2021年中考數學壓軸模擬試卷05 （河北省專用）（原卷版）

2021年中考數學統一命題的省自治區(qū)壓軸模擬試卷

2021年中考數學壓軸模擬試卷05（河北省專用）

（滿分120分，答題時間120分鐘）

一、選擇題（本大題有16個小題，共42分.1~10小題各3分，11~16小題各2分.在每

小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.如圖，點0在直線AB上，射線0C平分/DOB.若NC0B=35°,則NA0D等于（）

A.35°B.70°C.110°D.145°

【答案】C

【解析】,射線0C平分ND0B.，/130口=2/80（：,

VZC0B=35°,.,./D0B=70°,.".ZA0D=180°-70°=110°

2.對于X、y定義一種新運算“*“：X*Y^aX-bY,其中。、匕為常數，等式右邊是通常的加

法和乘法的運算.已知：1*1=10,2*1=16,那么2*3=（）

A.-lB.5C.24D.6

【答案】C

a—b=10①

【解析】根據題中的新定義得：,，/…，

2a-b=16②

①-②得：-a=-6，

解得：a=6,

a—6

把a=6代入①得：b=-4,則方程組的解為上.

b=-4

.-.2*3=6x2-(-4)x3=24.

3.分解因式：2a2-18=()

A.2(a+3)(a-3)B.-2(a+3)(a-3)

C.2(a+3)2D.2(a-3)2

【答案】A

【解析】先提取公因式2,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解?.

2a2-18=2(“2-9)—2(a+3)(a-3).

4.如圖所示，正三棱柱的左視圖()

【答案】A

【解析】根據簡單幾何體的三視圖，可得答案.

主視圖是一個矩形，俯視圖是兩個矩形，左視圖是三角形。

5.如圖是小穎前三次購買蘋果單價的統計圖，第四次又買的蘋果單價是。元/千克，發(fā)現這四個單價

的中位數恰好也是眾數，則()

【答案】B

【解析】根據統計圖中的數據結合中位數和眾數的定義，確定a的值即可.

由條形統計圖可知，前三次的中位數是8

?.?第四次又買的蘋果單價是a元/千克，這四個單價的中位數恰好也是眾數

a=8.

6.如圖，已知按照以下步驟作圖：

①以點。為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交N4加的兩邊于乙。兩點，連接少.

②分別以點C,。為圓心，以大于線段%的長為半徑作弧，兩弧在N4如內交于點區(qū)連接綏DE.

③連接應'交"于點M.

下列結論中錯誤的是()

A.ZCEO=ADEOB.CM=MD

C.AOCD^AECDD.5四地形解？=工&9?施

2

【答案】C.

【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖，進而解答即可.

由作圖步驟可得：應1是N4曲的角平分線，

ZCEO=ZDEO,Glf=MD,S四邊彩ai>=—CD,OE,

O2

但不能得出NO5=/四

7.化簡分式學--的結果是()

a2-16a-4

A.a+4B.a-4C.---D.----

a+4a+4

【答案】C

［解析］原式—恁_L_坐一-

(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)

=2a-a-4=a-4_］

(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)a+4

8.如圖，^ABC與△A'B'C'是以坐標原點0為位似中心的位似圖形，若點A(2,2),B(3,4),

C(6,1),B'(6,8),則△A'B'C'的面積為()

【答案】B

【解析】直接利用位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案.

???△ABC與△A'B'C是以坐標原點0為位似中心的位似圖形，點A(2,2),B(3,4),C(6,1),

B'(6,8),

(4,4),C'(12,2),

...△A'B'C'的面積為：6X8--X2X4-—X6X6-—X2X8=18.

222

9.若2=3,則0=()

x7x

A.4B.7C.4/7D.-4/7

4

【答案】一

7

【解析】根據比例的基本性質變形，代人求職即可；

v3

由2=一可設y=34,=7k,k是非零整數，

x7x

n.x-yIk-3k4k4

x7kIk7

10.如圖，將A4BC繞邊AC的中點。順時針旋轉180。.嘉淇發(fā)現，旋轉后的ACD4與A43C構

成平行四邊形，并推理如下：

點A，C分別轉到了點C,A處,

而點8轉到了點。處.

'：CB=AD,

四邊形A8CD是平行四邊形.

小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“???C6=A￡>,”和“...四邊形……之間作補充.下

列正確的是（）

A.嘉淇推理嚴謹，不必補充B.應補充：且A8=CD,

C.應補充：5.AB//CDD.應補充：且。4=0。，

【答案】B

【解析】根據平行四邊形的判定方法“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可作答.

根據旋轉的性質得：CB=AD,AB=CD,

四邊形ABDC是平行四邊形；

故應補充"AB=CD”.

11.已知則點記的整數部分可以是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【解析】根據估算無理數的大小的方法即可得J嬴的整數部分.

4W?W6,

；.25WaW49,16W6W36,

，41Wa+bW85,

則J五的整數部分可以是6,7,8,9.

12.如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵

樹T的位置，T在P的正北方向，且T在。的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（）

東

200

A.200tan700米B.

tan70

200

C.200sin70°米D.

sin70

【答案】B

【解析】在直角三角形PQT中，利用的長,以及/PQT的度數，進而得到/PTQ的度數，根據

三角函數即可求得PT的長.

在Rt/XPQT中,

VZQPT=90°，NPQ7=90°-70°=20°,

:./PTQ=10°,

tan70°=器，

.PT_PQ_200

tan705-tan703'

,200

即河寬-----；米

tan700

13.目前我國世界遺產總數居世界首位，其中自然遺產總面積約68000切？.將68000用科學記數法

表示為aXIO",lW|a|<10,〃為整數.其中a的值為（）

A.6.8B.68C.0.68D.680

【答案】A

【解析】科學記數法的表示形式為“X10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數.確定〃的值是易錯

點，由于68000有5位，所以可以確定”=5-1=4.68000=6.8X1（）4

14.如圖，PA.PB為圓0的切線，切點分別為A、B,P0交48于點C,P0的延長線交圓。于點

D.下列結論不一定成立的是()

A./XB以為等腰三角形

B.AB與PO相互垂直平分

C.點A、B都在以P0為直徑的圓上

D.PC為48以的邊AB上的中線

【答案】B

【解析】根據切線的性質即可求出答案.

(A)'：PA,28為圓。的切線，

：.PA=PB,

.?.△8%是等腰三角形，故A正確.

(8)由圓的對稱性可知：但不一定平分,

故B不一定正確.

(C)連接OB、0A,

PB為圓。的切線,

ZOBP=ZOAP=90a,

...點A、B、P在以OP為直徑的圓上，故C正確.

(D)印是等腰三角形，PD1AB,

；.PC為48出的邊48上的中線，故。正確.

15.已知二次函數y=/-2法+2信-4c(其中x是自變量)的圖象經過不同兩點A(1-h,in),B

(2h+C,/?),且該二次函數的圖象與X軸有公共點，則6+C的值為()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求出拋物線的對稱軸x=〃，再由拋物線的圖象經過不同兩點A(1-A〃z),B(2b+c,相),

也可以得到對稱軸為*世上，可得6=c+l,再根據二次函數的圖象與X軸有公共點，得到/-

2

4c<0,進而求出6、c?的值.

【解析】由二次函數y=f-2bx+2b2-4c的圖象與x軸有公共點，

(-2b)2-4X1X(27-4c)20,即①，

由拋物線的對稱軸后一型二江拋物線經過不同兩點A(I-b,/”),8(2b+c,m),

,l-b+2b+c

b=12-即，c=b-1②,

②代入①得，序-4(b-1)W0,即(b-2)2或0,因此〃=2,

c=b-1=2-1=1,

，〃+c=2+l=3

16.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,CD為中線，延長CB至點E,使BE=BC,連結DE,F

為DE中點，連結BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為()

E

A.2B,2.5C.3D.4

【答案】B

【解析】用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度;

結合題意知線段BF是4CDE的中位線，則BF=yCD.

;在RtZ\ABC中，ZACB=90",AC=8,BC=6,

AB=7AC2+BC2=A/82+62=10.

又「CD為中線,

1

???CD=—AB=5.

2

???F為DE中點,BE=BC,即點B是EC的中點，

；.BF是4CDE的中位線，則BF=^CD=2.5.

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口

是推知線段CD的長度和線段BF是4CDE的中位線.

二、填空題（本大題有3個小題，共12分.17~18小題各3分；19小題有3個空，每空

2分）

17.計算:—+V8=.

【答案】3V2

【解析】原式=乏/■—苧+2、「2=3v’2.

18.已知一個〃邊形的每一個外角都為30°,則“等于.

【答案】12.

【解析】根據多邊形的外角和等于360。列式計算即可.

?.?一個〃邊形的每一個外角都為30°,任意多邊形的外角和都是360°,

An=360°+30°=12.

19.已知攵為正整數，無論攵取何值，直線11：y=fcv+Z+l與直線12：y=（k+1）x+攵+2都交于一個

固定的點，這個點的坐標是—；記直線11和12與1軸圍成的三角形面積為Sk,則Si=—,

S1+S2+S3+…+Sioo的值為____.

A150

【答案】（-1,1）:-----.

4101

【分析】變形解析式得到兩條直線都經過點（-1,1）,即可證出無論左取何值，直線/I與/2的交

點均為定點（7,1）；先求出y=fcv+k+1與x軸的交點和y=（什1）i+k+2與x軸的交點坐標，

再根據三角形面積公式求出求出&=鼻（1-1）=1,S2=|x（---）,以此類推S10O=鼻

2242232

（-）,相加后得到-X（1—?

1001012101

【解析】?直線1"y—kjc+k+}—k（x+1）+1,

直線12：y=（）1+1）x+A+2經過點（-1,1）；

;直線12：y=（左+1）x+k+2=k（x+1）+（x+1）+1=（A+l）（JC+1）+1,

直線12：y=（）1+1）x+%+2經過點（-I,1）.

...無論k取何值，直線/i與/2的交點均為定點（-1,1）.

???直線11：），=辰+2+1與X軸的交點為（一平，0）,

直線12：y=(K1)尢+左+2與x軸的交點為(-注0),

M十1

'SK=|xi-胃+得x1=2k(k+iy

?'?S|=IXK2=1;

111I

JS1+S2+S3+…+5100=-------+----------

21X22X3100X101

11111

=x[(1—X)+(———)+…+(--------)]

2223100101

=21-X/(11-1101)、

1100

=2X101

50

=101,

三、解答題（本大題有7個小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

20.（6分）已知兩個有理數：一8和4.

（1）計算:(-8)+4

(2)若再添一個負整數n,使得-8,4與n這三個數的平均數大于n,求n的取值范圍.

【答案】(1)-4；(2)n<-2

【解析】(1)(_8)+4=-4

(2)依題意得[(-8)+4+n]/3>n

n<-2

21.(8分)發(fā)現思考：已知等腰三角形ABC的兩邊分別是方程x2-7x+10=0的兩個根，求等腰三

角形ABC三條邊的長各是多少，下邊是涵涵同學的作業(yè)，老師說他的做法有錯誤，請你找出錯誤之

處并說明錯誤原因.

涵涵的作業(yè)

解：x2-7x+10=0

a=lb=-7c=10

Vb2-4ac=9>0

._-b±yjb2-4ac_7±3

??x=-------------=

2a2

；.xi=5,X2=2

所以，當腰為5,底為2時，等腰三角形的三條

邊為5,5,2.

當腰為2,底為5時，等腰三角形的三條邊為

2,2,5.

探究應用：請解答以下問題：

mI

已知等腰三角形ABC的兩邊是關于x的方程x2-mx+------=0的兩個實數根.

24

(1)當m=2時，求aABC的周長；

(2)當AABC為等邊三角形時，求m的值.

【答案】錯誤之處：當2為腰，5為底時，等腰三角形的三條邊為2、2、5,原因見解析；(1)

7、

一；(2)1.

2

【解析】根據三角形三邊關系可以得到等腰三角形的三條邊不能為2、2、5.

(1)先解方程，再確定邊，從而求周長；

1

(2)是等邊三角形，則兩根相等，即△=(-m)2-4(------)=m2-2m+1,可求得m.

24

解：錯誤之處：當2為腰，5為底時，等腰三角形的三條邊為2、2、5.

錯誤原因：此時不能構成三角形.

3

（1）當m=2時,方程為X2-2X+-=0,

4

13

.".Xl=-，X2=一.

22

當!為腰時，!+

2222

113

.??丁、一不能構成三角形；

222

當士3為腰3時，3等腰三角形的三邊為己、士、1：，

2222

此時周長為±3+23+17

2222

7

答：當m=2時，ZkABC的周長為一.

2

（2）若AABC為等邊三角形，則方程有兩個相等的實數根，

m]

△=（-m）2-4（----------）=m2-2m+l=0,

24

mi=iri2=l.

答：當AABC為等邊三角形時，m值為1.

【點睛】本題考核知識點：一元二次方程的運用.解題關鍵點：熟練掌握一元二次方程的解法和等腰

三角形性質.

22.（8分）如圖，點A在數軸上對應的數為26,以原點O為圓心，0A為半徑作優(yōu)弧A8,使點B

4

在0右下方，且tan/AOB=1,在優(yōu)弧上任取一點P，且能過P作直線1〃OB交數軸于點Q,

設Q在數軸上對應的數為x,連接0P.

（1）若優(yōu)弧上一段AP的長為13兀，求/AOP的度數及x的值；

（2）求x的最小值，并指出此時直線1與所在圓的位置關系；

（3）若線段PQ的長為12.5,直接寫出這時x的值.

【答案】⑴ZPOA=90°,x=y；(2)當直線PQ與。O相切時時，此時x的值為-32.5；(3)

滿足條件的x的值為-16.5或31.5或-31.5.

,n-7r-26

由------=1371,

180

解得n=90°,

ZPOQ=90°,

；PQ〃OB,

.,.ZPQO=ZBOQ,

4OP

：.tanZPQO=tanZQOB=-=

39

???。①萬，

(2)如圖當直線PQ與。O相切時時，x的值最小.

圖1-1

4

在RtAOPQ中,OQ=OP1y=32.5,

此時x的值為-32.5；

(3)分三種情況：

①如圖2中，作OH_LPQ于H,設0H=4k,QH=3k.

.,.262=(4k)2+(12.5-3k)2,

整理得：k2-3k-20.79=0,

解得k=6.3或-3.3(舍棄)，

；.OQ=5k=3l.5.

此時x的值為31.5.

②如圖3中，作OHLPQ交PQ的延長線于H.設OH=4k,QH=3k.

圖3

在Rt△在RtAOPH中,VOP2=OH2+PH2,

.,.262=(4k)2+(12.5+3k)2,

整理得:k2+3k-20.79=0,

解得k=-6.3(舍棄)或3.3,

，OQ=5k=16.5,

此時x的值為-16.5.

③如圖4中，作OH_LPQ于H,設OH=4k,AH=3k.

圖4

在RtAOPH中，*：OP2=OH2+PH2,

.,.262=(4k)2+(12.5-3k)2,

整理得:k2-3k-20.79=0,

解得k=6.3或-3.3(舍棄)，

.,.OQ=5k=31.5不合題意舍棄.

此時x的值為-31.5.

綜上所述，滿足條件的x的值為-16.5或31.5或-31.5.

23.(10分)長為300m的春游隊伍，以。(m/s)的速度向東行進，如圖1和圖2,當隊伍排尾

行進到位置。時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2r

(m/s),當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進.設排尾從位置。開始行進的時間為t(s),排

頭與。的距離為S頭(m).

以尾)頭T東尾莢東

??，??

甲一》<-甲

圖1圖2

(1)當「2時，解答：

①求S頭與￡的函數關系式(不寫f的取值范圍)；

②當甲趕到排頭位置時，求S的值;在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置。的距離為S甲(口)，

求S甲與f的函數關系式(不寫f的取值范圍)

(2)設甲這次往返隊伍的總時間為T(s),求T與v的函數關系式(不寫。的取值范圍)，并寫

出隊伍在此過程中行進的路程.

【答案】見解析

【解析】(1)①排尾從位置。開始行進的時間為t(s),則排頭也離開原排頭t(s),

S頭=2f+300

②甲從排尾趕到排頭的時間為3004-(2v-v)=300+-300+2=150s,此時S頭=2什300

=600m

甲返回時間為：(t-150)s

；.S甲=5頭一5甲同=2X150+300-4(t-150)=-4？+1200;

因此，s頭與f的函數關系式為S頭=2什300,當甲趕到排頭位置時，求S的值為600m,在甲從

排頭返回到排尾過程中，s甲與f的函數關系式為S甲=-4t+1200.

（2）7=1追及+七返回=_1"+望上=幽,

2v^v2v4-vv

在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為：FX（7-150）=FX（晅--150）=400-150r;

V

因此T與「的函數關系式為：7=9四，此時隊伍在此過程中行進的路程為（400-150F）m.

V

a尾）頭—東尾靠東

?-----?------------?-------------?—

甲一,?-甲

圖1圖2

24.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-%-1與直線y=-2x+2相交于點P,并分別

與x軸相交于點A、B.

(1)求交點P的坐標;

(2)求的面積;

(3)請把圖象中直線y=-2x+2在直線）=-3-1上方的部分描黑加粗，并寫出此時自變量x的

取值范圍.

【分析】（1）解析式聯立，解方程組即可求得交點P的坐標;

（2）求得A、8的坐標，然后根據三角形面積公式求得即可；

（3）根據圖象求得即可.

士」解啜

【解析】⑴由/=

b'=

：.P(2,-2)；

（2）直線尸一41與直線y=-2x+2中，令），=0,則一1=0與-2x+2=0,

解得x=-2與無=1,

AA(-2,0),B(1,0),

：.AB=3,

S^PAB=5AB?|)>|=|x3x2=3；

自變量x的取值范圍是x<2.

25.（10分）老師隨機抽查了本學期學生讀課外書冊數的情況，繪制成條形圖（圖1）和不完整的

扇形圖（圖2）,其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分.

（1）求條形圖中被遮蓋的數，并寫出冊數的中位數；

（2）在所抽查的學生中隨機選一人談讀書感想，求選中讀書超過5冊的學生的概率：

（3）隨后又補查了另外幾人，得知最少的讀了6冊，將其與之前的數據合并后，發(fā)現冊數的中位數

（2）選中讀書超過5冊的學生的概率

為——;⑶3

12

【解析】（1）抽查的學生總數為6+25%=24（人），

讀書為5冊的學生數為24-5-6-4=9（人），

所以條形圖中被遮蓋的數為9,冊數的中位數為5；

（2）選中讀書超過5冊的學生的概率=3=2；

2412

（3）因為4冊和5冊的人數和為14,中位數沒改變，所以總人數不能超過27,即最多補查了3人,

故答案為3.

3

26.（14分）如圖1和圖2,在AABC中，AB=AC,8c=8,tanC=—.點K在AC邊上，點

4

M,N分別在AB,8c上，且AM=OV=2.點P從點用出發(fā)沿折線MB—3N勻速移動，

到達點N時停止；而點。在AC邊上隨P移動，且始終保持NAPQ=ZB.

（1）當點P在8c上時，求點P與點A的最短距離；

（2）若點P在MB上，且PQ將AABC的面積分成上下4：5兩部分時，求的長；

（3）設點尸移動的路程為x,當0Wx<3及3W尤K9時，分別求點尸到直線AC的距離（用含x的

式子表示）；

（4）在點P處設計并安裝一掃描器，按定角NAPQ掃描A4PQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從

9

”到5再到N共用時36秒.若AK=-,請直接寫出點K被掃描到的總時長.

4?,

42448333

【答案】(1)3；(2)MP——；(3)當0WxW3時，d——xH；當3<xW9時，d=—x4—；

3252555

（4）t=23s

【解析】（1）根據當點尸在8C上時，PALBC時PA最小，即可求出答案；

（2）過A點向BC邊作垂線，交BC于點E,證明△APQs/SABC,可得配2=（，根據*=±

S^BCVAB）S下5

可得生".=（理］=3,可得”=2,求出AB=5,即可解出MP；

S.8c9AB3

（3）先討論當gx?3時，P在BM上運動，P到AC的距掰d=PQ-sinC,求解即可，再討論當3<x<9

時