2022屆 一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 新高考版第九章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第一節(jié)統(tǒng)計(jì)

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

2.借助頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，提升讀圖、數(shù)據(jù)分析的能力，凸

顯直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋，凸

顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字

特征.理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，

凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點(diǎn)清障中全面落實(shí)

［理清主干知識(shí)］

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)抽取方式：逐個(gè)不放回地抽取.

(2)特點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相笠」

(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.分層抽樣

(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一

定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層抽樣.

3.作頻率分布直方圖的步驟

⑴求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);

(2)決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組；

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

4.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的空克，就得到頻率分布

折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的

頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

5.樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

（2）中位數(shù)：把〃個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最史同位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（3）平均數(shù)：把色+生：…+紜稱為色,念，…，斯這"個(gè)數(shù)的平均數(shù).

（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，&的平均數(shù)為三，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)

差和方差分別是

x,-T

s=\n[<)2+(X2—X)2+…+⑸一X月

222

s=^[(xi—x)+(X2-x)H------l-(x?—Xy].

［澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)］

一'關(guān)鍵點(diǎn)練明

1.（分層抽樣）某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號(hào)的轎車，其產(chǎn)量之比為2：3：4,為

檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為"的樣本，若樣本中A種型號(hào)

的轎車比5種型號(hào)的轎車少8輛，則〃=（）

A.96B.72

C.48D.36

_32

解析：選B由題意得鏟一鏟=8,所以〃=72.故選B.

2.（多選?用樣本估計(jì)總體）某城市收集并整理了該市2020年1月份至10月份每月最低

氣溫與最高氣溫（單位：°C）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖，已知該市每月的最低氣溫與

當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

“1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月

A.每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)

B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份

D.最低氣溫低于0°C的月份有4個(gè)

解析：選ABC由圖可以看出，當(dāng)最低氣溫較大時(shí)，最高氣溫也較大，故A正確；10

月份的最高氣溫大于20°C,而5月份的最高氣溫為不超過20C,故B正確；從各月的溫

差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0C的月份是1,2,4三個(gè)月份，故D

錯(cuò)誤.

3.（數(shù)字特征）若數(shù)據(jù)Xl，X29X3，…，X”的平均數(shù)X=5,方差$2=2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3X2

+1,34+1，…，3x〃+l的平均數(shù)和方差分別為（）

A.5,2

C.16,18D.16,9

解析：選C因?yàn)閄i,X2,X3,―,X”的平均數(shù)為5,所以+一土^=5,所

以如+3噂+：：3+__±^^+1=3乂5+1=16,因?yàn)閤i,X2,X3,…，x〃的方差為2,所以

3x1+1,3x24-13^+1,…，3x〃+l的方差是32X2=18.故選C.

4.（頻率分布直方圖）如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量

為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)有人.

頻率/組距

0.34

0.28

0.12

0.08

0.511.522.533.5月均用水量/I

解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民所占頻率為：0.5X0.5

=0.25,所以月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)為100X0.25=25.

答案：25

二、易錯(cuò)點(diǎn)練清

L（易忽略抽樣的等可能性）一個(gè)總體分為A,B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取

一個(gè)容量為10的樣本.已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為上，則總體中的個(gè)體數(shù)為

（）

A.40B.60

C.8（）D.120

解析：選D因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤目傮w中抽取一個(gè)容量為10的樣本.由5層中每個(gè)

個(gè)體被抽到的概率都為二，知在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是二,所以總體中的個(gè)

體數(shù)為10沾=120.故選D.

2.（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的求法不清）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨

機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為機(jī)，眾

數(shù)為n,平均數(shù)為x,則m,n,x的大小關(guān)系為.(用連接)

解析：由圖可知，30名學(xué)生得分的中位數(shù)為第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均

數(shù)，即機(jī)=5.5;又5出現(xiàn)次數(shù)最多，故"=5;T=^(2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+

2X8+2X9+2X10)=5.97.故n<m<7.

答案：〃V/"VX

-在題點(diǎn)全析中補(bǔ)齊短板

考點(diǎn)一抽樣方法

［典題例析］

(1)(2021?漳州質(zhì)檢)某公司決定利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)今年新招聘的800名員工進(jìn)行抽樣調(diào)查

他們對(duì)目前工作的滿意程度,先將這800名員工進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,-.799,800,

從中抽取80名進(jìn)行調(diào)查，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324377892345

若從表中第5行第6列開始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則抽到的第5名員工的編號(hào)是()

A.007B.253

C.328D.736

(2)(2021*埠模擬)某市小學(xué)，初中，高中在校學(xué)生人數(shù)分別為7.5萬，4.5萬，3萬.為

了調(diào)查全市中小學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，擬隨機(jī)抽取1000人進(jìn)行體質(zhì)健康檢測(cè)，則應(yīng)抽取的

初中生人數(shù)為()

A.750B.500

C.450D.300

［解析］(1)由題意知，前五名員工的編號(hào)依次為253,313,457,736,007.故選A.

(2)初中生抽取的人數(shù)為廣三”三*4.5=300,故選D.

［答案］(1)A(2)D

［方法技巧］

1.應(yīng)用隨機(jī)數(shù)法的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

⑴確定以表中的哪個(gè)數(shù)(哪行哪列)為起點(diǎn)，以哪個(gè)方向?yàn)樽x數(shù)的方向；

(2)讀數(shù)時(shí)注意結(jié)合編號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行讀取.若編號(hào)為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀??；若編

號(hào)為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去，這樣繼

續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本.

2.解決分層抽樣的常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個(gè)體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個(gè)體數(shù).

,會(huì)“樣本容量各層樣本容量

(1)抽樣比-總體容量-各層個(gè)體總量；

(2)層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：

樣本中層3的容量.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從?個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二次抽取時(shí)，

余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為;，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為()

C14D.萬

91

解析：選C根據(jù)題意，—T=T,解得〃=28.

UJ.J

故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為

2.隨著時(shí)代的發(fā)展，移動(dòng)通信技術(shù)的進(jìn)步，各種智能手機(jī)不斷更新?lián)QK一'、

/、老年

代，給人們的生活帶來了巨大的便利，但與此同時(shí)，長(zhǎng)時(shí)間低頭看手機(jī)對(duì)

人的身體如頸椎、眼睛等會(huì)造成一定的損害，“低頭族”由此而來.為了o篇以

了解某群體中“低頭族”的比例，現(xiàn)從該群體包括老、中、青三個(gè)年齡段

的150()人中采取

分層抽樣的方法抽取50人進(jìn)行調(diào)查，已知這50人里老、中、青三個(gè)年齡段的分配比

例如圖所示，則這個(gè)群體里老年人人數(shù)為()

A.490B.390

C.1110D.410

解析：選B由題意結(jié)合分層抽樣的定義可知，這個(gè)群體里老年人人數(shù)為1500X(1—

34%-40%)=1500X26%=390.故選B.

考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用

考法(一)折線圖與扇形圖

［例1］（1）（多選）（202卜衡水調(diào)研）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整

個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結(jié)

論中正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980?1989年之間出生，80前指1979年及

以前出生.

80前3%

其他口1.6%

90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

（2）（多選）（2021?長(zhǎng)沙明德中學(xué)月者）空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣狀況的指數(shù)，AQI指

數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:

AQI指數(shù)0?5051?100101?150151?200201?300>300

空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

下圖是某市10月1日?2（）日AQI指數(shù)變化趨勢(shì)，則下列敘述正確的是（）

A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占;

C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的好

［解析］（1）由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)人員中90后占56%,一半以上，故A項(xiàng)正確；由

條形圖知，90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為39.6%*56%=22.176%>20%,所

以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比大于等于22.176%,B項(xiàng)正確；由

條形圖知，90后從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為17%X56%=9.52%,大于80前互聯(lián)

網(wǎng)從業(yè)人數(shù)，C項(xiàng)正確；因?yàn)榧夹g(shù)所占比例80后未知，且90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)比

22.176%<41%,所以D項(xiàng)不一定正確.

(2)A項(xiàng)，由題圖知排序后第10個(gè)數(shù)據(jù)、第11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于100,即中位數(shù)略高

于100;B項(xiàng)，中度污染及以上的天數(shù)為5天，占;；由題圖知C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，總體來說，

該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好.

［答案］(l)ABC(2)ABD

考法(二)頻率分布直方圖

［例2］我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居

民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過

x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得

了某年10()位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照［0,0.5),［0.5,1)....［4,4.5］

分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

“頻率/組距

0.52.............................

0.40...............-I—I

S

16

O.S12

S08

04O

0.511.522.533.5445月均用水量/噸

(1)求直方圖中a的值；

(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)工(噸)，估計(jì)x的值，并說明

理由.

［解］(1)由須率分布直方圖知，月均用水量在［0,0.5)中的頻率為0.08X0.5=0.04,

同理，在［0.5,1),［1.5,2),［2,2.5),［3,3.5),［3.5,4),［4,4.5］中的頻率分別為0.08,

0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.

由0.04+0.08+0.5Xa+0.20+0.26+0.5Xa+0.06+0.04+0.02=1,

解得a=0.30.

(2)由(1)可知，100位居民中每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=

0.12.

根據(jù)樣本中的頻率，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為

300000X0.12=36000.

(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,

前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73V0.85,

所以2.5WxV3.

由0.30X(x-2.5)=0.85-0.73,

解得x=2.9.

所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過該標(biāo)準(zhǔn).

［方法技巧］

1.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算需掌握的2個(gè)關(guān)系式

(1)窿X組距=頻率.

頻數(shù)頻數(shù)

(2)麻泉鑫=頻率，此關(guān)系式的變形為黃率=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

2.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法

(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以

估計(jì)中位數(shù)的值.

(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，

為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，

則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為()

滿意率/%

蹲室炳

^SL150A

三居室戶主

400人

圖1

A.240,18B,200,20

C.240,20D.200,18

解析：選A樣本容量〃=(250+150+400)X30%=240,抽取的戶主對(duì)四居室滿意的

人數(shù)為150X30%X40%=18.故選A.

2.(2021?優(yōu)州模擬)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接

香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行

限速10()km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布

直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的車輛數(shù)和行駛速

度超過90km/h的頻率分別為()

A.300,0.25B.300,0.35

C.60,0.25D.60,0.35

解析：選B由頻率分布直方圖得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率為

0.06x5=0.3,二在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)為0.3x1000=300,行

駛速度超過90km/h的頻率為（0.05+0.02）X5=0.35.故選B.

3.（多選）（2021?泰安模擬）某院校教師情況如下表所示：

類別老年中年青年

年/男女男女男女

20181206024012010040

201921040320200200120

2020300150400270320280

關(guān)于2018年、2019年、202（）年這3年該院校的教師情況，下面說法正確的是（）

A.2019年男教師最多

B.該校教師最多的是2020年

C.2019年中年男教師比2018年多80人

D.2018年到2020年，該校青年年齡段的男教師人數(shù)增長(zhǎng)率為220%

解析：選BCD由題意知，2020年的男教師最多，A錯(cuò)誤；將表中各年度人數(shù)橫向求

和可知，2020年共有1720人，為人數(shù)最多的一年，B正確；2019年中年男教師比2018年

多320—240=80（人），故C正確；2018?2020青年男教師增加了220人，增長(zhǎng)率為220+100

=220%,故D正確.

考點(diǎn)三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

［典例］（2020?全國(guó)卷I）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)

分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分

別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠

有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為

20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，

并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家

應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

［解］(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知，

40

甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為麗=0.4;乙分廠加工出來的

一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為礪=0.28.

(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

65X40+25X20-5X20-75X20

------------------------------------------------------=15

100

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)70300-70

頻數(shù)28173421

因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

70X28+30X17+0X34-70X21

W0=10-

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

［方法技巧］

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)

的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)

的離散程度越小，越穩(wěn)定.

⑵用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

［針對(duì)訓(xùn)練］

某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽

樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按［20,30),［30,40),…,

［80,90］分成7組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴估計(jì)總體的眾數(shù)；

(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

⑶己知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)

相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

70+80

解：(1)由頻率分布直方圖可估計(jì)總體的眾數(shù)為、一=75.

(2)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［50,90)內(nèi)的人數(shù)為(0.01+0.02+0.04+

0.02)X10X100=90.

因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，

所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-90-5=5.

設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為x,

5x

則而=而，解得x=20,

故估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為20.

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為(0.04+0.02)X10X100=60.

因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等，

所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為30.

因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70,所以樣本中男生的人數(shù)為60,女生的人數(shù)為

由樣本估計(jì)總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為3：2.

素養(yǎng)—在科學(xué)思維中參悟提升

創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法

巧解平均數(shù)和方差

類型(一)找齊法

在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，如果這些數(shù)字都在某個(gè)數(shù)字左右擺動(dòng)，就選取一個(gè)數(shù)字作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行找齊.

［例1］計(jì)算數(shù)據(jù)87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均數(shù)和方差.

［解］每個(gè)數(shù)據(jù)都減去85后得數(shù)據(jù)2,1,5,-3,-2,0,3,一5,-6,5,這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)是土（2+1+5—3—2+0+3—5—6+5）=0,故原數(shù)據(jù)組的平均數(shù)為85+0=85.

4+1+25+9+4+0+9+25+36+25

數(shù)據(jù)組2,1,5,—3,—2,0,3,—5,—6,5的方差是

10

=13.8,這個(gè)方差就是數(shù)據(jù)組87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的方差.

［名師微點(diǎn)］

找齊法的依據(jù)是平均數(shù)工=*+叱…

(處一a)+(x2-°)+…a)+〃a

n

,(右一。)+。2—。)+…+Q〃-a)

=a+-；

222

方差s2=：X[(xi—X)+(X2—x)2-1------F(x?—x)]=^X{[(X1-a)—(x—a)]+[(x2—

a）一（x—a）］2H-----F［（x?—a）—（x—a）］2},其中a為選取作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字，在使用找齊法時(shí)

a的選取可以多種多樣，原則是便于計(jì)算.

類型（二）方差的簡(jiǎn)化公式法

方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式是s2=:［（X，+x3+…+工￡）—"（X尸］=X2—（X產(chǎn)（其中X2="?

+送+…+章）），只要把方差公式展開進(jìn)行重組即可證明.

［例2］計(jì)算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.

542+552+532+562+572+582

［解］法一：x2=^3083.17,x=55.5,故s-2=3083.17

6

一553=2.92.

法二：每個(gè)數(shù)據(jù)減去55得到新的數(shù)據(jù)組一1,0,-2,1,2,3,該組數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)組

“一，林,「r1+0+4+1+4+9一一一-1+0-2+1+2+3

的萬差相等，且x2=--------7------------弋3.17,x==0.5,故S2=3.17

6

-0.52=2.92.

［例3］（2020?全國(guó)卷川）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，孔的方差為0.01,則數(shù)據(jù)

10X1,10*2，…，10x”的方差為（）

A.0.01B.0.1

C.1D.10

［解析］?.?樣本數(shù)據(jù)Xl,X2,…，X”的方差為0.01,

.,.樣本數(shù)據(jù)10X1,10X2,…，10%,的方差為1。2。0.01=1.

［答案］C

［例4］（2021?湖北隨州調(diào)研）202（）年初新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，口罩成為重要的抗疫物

資，為了確保口罩供應(yīng)，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運(yùn)轉(zhuǎn)，工人加班加點(diǎn)生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5

天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)依次為Xi,X2,X3,X4,X5（單位：十萬只），若這組數(shù)據(jù)Xl,X2,*3,*4,*5

的方差為1.44,且xi,xi,送,端,底的平均數(shù)為4,則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩

十萬只.

［解析］法一：依題意，得R+H+…+xg=20.

設(shè)Xl,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為X,

根據(jù)方差的計(jì)算公式有和處-X）2+（X2—X產(chǎn)+…+（X5—X）2］=1.44,

；.（后+6+…+*）—2x（*|+刈+…+*）+5x2=7.2,

即20—10工2+572=7.2,解得"7=1.6.

則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩1.6十萬只.

法二：設(shè)Xl,XI,X3,X4,X5的平均數(shù)為X,

由方差的簡(jiǎn)化公式可得1.44=4一（三產(chǎn)，解得三=1.6.

則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩1.6十萬只.

［答案］1.6

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)1

1.（多選）為了了解全校1740名學(xué)生的身高情況，從中抽取140名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下

列說法正確的是（）

A.總體是1740B.個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生的身高

C.樣本是140名學(xué)生D.樣本量是140

解析：選BD本題是測(cè)量1740名學(xué)生的身高情況，故總體是1740名學(xué)生的身高情

況，個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生的身高情況，樣本是140名學(xué)生的身高情況，樣本容量是140,故選

B、D.

2.福利彩票“雙色球”中紅色球的號(hào)碼由編號(hào)為01,02,…，33的33個(gè)個(gè)體組成，某

彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1

行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)紅色球的編

號(hào)為（）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.23B.09

C.02D.17

解析：選C從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)

字，則選出的6個(gè)紅色球的編號(hào)依次為21,32,09,16,17,02,故選出的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為

02.

3.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)

古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,

其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80

位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的

學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

解析：選C設(shè)調(diào)查的10（）位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x,則x+80-60

=90,解得x=70,

7（）

所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為命=0.7.

4.（多選）設(shè)矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,其比滿足萬：“=與1弋0.618,這種矩形給人以美

感，稱為黃金矩形，0.618稱為標(biāo)準(zhǔn)值.黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中，下面是某工藝品

廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲批次的總體平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)值高

B.乙批次的總體平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)值低

C.甲、乙批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值相比，甲更接近

D.兩個(gè)批次之和的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值相同

解析：選BC求得甲批次的平均數(shù)為0.617,乙批次的平均數(shù)為0.613,兩批次之和的

平均數(shù)為0.615,故選B、C.

5.（多選）CPI是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的簡(jiǎn)稱，它是一個(gè)反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)

品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格水平變動(dòng)情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).下圖為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年2月?

2019年2月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）數(shù)據(jù)折線圖（注：同比是今年第〃個(gè)月與去年第n

個(gè)月之比；環(huán)比表示連續(xù)2個(gè)單位周期（比如連續(xù)兩月）內(nèi)的量的變化比，環(huán)比增長(zhǎng)率=（本

期數(shù)一上期數(shù)）/上期數(shù)X100%）.

%

3

2

1

0

2月1月

全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅

下列說法正確的是（）

A.2019年2月份居民消費(fèi)價(jià)格同比上漲1.5%

B.2019年2月份居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比上漲1.0%

C.2018年6月份居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比下降0.1%

D.2018年11月份居民消費(fèi)價(jià)格同比下降0.3%

解析：選ABC逐一考查所給的說法：A.2019年2月份居民消費(fèi)價(jià)格同比上漲1.5%,

題中的說法正確；B.2019年2月份居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比上漲1.0%,題中的說法正確；C.2018

年6月份居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比下降0.1%,題中的說法正確；D.2018年11月份居民消費(fèi)價(jià)格

環(huán)比下降0.3%,2018年11月份居民消費(fèi)價(jià)格同比上漲2.2%,題中的說法錯(cuò)誤.故選A、B、

C.

6.（多選）在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)4000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到

如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100],60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，

則下列說法中正確的是（）

-頻率/組距

0.030..................................

0.020---------……一

0.015-------------------------------

0.010-------------------------------

0^405060708090lOO^gj/分

A.成績(jī)?cè)赱70,80）的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分

解析：選ABC由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)赱70,80）的頻率最高，因此考生人數(shù)最

多，故A正確；

成績(jī)?cè)赱40,60）的頻率為0.01X10+0.015X10=0.25,因此，不及格的人數(shù)為4000X0.25

=1000,故B正確；

考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+

95X0.1=70.5,故C正確;

因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40,70)的頻率為().45,在[70,80)的頻率為().3,所以中位數(shù)為70+10X噱

Q71.67,故D錯(cuò)誤.

7.(2020?全國(guó)卷H)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成

1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍

報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600

份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日

訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者()

A.1。名B.18名

C.24名D.32名

解析：選B由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨，如果沒有志愿者幫忙，

則超市第二天共會(huì)積壓超過500+(1600-1200)=900份訂單的概率為0.05,因此要使第二

天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,至少需要志愿者黑=18(名)，故選

B.

8.(2021?蘇州模擬)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國(guó)“新四大發(fā)明“，近日

對(duì)全國(guó)100個(gè)城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用

的人數(shù)分別為XI,X2,。，…，xioo,它們的平均數(shù)為三，方差為s2；其中掃碼支付使用的

人數(shù)分別為3肛+2,3必+2,3工3+2,…,3XI(M)+2,它們的平均數(shù)為,，方差為s'2,則不，,

s'2分別為()

A.3x+2,3$2+2B?3X,3s2

C.3T+2,9S2D.3T+2,9S2+2

解析：選C由平均數(shù)的計(jì)算公式，可得數(shù)據(jù)?,X2,…，?00的平均數(shù)為7=擊(*1

+必+工3+…+X100),

數(shù)據(jù)3*]+2,3必+2,…，3xioo+2的平均數(shù)為：

擊[(3X1+2)+(3X2+2)+...+(3xioo+2)]=六[3(*1+*2+...+xioo)+2x100]=3T

+2,

1——————

數(shù)據(jù)Xl,X2,…,X100的方差為一=麗3—x)2+(X2-X)2+—+(XI(M)-X)2],

數(shù)據(jù)3XI+2,3%2+2,…，3xioo+2的方差為：

222

擊{[(3明+2)—(3嚏+2)]+[(3X2+2)-(3T+2)]+-+[(3XIOO+2)-(37+2)]}

1———

=麗[9(痛-x)2+9(x2—x)24------l-9(xioo—x)2]=9s2,故選C.

9.某校對(duì)高三年級(jí)1600名男女學(xué)生的視力狀況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取

一個(gè)容量是200的樣本，已知樣本中女生比男生少10人，則該校高三年級(jí)的女生人數(shù)是

解析：設(shè)樣本中女生有x人，則男生有x+10人，所以x+x+10=200,得x=95,設(shè)

v95

該校高三年級(jí)的女生有y人，則由分層抽樣的定義可知丁丸=病，解得y=760.

答案：760

10.高三某宿舍共8人，在一次體檢中測(cè)得其中7個(gè)人的體重分別為

60,55,60,55,65,50,50(單位：千克)，其中一人因故未測(cè)，已知該同學(xué)的體重在50?60千克之

間，則此次體檢中該宿舍成員體重的中位數(shù)為55的概率為.

解析：將七個(gè)人的體重按順序排列如下：50,50,55,55,60,60,65,若此次體檢中該宿舍成

員體重的中位數(shù)為55,只需未測(cè)體重的同學(xué)體重要小于等于55,

又該同學(xué)的體重在50~60千克之間，

所以此次體檢中該宿舍成員體重的中位數(shù)為55的概率為P=-^=1.

1

答案：2

IE已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中

小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的

解析：由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10000,樣本容量為10000X2%=200,抽取的高

中生人數(shù)是2000X2%=40,由題圖乙可知高中生的近視率為50%,所以抽取的高中生的

近視人數(shù)為40X50%=20.

答案：20020

12.為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整

理后,作出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：

3：5,第2個(gè)小組的頻數(shù)為15,則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是.

頻率/組距

解析：設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為“，因?yàn)楹?個(gè)小組的頻率之和為(0.0375+0.012

5)X5=025,所