微積分 第七版 課件 1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)

第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)的類別與基本性質(zhì)第二節(jié)幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式第三節(jié)極限的概念與基本運(yùn)算法則第四節(jié)無窮大量與無窮小量第五節(jié)未定式極限第六節(jié)兩個(gè)重要極限第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性1本章思維導(dǎo)圖第一節(jié)

函數(shù)的類別與基本性質(zhì)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念掌握函數(shù)的類別能熟練分解復(fù)合函數(shù)04本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握函數(shù)的類別了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念能熟練分解復(fù)合函數(shù)引導(dǎo)案例---個(gè)人所得稅問題2019年1月1日起施行新修改的《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》，對(duì)于工資薪金所得計(jì)稅時(shí)適用新的基本減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)（5,000元/月）。個(gè)人所得稅稅率表（綜合所得適用）如下：1.若工資薪金個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額為x元，請(qǐng)寫出個(gè)人所得稅金額y與x之間的關(guān)系。2.以北京地區(qū)為例，某公司小王每月工資中應(yīng)納稅額10,000.00元，計(jì)算他應(yīng)繳納個(gè)稅為多少？一、基本初等函數(shù)首先討論基本初等函數(shù),它共有六大類.1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞)2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D與指數(shù)α的值有關(guān),但無論指數(shù)α的值等于多少,恒有D?(0,+∞).73.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞).4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(0,+∞)85.三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)有六個(gè),主要是四個(gè):正弦函數(shù)y=sinx,定義域D=(-∞,+∞);余弦函數(shù)y=cosx,定義域D=(-∞,+∞);余切函數(shù)y=cotx,定義域D=(0,π).此外尚有正割函數(shù)y=secx與余割函數(shù)y=cscx.在本門課程中,一律以弧度作為度量角的單位.9

6.反三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)也有六個(gè),主要是四個(gè):

反余弦函數(shù)y=arccosx,定義域D=[-1,1],值域G=[0,π];

反余切函數(shù)y=arccotx,定義域D=(-∞,+∞),值域G=(0,π).基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)稱為簡(jiǎn)單函數(shù).10二、函數(shù)改變量考慮函數(shù)y=f(x),自變量取值皆屬于定義域,在屬于定義域的點(diǎn)x0處,當(dāng)自變量有了改變量Δx≠0,即自變量取值從x0變化到x0+Δx,這時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到f(x0+Δx),因而函數(shù)也有了改變量,函數(shù)改變量記作Δy=f(x0+Δx)-f(x0)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),在屬于定義域的任意點(diǎn)x處,若自變量有了改變量Δx≠0,則函數(shù)改變量為Δy=f(x+Δx)-f(x)特別對(duì)于常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),函數(shù)改變量為f(x+Δx)-f(x)=c-c=011三、分解復(fù)合函數(shù)在進(jìn)行微積分運(yùn)算時(shí),有時(shí)需要分解復(fù)合函數(shù)分解自變量為x的復(fù)合函數(shù)y是指:令中間變量u等于復(fù)合函數(shù)y中作最后數(shù)學(xué)運(yùn)算的表達(dá)式,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x).若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù),則分解終止;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u(x).12例1

13例2分解復(fù)合函數(shù)y=lglgx解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式lgx作為真數(shù)取對(duì)數(shù)運(yùn)算,因而令中間變量u=lgx,所以復(fù)合函數(shù)y=lglgx分解為y=lgu與u=lgx14例3分解復(fù)合函數(shù)y=cos45x解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式cos5x作為底求冪運(yùn)算,因而令中間變量u=cos5x,所以復(fù)合函數(shù)y=cos45x分解為y=u4與u=cos5x但函數(shù)u=cos5x仍為復(fù)合函數(shù)這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式5x作為角度求正弦運(yùn)算再令中間變量v=5x,繼續(xù)將復(fù)合函數(shù)u=cos5x分解為u=cosv與v=5x15為了微積分運(yùn)算的需要,有的簡(jiǎn)單函數(shù)可以看作是復(fù)合函數(shù)而進(jìn)行分解如簡(jiǎn)單函數(shù)y=(1+x3)10是30次多項(xiàng)式,

分解為y=u10與u=1+x3

16四、初等函數(shù)的定義定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的,且用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示,則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù).除初等函數(shù)外,還有分段函數(shù).17分段函數(shù)定義定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個(gè)區(qū)間,若在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,但單獨(dú)定義各個(gè)區(qū)間公共端點(diǎn)處的函數(shù)值;或者在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).其中定義域所分成的有限個(gè)區(qū)間稱為分段區(qū)間,分段區(qū)間的公共端點(diǎn)稱為分界點(diǎn),同時(shí)假定分段函數(shù)在各個(gè)分段區(qū)間上的對(duì)應(yīng)規(guī)則都是初等函數(shù)表達(dá)式.18如何計(jì)算分段函數(shù)？如何計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值?觀察分段函數(shù)在各分段區(qū)間上的對(duì)應(yīng)規(guī)則與在各分界點(diǎn)處的取值,明確所給自變量取值屬于哪個(gè)分段區(qū)間或分界點(diǎn)再用該分段區(qū)間上的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算函數(shù)值或等于該分界點(diǎn)處的函數(shù)取值19如分段函數(shù)

在點(diǎn)x=0處的函數(shù)值f(0)=3×0-1=-1,在點(diǎn)x=1處的函數(shù)值f(1)=12+1=2。20五、函數(shù)的基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)于任意點(diǎn)x∈D若恒有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)若恒有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn),偶函數(shù)的圖形對(duì)稱于縱軸.當(dāng)然,許多函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù).21例4判斷函數(shù)f(x)=x2sinx的奇偶性解:由于關(guān)系式f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x)所以函數(shù)f(x)=x2sinx為奇函數(shù)22例5判斷函數(shù)f(x)=x4-3x2的奇偶性解:由于關(guān)系式所以函數(shù)f(x)=x4-3x2為偶函數(shù).f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x)232.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對(duì)于所有點(diǎn)x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界.24例6判斷函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)的有界性.解:在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi),無論自變量即角度x取值等于多少恒有|f(x)|=|sinx|≤1所以函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有界.25例7

解:在區(qū)間(0,1)內(nèi),自變量即分母x取值可以無限接近于零

說明對(duì)于任意正的常數(shù),都存在充分接近于原點(diǎn)的點(diǎn)x,使得函數(shù)絕對(duì)值大于它

263.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)有定義,對(duì)于開區(qū)間J內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x2>x1時(shí)若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.27函數(shù)單調(diào)增加與函數(shù)單調(diào)減少統(tǒng)稱為函數(shù)單調(diào),單調(diào)增加區(qū)間與單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)說明因變量與自變量一一對(duì)應(yīng),它存在反函數(shù),反函數(shù)也單調(diào).函數(shù)單調(diào)增加,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而增大,函數(shù)曲線上升函數(shù)單調(diào)減少,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而減小,函數(shù)曲線下降284.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,對(duì)于點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).29極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極值是局部性的概念,它只是與極值點(diǎn)左右很小范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較而得到的.極值點(diǎn)只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),不能是給定區(qū)間的端點(diǎn).顯然,單調(diào)函數(shù)無極值.305.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,且點(diǎn)x0∈I.對(duì)于任意點(diǎn)x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x