江蘇省常州市聯(lián)盟學校2023-2024學年高一上學期12月學情調(diào)研試題數(shù)學

常州市聯(lián)盟學校2023—2024學年度第一學期學情調(diào)研高一年級數(shù)學試卷2023.12本試卷共22題滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知一個面積為的扇形所對的弧長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.5.華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A B. C. D.6.若，則（

）A. B. C. D.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8.若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當時，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.當時，解集為D.當時，二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.10.下列正確的是（）A.為銳角，B.為銳角，C.若，則D若，且，則11.下列說法正確的是（

）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是12.在平面直角坐標系xOy中，角以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（）A.B.C.若，則D.若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是______.14.已知函數(shù)，則的值為______.15.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，若經(jīng)過3分鐘后物體的溫度為，則經(jīng)過6分鐘后物體的溫度為_________.16.若函數(shù)，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，以x軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點P，已知點P的橫坐標為．（1）求的值；（2）求的值．18.（1）已知，，求的值；（2）若銳角滿足，求的值.19.設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點，記．（1）求A；（2）當時，求函數(shù)的最值．20.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，當時，，（1）當時，求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．22.定義在D上函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）判斷函數(shù)是否是上的有界函數(shù)并說明理由；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界，若存在，求出的取值范圍，若不存在請說明理由．常州市聯(lián)盟學校2023—2024學年度第一學期學情調(diào)研高一年級數(shù)學試卷2023.12本試卷共22題滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】解對數(shù)不等式得到，從而求出交集.【詳解】，故.故選：B2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求出答案.【詳解】，其中，故的終邊在第三象限.故選：C3.“”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可?！驹斀狻靠傻没蛩浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件。故選：B【點睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題。4.已知一個面積為的扇形所對的弧長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積和弧長公式求得正確答案.【詳解】設(shè)扇形半徑為，圓心角為，則，解得.故選：B5.華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動個單位，可得函數(shù)的圖象只有選項C符合.故選：C.6.若，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用整體代換法與誘導公式化簡求值即可.【詳解】依題，令，則，，所以.故選：A7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，求出或0，根據(jù)單調(diào)性得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，，故，從而根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到答案.【詳解】令，解得或0，當時，，此時在上單調(diào)遞減，滿足要求，當時，，此時在上單調(diào)遞增，不合要求，故，定義域為，且，故為偶函數(shù)，，，，，其中，由于，故，即.故選：C8.若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當時，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.當時，的解集為D.當時，【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)的周期，即可得出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，從而結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷.【詳解】由是定義在上的奇函數(shù)得，由是偶函數(shù)得，即關(guān)于對稱，結(jié)合是奇函數(shù)可得關(guān)于對稱，∴，∴，∴函數(shù)的周期為8.當時，，則在（1個周期）的圖象如圖所示.對A，由圖易得，在上單調(diào)遞減，A錯；對B，由函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性可得，B錯；對C，由圖以及函數(shù)關(guān)于對稱可知，滿足，故C錯誤.對D，當時，，因為函數(shù)關(guān)于對稱，所以，D對.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B選項，使用基本不等式求出最大值為；C選項，平方后結(jié)合B選項求出答案；D選項，代入，從而得到.【詳解】A選項，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故A正確；B選項，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，故，即最大值為，B錯誤；C選項，，由B選項得，，故，故，當且僅當時，等號成立，有最大值，C正確；D選項，因為，所以，其中，故，當時，等號成立，故，D正確.故選：ACD10.下列正確的是（）A.為銳角，B.為銳角，C.若，則D.若，且，則【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合角的象限可判斷AB，應用指對冪的運算公式可判斷CD.【詳解】對A，為銳角，則在第一象限，則，A正確；對B，若，則在第一象限，則，B正確；對C，，C錯誤；對D，，則，同理，則，解得，D正確故選：ABD11.下列說法正確的是（

）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】A選項，解指數(shù)不等式得到定義域；B選項，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案；C選項，先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減進行求解；D選項，轉(zhuǎn)化為能夠取到所有正數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式組，求出答案.【詳解】A選項，令，解得，故函數(shù)的定義域為，A正確；B選項，當時，恒成立，滿足要求，當時，需滿足，解得，綜上，的取值范圍是，B錯誤；C選項，令，解得，由于在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間即為所求，其中對稱軸為，開口向下，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯誤；D選項，若函數(shù)的值域為，則能夠取到所有正數(shù)，當時，能夠取到所有正數(shù)，滿足要求，當時，需滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD12.在平面直角坐標系xOy中，角以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)角的定義和坐標關(guān)系分別求值.【詳解】A項，角終邊經(jīng)過點，則角終邊經(jīng)過點，所以，所以A項錯誤；B項，因為，，所以，因為，，所以，所以，所以B項正確；C項，因為，由三角函數(shù)定義可知，，所以，由解得，，所以，所以C項正確；D項，因為，所以，由解得，，所以，所以，所以D項錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，化簡得，，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系分析即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是______.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解.【詳解】命題“，”的否定是：，.故答案為：，14.已知函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】計算得出，結(jié)合函數(shù)解析式可得出，即可得解.【詳解】因為，所以，，所以，.故答案為：.15.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，若經(jīng)過3分鐘后物體的溫度為，則經(jīng)過6分鐘后物體的溫度為_________.【答案】【解析】【分析】由題知，首先求出k的值，再將代入，結(jié)合指、對數(shù)運算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，3分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，所以，將代入可得，故答案為：.16.若函數(shù)，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】.【解析】【分析】結(jié)合奇偶性與單調(diào)性，應用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題求解.【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱；又因為，所以是上的偶函數(shù)；因為，設(shè)，則，因為，所以，所以，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又其為偶函數(shù)，得在單調(diào)遞減，則對恒成立，即，即，即，即,令，則不等式組化為，即與都要在上恒成立，則，解得.實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】抽象函數(shù)不等式問題一般情況要結(jié)合奇偶性與單調(diào)性求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，以x軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點P，已知點P的橫坐標為．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系計算即可；（2）利用誘導公式化簡，然后轉(zhuǎn)化為用表示，代入的值計算即可.【小問1詳解】點P的橫坐標為，，又，，；【小問2詳解】.18.（1）已知，，求的值；（2）若銳角滿足，求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算法則得到，兩邊平方得，再求出，結(jié)合誘導公式求出答案；（2）根據(jù)對數(shù)運算法則求出，進而變形為齊次式，化弦為切，代入求值.詳解】（1）∵，，，∴，解得，，，，，，；（2），，，故.19.設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點，記．（1）求A；（2）當時，求函數(shù)的最值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由題意可解得，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由換元法，令，，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.【小問1詳解】由函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點可得，解得，故，且定義域為{x|x>0}，由可得，所以，即，由，解得，故．【小問2詳解】，，令，，函數(shù)等價轉(zhuǎn)換為，對稱軸為．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故．又，，所以．20.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)求出，然后根據(jù)條件列出方程組，進而求出的值，求出解析式.（2）由（1）中，通過換元，將不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為對時恒成立，然后利用基本不等式求出結(jié)果即可.【小問1詳解】設(shè)二次函數(shù)，由得，由得，不等式得，由題意，是方程的兩根，則，解得，所以，綜上，，.【小問2詳解】由（1），因為，令，則對恒成立，故對時恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以，即實數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，（1）當時，求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出，且，進而求出時的函數(shù)解析式；（2）先得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，當時，則，由時，函數(shù)，所以，即，所以當時，；【小問2詳解】不等式，由函數(shù)為奇函數(shù)，化為：，即，當時，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，且，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，又∵，∴在上單調(diào)遞增，故有，解得，綜上所述：不等式的解集為.22.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）判斷函數(shù)是否是上的有界函數(shù)并說明理由；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以