第6章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

6.5正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量1基本概念2電阻平均功率3電感、電容的平均儲能5單口網(wǎng)絡的無功功率

6復功率7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理4單口網(wǎng)絡的平均功率功率因數(shù)一、單口網(wǎng)絡的平均功率（有功功率)、無功功率、視在功率、功率因數(shù)1、單口網(wǎng)絡的瞬間功率：

設任何時刻，單口網(wǎng)絡上電流、電壓關聯(lián)參考方向,表示為u(t)=Umcos(t+

u)，i(t)=Imcos(t+

i)，則網(wǎng)絡吸收的功率為p(t)=i(t)?u(t)=UmImcos(t+

u)cos(t+

i)=[cos(

u–

i)+cos(2t+

u+

i)]UmIm2=UI[cos

+cos(2t+

u+

i)]

不可逆部分可逆部分4、視在功率：S=UI＝（VA)

視在功率反映電力設備的最大負載能力。3、單口網(wǎng)絡的無功功率：無功功率反映電路中儲能元件與外電路或電源之間能量交換?！盁o功”表示能量在往復交換過程中沒有被消耗掉。

（var）2、單口網(wǎng)絡的平均功率：

平均功率亦稱有功功率，是電路實際消耗的功率。（W）5、功率因數(shù)：

=cos

＝P/S（超前或滯后）

功率因數(shù)表示傳輸系統(tǒng)中有功功率所占的比例。1、電阻R：

z＝u－

i＝0二、單個元件的功率

P=IU=ImUm21=RI2=GU2平均功率：P(t)=UI[1+cos2(t+

u)]瞬時功率：無功功率：Q=02、電感L：

z＝u－

i＝90op(t)=UIsin2(t+

u)平均功率：P=0瞬間功率：無功功率：3、電容C：

z＝u－

i＝－90op(t)=-UIsin2(t+

u)平均功率：P=0瞬間功率：無功功率：電感和電容的平均功率等于零。

物理意義是什么？正弦穩(wěn)態(tài)電路的無功功率：對任何一個正弦穩(wěn)態(tài)電路，其無功功率為所有電感、電容的無功功率之和。即Q=QL+QC=2(WL–WC)WL=WL1+WL2+???+WLmWC=WC1+WC2+???+WCn無功功率的物理意義：電容和電感之間交換電磁能量，體現(xiàn)在無功功率相互抵消。理想情況下，兩者正好相等（?）。三、復功率視在功率相量：S

=UI*=UI(cos

z+jsin

z)=P+jQ=Scos

+jSsin

(V?A)???6.5.4正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

與第四章中討論的電阻電路最大功率傳遞定理類似，所不同的是所有的量都必須是相量。+–Zs+–UL?ZLUs?I?Us??I==Zs+ZLUs?(Rs+RL)

+j(Xs+XL)Us(Rs+RL)2

+(Xs+XL)2I=負載上得到的有功功率（即負載電阻獲得的功率）為PL=I2RL=Us2(Rs+RL)2

+(Xs+XL)2RL目標：選擇RL和XL，使PL最大。第一步，使分母第二項為零，即XL=–Xs；PL=Us2RL(Rs+RL)2

由此可得第二步，令以上關于RL的導數(shù)等于零，或直接引用第四章中的結(jié)論，即：RL=Rs

時，負載上獲得的功率最大。此時PLmax=Us2RL(2RL)2

=Us24RL

總結(jié)：當ZL=RL+

jXL=Rs

–jXs

=Zs*

時（共軛匹配），負載獲得的功率最大。

如果阻抗模值可變而阻抗角不變，那么在滿足什么條件下獲得最大功率？

當負載阻抗角不變，而模值可以改變時，它的模等于電源內(nèi)阻抗的模時可以獲得最大功率，稱為模匹配。負載獲得的最大功率為，3

j4

–j5

I?+–U?I1?I2?解：視在功率S根據(jù)已知條件可得：S=UI=100×12.65=1265W例已知ZR=3

，ZL=j4

，ZC=–j5

，I=12.6518.5°

I1=20–53.1°，I2=2090°，U=1000°。求單口網(wǎng)絡的功率P及視在功率、功率因數(shù)。????Z=3+j4–j5–j4(3+j4)=功率因數(shù)

=cos

z=cos

18.45°=0.9487（超前）20–36.87°16–j123–j1=3.162–18.43°=6.325–18.45°網(wǎng)絡平均功率

P=UIcos

z=1200.05WP也是電阻上消耗的功率，由此也可得

P=I12R=202×3=1200W功率因數(shù)

=cos=PS=0.9486更簡單的方法：由U和I之間的相位關系可得S=UI*=1000°×12.65–18.5°=1265–18.5°W=1200+j401.4W???即

P=1200W，Q=401.4W功率因數(shù)

=cos

z=cos

18.5°=0.9483（超前）例

求圖所示電路電源對電路提供的功率（有功功率）。102cos2tV+–3

F2H184

100°+–3

4

j4

–j4

I?解

利用

P=UIcos

z

計算，只要算得阻抗Z即可，Z=3+j4+4–j4j4(4–j4)=3+4+j4=7+j4=8.062329.74°

I=U|Z|=8.062310=1.2403AP=UIcos

z=10×1.2403×cos29.74°=10.77Wxjy

PSOQQLQC例

工廠中的感應電機是感性負載，功率因數(shù)較低，為提高功率因數(shù)，可并聯(lián)合適的電容器。設有一220V，50Hz，50kW的感應電機功率因數(shù)為0.5。問（1）使用時電源電流為多少，無功功率Q為多少？（2）若并聯(lián)電容器使功率因數(shù)為1，則電容量為多少，此時電源電流等于多少？解：（1）由有功功率的定義，可得PL=UILcos

L

，IL=PLUcos

L=50000220×0.5=454.55AQL=UILsin

L

=UIL1–

cos2

L=220×454.55×0.866=86600var=86.6kvar（2）根據(jù)電容與電感之間無功功率相互抵消的原理，并聯(lián)后電源提供的無功功率為：RCLILICPL=50kW=0.5IQ=QL+QC=0，QC=–QL=–86.6kvar=–

CU2

C=–QC

U286600=100

×2202=5695.4μF此時，因

=1，故

P=UI，即I==PU50000220=227.27A

LUILICI????QCQLS?

采用相量疊加法更加簡單直接，如右圖所示。例12-12電路如圖12-20所示，已知I1=100+j50A，U1=500+j0V，I4=50–j50A，U4=200+j200V，試求每個元件吸收的無功功率以及整個電路的總無功功率。????+–1I1?234+–+–I2?I3?I4?U1?U2?+–U3?U4?解：由無功功率的定義，可得Q1=Im[U1(–I1)*]=Im[(500+j0)(–100+j50)]=25kvarQ4=Im[U4I4*]=Im[(200+j200)(50+j50)]=20kvarQ2=Im[U2(–I2)*]=Im[(U1–U4)I1*]=Im[(300–j200)(100–j50)]=–35kvar???????Q3=Im[U3I3*]=Im[U4(–I2–I4)*]=Im[(200+j200)(50–j100)]=–10kvar???????Q=Q1+Q2+Q3+Q4=25–35–10+20=0(為什么？)例12-13電路如圖12-21所示，試求每個負載吸收的總復功率，及輸入電流有效值。+–I2300V10kW0.8(超前)15kW0.6(滯后)解：由無功功率的定義，可得S1=S1[cos

Z1+jsin

Z1]由S=UI得I=?=100000.8[0.8–j1–0.82]=10000–j7500V?AS2=S2[cos

Z2+jsin

Z2]?=150000.6=15000+j20000V?A[0.6+j1–0.62]S=S1+S2

=25000+j12500=27950.8526.57°V?A?=SU27950.852300=12.15A例12-3求圖12-5所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中各電阻的平均功率總和，各電感、電容平均儲能的總和。2cos2tVi1+–1

1

1F1F1H1Hi2解：用相量網(wǎng)孔方程法求解。列網(wǎng)孔方程)I1(1+j2–j21?)I2–(–j21?=1)I1–(–j21?+(1+j2–j1)I2?=0解得I1=?1+j23j21101+j231+j23j21j21=0.563–50.7°I2=?1+j23j21101+j231+j23j21j21=0.2174.3°電阻平均功率和P=I12R

+I22R=05632+0.22=0.357W電感平均儲能和WL===0.178JLI22LI12+2121(05632+0.22)21電容平均儲能和WC==0.07JCU22CU12+2121(0.36062+0.12)21U2=I2C0.22==0.1VU1=I2|1+j1.5

|=0.212+1.52=0.3606VWC=