備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第7講拋物線

第7講拋物線課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.拋物線的定義及其應(yīng)用2022全國(guó)卷乙T5；2021新高考卷ⅡT3；2021全國(guó)卷乙T21；2020全國(guó)卷ⅠT4本講每年必考，主要以定義作為命題思路，求解軌跡問題、距離問題、最值問題等.在2025年高考備考中，在訓(xùn)練常規(guī)題型的同時(shí)，應(yīng)關(guān)注拋物線的定義的應(yīng)用.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023全國(guó)卷乙T13；2022全國(guó)卷甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021全國(guó)甲卷T20拋物線的幾何性質(zhì)2023新高考卷ⅡT10；2021新高考卷ⅠT14；2020全國(guó)卷ⅡT19；2020全國(guó)卷ⅢT51.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）的距離①相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的②焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的③準(zhǔn)線.注意定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的一條直線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）yx2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）圖形幾何性質(zhì)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O（0，0）焦點(diǎn)④F（p2，0⑤F（－p2，0⑥F（0，p2⑦F（0，－p2準(zhǔn)線方程⑧x＝－p2⑨x＝p2⑩y＝－p2?y＝p2范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝?1焦半徑（其中Px0?p2＋x0p2－x?p2＋y0p2－y常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論如圖，設(shè)AB是一條過(guò)拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦，AB所在直線的傾斜角為α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，B1，則（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）｜AF｜＝p1－cosα，｜BF｜＝p1+cosα，弦長(zhǎng)｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，S△（3）1｜AF｜＋1（4）當(dāng)N為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，∠ANF＝∠BNF.（5）通徑是過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，弦長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)的最短的弦.（6）以弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.（7）以A1B1為直徑的圓與AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90°.（8）當(dāng)M1為A1B1的中點(diǎn)時(shí)，M1A⊥M1B.（9）以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.（2）的推導(dǎo)過(guò)程：因?yàn)锳B所在直線的傾斜角為α，則cosα＝x1－p2x1＋p2，解得x1＝p2·1+cos同理可得｜BF｜＝p1+則｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝p1－cosαS△AOB＝12×｜AB｜×p2×sinα＝12×2psin2α由（2）的推導(dǎo)過(guò)程可得，1｜AF｜＋1｜BF｜＝1.下列說(shuō)法正確的是（D）A.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線B.若拋物線過(guò)點(diǎn)P（－2，3），則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px（p＞0）C.拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其準(zhǔn)線方程為y＝－12.拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A）A.（0，116） B.（0，14） C.（0，1） D.（1，解析化拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2＝14y，所以p＝18，（本題在解答過(guò)程中若不先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，易錯(cuò)誤得到p＝2，從而錯(cuò)選拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，116），故選3.[2023湖北省十堰市調(diào)研]下列四個(gè)拋物線中，開口朝左的是（C）A.y2＝5x B.x2＝－5yC.y2＝－5x D.x2＝5y解析拋物線y2＝5x的開口朝右，拋物線x2＝－5y的開口朝下，拋物線y2＝－5x的開口朝左，拋物線x2＝5y的開口朝上.故選C.4.若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是橢圓x23p＋y2p＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則pA.2 B.3 C.4 D.8解析由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p2，0），橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2p，0），所以p2＝2p，解得p5.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，22）為拋物線上一點(diǎn)，則｜MF｜＝（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析因?yàn)辄c(diǎn)M（2，22）為拋物線上一點(diǎn)，所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，可得其準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)拋物線的定義，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故選B.研透高考明確方向命題點(diǎn)1拋物線的定義及其應(yīng)用例1（1）[全國(guó)卷Ⅰ]已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（C）A.2 B.3 C.6 D.9解析根據(jù)拋物線的定義及題意得，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線x＝－p2的距離為12，因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以p2＝12－9，解得p＝6.（2）[2022全國(guó)卷乙]設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，則｜AB｜＝ （B）A.2 B.22 C.3 D.32解析解法一如圖，由題意可知F（1，0），設(shè)A（y024，y0），則由拋物線的定義可知｜AF｜＝y(tǒng)024＋1.因?yàn)椋麭F｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），則｜AB｜＝解法二由題意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為2p＝4，所以AF的長(zhǎng)為通徑長(zhǎng)的一半，所以AF⊥x軸，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝方法技巧利用拋物線的定義可解決的常見問題（1）軌跡問題：利用拋物線的定義可以確定與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為拋物線.（2）距離問題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，在解題過(guò)程中注意兩者之間的相互轉(zhuǎn)化.（3）最值問題：通過(guò)距離轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”求解.訓(xùn)練1[多選/2023惠州市二調(diào)]設(shè)拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，E（3，1）為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（AD）A.準(zhǔn)線l的方程是x＝－2B.｜ME｜－｜MF｜的最大值為2C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值為7D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切解析由題意得，拋物線C的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線l的方程是x＝－2，故A正確；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，當(dāng)點(diǎn)M在線段EF的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值為2，故B不正確；如圖所示，過(guò)點(diǎn)M，E分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，當(dāng)點(diǎn)M在線段EB上時(shí)等號(hào)成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值為5，故C不正確；設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），線段MF的中點(diǎn)為D，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD＝x0+22＝｜命題點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2（1）[2023全國(guó)卷乙]已知點(diǎn)A（1，5）在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為94解析將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－54，所以A到準(zhǔn)線的距離為1－（－54）＝（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，則C的準(zhǔn)線方程為x＝－32解析解法一由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝解法二由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－方法技巧拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法（1）定義法根據(jù)拋物線的定義求出p.標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意判斷焦點(diǎn)位置及開口方向.（2）待定系數(shù)法當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，注意分類討論.對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝mx（m≠0），焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝my（m≠0）.訓(xùn)練2（1）若拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y.解析由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以拋物線的焦點(diǎn)是（4，0）或（0，－2），故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y.（2）如圖，過(guò)拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，則拋物線的方程為y2＝3x.解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，D，設(shè)｜BF｜＝a，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G，則由已知得，｜BC｜＝2a，由拋物線的定義得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴｜BD｜｜GF｜＝｜BC｜｜CF｜，即1p＝23命題點(diǎn)3拋物線的幾何性質(zhì)例3[多選/2023新高考卷Ⅱ]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－3（x－1）過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（AC）A.p＝2B.｜MN｜＝8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形解析由題意，易知直線y＝－3（x－1）過(guò)點(diǎn)（1，0）.對(duì)于A，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以p2＝1，即p＝2，所以A選項(xiàng)正確對(duì)于B，不妨設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，聯(lián)立方程得y＝－3（x－1),y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3.由拋物線的定義得，｜MN｜＝x1＋對(duì)于C，由以上分析易知，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（53，－233），半徑r＝12｜MN｜＝83＝53＋1，所以以MN對(duì)于D，由兩點(diǎn)間距離公式可得｜MN｜＝163，｜OM｜＝133，｜ON｜＝21，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.方法技巧應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.訓(xùn)練3[多選]已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為3且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若｜AF｜＝8，則以下結(jié)論正確的是（ABC）A.p＝4 B.DF＝FAC.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4解析如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線m交x軸于點(diǎn)P，則｜PF｜＝p，由于直線l的斜率為3，所以傾斜角為60°，因?yàn)锳E∥x軸，所以