微積分 第7版 課件 第一章 函數(shù)與極限

1微積分（經(jīng)濟類與管理類）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)的類別與基本性質(zhì)第二節(jié)幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式第三節(jié)極限的概念與基本運算法則第四節(jié)無窮大量與無窮小量第五節(jié)未定式極限第六節(jié)兩個重要極限第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2本章思維導(dǎo)圖第一節(jié)

函數(shù)的類別與基本性質(zhì)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念掌握函數(shù)的類別能熟練分解復(fù)合函數(shù)04本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握函數(shù)的類別了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念能熟練分解復(fù)合函數(shù)引導(dǎo)案例---個人所得稅問題2019年1月1日起施行新修改的《中華人民共和國個人所得稅法》，對于工資薪金所得計稅時適用新的基本減除費用標(biāo)準(zhǔn)（5,000元/月）。個人所得稅稅率表（綜合所得適用）如下：1.若工資薪金個人全年應(yīng)納稅所得額為x元，請寫出個人所得稅金額y與x之間的關(guān)系。2.以北京地區(qū)為例，某公司小王每月工資中應(yīng)納稅額10,000.00元，計算他應(yīng)繳納個稅為多少？一、基本初等函數(shù)首先討論基本初等函數(shù),它共有六大類.1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個,它們的定義域D=(-∞,+∞)2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個,它們的定義域D與指數(shù)α的值有關(guān),但無論指數(shù)α的值等于多少,恒有D?(0,+∞).83.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個,它們的定義域D=(-∞,+∞).4.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個,它們的定義域D=(0,+∞)95.三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)有六個,主要是四個:正弦函數(shù)y=sinx,定義域D=(-∞,+∞);余弦函數(shù)y=cosx,定義域D=(-∞,+∞);余切函數(shù)y=cotx,定義域D=(0,π).此外尚有正割函數(shù)y=secx與余割函數(shù)y=cscx.在本門課程中,一律以弧度作為度量角的單位.10

6.反三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)也有六個,主要是四個:

反余弦函數(shù)y=arccosx,定義域D=[-1,1],值域G=[0,π];

反余切函數(shù)y=arccotx,定義域D=(-∞,+∞),值域G=(0,π).基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).11二、函數(shù)改變量考慮函數(shù)y=f(x),自變量取值皆屬于定義域,在屬于定義域的點x0處,當(dāng)自變量有了改變量Δx≠0,即自變量取值從x0變化到x0+Δx,這時相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到f(x0+Δx),因而函數(shù)也有了改變量,函數(shù)改變量記作Δy=f(x0+Δx)-f(x0)一般地,對于函數(shù)y=f(x),在屬于定義域的任意點x處,若自變量有了改變量Δx≠0,則函數(shù)改變量為Δy=f(x+Δx)-f(x)特別對于常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),函數(shù)改變量為f(x+Δx)-f(x)=c-c=012三、分解復(fù)合函數(shù)在進行微積分運算時,有時需要分解復(fù)合函數(shù)分解自變量為x的復(fù)合函數(shù)y是指:令中間變量u等于復(fù)合函數(shù)y中作最后數(shù)學(xué)運算的表達(dá)式,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x).若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù),則分解終止;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u(x).13例1

14例2分解復(fù)合函數(shù)y=lglgx解:這個復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運算是表達(dá)式lgx作為真數(shù)取對數(shù)運算,因而令中間變量u=lgx,所以復(fù)合函數(shù)y=lglgx分解為y=lgu與u=lgx15例3分解復(fù)合函數(shù)y=cos45x解:這個復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運算是表達(dá)式cos5x作為底求冪運算,因而令中間變量u=cos5x,所以復(fù)合函數(shù)y=cos45x分解為y=u4與u=cos5x但函數(shù)u=cos5x仍為復(fù)合函數(shù)這個復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運算是表達(dá)式5x作為角度求正弦運算再令中間變量v=5x,繼續(xù)將復(fù)合函數(shù)u=cos5x分解為u=cosv與v=5x16為了微積分運算的需要,有的簡單函數(shù)可以看作是復(fù)合函數(shù)而進行分解如簡單函數(shù)y=(1+x3)10是30次多項式,

分解為y=u10與u=1+x3

17四、初等函數(shù)的定義定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次的復(fù)合運算構(gòu)成的,且用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式表示,則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù).除初等函數(shù)外,還有分段函數(shù).18分段函數(shù)定義定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個區(qū)間,若在各個區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,但單獨定義各個區(qū)間公共端點處的函數(shù)值;或者在各個區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).其中定義域所分成的有限個區(qū)間稱為分段區(qū)間,分段區(qū)間的公共端點稱為分界點,同時假定分段函數(shù)在各個分段區(qū)間上的對應(yīng)規(guī)則都是初等函數(shù)表達(dá)式.19如何計算分段函數(shù)？如何計算分段函數(shù)的函數(shù)值?觀察分段函數(shù)在各分段區(qū)間上的對應(yīng)規(guī)則與在各分界點處的取值,明確所給自變量取值屬于哪個分段區(qū)間或分界點再用該分段區(qū)間上的數(shù)學(xué)表達(dá)式計算函數(shù)值或等于該分界點處的函數(shù)取值20如分段函數(shù)

在點x=0處的函數(shù)值f(0)=3×0-1=-1,在點x=1處的函數(shù)值f(1)=12+1=2。21五、函數(shù)的基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域為D,對于任意點x∈D若恒有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)若恒有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖形對稱于原點,偶函數(shù)的圖形對稱于縱軸.當(dāng)然,許多函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù).22例4判斷函數(shù)f(x)=x2sinx的奇偶性解:由于關(guān)系式f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x)所以函數(shù)f(x)=x2sinx為奇函數(shù)23例5判斷函數(shù)f(x)=x4-3x2的奇偶性解:由于關(guān)系式所以函數(shù)f(x)=x4-3x2為偶函數(shù).f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x)242.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,若存在一個常數(shù)M>0,使得對于所有點x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界.25例6判斷函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)的有界性.解:在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi),無論自變量即角度x取值等于多少恒有|f(x)|=|sinx|≤1所以函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有界.26例7

解:在區(qū)間(0,1)內(nèi),自變量即分母x取值可以無限接近于零

說明對于任意正的常數(shù),都存在充分接近于原點的點x,使得函數(shù)絕對值大于它

273.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)有定義,對于開區(qū)間J內(nèi)的任意兩點x1,x2,當(dāng)x2>x1時若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.28函數(shù)單調(diào)增加與函數(shù)單調(diào)減少統(tǒng)稱為函數(shù)單調(diào),單調(diào)增加區(qū)間與單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)說明因變量與自變量一一對應(yīng),它存在反函數(shù),反函數(shù)也單調(diào).函數(shù)單調(diào)增加,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而增大,函數(shù)曲線上升函數(shù)單調(diào)減少,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而減小,函數(shù)曲線下降294.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點x0處及其左右有定義,對于點x0左右很小范圍內(nèi)任意點x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點x0為函數(shù)f(x)的極大值點;若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點x0為函數(shù)f(x)的極小值點.30極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.極值是局部性的概念,它只是與極值點左右很小范圍內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值比較而得到的.極值點只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點,不能是給定區(qū)間的端點.顯然,單調(diào)函數(shù)無極值.315.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,且點x0∈I.對于任意點x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點若恒有f(x0)≤f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點.32最大值與最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點與最小值點統(tǒng)稱為最值點.最值是整體性的概念,它是與給定區(qū)間上的所有函數(shù)值比較而得到的.最值點可以是給定區(qū)間內(nèi)部的點,也可以是給定區(qū)間的端點.3334本次課程結(jié)束第二節(jié)

幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練建立幾何與經(jīng)濟方面的函數(shù)關(guān)系式并計算出其定義域了解經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式掌握幾何方面常見函數(shù)關(guān)系式一、幾何方面函數(shù)關(guān)系式矩形面積S等于長x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長x的平方,即S=x2矩形面積長方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h(yuǎn)的積,即V=Sh長方體體積37圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h(yuǎn)的積,即圓柱體體積側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長2πr與高h(yuǎn)的積,即V=πr2hS=2πrh38例1

欲圍一塊面積為216m2的矩形場地,矩形場地東西方向長xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場地隔成兩塊,試將墻的總長度Lm表示為矩形場地長xm的函數(shù).39例1解:已設(shè)矩形場地長為xm、寬為um,如圖由于矩形場地面積為216m2,因而有關(guān)系式xu=216,即

所以墻的總長度

40例2

欲做一個底為正方形、表面積為108m2的長方體開口容器,試將長方體開口容器的容積Vm3表示為底邊長xm的函數(shù).解:已設(shè)長方體開口容器底邊長為xm,再設(shè)高為hm,如圖41由于長方體開口容器表面積為108m2,它等于下底面積x2與側(cè)面積4xh之和,因而有關(guān)系式x2+4xh=108,即

所以長方體開口容器容積

42例3

欲做一個容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖43由于罐頭盒容積為V0,因而有關(guān)系式πr2h=V0,即

由于上、下底面積分別為πr2,側(cè)面積為2πrh,所以圓柱形封閉罐頭盒表面積

44二、經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)

在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)它包括兩部分:固定成本C0(廠房及設(shè)備折舊費、保險費等)、變動成本C1(材料費、燃料費、提成獎金等)固定成本C0不受產(chǎn)量x變化的影響,產(chǎn)量x=0時的總成本值就是固定成本,即C0=C(0);變動成本C1受產(chǎn)量x變化的影響,記作C1=C1(x)于是總成本C=C(x)=C0+C1(x)45經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式(2)平均單位成本

在討論總成本的基礎(chǔ)上,還要進一步討論均攤在單位產(chǎn)量上的成本.均攤在單位產(chǎn)量上的成本稱為平均單位成本,記作

46(3)總收益函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價格p的積.若銷售價格p為常數(shù),則總收益R為產(chǎn)量x的正比例函數(shù),即R=R(x)=px若考慮產(chǎn)品銷售時的附加費用、折扣等因素,這時作為平均值的銷售價格p受產(chǎn)量x變化的影響,不再為常數(shù),記作p=p(x),則總收益R=R(x)=xp(x)47(4)總利潤函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)48(5)需求函數(shù)

銷售商品時,應(yīng)密切注意市場的需求情況,需求量Q當(dāng)然與銷售價格p有關(guān),此外還涉及消費者的數(shù)量、收入等其他因素,若這些因素固定不變,則需求量Q為銷售價格p的函數(shù),這個函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p)一般說來,當(dāng)商品提價時,需求量會減少;當(dāng)商品降價時,需求量就會增加.因此需求函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù)49說明：

在理想情況下,商品的生產(chǎn)既滿足市場需求又不造成積壓.這時需求多少就銷售多少,銷售多少就生產(chǎn)多少,即產(chǎn)量等于銷售量,也等于需求量,它們有時用記號x表示,也有時用記號Q表示.本門課程討論這種理想情況下的經(jīng)濟函數(shù).50例4某產(chǎn)品總成本C萬元為年產(chǎn)量xt的函數(shù)C=C(x)=a+bx2其中a,b為待定常數(shù).已知固定成本為400萬元,且當(dāng)年產(chǎn)量x=100t時,總成本C=500萬元

51解:由于總成本C=C(x)=a+bx2,從而當(dāng)產(chǎn)量x=0時的總成本C(0)=a,說明常數(shù)項a為固定成本,因此確定常數(shù)a=400再將已知條件:x=100時,C=500代入到總成本C的表達(dá)式中,得到關(guān)系式500=400+b·1002從而確定常數(shù)

52于是得到總成本函數(shù)表達(dá)式

所以平均單位成本

53例5某產(chǎn)品總成本C元為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)

產(chǎn)品銷售價格為p元/kg,它與日產(chǎn)量xkg的關(guān)系為

試將每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L元表示為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)54解:生產(chǎn)xkg產(chǎn)品,以價格p元/kg銷售,總收益為

又已知生產(chǎn)xkg產(chǎn)品的總成本為

所以每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤55

56上述討論的目的不僅是建立幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式,而是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究它們的性質(zhì),其中一個主要內(nèi)容是求它們的最值點,即討論幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化問題在例1中,矩形場地長x為多少時,才能使得墻的總長度L最短在例2中,長方體開口容器底邊長x為多少時,才能使得容器容積V最大57在例3中,圓柱形封閉罐頭盒底半徑r為多少時,才能使得罐頭盒表面積S最小

在例5中,日產(chǎn)量x為多少時,才能使得每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L最大5859本次課程結(jié)束

第三節(jié)

極限的概念與基本運算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點處的極限熟練掌握極限的基本運算法則理解極限的思想和概念案例1.劉徽---割圓術(shù)

古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”.其體現(xiàn)了樸素的極限思想，是最早用極限思想解決實際問題的。所謂割圓術(shù)，就是從圓內(nèi)接正六多邊形開始，不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的方法。即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的面積越接近圓的面積，進而來求得較為精確的圓周率。劉徽(約225年-約295年)，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。在中國數(shù)學(xué)史上作出了極大的貢獻，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。戰(zhàn)國時期哲學(xué)家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長為一尺的棒頭，每天截去一半，千秋萬代也截不完.”說明了物質(zhì)無限可分，人們對事物的認(rèn)識是沒有止境的道理。未看到量變到一定程度會引起質(zhì)變。實際上，每天截后剩下的棒的長度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（約公元前369—前286年）案例2.莊周---截杖問題第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數(shù)……；……這一列數(shù)就是一個數(shù)列.

隨著時間的推移，剩下的棒的長度越來越短.顯然,當(dāng)天數(shù)無限增大時,剩下的棒的長度將無限縮短,即剩下的棒的長度接近于數(shù)0.

這時我們就稱由剩下的棒的長度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作一、極限的概念考慮函數(shù)y=f(x),自變量x在變化過程中的取值一定屬于函數(shù)定義域,分下列兩種基本情況討論函數(shù)y=f(x)的變化趨勢.1.第一種基本情況自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點,這意味著自變量x的絕對值|x|無限增大,記作x→∞65x→∞包括兩個方向:一個是沿著x軸的負(fù)向遠(yuǎn)離原點,這時自變量x取值為負(fù)且|x|無限增大,記作x→-∞另一個則是沿著x軸的正向遠(yuǎn)離原點,這時自變量x取值為正且|x|無限增大,記作x→+∞因而x→∞意味著同時考慮x→-∞與x→+∞66例1

67定義1.8已知函數(shù)f(x)在自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點的情況下有定義,當(dāng)x→∞時,若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→∞時函數(shù)f(x)的極限為A,記作

注意到x→∞意味著同時考慮x→-∞與x→+∞.于是有下面的定理.68定理1.1

同時成立.69

根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例1中極限

70例2

解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖71容易看出:無論當(dāng)x?-∞時還是當(dāng)x?+∞時,對應(yīng)的函數(shù)y值在區(qū)間[-1,1]上振蕩,不能無限接近于任何常數(shù),所以極限

72

定理1.2732.第二種基本情況自變量x取值無限接近于有限點x0,記作x→x0應(yīng)注意的是:在x→x0的過程中,點x始終不到達(dá)點x0,即恒有x≠x0.x→x0包括兩個方向:

74例3

考慮函數(shù)y=2x+1,在點x=5左右,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)數(shù)值情況列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:當(dāng)x→5時,對應(yīng)的函數(shù)y值無限接近于常數(shù)1175定義1.9

已知函數(shù)f(x)在點x0左右有定義,當(dāng)x→x0時,若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)的極限為A,記作

76定理1.3

同時成立.77極限的概念這個定理說明:函數(shù)在有限點處極限存在的充分必要條件是左極限與右極限都存在且相等.

78極限的概念

由于在x→x0的過程中,恒有x≠x0,因而在一般情況下,函數(shù)f(x)在點x0處有無定義都不影響它在點x0處的極限情況.根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例3中極限

79極限的概念數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量,它們的極限統(tǒng)稱為變量極限.如果變量極限存在,則其極限是唯一的,其在極限過程中某時刻后有界.若變量y的極限為A,則記作limy=A以后只在討論對于數(shù)列極限與函數(shù)極限皆適用的一般性結(jié)論時,才能使用通用記號limy若已經(jīng)給出變量y的函數(shù)表達(dá)式,則不能使用通用記號,必須在極限記號下面標(biāo)明自變量的變化趨勢.顯然,常數(shù)c的極限等于c,即limc=c

(c為常數(shù))80二、極限的基本運算法則法則1如果極限limu與limv都存在,則極限lim(u±v)=limu±limv法則2如果極限limu與limv都存在,則極限limuv=limulimv法則3如果極限limu與limv都存在,且極限limv≠0,則極限

81法則4如果極限limu(x)存在,且函數(shù)值f(limu(x))有意義,則極限limf(u(x))=f(limu(x))法則5如果函數(shù)f(x)是定義域為D的初等函數(shù),且有限點x0∈D,則極限

82極限的基本運算法則推論1如果有限個變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv83例4

=lg(2+0)=lg284本來在一般情況下,函數(shù)在屬于定義域的有限點處的極限值與它在該點處的函數(shù)值沒有必然聯(lián)系,但法則5說明:

初等函數(shù)在屬于定義域的有限點處的極限值卻等于它在該點處的函數(shù)值,因此法則5解決了初等函數(shù)的基本極限計算

85繼續(xù)討論分段函數(shù)在分界點處的極限.

若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計算其極限;若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣,則應(yīng)分別計算其左極限與右極限,只有左極限與右極限都存在且相等,極限才存在.例5已知分段函數(shù)

86例5

87

88極限的基本運算法則定理1.4函數(shù)極限值與函數(shù)表達(dá)式中變量記號無關(guān).即:盡管變量u=u(x),恒有極限

8990本次課程結(jié)束第四節(jié)

無窮大量與無窮小量本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握無窮小量的階的定義能熟練判斷無窮小量、無窮大量掌握無窮小量、無窮大量的概念掌握無窮小量的性質(zhì)04一、無窮大量1.定義1.10若變量y的絕對值在變化過程中無限增大,則稱變量y為無窮大量,記作limy=∞或y→∞本來無窮大量的極限是不存在的,形式上稱它的極限為無窮大.無窮大量是指在變化過程中其絕對值無限增大,任何一個絕對值很大的常數(shù)都不為無窮大量,如常量函數(shù)y=1010不為無窮大量.93在無窮大量的變化過程中,它取值可能為正,也可能為負(fù).2.無窮大量有兩種特殊情況:一種是正無窮大量,這時無窮大量y在變化過程中的某一時刻后取值恒為正,記作limy=+∞或y→+∞另一種是負(fù)無窮大量,這時無窮大量y在變化過程中的某一時刻后取值恒為負(fù),記作limy=-∞或y→-∞94例1

通過深入的討論,可以得到:當(dāng)x→∞時,x的多項式也為無窮大量.953.無窮大量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1正無窮大量與正無窮大量的和仍為正無窮大量,負(fù)無窮大量與負(fù)無窮大量的和仍為負(fù)無窮大量性質(zhì)2無窮大量與無窮大量的積仍為無窮大量注意:無窮大量與無窮大量的代數(shù)和、無窮大量與無窮大量的商都不一定為無窮大量.下面再討論變量的另一種變化趨勢96二、無窮小量1.定義1.11若極限limy=0,則稱變量y為無窮小量無窮小量是指在變化過程中其絕對值無限減小,任何一個絕對值很小但不為零的常數(shù)都不為無窮小量如常量函數(shù)y=10-10不為無窮小量.但常量零為無窮小量,但不能認(rèn)為無窮小量就是零.97例2

982.無窮小量的性質(zhì)無窮小量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1無窮小量與無窮小量的和、差、積仍為無窮小量性質(zhì)2無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量注意:無窮小量與無窮小量的商不一定為無窮小量99例3

100

當(dāng)角度u(x)→∞時,函數(shù)sinu(x)與cosu(x)是常見的振蕩無極限的有界變量.3.極限存在的變量與無窮小量有什么聯(lián)系?考慮變量y的極限為A,意味著變量y無限接近于常數(shù)A,即變量y-A無限接近于常數(shù)零,說明變量y-A的極限為零,變量y-A當(dāng)然為無窮小量,于是有下面的定理.101極限存在與無窮小量的聯(lián)系定理1.5變量y的極限為A等價于變量y-A為無窮小量無窮大量與無窮小量有什么聯(lián)系?有下面的定理.102無窮大量與無窮小量的聯(lián)系定理1.6

推論如果極限limu≠0,limv=0,且變量v≠0,則極限

103例4

解:由于分子的極限

分母的極限

根據(jù)定理1.6的推論,所以分式的極限

104無窮小量雖然都是趨于零的變量,但它們趨于零的速度卻不一定相同,甚至差別很大

x0.10.010.0010.0001…x20.010.00010.0000010.00000001…0.320.10.0320.01…2x0.20.020.0020.0002…x2+x0.110.01010.0010010.00010001…105以無窮小量x作為比較標(biāo)準(zhǔn)時,無窮小量x2趨于零的速度比x要快,它們之比值的極限

106無窮小量2x趨于零的速度與x屬于同一檔次,它們之比值的極限

無窮小量x2+x趨于零的速度與x幾乎一樣,它們之比值的極限

107三、無窮小量的階定義1.12已知變量α,β都是無窮小量,以無窮小量β作為比較標(biāo)準(zhǔn).那么:

108無窮小量的階根據(jù)這個定義可知:

109110本次課程結(jié)束第五節(jié)

未定式極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203

了解未定式極限的定義掌握常見未定式極限的類型一、未定式極限定義

一般地,有下面的定義.113未定式極限定義1.13若僅已知變量各部分的極限,不足以確定這個變量的極限,還必須進一步知道各部分的表達(dá)式,才能確定變量極限,則稱這樣的極限為未定式極限.114二、未定式極限的類型未定式極限的類型共有七種,主要是三種:

類型2類型1若u→1,v→∞,則稱冪的極限limuv為1∞型未定式極限.類型3115

分下列三種基本情況討論比較簡單的未定式極限.116三、簡單的未定式極限第一種基本情況1.第一種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)分解因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.117例1

118簡單的未定式極限第二種基本情況2.第二種基本情況

解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它們的有理化因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.119例2

120簡單的未定式極限第三種基本情況3.第三種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)同除以它們中x的最高次冪,并應(yīng)用§1.3極限基本運算法則3與§1.4定理1.6及其推論.121簡單的未定式極限第三種基本情況考慮下面三個極限:

=∞

=0122簡單的未定式極限第三種基本情況總結(jié)上面三個極限可得到一般的結(jié)果:當(dāng)x→∞時,若分子最高冪次高于分母最高冪次,則有理分式極限為∞若分子最高冪次等于分母最高冪次,則有理分式極限為分子最高次冪系數(shù)與分母最高次冪系數(shù)的比值若分子最高冪次低于分母最高冪次,則有理分式極限為零.即

123例3

解:注意到分子100n為n的一次多項式,而分母n2+1為n的二次多項式,說明分子最高冪次低于分母最高冪次,從而極限

=00124例4

解:注意到當(dāng)x→3時,分母x-3的極限為零.在這種情況下,若分子的極限不為零,根據(jù)§1.4定理1.5的推論,則分式的極限為∞,即分式的極限不存在;現(xiàn)在既然已知分式的極限存在,則分子的極限必然為零.計算分子的極限,有

=6+k它應(yīng)該等于零,得到關(guān)系式6+k=0,因此常數(shù)k=-6-6125126本次課程結(jié)束第六節(jié)

兩個重要極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能利用第二個重要極限解決連續(xù)復(fù)利問題熟練掌握第一個重要極限及特征熟練掌握第二個重要極限及特征一、第一個重要極限

x0.20.10.050.02…0.99330.99830.99960.9999…129

根據(jù)§1.3定理1.3,第一個重要極限可以推廣為

1302.第一個重要極限的特征第一個重要極限具有兩個特征:特征1角度一定趨于零特征2分子是角度的正弦函數(shù),分母一定是這個

角度本身.1313.第一個重要極限的應(yīng)用

在應(yīng)用第一個重要極限時,自變量x不一定趨于零,它可以趨于非零常數(shù),但必須使得角度趨于零.132例1

=7×1=7133例2

134二、第二個重要極限

x…-10000-1000-100100100010000……2.7182.7202.7322.7052.7172.718…135

根據(jù)§1.3定理1.3,第二個重要極限可以推廣為

1362.第二個重要極限的特征第二個重要極限也具有兩個特征:特征1底一定是數(shù)1加上無窮小量特征2指數(shù)一定是底中無窮小量的倒數(shù)1373.第二個重要極限的應(yīng)用第二個重要極限應(yīng)用于求1∞型未定式極限,所求1∞型未定式極限同時滿足兩個特征時,極限值就等于e.所求1∞型未定式極限若具有第一個特征而不具有第二個特征,則可以通過冪恒等關(guān)系式等代數(shù)恒等變形,使其具有第二個特征,進而應(yīng)用第二個重要極限求解在應(yīng)用第二個重要極限時,自變量x不一定趨于無窮大,它可以趨于零,但必須使得底為數(shù)1加上無窮小量.根據(jù)§1.3的結(jié)論,第二個重要極限對于相應(yīng)的數(shù)列極限也是適用的.138例3

=e·1=e139例4

=e3140例5

=e-1141例6