中之一即可）

【解析】由題知：與圓/+V=4和拋物線V=3）都相切的直線存在斜率，

設(shè)切線方程為y=kx+bf

所以7鼻=2,化簡(jiǎn)得：k2=--l.

√l+?~4

Y2=3v

又{?=^>x2-3Ax-3?=0

[y=kx+b9

（h2}2

因?yàn)锳=9∕+12）=0,所以9彳-1+126=0,解得。=-6或〃=：.

當(dāng)6=-6時(shí)，k2=^-1=8,?=±2√2.

24

當(dāng)時(shí)，」2=0一1=-[<0,舍去?

49

所以切線方程為y=2y∣2x-6或y=-2&x-6.

17.（2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓q→q=l的左焦點(diǎn)為Ft

P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)A(1,-1),則以∣+∣p目的最小值為.

【答案】6-√2??-√2+6

【解析】根據(jù)橢圓的定義：?PA?+?PF?^PA?+2a-?PF2?f

.JΛ4∣+∣PF∣取得最小值時(shí),

即∣Λ4∣-∣P居I最小,

如圖所示：IPAl+1PFl≥2"-|A局=6-五，當(dāng)P,A,巴共線時(shí)取得最小值.

.?∣PA∣+∣P用的最小值為：6-√2?

18.(2023?山東聊城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線cJ-∕l(α>0,6>0)的左、右

焦點(diǎn)分別為￡,F2,且忸閭=4,P(3,四)是C上一點(diǎn).

⑴求C的方程；

(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交。于M,N兩點(diǎn)，交X軸于點(diǎn)A,線段MN的垂

直平分線交無(wú)軸于點(diǎn)。，若IAMliAN∣=2∣A0,證明：直線/過四個(gè)定點(diǎn)

(―3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個(gè).

【解析】(D設(shè)C的焦距為2c,則2c=4,即c?=2,fl(-2,0)f用(2,0),

由雙曲線的定義，得力=IP用TPFJ=7(3+2)2+(√2)2-√(3-2)2+(√2)2=2√3,

即α=>∕J,所以6=Vc2-a2=1,

故。的方程為丁=1;

(2)設(shè)A(s,0),M(xl,y,)fN(x2,y2)f直線/的方程為X=)+s(tHθ),

x=ty+s

2

聯(lián)立*2_整理得(產(chǎn)-3)V+2sty+s-3=09

-----y=1

3

[r-3≠0βlfr≠3

222,

由題意，^μ=4Λ-4(r-3)(5-3)>0則江+/>3,

則％+為=怖三，MM=Ff,

I—?I—5

IAMHANI=IAM?A7V∣=∣(x∣-s)(x2-s)+y%∣=H?優(yōu)+X%∣

∣/,?Ip-3)(r2+ι)

=h+l)x%∣'，

設(shè)MN的中點(diǎn)G(Xo,九)為，則為=^^1=pz!?,Xo="。+s='?7?+s=;?,

所以線段MN的垂直平分線的方程為丫+仁=-/小+工］,

t—jII~JJ

令.V=。，得X=反，即。(瀉,0),所以IADl=瀉-S=華?，

t-J—?)t—Jt-J

2

(--3)(r+1)L√r+l)∣ll

由題意，得^~~?~~,即卜2-3∣=2⑶，從而.*-3=±2S,

當(dāng)S?-3=2s,即s'-2s-3=0時(shí),解得S=T或s=3;

當(dāng)$2-3=-2s,即s?+2s-3=0時(shí)，解得s=-3或s=l,

所以直線/的方程為x=，」3,或x="-l,或x="+l,或x=)+3,

故直線/過四個(gè)定點(diǎn)(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個(gè).

19.(2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模)拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(l,%)到拋物

線。的焦點(diǎn)尸的距離為2,4、3(不與。重合)是拋物線。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OALOB.

⑴求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)X軸上是否存在點(diǎn)P使得ZAPB=2ZAPO?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存

在，說明理由.

【解析】⑴由拋物線的定義得網(wǎng)=1+勺2,解得P=2,

則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,F=4x.

(2)依題意知直線。4與直線。8的斜率存在，設(shè)直線04方程為y=乙伏WO),

由得直線。B方程為：尸-卜,

由H、，解得心，

1

V=——X

由,k解得B(4∕T%)

y2=4x

由ZAPB=2ZAPO得AOPA=NOPB,假定在'軸上存在點(diǎn)P使得^OPA=NoPB,設(shè)

點(diǎn)P(%,0),

4

jAk—4k

則由⑴得直線PA斜率％=才J=直線P5斜率α=κ7,

--Y"KXQX0

k20

4jt4%

22

由NOPA=NOPB得%+A?=0,則有=^4-kx0=4k-x0f

整理得