高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（四）

清華中學(xué)高二寒假作業(yè)（四）

一、單選題（本大題共8小題，共40.（）分）

1.若直線x+ay=2與直線ax+y=a+1平行，則a的值為（）

A.1B.-1C.±1D.0

2.在棱長為四的正方體ZBCD-4出G。1中，若E,F分別是4D,CG的中點，則荏.

AF=()

A.0B.1C.V2D.2

3.已知橢圓9+?=l上存在兩個不同的點4B關(guān)于直線x+y+m=0對稱，則實

數(shù)771的取值范圍是（）

A.(-V7(V7)B.(-除手)

C[-V-VlD.㈠與

121

4.數(shù)列｛a｝滿足=2,@2=1，并且^—=nn~(九)2),則%0+。11=()

nan-lanan+l

5.已知P（a,b）為圓C:/+y2-2%-4y+4=0上任意一點，則一；的最大值為（）

D.0

6.如圖所示，正方體A/JUD-小出iSR中，點瓦尸分

o1

別在41。,4C上，且AiE=；4iO,4F=-AC,貝ijEF與

G5所成角的余弦值為（）

B.漁

6

C.-

3

D.西

3

7.已知Fi、尸2分別是雙曲線/一工=1的左、右焦點，4為一條漸近線上的一點，且

4

4a14『2，則△40尸2的面積為（）

A.V5B.2V5C.5D.—2

8.已知數(shù)列｛。九｝的首項的=3,前n項和為S小an+i=2Sn+3,neN*,設(shè)b=log3an,

數(shù)列圜的前n項和7；的范圍（）

A.[Q]B.[|,2）C,[|,|）D.g,|]

二、多選題（本大題共4小題，共20.（）分）

9.已知｛an｝是等差數(shù)列，其前n項和為%，滿足%+3a2=56,則下列四個選項中正

確的有（）

A.a7=0B.S[30C.S7最小D.S5=S8

22

10.若方程>+-=1所表示的曲線為C,則下面四個命題中正確的是（）

5-tt—1

A.若1<t<5,貝IC為橢圓

B.若t<L貝UC為雙曲線

C.若C為雙曲線，則焦距為4

D.若C為焦點在y軸上的橢圓，貝<t<5

11.若長方體ABCO-&九的劣的底面是邊長為2的正方形，高

為4,E是。5的中點，則（）

A.BrE1AXB

B.平面JCE〃平面4BD

C.三棱錐Q-BiCE的體積為g

D.三棱錐G-BiCDi的外接球的表面積為24兀

12.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直

線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”,若△ABC滿足4c=8C,頂點

AQO），B（—1,2）,且其“歐拉線”與圓M：（x-3）2+y2="相切，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.圓M上的點到原點的最大距離為3+V2

B.圓M上存在三個點到直線％-y-1=0的距離為近

C.若點（x,y）在圓M上，則點的最小值是一夜

D.若圓M與圓+（y-a）2=2有公共點，則a6[-3,3]

三、單空題（本大題共3小題，共15.0分）

第2頁，共22頁

13.已知數(shù)歹羽品｝滿足：Q=1且%=2,則。202。=_____.

nan+i

14.《九章算術(shù)/第五卷中涉及到一種幾何體一一羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三

尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體4BCDFE,如圖，四邊形4BCD,ABEF

均為等腰梯形，AB//CD//EF,平面4BCD1平面4BEF,梯形4BCD,梯形4BEF的

高分別為3,7,且AB=6,CD=10,EF=8,則前.~BF=.

15.已知雙曲線C：攝-，=19>0為>0)上一點「坐標(biāo)為(通,771)(771>0),9為雙曲

線C的右焦點，且PF垂直于無軸.過點P分別作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，它們

與兩條漸近線圍成的圖形面積等于1,則該雙曲線的離心率是.

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.已知直線小2x+3y-8=0和ax-6y-10=0.若12,則實數(shù)a=,

兩直線匕與。間的距離是.

五、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知空間中三點4(1,0,—1),8(2,14)，C(-2,0,3),設(shè)。=荏"=前.

(1)求向量不與石夾角的余弦值；

(2)若五與方一上方互相垂直，求實數(shù)k的值.

18.已知直線1過點P(遮,-1),且其傾斜角是直線y=-V3x+1的傾斜角的點

(1)求直線，的方程；

(2)若直線m與直線2平行，且點P到直線m的距離是3,求直線沉的方程.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，6(0,-魚)，圓C2：%2+(y-V2)2=12.動圓P過G且與

圓相切.

(1)求動點P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過點(0,1),且與曲線C交于2,B,已知A,B中點在直線x=-［上，求

直線/的方程.

20.近幾年，我國在電動汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動汽車的核心技術(shù)是動力總成,

而動力總成的核心技術(shù)是電機(jī)和控制器，我國永磁電機(jī)的技術(shù)處于國際領(lǐng)先水

平.某公司計劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機(jī)的生產(chǎn)線，第一年需要安裝、

人工等費用24萬元，從第二年起，包括人工、維修等費用每年所需費用比上一年增

力口8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元.

(1)引進(jìn)該生產(chǎn)線兒年后總盈利最大，最大是多少萬元？

(2)引進(jìn)該生產(chǎn)線幾年后平均盈利最多，最多是多少萬元？

第4頁，共22頁

21.已知圓C：%2+y2—2x—4y+m=0.

(1)若圓C與直線，：％+2曠-4=0相交于時、N兩點，且|MN|=W，求m的值;

(2)在(1)成立的條件下，過點P(2,l)引圓的切線，求切線方程.

22.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為％,。2+。5=1g=16.

(1)求｛%J的通項公式；

(2)數(shù)列｛%｝滿足0=號，〃為數(shù)列｛%｝的前n項和，是否存在正整數(shù)m,

3n1

fc(l<m<fc),使得7；=37^2?若存在，求出小，k的值；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查直線的一般式方程及兩直線平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目.

根據(jù)直線平行的條件建立方程即可.

【解答】

解：直線x+ay-2與直線ax+y=a+1平行，

可得1x1=a2,

即a=+1,

當(dāng)a=l時，兩條直線重合（舍去），。=一1滿足題意.

故選B.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的線性運算與數(shù)量積的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

解題時將存轉(zhuǎn)換為荏+就+謂，然后展開計算即可

【解答】

解：荏/=荏?（荏+近+謂）=荏?近+艱近+近-B=o+孝x&+

0=1.

故選8.

3.【答案】D

【解析】

第6頁，共22頁

【分析】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中的范圍與最值問題，屬于一般題.

設(shè)直線4B的方程是丫=*+必與橢圓方程聯(lián)立，通過判別式可得般的取值范圍，求得48

中點的橫坐標(biāo)，代入y()=x()+n=手，代入直線x+y+m=0可得n=7m,進(jìn)一步可

求得血的范圍.

【解答】

解:依題意，設(shè)直線4B的方程是y=x+n,代入橢圓方程化簡得7/+Qnx+4n2-12=

0,

設(shè)4。1內(nèi)),AB的中點是。QoJo),

則4=64n2-28(4n2-12)＞0,解得一夕＜n＜V7,

又Xi+不=

uu【、iXi+%24n.3n

所以&=--=彳，y0=%o+幾=

因為4B的中點。在直線％+y+TH=0±,所以一票+手+6=0,

所以ri=7m,所以一夕＜7m＜小,

解得—在＜?。紒?

77

故選D

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

由已知數(shù)列遞推式可知數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式，得到an，則答

案可求.

【解答】

解：由一=2'一一2),得一!一+二一=巳，

Qn-1Qn0n+ian-1^n+1°n

;數(shù)列｛0｝為等差數(shù)列，又％=2,。2=1,

an

數(shù)列｛《｝的公差為d=^--^-=l-|=p

ana2alNN

貝臉=4+翔-1)=今

則即=:,

2.221

Qio+Qii=-----1-----=——.

±u11101155

故選c

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓有關(guān)的最值問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意，求出圓心與半徑，震表示點(a,b)與連線的斜率，結(jié)合圖形，轉(zhuǎn)化

為點到直線的距離，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：依題意，圓C：/+y2-2》—4y+4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程是(％-l)2+(y—2)2=1,

???圓心是C(l,2),半徑r=1,

P(a,b)是圓C上任意一點，翳表示點(a,b)與4(一1,1)連線的斜率，

如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)過點4的直線在圖中的位置與圓相切時.，巳言取得最大值,

a+1

設(shè)此時直線的斜率是k,

則直線方程是y—1=k(x+1),B|J/cx—y+k+l=0,

此時圓心C(l,2)到直線kx-y+k+l=0的距離等于半徑，

???與廣”=1,解得：k=0或k=*

Vfc2+13

顯然＞0,

第8頁，共22頁

???空的最大值是

a4-13

故選8.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用空間向量求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

建立空間直角坐標(biāo)系，求出前和宙的坐標(biāo)，代入公式cos（市，布>=晨嘉，

即可求出結(jié)果.

【解答】

解：以。為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,所在直線為無軸、y軸、z軸建立如圖所示的

空

設(shè)正方體的棱長為1,

貝I」點4式1,0,1),0(0,0,0),4(1,0,。)，C(0,l,0),Q(0,1,1),Dj(0,0,1)，

91

因為A|E二：小。，AF="ACf

33

所以E?,。,玄，F(xiàn)(|,i,0),

所以前=CTD7=(o,-i,o).

所以cos<EF,C^>=篇符=或7=M

3

所以E/與C】Di所成角的余弦值為手.

故選C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，求出雙曲線的漸近線方程，然后結(jié)合14F2可得4點的

縱坐標(biāo)，從而求得面積.

【解答】

解：雙曲線/一?=1的漸近線方程y=±2x,

不妨設(shè)4在y=2x上，則4沏/。），根據(jù)可得

式后.春=-1，且丫0=2而，解得|y°|=2,

所以△AFi”的面積為Tx2V5x2=2V5.

故選從

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的遞推式的運用，考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式，考查數(shù)列

的錯位相減法求和，以及化簡運算能力和推理能力，屬于拔高題.

由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式可得即，求得察=n-Cr,再由數(shù)列的

an3

錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得7；,判斷｛〃｝為遞增數(shù)列，可得所求范

圍.

【解答】

解：首項由=3,前n項和為工，an+1=2Sn+3,neN*,

可得%=2sl+3=2al+3=9,

n>2時，an=2s71T+3,又On+i=2Sn+3,

兩式相減可得an+i—an=2Sn-2Sn_i=2an,

第10頁，共22頁

則an+i=3an,

可得冊=。2-3時2=3%

上式對71=1也成立，

則an=3n,neN*,

bn;=loggGn=log33n=n,

空=展(?，

an

則前n項和兀="+21+3,+???+%(),

沔=1彳+2*+3*+…+n《)E,

相減可得=";+點+…+c)n一幾.(y+i

=巧g一n.(/"+1,

化簡可得j=3-篙，

由7“+】—〃=:一焉揄一:+箸=罪＞0,可得｛〃｝為遞增數(shù)列，

可得〃271=%

而鬻＞°，可得寫＜［，

綜上可得3＜7；＜^,

故選C.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及其前n項和，屬于基礎(chǔ)題.

由條件可得a7=0,然后逐一判斷每個選項即可.

【解答】

解：因為｛&｝是等差數(shù)列，的+3。2=56，

所以的+3(a1+d)=6al+15d.所以2al+12d=0,

即的+6d=0,即a;=0,A正確；

所以Si3=13a7=0,B正確；

S7=7a4,可能大于0,也可能小于0,故C不正確；

S8-S5=a6+a7+a8=3a7—0,。正確；

所以正確的有ABD,

故選ABD.

10.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，逐項分析，即可得到答案.

【解答】

解：4當(dāng)t=3時，表示圓，所以不正確；

8.當(dāng)時，5-t>0,t-1<0,表示雙曲線，正確；

C.當(dāng)t=0時，表示雙曲線，焦距不為4,所以不正確；

D若表示焦點在y軸上的橢圓，則t-l>5—t>0,即3<t<5,所以正確；

故選8D

11.【答案】C。

【解析】

【分析】

本題主要考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，棱錐體積，利用空間向量判定線線的垂直，面

面的平行關(guān)系，屬于中檔題，

可以通過建立空間直角坐標(biāo)系判斷4B,三棱錐6-BiCE的體積可以轉(zhuǎn)化為以名為頂點,

進(jìn)行求體積，通過結(jié)構(gòu)分析易得三棱錐Ci-&CD1的外接球即為長方體4BCD-

41&6劣的外接球，進(jìn)而可求解.

【解答】

第12頁，共22頁

解：以4為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

.??81(2,0,4),￡(0,2,2),41(0,0,4),8(2,0,0),

C(2,2,0),D(0,2,0),

O=(-2,2,-2),=(2,0,-4)>CE=(-2,0,2),碩=(0,2,-4)>

???O-=-4+8=4^0，故A錯誤；

設(shè)平面B[CE的一條法向量為而=(x,y,z),

(m-CE=0(-2x+2z=0

"=0=+2y-2z=0'

令x=l,可得記=(1,2,1),

同理平面&BO的一條法向量為元=(2,2,1),

顯然兩平面對應(yīng)的法向量不平行，所以這兩個平面也不平行，故B錯誤；

'q-BiCE=/LQCE=,xQx4x2)x2=,,故C正確;

通過三棱錐的結(jié)構(gòu)分析可知三棱錐G-&CD1的外接球即為長方體4BCD-4B1GD1

的外接球，

其外接球半徑r=叵尹=石，所以其表面積為一1仃2=24k，故。正確，

故選CD

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

由題意求出AB的垂直平分線可得△ABC的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得r,得到

圓的方程，求出圓心到原點的距離，加上半徑判斷4求出圓心到直線x-y-1=0的

距離判斷B；再由高］的幾何意義，即圓上的點與定點P(-1,0)連線的斜率判斷C;由兩

個圓有公共點可得圓心距與兩個半徑之間的關(guān)系，求得a的取值范圍判斷D.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓與圓之間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，

屬于拔高題.

【解答】

解：由題意，△ABC的歐拉線即AB的垂直平分線，

???4(1,0),

???AB的中點坐標(biāo)為(0,1),5=筌六一1，

則AB的垂直平分線方程為y=x+l,即％-y+l=0.

由“歐拉線”與圓M：。-3)2+嚴(yán)=「2相切，

二(3,0)到直線x-y+1=0的距離d=震=2遮，

r=2V2,則圓的方程為：(無一3產(chǎn)+y2=8,

圓心(3,0)到原點的距離為3>271，則圓M上的點到原點的最大距離為3+2或，故4

錯誤；

???圓心(3,0)到直線％-y-l=0的距離為d=貸=近，.?.圓M上存在三個點到直線x-

y-1=0的距離為我，故B正確；

W的幾何意義為圓上的點與定點P(-i，°)連線的斜率，

設(shè)過(一1,0)與圓相切的直線方程為y=/c(x+1),即Ax-y+k=0,

由晶=2或，解得卜=±1,二三的最小值是一1,故C錯誤；

7k?+1x+1

/+(y-a)2=2的圓心坐標(biāo)(0,a),半徑為VL

圓M的(％-3)2+y2=8的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2vL

要使圓/+(y-a)2=2與圓M有公共點，則圓心距的范圍為［a,3位］,

V2<V32+a2<3近,解得一3<a<3,故。正確.

故選：BD.

13.【答案】2

第14頁，共22頁

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)列具有周期性，從而得出答案.

【解答】

解：由即=1-[―,得a*+i=三~，

°n+i

因為電=2,

a=

所以=-1，3=2,a5=—1,

故數(shù)列｛an｝是最小正周期為3的周期數(shù)列.

因為2020=3x673+1,

所以。2020=al=2.

故答案為2.

14.【答案】14

【解析】

【分析】

本題考查了面面垂直的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

作力N1CD,AM1EF,易知AN,AB,AM兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系4—xyz,

求出而、BF，即可得而?前.

【解答】

解：過4分別作AM1EF,垂足分別為N,M,如圖所示：

???平面4BCD_L平面4BEF,AB//CD//EF,nABCDnnABEF=AB,

故N4_L平面ABEF,

又4B,AMu平面ABEF,

故AN14B,AN1AM,

又力M1AB,

故AN,AB,4"兩兩垂直，

以4為坐標(biāo)原點，荏,AM，前分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則由題意可知:8(6,0,0),D=(-2,0,3),F(-1,7,0),4(0,0,0),

故罰=(-7,7,0)，AD=(-2,0,3).

故療標(biāo)=14，

故答案為14.

15.【答案】花或在

2

【解析】

【分析】

本題主要考查雙曲線的兒何性質(zhì)，還涉及點到直線的距離公式、兩條直線平行關(guān)系等解

析幾何的初步知識，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

設(shè)過點P且與漸近線y=《X平行的直線與漸近線y=-/x相交于點2,將直線4P的方程

與丫=一3工聯(lián)立，可求得點4的坐標(biāo)，從而得|0川的長，再利用點到直線的距離公式求

得點P到直線y=-?x的距離d,結(jié)合|。川,d=l與a2+乂=5,即可得解.

【解答】

解：由題意知，a2b2=c2=5,

雙曲線C的漸近線方程為y=+^x,

設(shè)過點P且與漸近線y=平行的直線與漸近線y=-相交于點4如圖所示,

二直線4P的方程為y-m=(x-V5),

第16頁，共22頁

將其與y=—《X聯(lián)立，解得方=月產(chǎn)，y=-y/Sb+am

2a

y/Sb-am-y/5b+am.

即2（：

2b2a：），

...[0川=J產(chǎn)-am?f（?+am）?_I同-am|

ab

點P（通,rn）到直線y=的距離為d==的等㈣

???所圍圖形面積等于1,

.-.\OA\-d=l,即!她-您!.￡.!.便士您!=1,

2abc

化簡得，15b2—a2m2\=2ab,

??,點P（遍,?n）在雙曲線上，.4一A=1,即5b2一a27n2=。2b2,

：,ab=2,

又Q2+垃=5,?。=i,b=2或a=2,b=1,

離心率e=￡=遍或它.

Q2

故答案為：石或在.

2

16.【答案】-4

【解析】

【分析】

本題考查了直線平行的判定和平行線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用直線間的平行判定和平行直線間的距離公式進(jìn)行求解即可得.

【解答】

解：‘1//'2，，2x（—6）-3a=0,a=-4,

此時%：—4%—6y—10=0,即％：2x+3y+5=0,

之間的距離為晟擺=V13.

V2Z+3Z

故答案為-4;g.

17.【答案】解：(1)五=荏=(1,1,2)，B=m=(一3,0,4)，

所以1?石=1x(-3)+1x04-2x4=5-

|a|=Vl2+I2+22=V6.

|&|=V(-3)2+0+42=5.

所以cos(乙石>=熹=彳，

則五與石的夾角的余弦值為漁；

6

(2)a-kb=(1,1,2)-fc(-3,0,4)=(1+3k,1,2-4k)，

因為Z與五一〃互相垂直，

所以五?0一k3)=1+3k+1+2x(2-4k)=0,

解得k=

【解析】此題考查空間向量的坐標(biāo)運算和向量的夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，

屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用向量的坐標(biāo)運算五=南=(1,1,2)，石=前=(一3,0,4)和向量的夾角公式計算即

可；

(2)利用五與日—卜石互相垂直，可得刁?0—k石)=1+3/c+1+2x(2-4k)=0,即可

解得k的值.

18.【答案】解：(1);直線的方程為'=一6％+1，

???斜率k=-V3,傾斜角a=120°,

故所求直線的傾斜角為60。，即斜率為tcm60。=V3,

二,直線1經(jīng)過點(V5,-1),

???所求直線I方程為y+1=V3(x—遍),

即Bx-y-4=0.

(2),直線m與/平行，可設(shè)直線m的方程為遮％—y+c=0，

|V3xV3+l+c|o

,即［4+C|=6,

第18頁，共22頁

?1?c=2或c=-10,

???所求直線m的方程為Hx-y+2=0或bx-y-10=0.

【解析】(1)根據(jù)直線的斜率求出直線的傾斜角，可得要求直線的傾斜角和斜率，從而

用點斜式求出它的方程.

(2)設(shè)直線小的方程為遮x-y+c=0,根據(jù)點P到直線m的距離為3,求出c的值，可得

結(jié)論.

本題主要考查直線的斜率和傾斜角，直線的點斜式方程，兩直線平行的判定及應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)設(shè)動圓P的半徑為r,由題意知：|PC/=r,|PC2|=2>/3-r,

所以［PC/+\PC2\=2V3>GC2I=2V2.

所以P點的軌跡是以G，C2為焦點的橢圓，

其長軸長2a=2>/3，焦距為2c=2V2,b-Va2—c2=1>

所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：比+/=1.

3

(2)若直線斜率不存在，則4,B關(guān)于%軸對稱，不合題意，

若直線斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+l,

將y=kx+1代入,+x2=1得：(3+k2)x2+2kx—2=0,

所以/+%2=一券，

所以詈=-篇=/

所以-4k+3=0,解得k=1或k=3,

所以，直線，的方程為：y=x+1,或y=3x+1.

【解析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及

計算能力.

(1)設(shè)動圓P的半徑為r,判斷P點的軌跡是以G，C2為焦點的橢圓，求出a,b,即可得

到桶圓方程.

(2)若直線斜率不存在，則4B關(guān)于x軸對稱，不合題意，若直線斜率存在，設(shè)其方程

為y=kx+1,將丫=kx+1代入［+/=1得：(3+k2)x2+2kx-2=0,利用韋達(dá)

定理，利用A,B中點在直線x=-；上，求解即可.

20.【答案】解：(1)設(shè)引進(jìn)該生產(chǎn)線n年后總盈利為/⑺元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費用，第九

年的成本為an,構(gòu)成一等差數(shù)列，

前兀年成本之和為24n+若艾x8萬元，(不包括設(shè)備引進(jìn)費用)，

故/'(ri)=100n-[24n+4n(n—1)+196]

=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,neN*,

所以當(dāng)n=10時，/5)加"=204萬元，

答：引進(jìn)該生產(chǎn)線10年后總盈利最大，最大為204萬元；

(2)設(shè)引進(jìn)該生產(chǎn)線n年后平均盈利為g(n)萬元，

則g(n)=罕=-4n一尊+80,neN*,

因為g(n)=-4(n+?)+80,

n&N*,n+—>2In-—=14)

717Tl

當(dāng)且僅當(dāng)n=.=n=76N*時，取得等號，

71

所以當(dāng)n=7時，g(n)max=g(7)=24萬元.

故引進(jìn)該生產(chǎn)線7年后平均盈利最多，最多為24萬元.

【解析】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查利用

基本不等式求最值，考查分析與計算能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)引進(jìn)設(shè)備n年后總盈利為f(n)元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費用，第n年的成本為即，構(gòu)成

一等差數(shù)列，即可得出f