新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列3.2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件湘教版選擇性必修第二冊(cè)

3．2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱(chēng)E(X)＝__________________________為X的數(shù)學(xué)期望或均值?.批注?

(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量的平均水平．(2)數(shù)學(xué)期望(均值)是一個(gè)常數(shù)，在大量實(shí)驗(yàn)下，它總是穩(wěn)定的，不具有隨機(jī)性．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn要點(diǎn)二幾類(lèi)特殊分布的均值類(lèi)別數(shù)學(xué)期望(均值)兩點(diǎn)分布X～B(1，p)E(X)＝________二項(xiàng)分布X～B(n，p)E(X)＝________超幾何分布X～H(N，M，n)E(X)＝________p

np

要點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，若Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，則E(Y)＝aE(X)＋b?.批注?當(dāng)a＝0時(shí)，E(b)＝b，也就是說(shuō)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是這個(gè)常數(shù)的本身；當(dāng)a＝1時(shí)，E(X＋b)＝E(X)＋b；當(dāng)b＝0時(shí)，E(aX)＝aE(X)．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．(

)(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平．(

)(3)隨機(jī)變量的均值相同，則兩個(gè)分布也一定相同.(

)×××

X－101p答案：C

答案：B

4．已知隨機(jī)變量ξ的期望為15，則E(3ξ＋5)＝________．50解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的期望為15，所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.題型探究·課堂解透

X2345P方法歸納求離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的一般步驟鞏固訓(xùn)練1

為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號(hào)召，小李工作日上下班出行方式由自駕車(chē)改為選擇乘坐公共交通或騎共享單車(chē)中的一種．根據(jù)小李從2020年4月到2020年6月的出行情況統(tǒng)計(jì)，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，騎共享單車(chē)的概率是0.6.乘坐公共交通單程所需的費(fèi)用是3元，騎共享單車(chē)單程所需的費(fèi)用是1元．記小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班所花費(fèi)的總交通費(fèi)用為X元，假設(shè)小李上下班選擇出行方式是相互獨(dú)立的，(小李上下班各計(jì)一次單程)．(1)求小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班出行費(fèi)用為4元的概率；(2)求X的分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．

解析：(1)在一個(gè)工作日內(nèi)上下班出行費(fèi)用為4元，即乘坐公共交通和騎共享單車(chē)各一次，故其概率為P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.(2)依題意，X可能的取值是2，4，6，P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.因此X的分布列為由此可知，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.X246P0.360.480.16

η0123P方法歸納求二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望的方法鞏固訓(xùn)練2

一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的6個(gè)小球，其中白色球2個(gè)，黑色球4個(gè)．若從中一次取3個(gè)球，記所取球中白球個(gè)數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的期望為_(kāi)_______．

1題型3離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例3某城市出租車(chē)的起步價(jià)為10元，即行駛路程不超出4km時(shí)，費(fèi)用為10元；若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按1km計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km，某司機(jī)經(jīng)常駕車(chē)在民航機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車(chē)路線的不同及途中停車(chē)時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車(chē)路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車(chē)5min按1km路程計(jì)費(fèi)，不足5min的部分不計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)在一次接送旅客的轉(zhuǎn)換后的行車(chē)路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)他所收費(fèi)用η.(1)求費(fèi)用η關(guān)于行車(chē)路程ξ的關(guān)系式；(2)若隨機(jī)變量ξ的分布列為求所收費(fèi)用η的數(shù)學(xué)期望．ξ15161718P0.10.50.30.1解析：(1)由題意，得η＝10＋2(ξ－4)，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.因?yàn)棣牵?ξ＋2，所以E(η)＝2E(ξ)＋2＝2×16.4＋2＝34.8.故所收費(fèi)用η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．方法歸納利用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)求數(shù)學(xué)期望的策略1．若題目給出隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解2．若題目未給出隨機(jī)變量Y與X