《4．3等比數(shù)列》課后分層作業(yè)

《4．3等比數(shù)列》課后分層作業(yè)第一課時等比數(shù)列的概念及通項公式[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，則a1＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\r(2)D．eq\f(\r(2),2)2．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，公比q≠1，eq\r(k,a1a2…ak)＝a11，則k＝()A．12B．15C．18D．213．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝3an＋2，則a2019＝()A．32019＋1B．32019－1C．32019－2D．32019＋24．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值為()A.eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(1－\r(5),2)5．等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()A．9B．10C．11D．126．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．7．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則a4＝________.8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k＝________.9．已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項，求an.10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．[B級綜合運(yùn)用]11．(多選)已知公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，…，則對重新組成的數(shù)列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正確的是()A．一定是等差數(shù)列B．公差為2d的等差數(shù)列C．可能是等比數(shù)列D．可能既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列12．如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()A.eq\f(1,16)D．eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D．eq\f(5,4)13．已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{bn}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且a1<b1，b2<a3，對于任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，則a＝________，an＝________.14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)證明數(shù)列{an－2n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．[C級拓展探究]15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是不是為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．答案解析[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，則a1＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\r(2)D．eq\f(\r(2),2)解析：選D設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q>0.由已知，得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝eq\r(2)，所以a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故選D.2．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，公比q≠1，eq\r(k,a1a2…ak)＝a11，則k＝()A．12B．15C．18D．21解析：選Deq\r(k,a1a2…ak)＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴eq\f(k－1,2)＝10，∴k＝21，故選D.3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝3an＋2，則a2019＝()A．32019＋1B．32019－1C．32019－2D．32019＋2解析：選B∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴數(shù)列{an＋1}是首項，公比均為3的等比數(shù)列，∴an＋1＝3n，即an＝3n－1，∴a2019＝32019－1.故選B.4．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值為()A.eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(1－\r(5),2)解析：選B設(shè){an}的公比為q(q>0，q≠1)，根據(jù)題意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(\r(5)＋1,2)或q＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).故選B.5．等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()A．9B．10C．11D．12解析：選C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq\o\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.6．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，eq\f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比為－1的等比數(shù)列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1)n－17．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則a4＝________.解析：設(shè)公比為q，則a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.答案：68．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k＝________.解析：∵an＝(n＋8)d，又∵aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.答案：49．已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項，求an.解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴eq\f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．又a1＝eq\f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．證明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．[B級綜合運(yùn)用]11．(多選)已知公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，…，則對重新組成的數(shù)列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正確的是()A．一定是等差數(shù)列B．公差為2d的等差數(shù)列C．可能是等比數(shù)列D．可能既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列解析：選ABC由題意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，則bn＋1－bn＝[2a1＋(2n＋3)d]－[2a1＋(2n＋1)d]＝2d，因此數(shù)列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差為2d的等差數(shù)列，即A、B正確，D錯誤；當(dāng)a1≠0，d＝0時bn＝2a1，此時數(shù)列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比數(shù)列，即C正確；故選A、B、C.12．如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()A.eq\f(1,16)D．eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D．eq\f(5,4)解析：選C第一列構(gòu)成首項為eq\f(1,4)，公差為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，所以a51＝eq\f(1,4)＋(5－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項為eq\f(5,4)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以a53＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16).13．已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{bn}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且a1<b1，b2<a3，對于任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，則a＝________，an＝________.解析：∵a1<b1，b2<a3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,ab<a＋2b，))∴b(a－2)<a<b，∴a<3，又∵a>1，且a∈N*，∴a＝2.∵對于任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋(m－1)b＋3＝b，∴b(2－m)＝5，又∵2－m<2，且2－m∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＝1，,b＝5，))∴an＝a＋(n－1)b＝5n－3.答案：25n－314．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)證明數(shù)列{an－2n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×eq\f(7,3)－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．由(1)知a1－2＝eq\f(7,3)－2＝eq\f(1,3)，∴an－2n≠0，n∈N*.∴eq\f(an＋1－2n＋1,an－2n)＝3，∴數(shù)列{an－2n}是首項為eq\f(1,3)，公比為3的等比數(shù)列．∴an－2n＝eq\f(1,3)×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.[C級拓展探究]15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是不是為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．解：(1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.《4．3等比數(shù)列》課后分層作業(yè)第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(習(xí)題課)[A級基礎(chǔ)鞏固]1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．242．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D．eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－100004．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝15．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．166．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．7．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.8．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．9．在由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.10．在正項等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項公式．[B級綜合運(yùn)用]11．設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．21512．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則滿足Tn＞1的最大正整數(shù)n的值為()A．11B．12C．13D．1413．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.14．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，由{an}中的部分項組成的數(shù)列ab1，ab2，…，abn，…為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求數(shù)列{bn}的通項公式．[C級拓展探究]15．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的eq\f(1,4)倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?答案解析[A級基礎(chǔ)鞏固]1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24解析：選A由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.2．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D．eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)解析：選D法一：設(shè)公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5.解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2).法二：設(shè)公比為q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.∵a2·a8＝a4·a6＝6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4·a6＝6，,a4＋a6＝5，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝3，,a6＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝2，,a6＝3))(舍)．∴q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(3,2).3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－10000解析：選C∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故選C.4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝1解析：選B由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因為a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16解析：選C等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．解析：設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以這個未知數(shù)為3或27.答案：3或277．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.解析：由題意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.答案：188．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．解析：這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，eq\r(2)為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，則第10個正方形的面積S＝aeq\o\al(2,10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(11,2)))2＝211＝2048.答案：20489．在由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7q－4＋a7＋a7q4＝28，①,a7q－5·a7·a7q5＝512，②))由②得aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.將其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解得q4＝eq\f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq\f(1,\r(4,2))或q＝±eq\r(4,2).法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的兩根，解此方程得x＝4或x＝16.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝4，,a11＝16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a11＝4.))又∵a11＝a3·q8，∴q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a11,a3)))＝±4＝±eq\r(4,2)或q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝±eq\f(1,\r(4,2)).10．在正項等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由題意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分別解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝2n－2或an＝26－n.[B級綜合運(yùn)用]11．設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．215解析：選C∵a1·a2·a3·…·a30＝230，∴aeq\o\al(30,1)·q1＋2＋3＋…＋29＝aeq\o\al(30,1)·qeq\f(29×30,2)＝230，∴a1＝2－eq\f(27,2)，∴a3·a6·a9·…·a30＝aeq\o\al(10,3)·(q3)eq\f(9×10,2)＝(2－eq\f(27,2)×22)10×(23)45＝220.12．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則滿足Tn＞1的最大正整數(shù)n的值為()A．11B．12C．13D．14解析：選B∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6a7＞1，,a6－1a7－1＜0，))∵a1＞1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6＞1，,a7＜1，))由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝aeq\o\al(2,7)＜1，∴T13＜1，∴n的最大值為12，故選B.13．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因為{an}為等比數(shù)列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.答案：e55014．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，由{an}中的部分項組成的數(shù)列ab1，ab2，…，abn，…為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求數(shù)列{bn}的通項公式．解：依題意aeq\o\al(2,5)＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因為d≠0，所以a1＝2d，數(shù)列{abn}的公比q＝eq\f(a5,a1)＝eq\f(a1＋4d,a1)＝3，所以abn＝a13n－1，①又abn＝a1＋(bn－1)d＝eq\f(bn＋1,2)a1，②由①②得a1·3n－1＝eq\f(bn＋1,2)·a1.因為a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.[C級拓展探究]15．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的eq\f(1,4)倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?解：設(shè)第n次操作后，A中農(nóng)藥的濃度為an，B中農(nóng)藥的濃度為bn，則a0＝a%，b0＝b%.b1＝eq\f(1,5)(a0＋4b0)，a1＝eq\f(3,4)a0＋eq\f(1,4)b1＝eq\f(1,5)(4a0＋b0)；b2＝eq\f(1,5)(a1＋4b1)，a2＝eq\f(3,4)a1＋eq\f(1,4)b2＝eq\f(1,5)(4a1＋b1)；…；bn＝eq\f(1,5)(an－1＋4bn－1)，an＝eq\f(1,5)(4an－1＋bn－1)．∴an－bn＝eq\f(3,5)(an－1－bn－1)＝…＝eq\f(3,5)(a0－b0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n－1.∵a0－b0＝eq\f(1,5)，∴an－bn＝eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n.依題意知eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n<1%，n∈N*，解得n≥6.故至少經(jīng)過6次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%.《4．3等比數(shù)列》課后分層作業(yè)第三課時等比數(shù)列的前n項和[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)2．在等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三項的和S3＝eq\f(9,2)，則數(shù)列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或13．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－114．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7D．Sn的最大值為S75．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．246．等比數(shù)列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比q＝________.7．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為________．8．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項和為________．9．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.10．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．[B級綜合運(yùn)用]11．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝912．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．19313．已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項公式為________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.14．在數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,an－1＋\f(1,2)，n≥2，))求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和．[C級拓展探究]15．設(shè)a1，a2，…，an成等比數(shù)列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，P＝a1·a2·…·an.求證：(1)eq\f(S,R)＝a1·an；(2)P2Rn＝Sn.答案解析[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)解析：選C由a5＝a2q3，得q3＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，而數(shù)列{anan＋1}也為等比數(shù)列，首項a1·a2＝8，公比q2＝eq\f(1,4)，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(81－4－n,1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．2．在等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三項的和S3＝eq\f(9,2)，則數(shù)列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或1解析：選C由題意，可得a1q2＝eq\f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq\f(9,2)，兩式相除，得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1.3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－11解析：選D設(shè){an}的公比為q.因為8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因為a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以eq\f(S5,S2)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(1＋32,1－4)＝eq\f(33,－3)＝－11.故選D.4．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7D．Sn的最大值為S7解析：選ABC∵a1>1，a7·a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A正確．a(chǎn)7a9＝aeq\o\al(2,8)<1，故B正確；T7是數(shù)列{Tn}中的最大項，故C正確；因為a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正確；故選A、B、C.5．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24解析：選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.6．等比數(shù)列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比q＝________.解析：設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項為a1，偶數(shù)項之和與奇數(shù)項之和分別為S偶，S奇，由題意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因為數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.答案：27．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為________．解析：由eq\f(a2＋a4＋…＋a100,a1＋a3＋…＋a99)＝q，q＝2，得eq\f(a2＋a4＋…＋a100,150)＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，則數(shù)列{an}的前100項的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.答案：4508．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項和為________．解析：由題意，q≠1，由9S3＝S6，得9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，eq\f(1,an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，其前5項和為eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)9．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解：設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.))當(dāng)a1＝3，q＝2時，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；當(dāng)a1＝2，q＝3時，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.10．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．解：(1)證明：因為an＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝eq\f(1,3n)，Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(1－\f(1,3n),2)，所以Sn＝eq\f(1－an,2).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(nn＋1,2).所以{bn}的通項公式為bn＝－eq\f(nn＋1,2).[B級綜合運(yùn)用]11．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝9解析：選AD因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，所以eq\f(a6,a3)＝q3＝8，解得q＝2，所以eq\f(S6,S3)＝eq\f(1－q6,1－q3)＝1＋q3＝9，故選A、D.12．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．193解析：選C設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝eq\f(1,2)，n＝7，由eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝381，解得a1＝192.13．已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項公式為________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是遞減的等比數(shù)列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首項為8、公比為eq\f(1,4)的等比數(shù)列的前n項和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋eq\f(1,2)＋…＋8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1＝eq\f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)).答案：an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n))14．在數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,an－1＋\f(1,2)，n≥2，))求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和．解：當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝1.當(dāng)n≥2時，若a＝0，有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(1,2)，n≥2.))則Sn＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2).若a＝1，有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(3,2)，n≥2，))則Sn＝1＋eq\f(3,2)(n－1)＝eq\f(3n－1,2).若a≠0且a≠1，則Sn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a2))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋an－1))＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(n＋1,2)＋eq\f(a－an,1－a).綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n＋1,2)，a＝0且n≥2，,\f(3n－1,2)，a＝1且n≥2，,\f(n＋1,2)＋\f(a－an,1－a)，a≠0且a≠1且n≥2.))[C級拓展探究]15．設(shè)a1，a2，…，an成等比數(shù)列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，P＝a1·a2·…·an.求證：(1)eq\f(S,R)＝a1·an；(2)P2Rn＝Sn.證明：本題分q≠1和q＝1兩種情形進(jìn)行討論．情形1：q≠1.(1)顯然，此時S＝eq\f(a11－qn,1－q)，R＝eq\f(\f(1,a1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,qn))),1－\f(1,q))＝eq\f(1－qn,a1qn－11－q)，P＝a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1qn－1)＝aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2).∴eq\f(S,R)＝aeq\o\al(2,1)qn－1＝a1(a1qn－1)＝a1an.(2)由(1)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n＝(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\o\al(n,1)q\f(nn－1,2)))2＝P2，∴P2Rn＝Sn.情形2：q＝1.(1)顯然，此時S＝na1，R＝eq\f(n,a1)，P＝aeq\o\al(n,1)，∴eq\f(S,R)＝aeq\o\al(2,1)＝a1an.(2)由(1)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n＝aeq\o\al(2n,1)＝P2，即P2Rn＝Sn.故兩式均成立．綜上所述，不論q是否為1，兩式都成立．《4.3等比數(shù)列》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．242．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則等于()A.D．C.D．3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－100004．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝15．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．166．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．193【答案】C7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則等于()A．11B．5C．－8D．－118．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7D．Sn的最大值為S710．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.＝8D．＝911．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項和有最大值D．若數(shù)列滿足，則12．在數(shù)列中，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，下列說法正確的是（）A．實數(shù)的取值范圍是或B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列的前7項和為C．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則的最小值為4三、填空題13．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．14．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.15．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．16．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為________．四、解答題17．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＝；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．18．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?19．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.20．?dāng)?shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，證明：.21．已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求與；（2）記，求數(shù)列的前項和.22．已知數(shù)列滿足：，.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，求使成立的最大正整數(shù)n的值.（其中，符號表示不超過x的最大整數(shù)）答案解析一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24【答案】A【解析】由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.2．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則等于()A.D．C.D．【答案】D【解析】公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝＝.3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－10000【答案】C【解析】∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故選C.4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝1【答案】B【解析】由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因為a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．193【答案】C【解析】設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則等于()A．11B．5C．－8D．－11【答案】D【解析】設(shè){an}的公比為q.因為8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因為a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故選D.8．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24【解析】選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7