《統考版》高考數學（理科）一輪練習專練19三角函數的圖象與性質

專練19三角函數的圖象與性質命題范圍：三角函數的圖象、性質．[基礎強化]一、選擇題1．如圖，函數y＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖象與坐標軸分別交于點D，E，F，則△DEF的面積為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C．πD．2π2．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．0B．1C．2－eq\r(3)D.eq\r(3)－23．已知函數f(x)＝2acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(a≠0)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，最小值為－2，則a的值為()A．1B．－1C．－1或2D．1或24．下列函數中最小正周期為π且圖象關于直線x＝eq\f(π,3)對稱的是()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))5．[2020·全國卷Ⅰ]設函數f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的圖象大致如圖，則f(x)的最小正周期為()A.eq\f(10π,9)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(4π,3)D.eq\f(3π,2)6．函數f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)的最小正周期為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C．πD．2π7．已知函數f(x)＝sinx＋acosx(a∈R)滿足f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，則函數g(x)＝(eq\r(3)－1)sinx＋f(x)的圖象的一條對稱軸方程是()A．x＝eq\f(2π,3) B．x＝eq\f(π,4)C．x＝－eq\f(π,3) D．x＝－eq\f(2π,3)8．[2021·河北衡水一中測試]已知函數f(x)＝asinx＋cosx(a為常數，x∈R)的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，則函數g(x)＝sinx＋acosx的圖象()A．關于直線x＝eq\f(π,3)對稱 B．關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，0))對稱C．關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對稱 D．關于直線x＝eq\f(π,6)對稱9．下列函數中，以eq\f(π,2)為周期且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))單調遞增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|二、填空題10．函數f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為________．11．設函數f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)，若f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))對于任意的實數x都成立，則ω的最小值為________．12．[2021·全國甲卷]已知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則滿足條件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0的最小正整數x為________．[能力提升]13．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數，將y＝f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數為g(x)，若g(x)的最小正周期為2π，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝()A．－2B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．214．若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是減函數，則a的最大值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D．π15．函數y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域為________．16．已知ω>0，函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調遞減，則ω的取值范圍是________．專練19三角函數的圖象與性質1．A在y＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))中，令x＝0，可得D(0,1)；令y＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)).所以△DEF的面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×1＝eq\f(π,4).故選A.2．C∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7,6)π，∴－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))≤2，∴函數的最大值與最小值之和為2－eq\r(3).3．C∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π.∴－eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，又f(x)的最小值為－2，當a＞0時，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.當a＜0時，f(x)min＝2a，∴a＝－1.4．B最小正周期為π的只有A、B，又當2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)－\f(π,6)))＝2取得最大值，故y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象關于直線x＝eq\f(π,3)對稱．5．C解法一：設函數f(x)的最小正周期為T，由題圖可得T<π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))且eq\f(T,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))－(－π)，所以eq\f(10π,9)<T<eq\f(13π,9)，又因為|ω|＝eq\f(2π,T)，所以eq\f(18,13)<|ω|<eq\f(9,5).由題圖可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))＝0，且－eq\f(4π,9)是函數f(x)的上升零點，所以－eq\f(4πω,9)＋eq\f(π,6)＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，所以－eq\f(4,9)ω＝2k－eq\f(2,3)(k∈Z)，所以|ω|＝eq\f(3,2)|3k－1|(k∈Z)．又因為eq\f(18,13)<|ω|<eq\f(9,5)，所以k＝0，所以|ω|＝eq\f(3,2)，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(3,2))＝eq\f(4π,3).故選C.解法二(五點法)：由函數f(x)的圖象知，ω×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，解得ω＝eq\f(3,2)，所以函數f(x)的最小正周期為eq\f(4π,3)，故選C.6．Cf(x)＝eq\f(\f(sinx,cosx),1＋\f(sin2x,cos2x))＝eq\f(sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.7．D由f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，得sin0＋acos0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(x)＝sinx＋cosx，所以g(x)＝(eq\r(3)－1)sinx＋f(x)＝(eq\r(3)－1)sinx＋sinx＋cosx＝eq\r(3)sinx＋cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).令x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，令k＝－1，得函數g(x)的圖象的一條對稱軸是x＝－eq\f(2π,3).故選D.8．A∵f(x)的圖象關于x＝eq\f(π,6)對稱，∴f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴1＝eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(1,2)，得a＝eq\f(\r(3),3)，∴g(x)＝sinx＋eq\f(\r(3),3)cosx＝eq\f(2\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(2\r(3),3)sineq\f(π,2)＝eq\f(2\r(3),3)取得最大值，故A正確，通過逐個檢驗，可知B、C、D均不正確．9．AA中，函數f(x)＝|cos2x|的周期為eq\f(π,2)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函數f(x)單調遞增，故A正確；B中，函數f(x)＝|sin2x|的周期為eq\f(π,2)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函數f(x)單調遞減，故B不正確；C中，函數f(x)＝cos|x|＝cosx的周期為2π，故C不正確；D中，f(x)＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,－sinx，x<0，))由正弦函數圖象知，在x≥0和x<0時，f(x)均以2π為周期，但在整個定義域上f(x)不是周期函數，故D不正確．故選A.10.eq\r(5)解析：∵f(x)＝eq\r(22＋12)sin(x＋φ)＝eq\r(5)sin(x＋φ)，∴f(x)max＝eq\r(5).11.eq\f(2,3)解析：∵f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))對任意的實數x都成立，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，∴eq\f(π,4)ω－eq\f(π,6)＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋eq\f(2,3)(k∈Z)，又ω>0，∴當k＝0時，ω取得最小值eq\f(2,3).12．2解析：由題圖可知，eq\f(3,4)T＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)(T為f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))可看作“五點作圖法”中的第二個點，則2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))－\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,3)))＝2coseq\f(π,3)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)－\f(π,6)))＝2coseq\f(5π,2)＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0，即(f(x)－1)f(x)>0，可得f(x)>1或f(x)<0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))>eq\f(1,2)或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0.當x＝1時，2x－eq\f(π,6)＝2－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，不符合題意；當x＝2時，2x－eq\f(π,6)＝4－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,6)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0，符合題意．所以滿足題意的最小正整數x為2.13．C由f(x)為奇函數可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asineq\f(1,2)ωx.由g(x)的最小正周期為2π，可得eq\f(2π,\f(1,2)ω)＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asinx．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝Asineq\f(π,4)＝eq\r(2)，所以A＝2，所以f(x)＝2sin2x，故feq