統(tǒng)計(jì)學(xué)-相關(guān)與回歸

第七章

回歸與相關(guān)

regressionandcorrelation

變量間關(guān)系問題：年齡~身高、肺活量~體重、藥物劑量與動(dòng)物死亡率等。

第一節(jié)

直線回歸第二節(jié)直線相關(guān)第三節(jié)Spearman等級(jí)相關(guān)

兩個(gè)關(guān)系：依存關(guān)系：應(yīng)變量(dependentvariable)Y隨自變量(independentvariable)X變化而變化。——回歸分析

互依關(guān)系：應(yīng)變量Y與自變量X間的彼此關(guān)系——

相關(guān)分析實(shí)例散點(diǎn)圖第一節(jié)

直線回歸函數(shù)關(guān)系：確定。例如園周長與半徑：y=2πr

?；貧w關(guān)系：不確定。例如血壓和年齡的關(guān)系，稱為直線回歸(linearregression)。

目的：建立直線回歸方程(linearregressionequation)一、

直線回歸方程

一般表達(dá)式：a：截距(intercept)，直線與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。b：斜率(slope)，回歸系數(shù)(regressioncoefficient)。意義：X每改變一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位。

b>0，Y隨X的增大而增大（減少而減少）——

斜上；

b<0，Y隨X的增大而減?。p少而增加）——

斜下；

b=0，Y與X無直線關(guān)系——

水平。

｜b｜越大，表示Y隨X變化越快，直線越陡峭。二、回歸方程參數(shù)的計(jì)算

最小二乘法原則(leastsquaremethod)：使各散點(diǎn)到直線的縱向距離的平方和最小。即使

最小。因?yàn)橹本€一定經(jīng)過“均數(shù)”點(diǎn)散點(diǎn)圖編號(hào)母X臍YX2Y2XY11.213.901.464115.21004.719021.304.501.690020.25005.850031.394.201.932117.64005.838041.424.832.016423.32896.858651.474.162.160917.30566.115261.564.932.433624.30497.690871.684.322.822418.66247.257681.724.992.958424.90018.582891.984.703.920422.09009.3060102.105.204.410027.040010.9200合計(jì)15.8345.7325.8083210.731973.1380SXSYSX2SY2SXY

回歸參數(shù)計(jì)算的實(shí)例

三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)b≠0原因：①由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)β=0②存在回歸關(guān)系，總體回歸系數(shù)β≠0公式

，υ＝n－2Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

SY.X為Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差——扣除X的影響后Y的變異程度。

（一）

t檢驗(yàn)；（二）

方差分析編號(hào)母X臍YX2Y2XY11.213.901.464115.21004.719021.304.501.690020.25005.850031.394.201.932117.64005.838041.424.832.016423.32896.858651.474.162.160917.30566.115261.564.932.433624.30497.690871.684.322.822418.66247.257681.724.992.958424.90018.582891.984.703.920422.09009.3060102.105.204.410027.040010.9200合計(jì)15.8345.7325.8083210.731973.1380SXSYSX2SY2SXYXY的離均差平方和的分解幾個(gè)平方和的意義再看公式：SS剩的另一種解法編號(hào)（1）X

Y

（2）（3）（4）(5)=(3)-(4)(6)=(5)211.213.904.2010-0.30100.090621.304.504.29080.20920.043831.394.204.3805-0.18050.032641.424.834.41040.41960.176151.474.164.4603-0.30030.090261.564.934.55010.37990.144371.684.324.6698-0.34980.124481.724.994.70960.28040.078691.984.704.9689-0.26890.0723102.105.205.08860.11140.0124合計(jì)15.8345.7345.73000.00000.8632

(二)方差分析四、直線回歸方程的區(qū)間估計(jì)(二)的區(qū)間估計(jì)(三)個(gè)體的容許區(qū)間估計(jì)95％的可信區(qū)間與個(gè)體的容許區(qū)間圖示五、回歸方程的應(yīng)用

1.預(yù)測（forecast）（給定X值，估計(jì)Y）2.控制（給定Y值范圍，求X值范圍）第二節(jié)

直線相關(guān)回歸----變量間的依存關(guān)系

相關(guān)----變量間的互依關(guān)系

直線相關(guān)(linearcorrelation)：簡單相關(guān)(simplecorrelation)，用于雙變量正態(tài)分布資料。圖7－4

相關(guān)系數(shù)示意圖

散點(diǎn)呈橢圓形分布，X、Y同時(shí)增減---正相關(guān)（positivecorrelation)；

X、Y此增彼減---負(fù)相關(guān)(negativecorrelation)。散點(diǎn)在一條直線上，

X、Y變化趨勢相同----完全正相關(guān);反向變化----完全負(fù)相關(guān)。圖7－5

相關(guān)系數(shù)示意圖

X、Y變化互不影響----零相關(guān)(zerocorrelation)一、

相關(guān)系數(shù)概念

相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)，又稱積差相關(guān)系數(shù)（coefficientofproduct–momentcorrelation），或Pearson相關(guān)系數(shù)（軟件中常用此名稱）

說明相關(guān)的密切程度和方向的指標(biāo)。

r——樣本相關(guān)系數(shù)r無單位，-1≤

r≤

1。r值為正——正相關(guān)，為負(fù)——負(fù)相關(guān)；（與回歸系數(shù)b的符號(hào)相同）|r|=1---完全相關(guān)，|r|=0---零相關(guān)。二、相關(guān)系數(shù)的意義三、

相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

四、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

r≠0原因：①由于抽樣誤差引起，ρ=0 ②存在相關(guān)關(guān)系，ρ≠0α=0.05公式

，υ＝n-2Sr----相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

注意：對(duì)于同一資料，tb＝tr，檢驗(yàn)完全等價(jià)五、總體相關(guān)系數(shù)

的區(qū)間估計(jì)區(qū)別：

六、直線回歸與相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系1.資料：②

X、Y服從雙變量正態(tài)分布

①Y正態(tài)隨機(jī)變量，X為選定變量

回歸2.應(yīng)用：回歸——由一個(gè)變量值推算另一個(gè)變量值

相關(guān)——只反映兩變量間相互關(guān)系

相關(guān)3.回歸系數(shù)有單位,相關(guān)系數(shù)無單位聯(lián)系：

七、直線回歸與相關(guān)的應(yīng)用注意事項(xiàng)

⑴要有實(shí)際意義

⑵不能任意“外延”

⑶繪制散點(diǎn)圖

第三節(jié)

等級(jí)相關(guān)

rankcorrelation

適用資料：⑴不服從雙變量正態(tài)分布

⑵總體分布類型未知

⑶原始數(shù)據(jù)用等級(jí)表示

等級(jí)相關(guān)系數(shù)rs（即SpearmanCorrelationCoefficient）——反映兩變量間相關(guān)的密切程度與方向。表7-3等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算表綜合評(píng)分存活天數(shù)

編號(hào)(1)X(2)秩次U(3)Y(4)秩次V(5)d(6)=(3)-(5)d2(7)=(6)21234567798091907087922365147>45301624282514

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