《7.5 正態(tài)分布》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《7.5正態(tài)分布》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正態(tài)分布本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量的取值是可列的。而連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可取任何值。其重要的代表——正態(tài)分布?！墩龖B(tài)分布》該節(jié)內(nèi)容通過研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進(jìn)而得到正態(tài)分布的概念，然后，分析正態(tài)曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)，最后研究了它的應(yīng)用——隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率。正態(tài)分布是描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種最常見的分布，在現(xiàn)實(shí)生活中有非常廣泛的應(yīng)用?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2.通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.1.數(shù)學(xué)抽象：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)2.邏輯推理：正態(tài)分布的概念3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.了解3σ原則.難點(diǎn)：.會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)一、探究新知現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量，不是離散的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量，下面我們看一個(gè)具體問題.探究1:自動(dòng)流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中,隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X(單位:g)的觀測(cè)值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形，誤差觀測(cè)值有正有負(fù),并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.問題1：由函數(shù)知識(shí)可知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布的定義正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布例如,某些物理量的測(cè)量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等探究2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？μμx其中μ∈R，σ＞0為參數(shù).由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ（4）當(dāng)|X|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.探究3：觀察正態(tài)曲線、相應(yīng)的密度函數(shù)及概率的性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？（1）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度。概念辨析1、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。答案：D二、典例解析例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請(qǐng)說明理由.分析:對(duì)于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).對(duì)于第(3)問,這是一個(gè)概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車,正態(tài)分布的3σ原則[???3??,??+3??]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3??原則.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,??的取值幾乎總落在區(qū)間[???3??,??+3??]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布??(??,??2)的隨機(jī)變量??只取例2.假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.解：設(shè)該學(xué)生的身高為X，由題意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因?yàn)榫禐?70，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-跟蹤訓(xùn)練1．某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為多少;（2）檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說明理由.解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為，由題意可知．(1)由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與“原則”可知.(2)檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說出自己見解。從而引入正態(tài)分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過問題分析，讓學(xué)生掌握正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對(duì)正態(tài)分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=12πB.f(x)=2C.f(x)=1D.f(x)=1解析:對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù):f(x)=12πσ·e答案:B2.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對(duì)稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為.解析:因?yàn)樵率杖敕恼龖B(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)的概率為0.683.由圖像的對(duì)稱性可知,此縣農(nóng)民月均收入在500到520元間人數(shù)的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的.解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內(nèi)取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內(nèi)的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.1585.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1585=0.8415.∴54×0.8415≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.1585,即P(X>130)=0.1585.∴54×0.1585≈9(人),即130分以上的人數(shù)約為9人.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】課后通過對(duì)教學(xué)過程的反思與研究,才能不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)中的不足,才能提升教材分析的能力和課堂教學(xué)實(shí)效.1.多元展示,多方評(píng)價(jià).在教學(xué)過程中我借問題牽引，保證了課堂教學(xué)的順利實(shí)施；而在整個(gè)過程中，我對(duì)學(xué)生所作練習(xí)、疑問及時(shí)解析評(píng)價(jià)；學(xué)生之間、小組之間的互相評(píng)價(jià)補(bǔ)充，使學(xué)生共享成果分享喜悅，堅(jiān)定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信念，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo).2.創(chuàng)造性的使用教材.有別于教材，我在教學(xué)中,讓學(xué)生考察了分別考察了兩類題型之后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納,這樣更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生課后反饋，效果較為理想.《7.5正態(tài)分布》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2.通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.了解3σ原則.難點(diǎn)：.會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.【知識(shí)梳理】1.正態(tài)分布的定義對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.2.由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ（4）當(dāng)|X|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.3.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度。（1）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.4.44.正態(tài)分布的3σ原則特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,??的取值幾乎總落在區(qū)間[???3??,??+3??]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布??(??,??2)的隨機(jī)變量??只取[???3??,??+3??]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3??原則.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.1、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2?！緦W(xué)習(xí)過程】一、問題探究現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量，不是離散的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量，下面我們看一個(gè)具體問題.探究1:自動(dòng)流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中,隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X(單位:g)的觀測(cè)值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形，誤差觀測(cè)值有正有負(fù),并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.問題1：由函數(shù)知識(shí)可知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布例如,某些物理量的測(cè)量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等探究2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？μμx其中μ∈R，σ＞0為參數(shù).探究3：觀察正態(tài)曲線、相應(yīng)的密度函數(shù)及概率的性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？二、典例解析例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請(qǐng)說明理由.例2.假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-跟蹤訓(xùn)練1．某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為多少;（2）檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說明理由.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=12πσe(xC.f(x)=122πe-2.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.13.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為.4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的.5.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理答案：D學(xué)習(xí)過程一、問題探究探究1:可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形，誤差觀測(cè)值有正有負(fù),并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.問題1：正態(tài)分布的定義對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.探究2：由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ（4）當(dāng)|X|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.探究3：（1）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度。二、典例解析例1：分析:對(duì)于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).對(duì)于第(3)問,這是一個(gè)概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車,例2.解：設(shè)該學(xué)生的身高為X，由題意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因?yàn)榫禐?70，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％=34.15由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-跟蹤訓(xùn)練1．解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為，由題意可知．(1)由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與“原則”可知.(2)檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù):f(x)=12πσ·e-答案:B2.解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對(duì)稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.解析:因?yàn)樵率杖敕恼龖B(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)的概率為0.683.由圖像的對(duì)稱性可知,此縣農(nóng)民月均收入在500到520元間人數(shù)的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內(nèi)取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內(nèi)的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.1585.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1585=0.8415.∴54×0.8415≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.1585,即P(X>130)=0.1585.∴54×0.1585≈9(人),即130分以上的人數(shù)約為9人.《7.5正態(tài)分布》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）.A．B．C．D．2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，則μ等于（）A．1B．2C．4D．不確定3．某省級(jí)示范中學(xué)對(duì)在家學(xué)習(xí)的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，服從正態(tài)分布，則100名同學(xué)中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間超過10小時(shí)的人數(shù)為（）(四舍五入保留整數(shù))參考數(shù)據(jù)：，，.A．15B．16C．31D．324．設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，5．（多選題）已知，，，則（）A．曲線與軸圍成的幾何圖形的面積小于1B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞增6．（多選題）“雜交水稻之父”袁隆平致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出杰出貢獻(xiàn)．某水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列說法正確的是（）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為10C．該地水稻株高在以上的數(shù)量和株高在以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：）的概率一樣大二、填空題7．設(shè)，若的概率為0.45，則的概率為____.8．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，則μ＝________.9．中長(zhǎng)跑是一項(xiàng)對(duì)學(xué)生身體鍛煉價(jià)值較高的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.在某校的一次中長(zhǎng)跑比賽中，全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有32名.則參賽的學(xué)生總數(shù)約為_____.（參考數(shù)據(jù)：，，）10．2012年國(guó)家開始實(shí)行法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站在統(tǒng)計(jì)了2019年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量服從正態(tài)分布，若，，則的最小值為______.三、解答題11．某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.（1）求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于的概率約為多少？（2）該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于，檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說明理巾.附：，則，，.12．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度(單位：)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求.附：.若，則.答案解析一、選擇題1．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）.A．B．C．D．【答案】C【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，.故選C.2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，則μ等于（）A．1B．2C．4D．不確定【答案】A【詳解】由題意，ξ<1的概率是，則ξ>1的概率也是，∴正態(tài)分布的圖象關(guān)于對(duì)稱，即.故選：A3．某省級(jí)示范中學(xué)對(duì)在家學(xué)習(xí)的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，服從正態(tài)分布，則100名同學(xué)中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間超過10小時(shí)的人數(shù)為（）(四舍五入保留整數(shù))參考數(shù)據(jù)：，，.A．15B．16C．31D．32【答案】B【詳解】根據(jù)題意可得：，故所求人數(shù)為100×0.1587≈16.4．設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，【答案】C【詳解】由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，，的密度曲線分別關(guān)于直線，對(duì)稱，因此結(jié)合題中所給圖象可得，，所以，故錯(cuò)誤；又得密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)任意正數(shù)，，，C正確，D錯(cuò)誤，故選：C5．（多選題）已知，，，則（）A．曲線與軸圍成的幾何圖形的面積小于1B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【詳解】選項(xiàng)A.曲線與軸圍成的幾何圖形的面積等于1，所以A不正確.選項(xiàng)B.,所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C.因?yàn)樗运赃x項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.由正態(tài)分布曲線可知，當(dāng)越大時(shí)，其概率越小.即函數(shù)隨的增大而減小，是減函數(shù)，所以選項(xiàng)D不正確.故選：BC6．（多選題）“雜交水稻之父”袁隆平致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出杰出貢獻(xiàn)．某水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列說法正確的是（）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為10C．該地水稻株高在以上的數(shù)量和株高在以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：）的概率一樣大【答案】AC【詳解】因?yàn)槊芏群瘮?shù)為，所以，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．二、填空題7．設(shè)，若的概率為0.45，則的概率為______.【答案】【詳解】∵，∴，，∴．8．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，則μ＝________.【答案】－2【詳解】因?yàn)镻(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1.所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x＝－2,，所以μ＝－2.9．中長(zhǎng)跑是一項(xiàng)對(duì)學(xué)生身體鍛煉價(jià)值較高的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.在某校的一次中長(zhǎng)跑比賽中，全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有32名.則參賽的學(xué)生總數(shù)約為_____.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】202【詳解】由正態(tài)分布得：平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)參賽的學(xué)生總數(shù)約為人，則成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，而成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?，所以成?jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有32名，解得.10．2012年國(guó)家開始實(shí)行法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站在統(tǒng)計(jì)了2019年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量服從正態(tài)分布，若，，則的最小值為______.【答案】8【詳解】服從正態(tài)分布，則，又，即且當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).三、解答題11．某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.（1）求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于的概率約為多少？（2）該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于，檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說明理巾.附：，則，，.【詳解】解：（1）設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為，由題意可知．由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與“原則”可知.(2)檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（Ⅰ）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.12．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度(單位：)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求.附：.若，則.【詳解】（1）由題意可得平均數(shù)，（2）由（1）知，，從而所以.《7.5正態(tài)分布》提高訓(xùn)練一、選擇題1．在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，若在內(nèi)的概率為0.6，則任意選取兩名學(xué)生的成績(jī)，恰有一名學(xué)生成績(jī)不高于80的概率為（）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.482．設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知隨機(jī)變量，有下列四個(gè)命題：甲：乙：丙：?。喝绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題為（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．某工廠的一臺(tái)流水線生產(chǎn)質(zhì)量穩(wěn)定可靠，已知在正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸(單位：)服從正態(tài)分布.甲?乙兩名同學(xué)正進(jìn)行尺寸測(cè)量練習(xí).甲?乙對(duì)各自抽取的個(gè)零件測(cè)量零件內(nèi)徑尺寸(單位：)如下，甲同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，；乙同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，.則可以判斷（）A．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都正確B．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都錯(cuò)誤C．甲同學(xué)測(cè)量正確，乙同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤D．甲同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤，乙同學(xué)測(cè)量正確5．（多選題）甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)δ2=1.996．（多選題）醫(yī)用口罩面體分為內(nèi)、中、外三層，內(nèi)層為親膚材質(zhì)，中層為隔離過濾層，外層為特殊材料抑菌層.根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（），（，，）A．B．C．D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示抽取的100只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則二、填空題7．某超市經(jīng)營(yíng)的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X(單位：千克)服從正態(tài)分布N(25，0.22)，任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8～25.4千克的概率為________．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.6826，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9544，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9974)8．對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量_____次（若，則）．9．2022年高考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對(duì)全市的英語(yǔ)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)英語(yǔ)成績(jī)的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語(yǔ)成績(jī)超過95分的概率是________．10．俗話說：“一心不能二用”，意思是我們做事情要專心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二幾個(gè)學(xué)生在學(xué)完《統(tǒng)計(jì)》后，做了一個(gè)研究，他們?cè)诒灸昙?jí)隨機(jī)抽取男生和女生各100名，要求他們同時(shí)做一道數(shù)學(xué)題和英語(yǔ)聽力題，然后將這些同學(xué)完成問題所用時(shí)間制成分布圖如下，男生“一心二用”所需平均時(shí)間平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都強(qiáng)于男生；③女生用時(shí)眾數(shù)小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正態(tài)分布.則上述說法正確的是________．三、解答題11．某年某省有40萬考生參加高考．已知考試總分為750分，一本院校在該省計(jì)劃招生6萬人．經(jīng)考試后統(tǒng)計(jì)，考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，若以省計(jì)劃招生數(shù)確定一本最低錄取分?jǐn)?shù)．（1）已知，則該省這一年的一本最低錄取分?jǐn)?shù)約為多少？（2）某公司為考生制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有高考成績(jī)不低于一本最低錄取分?jǐn)?shù)的考生均可參加“線上抽獎(jiǎng)送話費(fèi)”活動(dòng)，每個(gè)考生只能抽獎(jiǎng)一次．抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)（10，11，…，99），若產(chǎn)生的兩位數(shù)字相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)20元話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)5元，假如所有符合條件的考生均參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的話費(fèi)總額是多少？12.已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸（單位：）服從正態(tài)分布．（1）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取個(gè)，求至少有一個(gè)尺寸小于的概率；（2）為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，需要對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障維修，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生故障維修費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除了日常維護(hù)費(fèi)外，還會(huì)產(chǎn)生一次故障維修費(fèi)．已知故障維修費(fèi)第一次為元，此后每增加一次則故障維修費(fèi)增加元．假設(shè)每個(gè)維護(hù)周期互相獨(dú)立，每個(gè)周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．答案解析一、選擇題1．在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，若在內(nèi)的概率為0.6，則任意選取兩名學(xué)生的成績(jī)，恰有一名學(xué)生成績(jī)不高于80的概率為（）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.48【答案】C【詳解】解：服從正態(tài)分布，曲線的對(duì)稱軸是直線，在內(nèi)取值的概率為0.6，在內(nèi)取值的概率為0.3，在內(nèi)取值的概率為．現(xiàn)任意選取兩名學(xué)生的成績(jī)，恰有一名學(xué)生成績(jī)不高于80的概率，故選：C2．設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則）A．7539B．6038C．7028D．6587【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，，所以陰影部分的面積為，所以從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選：D.3．已知隨機(jī)變量，有下列四個(gè)命題：甲：乙：丙：?。喝绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題為（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【詳解】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命題，故，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：甲：為真命題，所以丁為假命題.并且，.所以假命題的是丁.故選：D4．某工廠的一臺(tái)流水線生產(chǎn)質(zhì)量穩(wěn)定可靠，已知在正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸(單位：)服從正態(tài)分布.甲?乙兩名同學(xué)正進(jìn)行尺寸測(cè)量練習(xí).甲?乙對(duì)各自抽取的個(gè)零件測(cè)量零件內(nèi)徑尺寸(單位：)如下，甲同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，；乙同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，.則可以判斷（）A．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都正確B．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都錯(cuò)誤C．甲同學(xué)測(cè)量正確，乙同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤D．甲同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤，乙同學(xué)測(cè)量正確【答案】C【詳解】，，即；甲同學(xué)測(cè)量的數(shù)據(jù)均落在之間，測(cè)量數(shù)據(jù)正確；乙同學(xué)測(cè)量的數(shù)據(jù)中有兩個(gè)數(shù)據(jù)落在之外，即小概率事件發(fā)生，知其測(cè)量錯(cuò)誤.故選：C.5．（多選題）甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)δ2=1.99【答案】ABC【詳解】由圖像可知，甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg，乙類水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg，故A，C正確；甲圖像比乙圖像更高瘦，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的最大值為