2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)歸類復(fù)習(xí)-七十五：平行四邊形

2021中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)歸類復(fù)習(xí)——專題七十五：平行四邊形

1.如圖，AM//BN,C是冊(cè)上一點(diǎn)，劭平分乙謝且過4c的中點(diǎn)。，交AM于點(diǎn)、D,DELBD,交融于點(diǎn)反

(1)求證：XADgXCBQ.

(2)求證：四邊形被笫是菱形.

(3)若DE=AB=2,求菱形屈力的面積.

2.已知：如圖，在長方形被笫中，AB=4cm,BC=6cm,點(diǎn)、E為AB中點(diǎn)、,如果點(diǎn)尸在線段用1上以每秒2c必

的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)0在線段沖上由點(diǎn)。向點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，若某一時(shí)

刻△族與△朋全等，求此時(shí)力的值及點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度.

3.如圖，在菱形儂刀中，0是對(duì)角線加上中點(diǎn)，尸為線段初上一點(diǎn)，連接尸。并延長交加于點(diǎn)0.

(1)求證：XODgXOBP；

(2)連結(jié)DP,若DPLBC,BC=4,NA力=60°,求尸0的長.

4.如圖，已知正方形儂力，0為物的中點(diǎn)，BE平分4DBC,交加于點(diǎn)￡,延長比到點(diǎn)￡使CF=CE,連

結(jié)DF,交物的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)華.

(1)求證：XBC瞄XDCF.

(2)求證：BF=20G.

5.如圖，四邊形被力為菱形，￡為對(duì)角線ZC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與力，C重合)，連接應(yīng)并延長交射線四

(1)求證：XDC昭XBCE；

(2)求證：2AFg4EBC;

(3)若/必歸=90。，當(dāng)△頗為等腰三角形時(shí)，求N&方的度數(shù).

6.如圖在△上中，/胡。=120°,以優(yōu)1為邊的外作等邊三角形△比4把△板繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)60。到△員。的位置，若止=3c〃，AC=2cm.

(1)求NBA。的度數(shù)

(2)求9的長.

7.如圖，已知AABC,直線N垂直平分4C,與邊形交于瓦連接出過點(diǎn)C作CF平行于54交收于點(diǎn)尸,

連接加：

(1)求證：XAEI運(yùn)XCFD；

(2)求證：四邊形儂尸是菱形.

(3)若4=3,A￡=5,則菱形4瓦產(chǎn)的面積是多少？

0\

8.如圖，在四邊形眼如中，AB=AD,CB=CD,E是切上的點(diǎn)，BE交AC于熱F,連接砒

(1)求證：/BAF=/DAF,/AFD=/CFE；

(2)蘢ABHCD、試證明：四邊形極力是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定點(diǎn)￡的位置，恨得/EFD=/BCD,并說理由.

B

9.已知。=或，CD=CE,NACB=NDCE=9Q°,連劭，AE,產(chǎn)為形的中點(diǎn)，逐CF.

'F=^BD,且CFLBD；

(1)如圖1,點(diǎn)。，E分別在。，龍上，求證：C

(2)如圖2,將aa應(yīng)繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,其它條件不變，此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍成立？并證

明你的結(jié)論.

/a

BECBC

圖1圖2

10.如圖，菱形屈力中，對(duì)角線4G切交于。點(diǎn)，DE//AC,CE//BD.

(1)求證：四邊形比黝為矩形；

(2)在比1上截取gCO,連接陽若力0=16,川=12,求四邊形冰切的面積.

11.在平面直角坐標(biāo)系*0中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱

這個(gè)三角形叫“和諧三角形"，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離

(1)已知4(2,0),8(0,4),<7(1,2),DC4,1),這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)。組成“和諧三角形”的點(diǎn)是,

“和諧距離”是;

(2)連接BD,點(diǎn)必〃是班上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)胴〃不重合)，點(diǎn)￡是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AEMN是以MN

為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)t的取值范圍；

(3)已知。。的半徑為2,點(diǎn)尸是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△"?是“和諧三角形”，且

“和諧距離”是2,請(qǐng)描述出點(diǎn)0所在位置.

12.如圖，在菱形的>中，4。和即相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的線段廝與一組對(duì)邊相，切分別相交于點(diǎn)區(qū)F.

(1)求證：AE=CF；

(2)若四=2,點(diǎn)￡是相中點(diǎn)，求郎的長.

13.綜合應(yīng)用題：如圖，有一副直角三角板如圖①放置(其中NA45°,NO=30°),PA、PB與直線MN

重合，且三角板為C,三角板加均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(2)4DPC=；

(2)如圖②，若三角板板保持不動(dòng)，三角板NR4C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)一周三角

板就停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為多少時(shí)，有尸加仍成立；

(3)如圖③，在圖①基礎(chǔ)上，若三角板為。的邊刃從現(xiàn)處開始繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同

時(shí)三角板的的邊依從掰處開始繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，(當(dāng)尸C轉(zhuǎn)到與掰重合時(shí)，兩三角

板都停止轉(zhuǎn)動(dòng))，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/。少=/喇求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少？

14.如圖，在矩形的?中，作對(duì)角線切的垂直平分線跖垂足為點(diǎn)0,分別交池，初于點(diǎn)E,F,連接

BE,DF.

(1)求證：四邊形班班■是菱形；

(2)若AE=OF,BF=2,連接饗求比'的長.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)力為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)6的坐標(biāo)為(4,

4),連接陽動(dòng)點(diǎn)尸在射線40上(點(diǎn)尸不與點(diǎn)0、點(diǎn)Z重合)，點(diǎn)C在線段5。的延長線上，連接陽、PC,

PB=PC,設(shè)8的長為x.

(1)填空：線段處的長=,線段①的長=；

(2)求死的長，并用含x的代數(shù)式表示.

16.在△胸中，過力作紀(jì)的平行線，交NZ龍的平分線于點(diǎn)，，點(diǎn)￡是比'上一點(diǎn)，連接陽交四于點(diǎn)

F,NDE濟(jì)NCAD=18Q".

(1)如圖1,求證：四邊形4的是菱形；

(2)如圖2,G是四的中點(diǎn)，〃是〃'邊中點(diǎn)，連接EG、EH,若NZ龍=90°,BC=2AC,在不添加任

何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中與△物全等的三角形(不含△糊本身).

17.【猜想】如圖1,在平行四邊形被切中，點(diǎn)。是對(duì)角線ZC的中點(diǎn)，過點(diǎn)0的直線分別交地.死于點(diǎn)反尸.若

平行四邊形松力的面積是8,則四邊形點(diǎn)印的面積是.

D

【探究】如圖2,在菱形的?中，對(duì)角線相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。的直線分別交血，BC于點(diǎn)E,F,若/。=5,

〃二10,求四邊形儂F的面積.

【應(yīng)用】如圖3,在Rt△板中，N540=90°,延長a1到點(diǎn)。，便DC=BC,連結(jié)必若40=3,仍=2萬,

則△板的面積是.

2021中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)歸類復(fù)習(xí)——專題七十五：平行四邊形參考答案

1.如圖，AM//BN,C是冊(cè)上一點(diǎn)，劭平分乙謝且過4c的中點(diǎn)。，交AM于點(diǎn)、D,DELBD,交融于點(diǎn)反

(1)求證：XADgXCBQ.

(2)求證：四邊形被笫是菱形.

(3)若DE=AB=2,求菱形屈力的面積.

【答案】解：(1)證明：?.?點(diǎn)。是ZC的中點(diǎn)，

：.AO=CO,

'：AM//BN,

：.4DAC=4ACB,

，ZDA0=ZBC0

在△/如和△頌中，，A0=C0,

ZAOD=ZCOB

:.XADO^XCBO(AS4)；

(2)證明：由(1)得△"修△必0,

：.AD=CB,

又：：AM"BN,

：.四邊形儂力是平行四邊形，

'：AM//BN,

：./LADB=ZCBD,

■:BD平分NABN,

:.NABg/CBD,

:.NABD=NADB,

：.AD=AB,

.?.平行四邊形的?是菱形；

(3)解：由(2)得四邊形被力是菱形，

：.ACLBD,AD=CB,

頭DE1BD,

：.AC//DE,

'：AM//BN,

二四邊形ACED是平行四邊形，

：.AC=DE=2,AD=EC,

：.EC=CB,

?.?四邊形儂》是菱形，

：.EC=CB=AB=2,

：.EB=\,

在Rt△麗中，由勾股定理得切=而貳修=值多=2次,

??-S菱形ABCD4AC'BD=iX2x2?=2?.

2.已知：如圖，在長方形儂力中，AB=4cm,a-6頌，點(diǎn)￡為四中點(diǎn)，如果點(diǎn)尸在線段a'上以每秒2頌

的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)0在線段如上由點(diǎn)C向點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，若某一時(shí)

刻△鹿1與全等，求此時(shí)t的值及點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度.

【答案】解：設(shè)點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s,則BP=2t,CP=6-2t,BE=2,CQ=vt.

由題可分兩種情況：

(7)/\BPE^/\CPQ,則BP=CP,BE=CQ,

?*.2t=6-2t,2=vt,

,t=曰，…（5分）

（2J）XBP瞄XCQP,貝！IBP=CQ,BE=CP,

'.2t=vt,2=6-2t.

：.t=2,v=2.???（10分）

綜上所述，t的值為■1?秒時(shí)，0點(diǎn)的速度為日cWs；或t的值為2秒，。點(diǎn)的速度為2cm/s.-（11分）

3.如圖，在菱形四切中，。是對(duì)角線加上中點(diǎn)，尸為線段返上一點(diǎn)，連接尸。并延長交地于點(diǎn)0.

（1）求證：△如?△闞

（2）連結(jié)DP,若DP工BC,於=4,N比7=60°,求尸0的長.

【答案】證明：（1）I?四邊形屈力是菱形

：.AD//BC,

：.^ADB=ZDBC,且B0=D0,ZD0Q=ZB0P

二△汝匣△酒（ASA}

（2）?四邊形屈力是菱形

：.BC=CD,且/及力=60°

...△A笫是等邊三角形

'：DPLBC,BC=4

：.BP^PC=2

'：/XODQ^/XOBP

：.QD=BP=2

：.PC=QD=2,豆AD"BC

：.四邊形比附是平行四邊形，

,CD=PQ=4

4.如圖，已知正方形儂力，0為助的中點(diǎn)，BE平分4DBC,交加于點(diǎn)￡延長a1到點(diǎn)E便CXCE,連

結(jié)DF,交座1的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)田.

(1)求證：XBC3XDCF.

(2)求證：BF=20G.

【答案】解：(1)?.,四邊形松必是正方形,

：.ZBCE=ZDCF=9Q°,BC=DC,

在工BCE和4DCF中

'BC=CD

<ZBCE=ZDCF

CE=CF

:ZC昭ADCF(S4S).

(2)，：ABC瞄ADCF,

:./CBE=4FDC,2F=NBEC,

,:BG斗分4DBC,

：.2DBG=NCBE=4FDC,

：.4BEC=4DB伊2BDC=4FDC+4BDC=ZBDF,

：.ABDF=^F,

<NBCE=9Q°,

:.NEBONBEC=9Q°,

，：2FDC=/CBE,Z.DEG=^BEC,

：.NFDaNDEG=90°,

:.NBGD=180°-90°=90°,

：.BGLDF,

"：BD=BF,

：.GD=FG,

又?：BO=OD,

：.BF=20G.

5.如圖，四邊形儂刀為菱形，后為對(duì)角線〃1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與4C重合)，連接應(yīng)1并延長交射線四

于點(diǎn)凡連接班1.

(1)求證：4DCE叁4BCE；

(2)求證：4AFD=4EBC；

(3)若NZMQ90°,當(dāng)△啊'為等腰三角形時(shí)，求的度數(shù).

【答案】解：(1)證明：?.?四邊形似力是菱形，

ACD=AB,NACD=NACB,

在△腔■和△aE1中，

fDC=CB

'ZDCE=ZBCE?

EC=EC

；.△及碎△況F(5^S),

(2),:△DCE^XBCE,

：.^CDE=ACBE,

'：CD//AB,

：.4CDE=4AFD,

：.^EBC=^AFD,即NF=NEBC；

(3)解：分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)月在四延長線上時(shí)，

D______________C

用戶為鈍角，

:.只能是BE=BF,

設(shè)NBEF=NBFE=x0,

可通過三角形內(nèi)角形為180°得：90+X+A+X=180,

解得：x=30,

:.NEFB=3Q°；

②如圖2,當(dāng)尸在線段初上時(shí),

圖2

<NEFB為銳角,

,只能是陽=用，設(shè)NBEF=NEBF=x°,則有N"Z)=2x。，

可證得：ZAFD=ZFDC=ZCBE,

得A+2X=90,

解得：x=30,

:.NEF4120".

綜上：N430°或120°.

6.如圖在△被7中，N的戶120°,以a'為邊的外作等邊三角形△及笫，把△板繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)60°到△瓦》的位置，若AB=3cm,AC=2cm.

(1)求N5切的度數(shù)

(2)求助的長.

【答案】解：(1)?.,把△板繞〃點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,到△町位置,

■:NBAa/BDC=l80°,

二乙奶出4gl80°,

■:NDCE=2ABD,

：.ZACI^-ZDCE=18Q°,

：.A,C,￡共線，

：.^ADE=^°,AD=DE,

.?.△4應(yīng)是等邊三角形，

：.ZEAD=ZE=60°,

'：ZBAC=120°,

:.NBAD^NE=60°；

(2)由旋轉(zhuǎn)知，NDCE=NABD=NCB訃NABC=60°+NABC,

?:NMGN4cs=180°-120°=60°,

:.NDC拱ZACmNBCD=60°+NMGN力朋60°=180°

.?.點(diǎn)2、C、￡在一條直線上，

：./BAD=/BAC-/DAE=\2Q°-60°=60°.

?.?點(diǎn)力、C、￡在一條直線上，

:.AE=AC+CE.

?△板繞著點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△￡5，

/.CE=AB,

：.AE=A&AB=2+3=5.

???△4歌為等邊三角形,

：.AD=AE=5cm.

7.如圖，已知△被7,直線尸0垂直平分HC,與邊AB交于E,連接您過點(diǎn)C作CF平行于54交尸0于點(diǎn)尸,

連接小

(1)求證：XAE陽XCFD；

(2)求證：四邊形幽才是菱形.

(3)若4)=3,四=5,則菱形4&F的面積是多少？

B

【答案】解：(1)由作圖知：可為線段ZC的垂直平分線,

：.AE=CE,AD=CD,

'：CF//AB,

：.2EAC=NFCA,/LCFD=Z.AED,

在△力切與△口叨中，

"ZEAC=ZFCA

<AD=CD，

,ZCFD=ZAED

:ZE哈ACFD；

(2),:XAE咯XCFD,

：.AE=CF,

?.?即為線段47的垂直平分線，

：.EC=EA,FC=FA,

：.EC=EA=FC=FA,

...四邊形儂聲為菱形.

(3)'：AD=3,AE=5,

二根據(jù)勾股定理得：切=4,

:.EF=8,AC=6,

=

,.S裳贅ABCF=8X6~224,

二菱形四CF的面積是24

8.如圖，在四邊形的如中，AB=AD,CB=CD,￡是切上的點(diǎn)，四交然于點(diǎn)凡連接加

(1)求證：NBAF=/DAF,NAFD=/CFE；

(2)羌ABHCD、試證明：四邊形的?是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定點(diǎn)后的位置，使得/⑸叨=/65，并說理由.

【答案】證明：(1)在△板1和△被7中

'AB=AD

,<CB=CD，

AC=AC

二△四屋△血

：.ZBAC=ZDAC,

在4ABF和AADF中

AB=AD

,ZBAF=ZDAF,

AF=AF

:.XAB陽XADF,

:"AFB=4AFD,

?：￡CFE=^AFB,

,NAFD=NCFE,

：、/BAF=/DAC、/AFD=4CFE;

(2)*：AB//CD.

：?KBAC=4ACD,

V/BAC=/DAC,

"BAC=/ACD,

：?￡DAC=&CD,

：.AD=CD.

?:AB=AD,CB=CD,

：.AB=CB=CD=AD,

???四邊形儂》是菱形；

(3)???四邊形松力是菱形,

：.BC=CD./BCF=4DCF,

“：CF=CF,

，△為冷△姐

:?/CBF=/CDF,

'：BEVCD,

:.NBEC=』DEF=9N,

:.NEFD=/BCD.

9.已知。=傲CD=CE,NACB=NDCE=90°,連BD,AE,尸為熊的中點(diǎn)，連CF.

(1)如圖1,點(diǎn)。，E分別在田上，求證：CF=^BD,且CF1BD；

(2)如圖2,將△碗'繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，其它條件不變，此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍成立？并證

明你的結(jié)論.

【答案】解：(D在4ACE和4BCD中,

'CA=CB

■:ZACE=ZBCD=90°,

CE=CD

:.AACEqXBCDQSAS)、

：.AE=BD,NCAE=NCBD,

?尸為力￡中點(diǎn)，N4390。，

:.FC=AF=\AE,

：.CF=^BD,ACAE=AACF,

：.^CBD=AACF,

：.ACBD^ABCF=Z.ACF^ZBCF=ZBCD=90°,

:.CF1BD；

(2)此時(shí)仍有CF=^BD.CFA.BD,

延長"'至G,使R7=CF,連接而，

在△屆C和△/石■中,

fEF=AF

；ZEFC=ZAFG.

CF=GF

:ZF微XAFG(.SAS),

：.GA=CE,4FEC=/FAG,

：.AG//EC,AG=CD,

而GNg=180°,

又?:ZBCD^ZECA=NBCA+NACD^NECA=NBC9NECD=180°,

：.ZGAC=ZBCD,

在△敗和AOG中，

'BC=CA

；ZBCD=ZCAG.

CD=AG

:ZC噲ACAG(545),

/.CG=BD,ACBD=AACG,

：.CF=^BD,NCB決ZBCF=2BCA=W,

:.CF工BD.

10.如圖，菱形儂7?中，對(duì)角線47、劭交于0點(diǎn)，DE//AC,CE//BD.

(1)求證：四邊形況9為矩形；

(2)在比'上截取連接陽若4^=16,儂=12,求四邊形阪刀的面積.

【答案】(1)證明：'：DE//AC,CE//BD,

二四邊形況初為平行四邊形，

又?.?四邊形期小是菱形，

：.ACYBD,

：.ZDOC=90°,

二四邊形況勖為矩形；

(2)解：作■FHL0C千懸H,如圖所示：

?.?四邊形被》是菱形，

：.AC1.BD,0D=0B=—BD=&,0A=0C=—AC=8,

22

?5AW="^0D*0C=24,

在Rt△敗'中，^VOB2-K)C2=1O>sinZft^=-1^-=-|,

在Rt2\CR7中，CF=C0=8,sin^HCF=—=—,

FC5

394

：.FH=—CF=—,

55

96

??S^OCF=-10C'FH=

~5

11.在平面直角坐標(biāo)系x處中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱

這個(gè)三角形叫“和諧三角形"，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離

(1)已知4(2,0),8(0,4),C(l,2),以4,1),這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)。組成“和諧三角形”的點(diǎn)是,

“和諧距離”是;

(2)連接BD,點(diǎn)必〃是加上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)必〃不重合)，點(diǎn)￡是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AEMN是以MN

為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)1的取值范圍；

(3)已知。。的半徑為2,點(diǎn)尸是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△0W是“和諧三角形"，且

“和諧距離”是2,請(qǐng)描述出點(diǎn)0所在位置.

【答案】解：(D由題意得，當(dāng)4(2,0),B(0,4)與原點(diǎn)。構(gòu)成三角形時(shí)，滿足圓周角定理，即點(diǎn)兒

方能與點(diǎn)。組成“和諧三角形”

?：22+42=2^/^,

二和諧距離”是、而，

故答案為：A,B；逐；

(2)根據(jù)題意作圖如圖1,以劭為直徑，線段加的中點(diǎn)為圓心，當(dāng)點(diǎn)后在如圖的所示的位置時(shí),

求得力的值為：■或

...點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)方的取值范圍為：

(3)如圖3,當(dāng)尸0為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，2我為半徑的圓上；

當(dāng)OQ為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓上.

12.如圖，在菱形的?中，4C和即相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0的線段跖與一組對(duì)邊相，切分別相交于點(diǎn)￡,F.

(1)求證：AE=CFx

(2)若四=2,點(diǎn)￡是四中點(diǎn)，求郎的長.

【答案】(1)證明：?.?四邊形協(xié)切是菱形，

：.A0=C0,AB//CD,

:.乙EA0=4FCO,Z.AE0=Z.CF0.

在和戶中，

"ZEA0=ZFC0

,A0=C0,

ZAE0=ZCF0

:ZQE^XCOF,

:.AE=CF；

(2)???￡是四中點(diǎn)，

：.BE=AE=CF.

'：BE//CF,

：.四邊形啊T是平行四邊形，

'：AB=2,

：.EF=BC=AB=2.

13.綜合應(yīng)用題：如圖，有一副直角三角板如圖①放置(其中NA45°,ZC=30"),PA、PB與直線MN

重合，且三角板*C,三角板加均可以繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(2)2DPC=；

(2)如圖②，若三角板板保持不動(dòng)，三角板NB4c繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)一周三角

板為C就停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為多少時(shí)，有尸勿如成立；

(3)如國③，在圖①基礎(chǔ)上，若三角板玄。的邊必從剛處開始繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同

時(shí)三角板加的邊陽從掰處開始繞點(diǎn)夕逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2。/秒，(當(dāng)尸C轉(zhuǎn)到與掰重合時(shí)，兩三角

板都停止轉(zhuǎn)動(dòng))，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/CPD=2BPM,求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少？

【答案】解：(1)?:NBPD=ND=鉗,ZAPC=60°,

：.ZDPC=180°-45°-60°=75°,

故答案為：75°；

(2)如圖1,此時(shí)，切〃R?成立，

'：PC//BD,N班產(chǎn)=90°,

：.2LCPN=ADBP=^°,

VZ<?=30o,

.,.ZCR4=60",

：.ZAPN=30°,

?..轉(zhuǎn)速為10°/秒，

二旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒；

如圖2,PC//BD,

'：PC//BC,NPBD=9Q°,

:.NCPB=NDBP=90",

"：ZC=30°,

：.ZCPA=60°,

：.ZAPM=3Q°,

?.?三角板為C繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃的角度為180°+30°=210°,

?.?轉(zhuǎn)速為10。/秒，

二旋轉(zhuǎn)時(shí)間為21秒，

綜上所訴，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3或21秒時(shí)，PC//DB成立;

(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為大秒，由題知，匕APN=3t",^BPM=2t°,

:./BPN=\8y-Z^=180°-2t°,

.,.ZCRP=360o-NBPD-NBPN-NAPN-NAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3t°)-60°=75°

-t0,

當(dāng)4CPD=4BPM,即2廣=75°-t°,

解得：t=25,

，當(dāng)NCPD=NBPM,求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是25秒.

14.如圖，在矩形屈笫中，作對(duì)角線班的垂直平分線跖垂足為點(diǎn)。，分別交初，死于點(diǎn)區(qū)F,連接

BE,DF.

（1）求證：四邊形冰場(chǎng)1是菱形；

（2）若AE=OF,BF=2,連接做求比1的長.

【答案】（1）證明：I?四邊形儂力是矩形,

：.AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

:跖垂直平分劭，

:.BgDO,

在△次花1和△呼中，

<ZADB=ZCBD

<BO=DO,

ZDOE=ZBOF

:.△DO昭XBQF3倒），

：.EO=FO,

：.四邊形砌力是平行四邊形，

■:EF1BD,

二四邊形砌刃是菱形；

?.?四邊形儂》是矩形，

.?.N4=N3=90°,

由（1）得：四邊形質(zhì)宏是菱形;

：.EO=FO,NEBO=/FBO,

■:AE=OF,

：.AE=EO,

?；AE上AB,EOLBO,

：./ABE=/OBE,

:.NABE=N0BE=NFBO=//應(yīng)C=3Q。,

在Rt△胸中，BF=2,

:.0B=V3，

?.?在Rta8應(yīng)中，宓是斜邊加上的中線，

：,OC-|BD=V3-

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)/為X軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(4,

4),連接陽動(dòng)點(diǎn)尸在射線40上(點(diǎn)戶不與點(diǎn)0、點(diǎn)4重合)，點(diǎn)C在線段加的延長線上，連接/KPC,

PB=PC,設(shè)。的長為x.

(1)填空：線段處的長=,線段如的長=；

(2)求比1的長，并用含x的代數(shù)式表示.

【答案】解：(1)'：B(4,4),四邊形而切是正方形,

：.0A=AB=DB=0D=4,Z04B=90°,

：-0B=7OA2+AB2=3+42=4近,

故答案為4,4&.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段如上時(shí)，作PH工0B千H.

,：AP0H=45°,Z/W=90",

：.^P0If=A0PH=^>°,

V2

：,0H=PH=-^0P=

2

：.BH=0B-0H=4

"：PC=PB,PHLBC,

:.BC=2BH=8e1-近x.

當(dāng)點(diǎn)尸在ZO的延長線上時(shí)，同法可得比=8后

16.在△腕中，過力作6。的平行線，交的平分線于點(diǎn)〃，點(diǎn)￡是比上一點(diǎn)，連接應(yīng)，交四于點(diǎn)

F,NDE濟(jì)/CAD=18G°.

(1)如圖1,求證：四邊形/