高考數(shù)學(xué)習(xí)題及答案 (五)

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試卷

（滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1、同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中任意抽取一張，則四人

所抽取的都不是自己所寫的賀卡的概率是（）

A.-B、3C>—D>—

4824256

2、從100張卡片（1號到100號）中任取1張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率是（）

A>—B>—C.—D>—

5010048100

3、一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形

的第三邊的位置關(guān)系是（）

A.垂直B.平行C.相交不垂直D.不確定

4、右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中（）

A.BM與沏平行；B.CV與應(yīng)'是異面直線；

C.CN與成45°角；D.DM與氏V垂直.

5、等比數(shù)列伍〃}中，S”為其前〃項(xiàng)和，5,:S2=3:2,公比q的值是（）

A1B--C1或D-1或工

222

6.已知F（x）=3i（2WxW4,6為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,則己力=[尸Yx）]

2一r1（9）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[2,5]B.[1,+8）C.[2,10]D.[2,13]

7、已知集合A={x|a-14x4a+2},B={x|3<x<5},則能使A衛(wèi)3成立的實(shí)數(shù)”的取值范

圍是（）

A.13<?<4}B.{a\3<a<4]C.{a\3<a<4]D.0

8.設(shè)全集為R,集合A={x|0<xV2},B={x|x21},貝！JAG（CRB）=（）

A.{x|O<xWl}B.{x|O<x<l}C.{x|lWx<2}D.{x|0<x<2}

'x+yC5

9、設(shè)變量x,y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為（）

.y》0

A.6B.19C.21D.45

10、閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20,則輸出T的值

為（）

C^T）

C結(jié)束)

A.1B.2C.3D.4

11.在復(fù)平面中，已知點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),0(0,0).給

出下面的結(jié)論：

①直線0C與直線BA平行；^AB+BC=CA^

③8+走”宓.@AC=OB-2QA

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1：3,

則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）

A.1：8B.1：9C.1：D.1：◎1）

二、填空題（共4小題，每小題5分；共計(jì)20分）

1.在等比數(shù)列6沖9+4=124,4%=-512,且公比4是整數(shù)，則%。等于.

x>2

2.若卜+"6,則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的取值范圍是.

2+cot23_]

3,已知l+sin6-'那么（1+sin6）（2+cos。）=.

4.取棱長為。的正方體的一個頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，依次

進(jìn)行下去，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成

一個多面體.則此多面體：①有12個頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個面；④表面積為

3a2；⑤體積為鏟’.以上結(jié)論正確的是.（要求填上的有正確結(jié)論的序號）

三、大題：（滿分70分）

1.如圖，線段P。分別交兩個平行平面a、夕于A、8兩點(diǎn)，線段PO分別交a、0

于C、。兩點(diǎn)，線段。戶分別交a、0千F、E兩點(diǎn)，若PA=9,A8=12,BQ=12,

A4b的面積為72,求AfiDE的面積.

2.在棱長為a的正方體中，求異面直線3。和耳。之間的距離.

3.正方體ABC。-棱長為-求異面直線AC與BQ的距離.

4.設(shè)直線/、m,平面a、0,下列條件能得出a///的是（）.

A.Iua,mua,且/〃，，mH（3B.Iua,mu0，且〃/加

C.ILaJmX./3,且〃//wD.Illa>mH（3,且/〃加

5.設(shè)平面aJ.平面y,平面，_L平面y,且a、夕分別與了相交于a、b,a//b.求

證：平面a〃平面￡.

分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面a上找到兩條相交直線，或作出

相交直線，它們分別與月平行（如圖）.

ZLHZ7

證明：在平面a內(nèi)作直線PQ1直線a,在平面力內(nèi)作直線MNJ.直線b.

6.如圖所示，平面a〃平面/?,點(diǎn)A、Cwa,點(diǎn)B、DG/3,A8=a是a、夕的公垂

線，CD是斜線.若AC=8￡>=。，CD=c,M、N分別是4?和的中點(diǎn)，

⑴求證：MN///3；

⑵求的長.

'B

參考答案：

一、選擇題:

1-5題答案:BAADC

6To題答案:ACBCB

11T2題答案:CD

8.設(shè)全集為R,集合A={x|0VxV2},B={x|x21},則AA(CRB)=()

A.{x|0VxWl}B.{x|O<x<l}C.{x|lWxV2}D.{x|0<x<2}

【解答】解：???A={x|0VxV2},B={x|x21},

CRB={X|X<1},

AAA(IB)={X|0<X<1}.

故選:B.

'x+y^5

9、設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為()

A.6B.19C.21D.45

'x+yC5

【解答】解：由變量x,y滿足約束條件

y>0

得如圖所示的可行域，由伊尸5解得A(2,3).

I-x+y=l

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y經(jīng)過A時，直線的截距最大，

z取得最大值.

將其代入得z的值為21,

故選：C.

10、閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20,則輸出T的值

為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：若輸入N=20,

則i=2,T=0,凹=a=10是整數(shù),滿足條件.T=0+l=l,i=2+l=3,i25不成立,

i2

循環(huán)，回=9不是整數(shù)，不滿足條件.，i=3+l=4,i25不成立，

i3

循環(huán)，回=毀=5是整數(shù)，滿足條件，T=l+1=2,i=4+l=5,i25成立，

i4

輸出T=2,

故選：B.

二、填空題：

1、-1或512

2、[8,14]

3、4

4、①②⑤

三、大題：

1.如圖，線段尸。分別交兩個平行平面a、，于A、B兩點(diǎn)，線段分別交a、P

于C、。兩點(diǎn)，線段。戶分別交a、0于F、E兩點(diǎn)，若PA=9,AB=12,8。=12,

A4c/的面積為72,求她的面積.

分析：求AfiDE的面積，看起來似乎與本節(jié)內(nèi)容無關(guān)，事實(shí)上，已知AACF的

面積，若&50E與AACF的對應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用AACR的面積求出的

面積.

解：?平面QA/口。=4/，平面=

又.：a//B,：.AFHBE.

同理可證：AC//BD,，ZFAC與N￡3￡＞相等或互補(bǔ)，SPsmZFAC=sinZEBD.

iFAI/BE,得3E：4尸=。3：。4=12：24=1：2,

/.BE^-AF

2

由加〃AC,得：AC：BD=PA：P5=9：21=3：7,/.BD^-AC.

3

又,:A4b的面積為72,即工A?ACsinNE4c=72.

2

/.S.DliF=、BE.BD-sinZEBD

117

^---AF--AC-smZFAC

223

71

^---AF-ACsinZFAC

62

7

=」x72=84.

6

...ABDE的面積為84平方單位.

說明：應(yīng)用兩個平行的性質(zhì)一是可以證明直線與直線的平行，二是可以解決

線面平行的問題.注意使用性質(zhì)定理證明線線平行時，一定第三個平面與兩個平

行平面相交，其交線互相平行.

2.在棱長為a的正方體中，求異面直線8。和耳C之間的距離.

分析：通過前面的學(xué)習(xí)，我們解決了如下的問題：若。和匕是兩條異面直線,

則過。且平行于b的平面必平行于過b且平行于。的平面.我們知道，空間兩條異

面直線，總分別存在于兩個平行平面內(nèi).因此，求兩條異面直線的距離，有時可

以通過求這兩個平行平面之間的距離來解決.

具體解法可按如下兒步來求：①分別經(jīng)過8。和耳。找到兩個互相平等的平面;

②作出兩個平行平面的公垂線；③計(jì)算公垂線夾在兩個平等平面間的長度.

解：如圖,

根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：

BD//=>平面ABDH平面CBQ

A、BIID、C

連結(jié)AG，分別交平面48。和平面C3Q于/和N

因?yàn)镃G和AG分別是平面ABC。的垂線和斜線，AC在平面ABC。內(nèi)，ACA.BD

由三垂線定理：AC,IBD,同理：ACt

，AC?平面同理可證：AC1平面C8Q

，平面A8。和平面CgA間的距離為線段MN長度.

如圖所示：

在對角面AG中，。為4G的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)

1n

：.AM=MN=NC產(chǎn)—AC\=—a.

...3。和BC的距離等于兩平行平面AB。和CBQ的距離為go.

說明：關(guān)于異面直線之間的距離的計(jì)算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：①轉(zhuǎn)化為

線面距.設(shè)外。是兩條異面直線，作出經(jīng)過6而和a平行的平面a,通過計(jì)算a和

a的距離，得出”和〃距離，這樣又回到點(diǎn)面距離的計(jì)算；②轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè)。、

匕是兩條異面直線，作出經(jīng)過b而和。平行的平面a,再作出經(jīng)過“和b平行的平

面夕，通過計(jì)算a、P之間的距離得出a和。之間的距離.

3.正方體ABC。-A4G2棱長為a,求異面直線AC與BG的距離.

解法1:（直接法）如圖：

取的中點(diǎn)P,連結(jié)PD、尸與分別交AC、BG于M、N兩點(diǎn)，

易證：DBJIMN,DB}±AC，DB、±BC,.

二.MN為異面直線AC與8G的公垂線段，易證：MN=；DB[=*a.

小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解.但通常

尋找公垂線段時，難度較大.

解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖：

AC〃平面4GB,

...AC與BG的距離等于AC與平面AGB的距離，

在放中，作斜邊上的高0E,則0E長為所求距離,

VOB=—a,00\=a,

2'

0E二型儂

0、B

小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離.

解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖:

?.?平面ACR〃平面AG3，

...AC與明的距離等于平面A3與平面AC乃的距離.

DB、_L平面ACQ,且被平面ACR和平面AC/三等分;

所求距離為為￡）=走a.

33

小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離.

解法4:（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：

Ai

任取點(diǎn)QeBG，作QR，8c于R點(diǎn)，作PKJ.AC于K點(diǎn)，設(shè)HC=x,

貝!jBR=QR=a-x,CK=KR,KR2+CK2=CR2

KR。=LCR?=匕.

22

貝！JQK2=gx2+（a_x）2

=_\X------Cl)H-----CT之一Cl

故QK的最小值，即AC與BG的距離等于中

小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)，通過求這個函數(shù)

的最小值來得到二異面直線之間的距離.

解法5：（體積橋法）如圖：

當(dāng)求4c與BG的距離轉(zhuǎn)化為求AC與平面AC.B的距離后，設(shè)C點(diǎn)到平面AGB

的距離為人

則Z-AGB=〃-BCG

-n--=-?a?—a

3432

：.h^a.即4c與BG的距離等于ga.

小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為

錐體的高，然后用體積公式求之.這種方法在后面將要學(xué)到.

說明：求異面直線距離的方法有：

（1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時，直接求.此時，作出并證明異面直

線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵.

（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線a、〃距離，先作

出過。且平行于b的平面a,則萬與a距離就是a、人距離.（線面轉(zhuǎn)化法）.

也可以轉(zhuǎn)化為過。平行b的平面和過匕平行于。的平面，兩平行平面的距離就

是兩條異面直線距離.（面面轉(zhuǎn)化法）.

（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求.

（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最

值來解.

兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會計(jì)算已給出公垂線時的

距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同

學(xué)探求.

4.設(shè)直線/、加，平面a、B，下列條件能得出a〃Z?的是（）.

A.Iua,機(jī)ua,旦1〃B，mH/3B.Iua,mu0，且/〃加

C./J_a,mA./3,且/〃6D.Illa>mH/3,且/〃加

分析：選項(xiàng)A是錯誤的，因?yàn)楫?dāng)///機(jī)時，a與萬可能相交.選項(xiàng)B是錯誤的，

理由同A.選項(xiàng)C是正確的，因?yàn)?J_a,mill,所以m,X*?*m±/?,.,.?///?.選

項(xiàng)D也是錯誤的，滿足條件的a可能與P相交.

答案：C

說明：此題極易選A,原因是對平面平行的判定定理掌握不準(zhǔn)確所致.

本例這樣的選擇題是常見題目，要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對定

理、公理的準(zhǔn)確掌握、深刻理解，同時要考慮到各種情況.

5.設(shè)平面aJ.平面了,平面，1.平面且a、/?分別與/相交于a、b,allb.求

證：平面a〃平面力.

分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面。上找到兩條相交直線，或作出

相交直線，它們分別與月平行（如圖）.

JEEZ

證明：在平面a內(nèi)作直線PQl直線a,在平面力內(nèi)作直線MNJ.直線b.

???平面aJ_平面y,

二.PQ_L平面/,MN_L平面y,

PQ//MN.

XVallp,PQn〃=Q，MNCb=N,

二.平面a〃平面..

說明：如果在a、0內(nèi)分別作PQ”,MN”,這樣就走了彎路，還需證明尸0、

MN在a、B內(nèi)，如果直接在a、尸內(nèi)作外。的垂線，就可推出PQ//例N.

由面面垂直的性質(zhì)推出“線面垂直”，進(jìn)而推出“線線平行”、“線面平行”，

最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”.其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理

的意識，在立體幾何證明中非常重要.

6.如圖所示，平面a〃平面夕，點(diǎn)A、Csa,點(diǎn)B、DG0,A8=a是a、4的公垂

線，CD是斜線.若AC=BD=b,CD=c,M、N分別是A3和C。的中